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高中数学 第三章 3.3.2简单的线性规划问题(二)导学案新人教A版必修5


3.3.2

简单的线性规划问题(二)

课时目标 1.准确利用线性规划知识求解目标函数的最值. 2.掌握线性规划实际问题中的两种常见类型. 1.用图解法解线性规划问题的步骤: (1)分析并将已知数据列出表格; (2)确定线性约束条件; (3)确定线性目标函数; (4)画出可行域; (5)利用线性目标函数(直线)求出最优解; 根据实际问题的

需要,适当调整最优解(如整数解等). 2.在线性规划的实际问题中,主要掌握两种类型:一是给定一定数量的人力、物力资 源,问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大,收到的效益最大;二是给定一项任务,问 怎样统筹安排,能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小.

一、选择题 1.某厂生产甲产品每千克需用原料 A 和原料 B 分别为 a1、b1 千克,生产乙产品每千克 需用原料 A 和原料 B 分别为 a2、b2 千克,甲、乙产品每千克可获利润分别为 d1、d2 元.月初 一次性购进本月用的原料 A、B 各 c1、c2 千克,要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克 才能使月利润总额达到最大.在这个问题中,设全月生产甲、乙两种产品分别为 x 千克、y 千克,月利润总额为 z 元,那么,用于求使总利润 z=d1x+d2y 最大的数学模型中,约束条 件为( )

a x+a y≥c , ? ?b x+b y≥c , A.? x≥0, ? ?y≥0
1 1 2 2 1 2

a x+b y≤c , ? ?a x+b y≤c , B.? x≥0, ? ?y≥0
1 2 1 2 1 2

a x+a y≤c , ? ?b x+b y≤c , C.? x≥0, ? ?y≥0
1 1 2 2 1 2

a x+a y=c , ? ?b x+b y=c , D.? x≥0, ? ?y≥0
1 1 2 2 1 2

答案 C 解析 比较选项可知 C 正确. 2. 如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界),若使目标函数 z=ax+y (a>0)取得最大值的最优解有无穷多个,则 a 的值为( )

A.

1 4

3 B. 5

C.4

5 D. 3

答案 解析

B

3 3 由 y=-ax+z 知当-a=kAC 时,最优解有无穷多个.∵kAC=- ,∴a= . 5 5 3.某公司有 60 万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求对项目甲的投资不小于对 2 项目乙投资的 倍, 且对每个项目的投资不能低于 5 万元, 对项目甲每投资 1 万元可获得 0.4 3 万元的利润,对项目乙每投资 1 万元可获得 0.6 万元的利润,该公司正确规划投资后,在这 两个项目上共可获得的最大利润为( ) A.36 万元 B.31.2 万元 C.30.4 万元 D.24 万元 答案 B 解析 设投资甲项目 x 万元,投资乙项目 y 万元,

? ?x≥2 y, 可获得利润为 z 万元,则? 3 x≥5, ? ?y≥5,
z=0.4x+0.6y.

x+y≤60,

由图象知, 目标函数 z=0.4x+0.6y 在 A 点取得最大值. ∴ymax=0.4×24+0.6×36=31.2(万元). 4.某加工厂用某原料由甲车间加工出 A 产品,由乙车间加工出 B 产品,甲车间加工一 箱原料需耗费工时 10 小时,可加工出 7 千克 A 产品,每千克 A 产品获利 40 元,乙车间加工 一箱原料耗费工时 6 小时,可加工出 4 千克 B 产品,每千克 B 产品获利 50 元.甲、乙两车 间每天共能完成至多 70 箱原料的加工, 每天甲、 乙两车间耗费工时总和不得超过 480 小时, 甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( ) A.甲车间加工原料 10 箱,乙车间加工原料 60 箱 B.甲车间加工原料 15 箱,乙车间加工原料 55 箱 C.甲车间加工原料 18 箱,乙车间加工原料 50 箱 D.甲车间加工原料 40 箱,乙车间加工原料 30 箱 答案 B

解析

设甲车间加工原料 x 箱,乙车间加工原料 y 箱,由题意可知

x+y≤70, ? ?10x+6y≤480, ?x≥0, ? ?y≥0.
甲、乙两车间每天总获利为 z=280x+200y. 画出可行域如图所示. 点 M(15,55)为直线 x+y=70 和直线 10x+6y=480 的交点,由图象知在点 M(15,55)处 z 取得最大值. 5.如图所示,目标函数 z=kx-y 的可行域为四边形 OABC,点 B(3,2)是目标函数的最 优解,则 k 的取值范围为( )

?2 ? A.? ,2? ?3 ?

? 5? B.?1, ? ? 3?

2? 4? ? ? C.?-2,- ? D.?-3,- ? 3 3? ? ? ? 答案 C 解析 y=kx-z.若 k>0,则目标函数的最优解是点 A(4,0)或点 C(0,4),不符合题意. ∴k<0,∵点(3,2)是目标函数的最优解. 2 ∴kAB≤k≤kBC,即-2≤k≤- . 3 二、填空题 6.某公司租赁甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品,甲种设备每天能生产 A 类产品 5 件和 B 类产品 10 件, 乙种设备每天能生产 A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件. 已知设备甲每天 的租赁费为 200 元,设备乙每天的租赁费为 300 元,现该公司至少要生产 A 类产品 50 件,B 类产品 140 件,所需租赁费最少为________元. 答案 2 300 5x+6y≥50, ? ?10x+20y≥140, 设需租赁甲种设备 x 台,乙种设备 y 台,则? x∈N , ? ?y∈N .
* *

解析

目标函数为 z=200x+300y. 作出其可行域,易知当 x=4,y=5 时,z=200x+300y 有最小值 2 300 元. 5x-11y≥-22, ? ? 7. 某公司招收男职员 x 名, 女职员 y 名, x 和 y 需满足约束条件?2x+3y≥9, ? ?2x≤11, 则

z=10x+10y 的最大值是________.
答案 解析 90

该不等式组表示平面区域如图阴影所示,由于 x,y∈N ,计算区域内与点?
*

?11,9?最近 ? ? 2 2?

的整点为(5,4),当 x=5,y=4 时,z 取得最大值为 90. 8.某工厂有甲、乙两种产品,按计划每天各生产不少于 15 吨,已知生产甲产品 1 吨需 煤 9 吨, 电力 4 千瓦, 劳动力 3 个(按工作日计算); 生产乙产品 1 吨需煤 4 吨, 电力 5 千瓦, 劳动力 10 个;甲产品每吨价 7 万元,乙产品每吨价 12 万元;但每天用煤量不得超过 300 吨, 电力不得超过 200 千瓦, 劳动力只有 300 个, 当每天生产甲产品________吨, 乙产品______ 吨时,既能保证完成生产任务,又能使工厂每天的利润最大. 答案 20 24 解析

设每天生产甲产品 x 吨,乙产品 y 吨,总利润为 S 万元, 依题意约束条件为:

? ?4x+5y≤200, x+10y≤300, ?3 x≥15, ? ?y≥15,
9x+4y≤300, 目标函数为 S=7x+12y. 从图中可以看出,当直线 S=7x+12y 经过点 A 时,直线的纵截距最大,所以 S 也取最 大值. ? ?4x+5y-200=0, 解方程组? ?3x+10y-300=0, ? 得 A(20,24),故当 x=20,y=24 时, Smax=7×20+12×24=428(万元). 三、解答题 9.医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐.甲种原料每 10 g 含 5 单位蛋白质 和 10 单位铁质,售价 3 元;乙种原料每 10 g 含 7 单位蛋白质和 4 单位铁质,售价 2 元.若 病人每餐至少需要 35 单位蛋白质和 40 单位铁质.试问:应如何使用甲、乙原料,才能既满 足营养,又使费用最省? 解 将已知数据列成下表: 原料/10 g 蛋白质/单位 铁质/单位 甲 5 10 乙 7 4 费用 3 2

5x+7y≥35, ? ? 设甲、乙两种原料分别用 10x g 和 10y g,总费用为 z,那么?10x+4y≥40, ? ?x≥0,y≥0, 目标函数为 z=3x+2y,作出可行域如图所示:

3 z 3 z 把 z=3x+2y 变形为 y=- x+ ,得到斜率为- ,在 y 轴上的截距为 ,随 z 变化的 2 2 2 2 一族平行直线. 3 z z 由图可知,当直线 y=- x+ 经过可行域上的点 A 时,截距 最小,即 z 最小. 2 2 2
? ?10x+4y=40, 由? ?5x+7y=35, ?

14 得 A( ,3), 5

14 ∴zmin=3× +2×3=14.4. 5 14 ∴甲种原料 ×10=28(g),乙种原料 3×10=30(g),费用最省. 5 3 2 10.某家具厂有方木料 90 m ,五合板 600 m ,准备加工成书桌和书橱出售.已知生产 3 2 3 2 每张书桌需要方木料 0.1 m ,五合板 2 m ,生产每个书橱需要方木料 0.2 m ,五合板 1 m , 出售一张方桌可获利润 80 元,出售一个书橱可获利润 120 元. (1)如果只安排生产书桌,可获利润多少? (2)如果只安排生产书橱,可获利润多少? (3)怎样安排生产可使所得利润最大? 解 由题意可画表格如下: 3 2 方木料(m ) 五合板(m ) 利润(元) 书桌(个) 0.1 2 80 书橱(个) 0.2 1 120 (1)设只生产书桌 x 个,可获得利润 z 元, 0.1x≤90 ? ? 则?2x≤600 ? ?z=80x ??
?x≤900 ? ? ?x≤300

? x≤300.

所以当 x=300 时,zmax=80×300=24 000(元), 即如果只安排生产书桌,最多可生产 300 张书桌,获得利润 24 000 元. (2)设只生产书橱 y 个,可获利润 z 元, 0.2y≤90 ? ? 则?1·y≤600 ? ?z=120y ??
? ?y≤450 ?y≤600 ?

? y≤450.

所以当 y=450 时,zmax=120×450=54 000(元),

即如果只安排生产书橱,最多可生产 450 个书橱,获得利润 54 000 元. 0.1x+0.2y≤90 ? ?2x+y≤600 (3)设生产书桌 x 张,书橱 y 个,利润总额为 z 元,则? x≥0 ? ?y≥0

?

x+2y≤900, ? ?2x+y≤600, ?x≥0, ? ?y≥0. z=80x+120y.
在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域,即可行域.

作直线 l:80x+120y=0,即直线 l:2x+3y=0. 把直线 l 向右上方平移至 l1 的位置时,直线经过可行域上的点 M,此时 z=80x+120y 取得最大值.
? ?x+2y=900, 由? 解得点 M 的坐标为(100,400). ?2x+y=600 ? 所以当 x=100,y=400 时, zmax=80×100+120×400=56 000(元). 因此,生产书桌 100 张、书橱 400 个, 可使所得利润最大. 能力提升

11.在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界),目标函数 z=x+ay 取 得最小值的最优解有无数个,则 a 的一个可能值为( ) A.-3 B.3 C.-1 D.1 答案 A 解析 当 a=0 时,z=x.仅在直线 x=z 过点 A(1,1)时, z 有最小值 1,与题意不符. 1 z 当 a>0 时,y=- x+ .

a

a

1 斜率 k=- <0,

a

仅在直线 z=x+ay 过点 A(1,1)时, 直线在 y 轴的截距最小,此时 z 也最小, 与目标函数取得最小值的最优解有无数个矛盾.

1 z 1 当 a<0 时,y=- x+ ,斜率 k=- >0,

a

a

a

1 1 1 为使目标函数 z 取得最小值的最优解有无数个,当且仅当斜率- =kAC.即- = ,∴a a a 3 =-3. 12.要将两种大小不同的钢板截成 A、B、C 三种规格,每张钢板可同时截得三种规格的 小钢板的块数如下表所示: 规模类型 A 规格 B 规格 C 规格 钢板类型 第一种钢板 2 1 1 第二种钢板 1 2 3 今需要 A、B、C 三种规格的成品分别至少为 15、18、27 块,问各截这两种钢板多少张 可得所需三种规格成品,且使所用钢板张数最少? 解 设需截第一种钢板 x 张,第二种钢板 y 张.

2x+y≥15 ? ?x+2y≥18 ?x+3y≥27 ? ?x≥0,y≥0

.

作出可行域(如图):(阴影部分) 目标函数为 z=x+y. 作出一组平行直线 x+y=t,其中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线,经过直 57 18 39 ?18 39? 线 x+3y=27 和直线 2x+y=15 的交点 A? , ?,直线方程为 x+y= .由于 和 都不 5 5 5 ?5 5? 18 39 ? ? 是整数,而最优解(x,y)中,x,y 必须都是整数,所以可行域内点? , ?不是最优解. ?5 5? 经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是 x+y=12,经过的整点是 B(3,9)和 C(4,8),它们都是最优解. 答 要截得所需三种规格的钢板, 且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种: 第一种 截法是截第一种钢板 3 张、第二种钢板 9 张;第二种截法是截第一种钢板 4 张、第二种钢板 8 张.两种方法都最少要截两种钢板共 12 张. 1.画图对解决线性规划问题至关重要,关键步骤基本上是在图上完成的,所以作图应 尽可能准确,图上操作尽可能规范. 2.在实际应用问题中,有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)而直接根据 约束条件得到的不一定是整数解, 可以运用枚举法验证求最优整数解, 或者运用平移直线求 最优整数解.最优整数解有时并非只有一个,应具体情况具体分析.


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