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2011年全国高中数学联赛湖北省预赛试题word版含参考答案


2011 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案
(高一年级)
说明:评阅试卷时,请依据本评分标准。填空题只设 8 分和 0 分两档;解答题的评阅,只要思路合理、 步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。 一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分。直接将答案写在横线上。 ) 1.计算:sin?10?+sin?20?+sin?30?+…+

sin?90?=? 5 . 2.设等差数列﹛an﹜的前 n 项和为 Sn,已知 S12=21,则 a3+a4+a9+a10=____7____. 3.已知 P 是△ABC 所在平面上一点,满足 PA﹙→﹚+PB﹙→﹚+2PC﹙→﹚=3AB﹙→﹚,则△ABP 与△ABC 的面积之比为 4. (1 ?

1: 2



1 1 1 )(1 ? ) ? (1 ? )= 1? 2 1? 2 ? 3 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 2011
2

671 2011

. 8 .

5.满足方程 x?+8xsin﹙xy﹚+16=0(x∈R,y∈[0,2π﹚)的实数对﹙x,y﹚的个数为

6.已知函数 f ( x) ? x ? 2 | x | ?2 的定义域为 [ a, b](其中 a ? b ) ,值域为 [2a, 2b] ,则符合条件的数 组 ( a, b) 为 ( , 2 ? 2) . 7.设集合 A ? {0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9} .如果方程 x ? mx ? n ? 0 ( m, n ? A )至少有一个根 x0 ? A ,
2

1 2

就称该方程为合格方程,则合格方程的个数为 8.已知关于 x 的方程 | x ? k |? 范围是

23



2 k x 在区间 [k ? 1, k ? 1] 上有两个不相等的实根,则实数 k 的取值 2

0 ? k ?1



二、解答题(本大题满分 56 分,第 9 题 16 分,第 10 题 20 分,第 11 题 20 分) 9.已知二次函数 y ? f ( x) ? x ? bx ? c 的图象过点(1,13) ,且函数 y ? f ( x ? ) 是偶函数.
2

1 2

(1)求 f ( x) 的解析式; (2)函数 y ? f ( x) 的图象上是否存在这样的点,其横坐标是正整数,纵坐标是一个完全平方数?如 果存在,求出这样的点的坐标;如果不存在,请说明理由. 解 (1) 因为函数 y ? f ( x ? ) 是偶函数, 所以二次函数 f ( x) ? x ? bx ? c 的对称轴方程为 x ? ?
2

故 b ? 1.
2

1 2

1 , 2

------------------------------------------4 分

又因为二次函数 f ( x) ? x ? bx ? c 的图象过点(1,13) ,所以 1 ? b ? c ? 13 ,故 c ? 11 . 因此, f ( x) 的解析式为 f ( x) ? x ? x ? 11 .
2

------------------------------------------8 分

1

( 2) 如果函数 y ? f ( x) 的图象上存在符合要求的点, 设为 P ( m, n ) , 其中 m 为正整数,n 为自然数,
2

则 m ? m ? 11 ? n ,从而 4n ? (2m ? 1) ? 43 ,即 [2n ? (2m ? 1)][2n ? (2m ? 1)] ? 43 .
2 2

2

2

------------------------------------------12 分 注意到 43 是质数, 且 2n ? (2m ? 1) ? 2n ? (2m ? 1) ,2n ? (2m ? 1) ? 0 , 所以有 ?

?2n ? (2m ? 1) ? 43, ?2n ? (2m ? 1) ? 1,

解得 ?

?m ? 10, ?n ? 11.

因此,函数 y ? f ( x) 的图象上存在符合要求的点,它的坐标为(10,121). ------------------------------------------16 分 10.已知 a,b∈R,关于 x 的方程 x^4+ax^3+2x?+bx+1=0 有一个实根,求 a?+b?的最小值. 解 设 r 为方程 x ? ax ? 2 x ? bx ? 1 ? 0 的实根,则有 r ? ar ? 2r ? br ? 1 ? 0 ,即
4 3 2 4 3 2

(r 2 ? 1) 2 ? r (ar 2 ? b) ? 0 .
显然 r ? 0 . 容易证明 ( ar ? b) ? ( a ? b )( r ? 1) ,于是
2 2 2 2 4

------------------------------------------5 分

a 2 ? b2 ?

(ar 2 ? b) 2 (r 2 ? 1) 2 2 1 (r 2 ? 1) 4 (r 4 ? 2r 2 ? 1) 2 ? [ ? ] ? ? ? r4 ?1 r r 4 ? 1 r 2 (r 4 ? 1) r 2 (r 4 ? 1)

?

(r 4 ? 1) 2 ? 4r 2 (r 4 ? 1) ? 4r 4 r 4 ? 1 4r 2 r 4 ? 1 4r 2 ? ? ? 4 ? 2 ? ? 4 ? 8. r 2 (r 4 ? 1) r2 r4 ?1 r2 r4 ?1
------------------------------------------15 分

r 4 ? 1 4r 2 a 2 2 ? 4 当且仅当 且 ? r 时等号成立,此时 r ? 1 , a ? b . 2 r r ?1 b
结合 ( r ? 1) ? r ( ar ? b) ? 0 可求得 ?
2 2 2

?a ? b ? ?2, ?a ? b ? 2, 或? ?r ? 1, ?r ? ?1.
------------------------------------------20 分

因此 a ? b 的最小值为 8.
2 2

2 an 1 * * 11.已知数列 {an } 满足 a1 ? , an ?1 ? an ? 2 ( n ? N ) .证明:对一切 n ? N ,有 3 n

(1) an ? an ?1 ? 1 ;

(2) an ?

1 1 ? . 2 4n

2

2 an * 解 (1)显然, an ? 0 ,所以 an ?1 ? an ? 2 ? an ( n ? N ). n

所以,对一切 k ? N , ak ?1 ? ak ?
*

ak2 1 1 1 1 ? 2 . --------------------5 分 ? ak ? 2 ak ak ?1 ,所以 ? 2 ak ak ?1 k k k

所以,当 n ? 2 时,
n ?1 n ?1 1 1 n ?1 1 1 1 n ?1 1 1 1 1 ? ? ?( ? ) ? ? ? 2 ? 3 ? [1 ? ? ] ? 3 ? [1 ? ? ( ? )] an a1 k ?1 ak ak ?1 a1 k ?1 k k k ? 2 k ( k ? 1) k ?2 k ? 1

? 3 ? [1 ? 1 ?
所以 an ? 1 . 又 a1 ?

1 n ]? ? 1, n ?1 n ?1

1 ? 1 ,故对一切 n ? N * ,有 an ? 1 . 3
*

因此,对一切 n ? N ,有 an ? an ?1 ? 1 . (2)显然 a1 ?

------------------------------------------10 分

1 1 1 1 ? ? ? . 3 4 2 4

ak2 ak k2 ak ?1 ,所以 由 an ? 1 ,知 ak ?1 ? ak ? 2 ? ak ? 2 ,所以 ak ? 2 k k k ?1 ak ?1 ? ak ? ak2 1 k2 1 ? a ? a ? ak ?1 ? ak ? 2 ak ak ?1 , k 2 2 k 2 k k k ?1 k ?1
------------------------------------------15 分

所以

1 1 1 ? ? 2 , ak ak ?1 k ? 1
*

所以,当 n ? N 且 n ? 2 时,
n ?1 n ?1 1 1 n ?1 1 1 1 n ?1 1 1 1 1 ? ? ?( ? ) ? ?? 2 ? 3? ? ? 3? ?( ? ) an a1 k ?1 ak ak ?1 a1 k ?1 k ? 1 k ?1 k ?1 k ( k ? 1) k ?1 k

1 2n ? 1 ? 3 ? (1 ? ) ? , n n
所以 an ?

n 1 1 1 1 ? ? ? ? . 2n ? 1 2 2(2n ? 1) 2 4n

------------------------------------------20 分

3


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