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高三数学第九章直线和圆的方程复习学案(教师版)


第九章直线和圆的方程

第九章 直线与圆的方程
【高考考情解读】 考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题.直线与圆的位置关系(特别是 弦长问题),此类问题难度属于中等,一般以选择题、填空题的形式出现,有时也会出现解 答题,多考查其几何图形的性质或方程知识. 【知识梳理】 1. 直线方程的五种形式 (1)点斜式:y-y1=k(x-x1)(

直线过点 P1(x1,y1),且斜率为 k,不包括 y 轴和平行于 y 轴的直线). (2)斜截式:y=kx+b(b 为直线 l 在 y 轴上的截距,且斜率为 k,不包括 y 轴和平行于 y 轴的直线). y-y1 x-x1 (3)两点式: = (直线过点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),且 x1≠x2,y1≠y2,不包括 y2-y1 x2-x1 坐标轴和平行于坐标轴的直线). x y (4)截距式: + =1(a、b 分别为直线的横、纵截距,且 a≠0,b≠0,不包括坐标轴、 a b 平行于坐标轴和过原点的直线). (5)一般式:Ax+By+C=0(其中 A,B 不同时为 0). 2. 直线的两种位置关系 当不重合的两条直线 l1 和 l2 的斜率存在时: (1)两直线平行 l1∥l2?k1=k2. (2)两直线垂直 l1⊥l2?k1· k2=-1. 提醒 当一条直线的斜率为 0,另一条直线的斜率不存在时,两直线也垂直,此种情形 易忽略. 3. 三种距离公式 (1)A(x1,y1),B(x2,y2)两点间的距离:|AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2. |Ax0+By0+C| (2)点到直线的距离:d= (其中点 P(x0,y0),直线方程为:Ax+By+C=0). A2+B2 (3)两平行线间的距离:d= Ax+By+C2=0). 提醒 应用两平行线间距离公式时,注意两平行线方程中 x,y 的系数应对应相等. 4. 圆的方程的两种形式 (1)圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2. (2)圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).
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|C2-C1|

(其中两平行线方程分别为 l1:Ax+By+C1=0.l2: A2+B2

5. 直线与圆、圆与圆的位置关系 (1)直线与圆的位置关系:相交、相切、相离,代数判断法与几何判断法. (2)圆与圆的位置关系:相交、相切、相离,代数判断法与几何判断法. 【典型题型解析】 考点一 直线的方程及应用 例1 (1)过点(5,2),且在 y 轴上的截距是在 x 轴上的截距的 2 倍的直线方程是 ( A.2x+y-12=0 B.2x+y-12=0 或 2x-5y=0 C.x-2y-1=0 D.x-2y-1=0 或 2x-5y=0 (2)若直线 l1:x+ay+6=0 与 l2:(a-2)x+3y+2a=0 平行,则 l1 与 l2 间的距离为( A. 2 答案 解析 8 2 B. 3 (1)B (2)B x y (1)当直线过原点时方程为 2x-5y=0, 不过原点时, 可设出其截距式为 + =1, a 2a C. 3 8 3 D. 3 ) )

再由过点(5,2)即可解出 2x+y-12=0. (2)由 l1∥l2, 知 3=a(a-2)且 2a≠6(a-2),2a2≠18, 求得 a=-1, 2 所以 l1:x-y+6=0,l2:x-y+ =0,两条平行直线 l1 与 l2 间的距离为 d= 2 3 1 +?-1?2 = 8 2 . 3 (1)要注意几种直线方程的局限性.点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与 x 轴垂直.而截距式方程不能表示过原点的直线,也不能表示垂直于坐标轴的直线. (2)求解与两条直线平行或垂直有关的问题时,主要是利用两条直线平行或垂直的充要 条件,即“斜率相等”或“互为负倒数”.若出现斜率不存在的情况,可考虑用数形结 合的方法去研究. (1)直线 l1:kx+(1-k)y-3=0 和 l2:(k-1)x+(2k+3)y-2=0 互相垂直, 则 k= A.-3 或-1 C.-3 或 1 B.3 或 1 D.3 或-1 ( )

?6-2? ? 3?

(2) 过 点 (1,0) 且 倾 斜 角 是 直 线 x - 2y - 1 = 0 的 倾 斜 角 的 两 倍 的 直 线 方 程 是 ________________.
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第九章直线和圆的方程

答案 解析

(1)C (2)4x-3y-4=0 (1)∵l1⊥l2,∴k(k-1)+(1-k)(2k+3)=0,

解得 k1=-3,k2=1.∴k=-3 或 1. (2)设直线 x-2y-1=0 的倾斜角为 α,则所求直线的倾斜角为 2α. 1 由已知得 tan α= , 2 2tan α 则 tan 2α= = 1-tan2α 1 2× 2 4 = , 1 3 1-? ?2 2

4 所以所求直线方程为 y-0= (x-1), 3 即 4x-3y-4=0. 考点二 圆的方程及应用 例 2 (1)已知圆 C 过点(1,0),且圆心在 x 轴的正半轴上.直线 l:y=x-1 被圆 C 所截得的 弦长为 2 2,则过圆心且与直线 l 垂直的直线的方程为________________. (2)已知 A(-2,0),B(0,2),实数 k 是常数,M,N 是圆 x2+y2+kx=0 上两个不同点,P 是圆 x2+y2+kx=0 上的动点,如果 M,N 关于直线 x-y-1=0 对称,则△PAB 面积的 最大值是________. 答案 解析 (1)x+y-3=0 (2)3+ 2

(1)设圆心坐标为(x0,0)(x0>0),由于圆过点(1,0),则半径 r=|x0-1|.圆心到直线 l

|x0-1| ?|x0-1|?2=(x -1)2-2,整理得(x -1)2=4. 的距离为 d= .由弦长为 2 2可知? ? 0 0 ? 2 ? 2 ∴x0-1=± 2,∴x0=3 或 x0=-1(舍去). 因此圆心为(3,0),由此可求得过圆心且与直线 y=x-1 垂直的直线方程为 y=-(x-3), 即 x+y-3=0. k k (2)依题意得圆 x2+y2+kx=0 的圆心(- ,0)位于直线 x-y-1=0 上,于是有- -1= 2 2 0,即 k=-2,因此圆心坐标是(1,0),半径是 1.由题意可得|AB|=2 2,直线 AB 的方程 是 |1-0+2| 3 2 x y + =1,即 x-y+2=0,圆心(1,0)到直线 AB 的距离等于 = ,点 P 到 2 -2 2 2 3 2+2 3 2 1 +1,△PAB 面积的最大值为 ×2 2× =3+ 2. 2 2 2

直线 AB 的距离的最大值是

圆的标准方程直接表示出了圆心和半径,而圆的一般方程则表示出了曲线与 二元二次方程的关系,在求解圆的方程时,要根据所给条件选取适当的方程形式.解决 与圆有关的问题一般有两种方法:(1)几何法,通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆 的位置关系,进而求得圆的基本量和方程;(2)代数法,即用待定系数法先设出圆的方
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程,再由条件求得各系数. (1)已知圆 C:x2+(y-3)2=4,过点 A(-1,0)的直线 l 与圆 C 相交于 P、Q 两点,若|PQ|=2 3,则直线 l 的方程为 A.x=-1 或 4x+3y-4=0 C.x=1 或 4x-3y+4=0
2

(

)

B.x=-1 或 4x-3y+4=0 D.x=1 或 4x+3y-4=0

(2)已知圆 C 的圆心与抛物线 y =4x 的焦点关于直线 y=x 对称,直线 4x-3y-2=0 与 圆 C 相交于 A,B 两点,且|AB|=6,则圆 C 的方程为________. 答案 解析 (1)B (2)x2+(y-1)2=10 (1)当直线 l 与 x 轴垂直时,易知 x=-1 符合题意;

当直线 l 与 x 轴不垂直时, 设直线 l 的方程为 y=k(x+1), 线段 PQ 的中点为 M, 由于|PQ| =2 3,易得|CM|=1. 又|CM|= |-3+k| 4 4 =1,解得 k= ,此时直线 l 的方程为 y= (x+1).故所求直线 l 的方 3 3 k2+1

程为 x=-1 或 4x-3y+4=0.故选 B. (2)设所求圆的半径是 r,依题意得,抛物线 y2=4x 的焦点坐标是(1,0),则圆 C 的圆心 |4×0-3×1-2| |AB| 2 坐标是(0,1), 圆心到直线 4x-3y-2=0 的距离 d= 则 r2=d2+( ) 2 2 =1, 2 4 +?-3? =10,故圆 C 的方程是 x2+(y-1)2=10. 考点三 直线与圆、圆与圆的位置关系 例3 (2013· 江苏)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3),直线 l:y =2x-4.设圆 C 的半径为 1,圆心在 l 上. (1)若圆心 C 也在直线 y=x-1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的 方程; (2)若圆 C 上存在点 M,使|MA|=2|MO|,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围. 解 (1)由题设,圆心 C 是直线 y=2x-4 和 y=x-1 的交点,解得点 C(3,2),

于是切线的斜率必存在. 设过 A(0,3)的圆 C 的切线方程为 y=kx+3, 由题意, |3k+1|
2

3 =1,解得 k=0 或- , 4 k +1

故所求切线方程为 y=3 或 3x+4y-12=0. (2)因为圆心在直线 y=2x-4 上,所以圆 C 的方程为 (x-a)2+[y-2(a-2)]2=1. 设点 M(x,y),因为|MA|=2|MO|,所以 x2+?y-3?2=2 x2+y2,化简得 x2+y2+2y-3

=0,即 x2+(y+1)2=4,所以点 M 在以 D(0,-1)为圆心,2 为半径的圆上.

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第九章直线和圆的方程

由题意,点 M(x,y)在圆 C 上,所以圆 C 与圆 D 有公共点,则 2-1≤|CD|≤2+1, 即 1≤ a2+?2a-3?2≤3. 由 5a2-12a+8≥0,得 a∈R; 由 5a2-12a≤0,得 0≤a≤ 12 . 5

12? 所以点 C 的横坐标 a 的取值范围为? ? 0, 5 ? . (1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时,要注意数形结合,充分利用圆的几 何性质寻找解题途径, 减少运算量. 研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距 离和半径的比较实现,两个圆的位置关系判断依据两个圆心距离与半径差与和的比较. (2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直,圆心到切线的距离等于半径 ”建 立切线斜率的等式, 所以求切线方程时主要选择点斜式. 通过过圆外一点的圆的切线条 数可以判断此点和圆的位置关系. 过圆外一点求解切线长转化为圆心到圆外点距离利用 勾股定理处理. (1)(2013· 江西)过点( 2,0)引直线 l 与曲线 y= 1-x2相交于 A、B 两点,O 为坐标原点,当△AOB 的面积取最大值时,直线 l 的斜率等于 A. 3 3 B.- 3 3 C .± 3 3 D.- 3 ( )

(2)(2013· 重庆)已知圆 C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆 C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N 分 别是圆 C1,C2 上的动点,P 为 x 轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为 A.5 2-4 C.6-2 2 B. 17-1 D. 17 ( )

(3)(2013· 山东改编)过点 P(3,1)作圆(x-1)2+y2=1 的两条切线,切点分别为 A,B,则直 线 AB 的方程为________,△PAB 的外接圆方程为________________________. 答案 解析 1 5 (1)B (2)A (3)2x+y-3=0 (x-2)2+(y- )2= 2 4 1 (1)∵S△AOB= |OA||OB|· sin∠AOB 2

1 1 = sin∠AOB≤ . 2 2 π 当∠AOB= 时,S△AOB 面积最大. 2 此时 O 到 AB 的距离 d= 2 . 2

设 AB 方程为 y=k(x- 2)(k<0), 即 kx-y- 2k=0.

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由 d=

| 2k | 2 3 = 得 k=- . 2 2 3 k +1 3 ). 3

(也可 k=-tan∠OPH=-

(2)设 P(x,0),设 C1(2,3)关于 x 轴的对称点为 C1′(2,-3),那么|PC1|+|PC2|=|PC1′| +|PC2|≥|C1′C2|= ?2-3?2+?-3-4?2=5 2. 而|PM|+|PN|=|PC1|+|PC2|-4≥5 2-4. (3)易知点 P(3,1)与圆心 C 连线和 AB 垂直, 圆心为点(1,0), 点 P(3,1) 1-0 1 与圆心连线斜率 k= = ,故直线 AB 斜率 kAB=-2,结合图 3-1 2 形易知 A 点坐标为(1,1),由点斜式得直线 AB 的方程为 y-1=- 2(x-1),即 2x+y-3=0. 又由 CA⊥PA,CB⊥PB 知,A、P、B、C 四点共圆,且 CP 为其直径. 1 5 ∴△PAB 的外接圆方程为(x-2)2+(y- )2= . 2 4

1. 由于直线方程有多种形式,各种形式适用的条件、范围不同,在具体求直线方程时,由 所给的条件和采用的直线方程形式所限,可能会产生遗漏的情况,尤其在选择点斜式、 斜截式时要注意斜率不存在的情况. 2. 确定圆的方程时,常用到圆的几个性质: (1)直线与圆相交时应用垂径定理构成直角三角形(半弦长,弦心距,圆半径); (2)圆心在过切点且与切线垂直的直线上; (3)圆心在任一弦的中垂线上; (4)两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线; (5)圆的对称性:圆关于圆心成中心对称,关于任意一条过圆心的直线成轴对称. 3. 直线与圆中常见的最值问题 圆上的点与圆外点的距离的最值问题, 可以转化为圆心到点的距离问题; 圆上的点与直 线上点的距离的最值问题, 可以转化为圆心到直线的距离问题; 圆上的点与另一圆上点 的距离的最值问题,可以转化为圆心到圆心的距离问题. 4. 过两圆 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0 的交点的圆系方 程为 x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0. 5. 两圆相交,将两圆方程联立消去二次项,得到一个二元一次方程即为两圆公共弦所在的 直线方程. 【当堂达标】
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第九章直线和圆的方程

1. 若圆 x2+y2=r2(r>0)上有且只有两个点到直线 x-y-2=0 的距离为 1,则实数 r 的取值 范围是________. 答案 ( 2-1, 2+1)

解析 注意到与直线 x-y-2=0 平行且距离为 1 的直线方程分别是 x-y-2+ 2=0、 x-y-2- 2=0,要使圆上有且只有两个点到直线 x-y-2=0 的距离为 1,需满足在 两条直线 x-y-2+ 2=0、 x-y-2- 2=0 中, 一条与该圆相交且另一条与该圆相离, | 2-2| |-2- 2| 所以 <r< ,即 2-1<r< 2+1. 2 2 2. 过点 O(0,0)作直线与圆 C:(x-4 5)2+(y-8)2=169 相交,在弦长均为整数的所有直线 中,等可能地任取一条直线,则弦长不超过 14 的概率为________. 答案 9 32

解析 已知圆 C 的半径为 13,C(4 5,8), ∵|CO|= ?4 5?2+82=12<13, ∴O 点在圆 C 的内部,且圆心到直线的距离 d∈[0,12], ∴直线截圆所得的弦长|AB|=2 r2-d2∈[10,26],其中最短和最长的弦各有一条,长为 11 到 25 的整数的弦各有两条,共有 32 条,其中弦长不超过 14 的有 1+8=9(条), 9 ∴所求概率 P= . 32 【点击高考】 一、选择题 1. “a=0”是“直线 l1: (a+1)x+a2y-3=0 与直线 l2:2x+ay-2a-1=0 平行”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 答案 C 解析 当 a=0 时,l1:x-3=0,l2:2x-1=0, 此时 l1∥l2,所以“a=0”是“直线 l1 与 l2 平行”的充分条件. 当 l1∥l2 时,a(a+1)-2a2=0,解得 a=0 或 a=1. 当 a=1 时,l1:2x+y-3=0,l2:2x+y-3=0, 此时,l1 与 l2 重合,所以 a=1 不满足题意,即 a=0. 所以“a=0”是“直线 l1∥l2”的必要条件. 2. a,b,c 分别是△ABC 中角 A,B,C 的对边的边长,则直线 xsin A+ay+c=0 与直线 bx-ysin B+sin C=0 的位置关系是 ( )
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)

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.平行 答案 C

B.重合

C.垂直

D.相交但不垂直

解析 ∵直线 A1x+B1y+C1=0 和 A2x+B2y+C2=0 垂直的充要条件是 A1A2+B1B2=0, 而 bsin A+a(-sin B)=0,∴两直线垂直.故选 C. 3. (2013· 广东)垂直于直线 y=x+1 且与圆 x2+y2=1 相切于第一象限的直线方程是( A.x+y- 2=0 C.x+y-1=0 答案 A 解析 与直线 y=x+1 垂直的直线设为:x+y+b=0. 则 |b| =r=1,所以|b|= 2,又相切于第一象限, 2 B.x+y+1=0 D.x+y+ 2=0 )

所以 b=- 2. 4. 已知圆 C 关于 y 轴对称,经过点(1,0)且被 x 轴分成两段弧长比为 1∶2,则圆 C 的方程 为 3 4 A.(x± )2+y2= 3 3 3 4 C.x2+(y± )2= 3 3 答案 C 2 解析 由已知圆心在 y 轴上,且被 x 轴所分劣弧所对圆心角为 π,设圆心(0,a),半径 3 为 r, π π 则 rsin =1,rcos =|a|, 3 3 解得 r= 2 4 3 ,即 r2= ,|a|= , 3 3 3 3 1 B.(x± )2+y2= 3 3 3 1 D.x2+(y± )2= 3 3 ( )

3 3 4 即 a=± ,故圆 C 的方程为 x2+(y± )2= . 3 3 3 5. 设 P 为直线 3x+4y+3=0 上的动点,过点 P 作圆 C:x2+y2-2x-2y+1=0 的两条切 线,切点分别为 A,B,则四边形 PACB 的面积的最小值为 A.1 答案 D 解析 依题意,圆 C:(x-1)2+(y-1)2=1 的圆心是点 C(1,1),半径是 1,易知|PC|的最 10 小值等于圆心 C(1,1)到直线 3x+4y+3=0 的距离,即 =2,而四边形 PACB 的面积等 5 1 于 2S△PAC=2×( |PA|· |AC|)=|PA|· |AC|=|PA|= |PC|2-1,因此四边形 PACB 的面积的最 2
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(

)

B.

3 2

C.2 3

D. 3

第九章直线和圆的方程

小值是 22-1= 3,选 D. 6. 两个圆 C1:x2+y2+2ax+a2-4=0(a∈R)与 C2:x2+y2-2by-1+b2=0(b∈R)恰有三条 公切线,则 a+b 的最小值为 A.-6 答案 C 解析 两个圆恰有三条公切线,则两圆外切,两圆的标准方程为圆 C1:(x+a)2+y2=4, 圆 C2:x2+(y-b)2=1, 所以|C1C2|= a2+b2=2+1=3, 即 a2+b2=9. 由( a+b 2 a2+b2 )≤ 得 (a + b)2≤18 ,所以- 3 2 ≤a + b≤3 2 ,当且仅当 “a = b” 时取 2 2 B.-3 C.-3 2 D.3 ( )

“=”.∴选 C. 二、填空题 7. 已知直线 l1 与圆 x2+y2+2y=0 相切,且与直线 l2:3x+4y-6=0 平行,则直线 l1 的方 程是________. 答案 3x+4y-1=0 或 3x+4y+9=0 解析 依题意,设所求直线 l1 的方程是 3x+4y+b=0,则由直线 l1 与圆 x2+(y+1)2=1 |b-4| 相切,可得圆心(0,-1)到直线 3x+4y+b=0 的距离为 1,即有 =1,解得 b=-1 5 或 b=9.因此,直线 l1 的方程是 3x+4y-1=0 或 3x+4y+9=0. 8. (2013· 山东)过点(3,1)作圆(x-2)2+(y-2)2=4 的弦,其中最短弦的长为________. 答案 2 2 解析 由题意知,当弦的中点与圆心的连线与弦垂直时弦长最短,此 时,点(3,1)为弦的中点,如图所示. ∴|AB|=2|BE|=2 |BC|2-|CE|2= 2 4-2=2 2. 9. 若直线 l:ax+by+1=0 始终平分圆 M:x2+y2+4x+2y+1=0 的周长,则(a-2)2+(b -2)2 的最小值为________. 答案 5 解析 由题意知,圆心坐标为(-2,-1), ∴-2a-b+1=0, ∵ ?a-2?2+?b-2?2表示点(a,b)与(2,2)的距离, |4+2-1| ∴ ?a-2?2+?b-2?2的最小值为 = 5, 4+1

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∴(a-2)2+(b-2)2 的最小值为 5. π 10.(2013· 湖北)已知圆 O:x2+y2=5,直线 l:xcos θ+ysin θ=1(0<θ< ).设圆 O 上到直线 2 l 的距离等于 1 的点的个数为 k,则 k=________. 答案 4 解析 圆心 O 到直线 l 的距离 d= 1 =1, cos θ+sin2θ
2

而圆 O 半径为 5,∴圆 O 上到 l 的距离等于 1 的点有 4 个. 三、解答题 11.如图所示,已知以点 A(-1,2)为圆心的圆与直线 l1:x+2y+7=0 相切.过点 B(-2,0)的动直线 l 与圆 A 相交于 M,N 两点,Q 是 MN 的中点,直线 l 与 l1 相交于点 P. (1)求圆 A 的方程; (2)当|MN|=2 19时,求直线 l 的方程; → → (3)BQ· BP是否为定值?如果是,求出其定值;如果不是,请说明理由. 解 (1)设圆 A 的半径为 R.

∵圆 A 与直线 l1:x+2y+7=0 相切, |-1+4+7| ∴R= =2 5. 5 ∴圆 A 的方程为(x+1)2+(y-2)2=20. (2)当直线 l 与 x 轴垂直时,易知 x=-2 符合题意; 当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=k(x+2), 即 kx-y+2k=0.连接 AQ,则 AQ⊥MN. ∵|MN|=2 19,∴|AQ|= 20-19=1. 由|AQ|= |k-2|
2

3 =1,得 k= . 4 k +1

∴直线 l 的方程为 3x-4y+6=0. ∴所求直线 l 的方程为 x=-2 或 3x-4y+6=0. → → (3)∵AQ⊥BP,∴AQ· BP=0. → → → → → ∴BQ· BP=(BA+AQ)· BP → → → → → → =BA· BP+AQ· BP=BA· BP. 5? 当直线 l 与 x 轴垂直时,得 P? ?-2,-2?. 5? → → 则BP=? ?0,-2?,又BA=(1,2),
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第九章直线和圆的方程

→ → → → ∴BQ· BP=BA· BP=-5. 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x+2).
? ?y=k?x+2?, ?-4k-7, -5k ?. 由? 解得 P? ? ? 1+2k 1+2k? ?x+2y+7=0, ?

-5k ? → ? -5 , ∴BP=? ?. ?1+2k 1+2k? -5 10k → → → → ∴BQ· BP=BA· BP= - =-5. 1+2k 1+2k → → → → 综上所述,BQ· BP是定值,且BQ· BP=-5. 12.已知曲线 C 的方程:x2+y2-4x+2y+5m=0. (1)当 m 为何值时,此方程表示圆; (2)若 m=0,是否存在过点 P(0,2)的直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,且|PA|=|AB|,若 存在,求直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 解 (1)方程可化为(x-2)2+(y+1)2=5-5m,

当 5-5m>0,即 m<1 时表示圆. (2)当 m=0 时,曲线 C 的方程为 x2+y2-4x+2y=0. ①当直线 l 斜率不存在时, 即直线 l 方程为 x=0,A(0,0),B(0,-2),|PA|=|AB|,符合题意. ②当直线 l 斜率存在时,设直线 l 方程为 y=kx+2,
?y=kx+2, ? 联立方程组? 2 2 ?x +y -4x+2y=0. ?

有(1+k2)x2+(6k-4)x+8=0. 依题意有 Δ=4(k2-12k-4)>0, ∵|PA|=|AB|, ∴A 为 PB 的中点,∴xB=2xA. 4-6k ? ?x +x = 1+k , ∴? 8 ? ?x x =1+k ,
A B 2 A B 2

4-6k ? ?x =3?1+k ?, 即? 4 ? ?x =1+k .
A 2 A 2 2

5 解得 k=- ,满足 Δ>0, 12

185

∴直线 l 的方程为 5x+12y-24=0. 综上所述,直线 l 的方程为 x=0 或 5x+12y-24=0. 13.已知点 P 是圆 F1:(x+ 3)2+y2=16 上任意一点,点 F2 与 F1 关于原点对称.线段 PF2 的中垂线与 PF1 交于 M 点. (1)求点 M 的轨迹 C 的方程; (2)设轨迹 C 与 x 轴的左、右两个交点分别为 A,B,点 K 是轨迹 C 上异于 A,B 的任意 一点,KH⊥x 轴,H 为垂足,延长 HK 到点 Q 使得 HK=KQ,连接 AQ 并延长交过 B 且垂直于 x 轴的直线 l 于点 D, N 为 DB 的中点. 试判断直线 QN 与以 AB 为直径的圆 O 的位置关系. 解 (1)由题意得,F1(- 3,0),F2( 3,0),圆 F1 的半径为 4,且|MF2|=|MP|,

从而|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=4>|F1F2| =2 3. ∴点 M 的轨迹是以 F1、F2 为左、右焦点的椭圆,其中长轴长 2a=4,焦距 2c=2 3, 则短半轴长 b= a2-c2= 4-3=1, x2 ∴点 M 的轨迹 C 的方程为 +y2=1. 4 (2)如图,设 K(x0,y0),
2 x0 则 +y2 0=1. 4

∵HK=KQ,∴Q(x0,2y0).
2 ∴OQ= x2 0+?2y0? =2,

∴Q 点在以 O 为圆心,2 为半径的圆上,即 Q 点在以 AB 为直径的圆 O 上. 又 A(-2,0),∴直线 AQ 的方程为 y= 8y0 令 x=2,得 D(2, ). x0+2 又 B(2,0),N 为 DB 的中点, 4y0 ∴N(2, ). x0+2 2x0y0 → → ∴OQ=(x0,2y0),NQ=(x0-2, ). x0+2 2x0y0 → → ∴OQ· NQ=x0(x0-2)+2y0· x0+2 =x0(x0-2)+ 4x0y2 0 x0+2 2y0 (x+2). x0+2

x0?4-x2 0? =x0(x0-2)+ x0+2
186

第九章直线和圆的方程

=x0(x0-2)+x0(2-x0)=0. → → ∴OQ⊥NQ.∴直线 QN 与圆 O 相切.

187


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