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2016导数(1)


2016 届导数综合讲义

2015 年 6 月 15 日

2016 届高三数学一轮复习之导数讲义

答案请联系张老师 QQ:137907522

第一讲
1.设 f ' ( x0 ) 存在,求下列各极限: (1) lim
?x ?0

导数的概念及

运算
f ( x0 ? h) ? f ( x0 ) h

f ( x0 ? 3?x) ? f ( x0 ) ?x

(2) lim
h ?0

2.若 lim

?x ?0

f ( x0 ? 2?x) ? f ( x0 ) ? 1 ,则 f ' ( x0 ) ? _______ . 3?x

3.设 f ( x) 在 x0 处可导,则 lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ? 3?x) ? ________ . ?x

4.求下列函数的导数: (1) y ? x (3) y ?
5 5

(2) y ? (4) y ? 10

1 x4
x

x3

(5) y ? log 2 x

(6) y ? sin x

x 4 x3 x 2 (7) y ? ? ? ?x 4 3 2
(9) y ? ( 2 x ? 1) ? e

(8) y ? ln x ?

1 x

x

(10) y ?

cos x ex

(11) y ? x ?
4

1 x

(12) y ? x ln x

(13) y ?

x ex

(14) y ? e ? sin x
x

第 1 页

2016 届高三数学一轮复习之导数讲义 (15) y ? x( x ?
2

答案请联系张老师 QQ:137907522 (16) y ? x cos x
2

1 1 ? ) x x2

(17) y ? e

3x?2

(18) y ? log 2 ( 2 x ? 1)

(19) y ? sin( 2 x ?

?
3

)

(20) y ?

1 1? x
2 2? x

(21) y ? 2

2 x ?1

? ln(3 x ? 5)

(22) y ? ( x ? 2 x ? 1) ? e

x ,定义 f1 ( x ) ? f ?( x ), f 2 ( x ) ? ? f1 ( x ) ?? ,? , f n ?1 ( x ) ? ? f n ( x ) ?? , n ? N .经 ex 1? x x?2 3? x 计算 f1 ( x ) ? x , f 2 ( x) ? x , f 3 ( x ) ? x , …,照此规律,则 f n ( x) ? . e e e
5.已知 f ( x ) ? 6 . 已 知 f1 ? x ? ? sin x ? cos x , f n ?1 ? x ? 是 f n ? x ? 的 导 函 数 , 即 f 2 ? x ? ? f1? ? x ? ,

f3 ? x ? ? f 2? ? x ? , ? ? ? , f n ?1 ? x ? ? f n? ? x ? , n ? N * ,则 f 2015 ? x ? ? (
A. sin x ? cos x C. sin x ? cos x



B. ? sin x ? cos x D. ? sin x ? cos x .

7.已知 f ( x ) ? ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3)( x ? 4)( x ? 5) 则 f ?(1) ?

8 .函数 f1 ( x) ? cos x ? sin x ,记 f 2 ( x) ? f1 ( x) , f 3 ( x) ? f 2 ( x) , … f n ( x) ? f n ?1 ( x) ,
'

'

'

( n? N,n ? 2 ) ,则 f1 (

?
12

) ? f2 (

?
12

) ? ? ? ? ? f 2015 (

?
12

) ? ______ .

9.已知函数 f ( x) 的导函数为 f ' ( x) ,且 f ( x) ? 2 xf ' (1) ? ln x ,则 f ' (1) ?



10.若 f ( x ) ? x 2 ? 2 x ? 4 ln x ,则 f ' ( x ) ? 0 的解集为 ( A. ( 0 , ?? ) B. ( ?1,0) ? ( 2,??)

) D. ( ?1,0)

C. ( 2,??)

11.若 f ( x ) ? ax 4 ? bx 2 ? c 满足 f ?(1) ? 2 ,则 f ?( ?1) ? ( A. ? 4 B. ?2

) C. 2 D. 4

第 2 页

2016 届高三数学一轮复习之导数讲义 12.设 f ( x ) ? x ln x ,若 f ?( x0 ) ? 2 ,则 x0 ? ( A. e 2 B. e

答案请联系张老师 QQ:137907522 ) C.
ln 2 2

D. ln 2

13.已知函数 f ( x ) 在 R 上可导,且 f ( x ) ? x 2 ? 2 x ? f ?( 2) ,则函数 f ( x ) 的解析式为( A. f ( x ) ? x 2 ? 8 x B. f ( x ) ? x 2 ? 8 x C. f ( x ) ? x 2 ? 2 x

)

D. f ( x ) ? x 2 ? 2 x

14.若函数 f ( x ) 在 R 上可导,且 f ( x ) ? x 2 ? 2 f ?( 2) ? x ? m , ( m ? R ) ,则有( A. f (0) ? f (5) B. f (0) ? f (5) C. f (0) ? f (5)

) D.无法确定

15.已知函数 f ? x ? ? x 2 ? f ??2 ??ln x ? x ? ,则 f ' (1) ? ( A.1 B. 2 C. 3

) D. 4

16.设 f ( x) ? A. ?? 2,2?

sin ? 3 3 cos? 2 ? 5? ? x ? x ? tan ? ,其中 ? ? ?0, ? ,则 f ?(1) 的取值范围是( 3 2 ? 12 ?

)

B. [ 2 , 3 ]

C. [ 3 ,2]

D . [ 2 , 2]

sin x 1 ? 17.曲线 y ? sin x ? cos x ? 2 在点 M ( ,0) 处的切线的斜率为( 4

) D. 2 2

A. ?

1 2

B. 1 2

C. ? 2 2

18.若 f ( x) ? sin x ? cos 5 ,则该函数在点 (5, f (5)) 处切线的斜率等于( A.sin 5 ? cos 5 B.cos 5 C.sin 5

) D.sin 5 ? cos 5

19.已知曲线 y ? x 4 ? ax 2 ? 1 在点 ( ?1, a ? 2) 处切线的斜率为 8 ,则 a ? ( A. 9 B. 6 C. ?9

) D. ? 6

第 3 页

2016 届高三数学一轮复习之导数讲义
x

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20.曲线 y ? xe ? 2 x ? 1 在点(0,1)处的切线方程为 21.曲线 y ? A. y ? 2 x ? 1
x 在点 ( ?1,?1) 处的切线方程为( x?2



) C. y ? ?2 x ? 3 D. y ? ?2 x ? 2

B. y ? 2 x ? 1

22.曲线 y ? ln x ? x 在点(1,1)处的切线方程为



23.曲线 y ?

e2 ex 在点 ( 2, ) 处的切线方程为 2 x



24.曲线 y ? x ? sin x 在点 ? 0, 0 ? 处的切线方程是



25.曲线 f ( x) ?

f ?(1) x 1 e ? f (0) x ? x 2 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为_______________. e 2
2

26.已知直线 y ? ? x ? m 是曲线 y ? x ? 3 ln x 的一条切线,则 m 的值为( A.1 B.0 C. 2

) D. 3

27.函数 y ? ln x( x ? 0) 的图象与直线 y ? A. 2 ln 2

1 x ? a 相切,则 a 等于( 2
C. ln 2

) D. ln 2 ? 1

B. ln 2 ? 1

28.如图 y ? f ( x) 是可导函数,直线 l : y ? kx ? 2 是曲线 y ? f ( x) 在 x ? 3 处的切线,令

g ( x) ? xf ( x) , g ' ( x) 是 g ( x) 的导函数,则 g ' (3) ? (



A.-1

B.0

C.2

D.4

第 4 页

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29.如图所示,函数 y ? f ( x ) 的图象在点 P 处的切线方程是 y ? ? x ? 8 ,则 f (5) ? f ' (5) = ( )

y

y ? ?x ? 8

O

5

x

A.2

B.12

C. 8

D. 4

30. 已知函数 f ( x ) 的图像如图所示, f '( x)是f ( x) 的导函数, 则下列数值排序正确的 (



A. 0 ? f '(2) ? f '(3) ? f (3) ? f (2) B. 0 ? f '(3) ? f (3) ? f (2) ? f '(2) C. 0 ? f '(3) ? f '(2) ? f (3) ? f (2) D. 0 ? f (3) ? f (2) ? f '(2) ? f '(3)

31 . 设 曲 线 y ? x

n ?1

(n ? N * ) 在 点 ?1,1? 处 的 切 线 与 x 轴 的 交 点 的 横 坐 标 为 x n , 则


log 2015 x1 ? log 2015 x2 ? ? ? log 2015 x2014 的值为

32.已知函数 f ( x ) ?

2 9 x ( x 2 ? 3ax ? ) (a ? R ) ,若函数 f ( x ) 的图像在点 P(1, m )处 3 2
) C.-

的切线方程为 3 x ? y ? b ? 0 ,则 m 的值为( A.

1 3

B.

1 2

1 3

D.-

1 2

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2

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33. 已知函数 f ( x) ? 2 ln x ? x ? ax , 若曲线 y ? f ( x) 存在与直线 2 x ? y ? 0 平行的切线, 则实数 a 的取值范围是( A. (??, ?2] ) B. (??, ?2) C. (?2, ??) D. [?2, ??)

34.曲线 y ? ln(2 x ? 1) 上的点到直线 2 x ? y ? 8 ? 0 的最短距离是( A. 5 B. 2 5 C. 3 5

) D.0

35.设点 P 在曲线上 y ? ln x 上,点 Q 在曲线 y ? 1 ? ( x ? 0 )上,点 R 在直线 y ? x 上, 则 | PR | ? | RQ | 的最小值为( )

1 x

A.

2 (e ? 1) 2

B. 2(e ? 1)

C.

2 2

D. 2

36.已知函数 f ( x) ? x ? 3x ,过点 P (1, ?2) 的直线 l 与曲线 y ? f ( x) 相切,求 l 的方程.
3

37.已知曲线 y ?

1 3 4 x ? ,求曲线过点 P (2,4) 的切线方程. 3 3

38 .已知函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 5 x ? 4 ,则经过点 A (2 ,- 2) 的曲线 f ( x) 的切线方程
3 2





39. 若曲线 y ? ( )

1 2 则实数 a ? x 与曲线 y ? a ln x 在它们的公共点 P ? s, t ? 处具有公共切线, 2e
B.

A. ?2

1 2

C. 1

D. 2

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2 3

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40 . 已知 函 数 f ( x) ? ax ? 1 , g ( x) ? x ? bx , 其中 a, b ? 0 , 若 曲线 y ? f ( x) 与 曲线

y ? g ( x) 在它们的交点 P (2, c) 处有相同的切线( P 为切点),求实数 a, b 的值.

41 . 已 知 函 数 f ( x) ? x ? x ? 1, g ( x) ? ax ? x ? b ( x ? R ) , 其 中 a, b ? R , 若 曲 线
4 2 3 2

y ? f ( x ) 与 y ? g ( x ) 在点 (1,1) 处相交且有相同的切线,求 a, b 的值.

42.设函数 y ? x ? 2 x ? 2 的图像为 C1 ,函数 y ? ? x ? ax ? b 的图像为 C2 ,已知过 C1 与
2 2

C2 的一个交点的两切线互相垂直.
(1)求 a, b 之间的关系; (2)若 a ? 0, b ? 0 ,求 ab 的最大值.

43.设函数 f ( x) ? x ? ax ? b ln x ,曲线 y ? f ( x ) 过点 P(1,0) ,且在 P 点处的切线的
2

斜率为 2,求 a , b 的值.

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2016 届高三数学一轮复习之导数讲义 44.设函数 f ? x ? ? a ln x ?

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1? a 2 x ? bx , a ? R 且 a ? 1 .曲线 y ? f ? x ? 在点 ?1, f ?1? ? 处 2

的切线的斜率为 0.求 b 的值.

45 .已知函数 f ( x) ?

m ln x ? n ( m, n 为常数, e ? 2.71828 … 是自然对数的底数) ,曲线 ex 2 y ? f ( x) 在点 (1 ,f (1)) 处的切线方程是 y ? ,求 m, n 的值. e

be x ?1 46 . 设 函 数 f ( x) ? ae ln x ? , 曲 线 y ? f ( x ) 在 点 (1, f (1)) 处 的 切 线 方 程 为 x
x

y ? e( x ? 1) ? 2. 求 a, b .

47 . 已 知 函 数 f ( x) ?

a ln x b ? , 曲 线 y ? f ( x) 在 点 (1, f (1)) 处 的 切 线 方 程 为 x ?1 x

x ? 2 y ? 3 ? 0 ,求 a, b .

48. 已知函数 f ( x) ?

1 2 ax ? (2a ? 1) x ? 2 ln x (a ? R ) ,若曲线 y ? f ( x ) 在 x ? 1 和 x ? 3 处 2

的切线互相平行,求 a 的值.

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第二讲

导数的应用


1.已知二次函数的图象如右图所示,则其导函数 f ?( x ) 的图象大致形是(

2.如果函数 f ( x) 的图象如右图,那么导函数 y ? f ' ( x) 的图象可能是(



3.设 f '( x ) 是函数 f ( x ) 的导数, y ? f '( x ) 的图像如图所示,则 y ? f ( x ) 的图像最有可能 的是( )

y
1 0 2

y ? f '( x )

x

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4.函数 f ( x ) 的导函数 f ?( x ) 的图像如图所示,那么 f ( x ) 的图像最有可能的是(

A

B

C

D

5.函数 f ( x ) 的定义域为开区间 ( a, b) ,其导函数 f '( x ) 在 ( a, b) 内的图象如图所示,则函 数 f ( x ) 在开区间 ( a , b ) 内极小值点的个数为( )

A.1 个

B.2 个
'

C.3 个
'

D.4 个

6.设函数 f ( x ) 在 R 上可导,其导函数为 f ( x) ,且函数 y ? (1 ? x) f ( x) 的图象如图所示, 则下列结论中一定成立的是( )

A.函数 f ( x ) 有极大值 f ( 2) 和极小值 f (1) B.函数 f ( x ) 有极大值 f (-2) 和极小值 f (1) C.函数 f ( x ) 有极大值 f ( 2) 和极小值 f ( ?2) D.函数 f ( x ) 有极大值 f ( ?2) 和极小值 f ( 2)

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2016 届高三数学一轮复习之导数讲义 7.已知函数 y ?

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f ?( x) 的图像如图所示(其中 f ?( x ) 是定义域为 R 函数 f ( x ) 的导函数) , x


则以下说法错误的是(

A. f ?(1) ? f ?( ?1) ? 0 C.方程 xf '( x ) ? 0 与 f ( x ) ? 0 均有三个实数根

B.当 x ? ?1 时,函数 f ( x ) 取得极大值 D.当 x ? 1 时,函数 f ( x ) 取得极小值

8.如图,某飞行器在 4 千米高空水平飞行,从距着陆点 A 的水平距离 10 千米处下降,已 知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分,则函数的解析式为( )

1 3 3 x ? x 125 5 3 3 C. y ? x ?x 125
A. y ? 9.函数 y ? x 的单调递增区间是(
3

B. y ?

2 3 4 x ? x 125 5 3 3 1 D. y ? ? x ? x 125 5

) C. ( ??, ?? ) D. ( ??, 0) ?(0, ?? )

A. ( ??, 0)

B. (0, ?? )

10.函数 f ( x) ? x ? 3 x ? 1 的单调递减区间为(
3 2

) C. ( ??, 0) D. (0, 2)

A. (2, ?? )

B. ( ??, 2)

11.函数 y ? x ln x 的单调递减区间是( A.( e ?1 ,+∞) B. (-∞, e ?1 )

) C. ( 0, e ? 1 ) D. (e,+∞)

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2016 届高三数学一轮复习之导数讲义 12.函数 f ? x ? ? 2 x ? ln x 的递增区间是(
2

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A. (0,

1 ) 2
3

B. (0, ), ( , ?? )

1 2

1 2

C. ( , ?? )

1 2

D. ( ??, ), (0, )

1 2

1 2

13.函数 y ? 2 x ? 12 x 在区间 [ ?1, 3] 上的最大值和最小值分别为( A. 18, ?8 2 B. 54, ?12 C. 8 2, ?8 2

) D. 10, ?8 2

14.函数 y ? 2 x3 ? 3x 2 ? 12 x ? 5 在[0,3]上的最大值和最小值分别是( A.5,-15
3 2

) D.5,15

B.5,-14

C.5,-16

15.函数 y ? 2 x ? 3 x (



A.在 x ? 0 处取得极大值 0,但无极小值 B.在 x ? 1 处取得极小值 ? 1 ,但无极大值 C.在 x ? 0 处取得极大值 0,在 x ? 1 处取得极小值 ? 1 D.以上都不对 16.设函数 f ( x) ? A. x ?

2 ? ln x ,则( x

) B. x ?

1 为f ( x)的极大值点 2

1 为f ( x)的极小值点 2

C. x ? 2为f ( x)的极大值点

D. x ? 2为f ( x)的极小值点

17.函数 f ( x) ? e ? x(e为自然对数的底数) 在区间[-1,1]上的最大值是(
x

)

A.1+

1 e
2

B.1

C.e+1

D.e-1

18.点 P 是曲线 x ? y ? 2 ln ( A. )

x 上任意一点,则点 P 到直线 4 x ? 4 y ? 1 ? 0 的最短距离是

2 (1-ln 2) 2

B.

2 (1+ln 2) 2

C.

2 ?1 ? ? ? ln 2 ? 2 ?2 ?

D. (1+ln 2)

1 2

19.函数 f ( x) ? 2 x ? 3 x ? a 的极大值为 6 ,那么 a 的值是(
3 2

) D. 1

A. 5

B. 0
第 12 页

C. 6

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2

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20.定义在 R 上的可导函数 f ( x) ? x ? 2 xf ' ( 2) ? 15 ,在闭区间[0,m]上有最大值 15,最小 值 ? 1 ,则 m 的取值范围是( ) A. m ? 2 B. 2 ? m ? 4
3 2

C. m ? 4

D. 4 ? m ? 8

21. 已知 f ( x) ? x ? ax ? ( a ? 6) x ? 1 既有极大值又有极小值, 则 a 的取值范围为 ( A.a ? ?1或a ? 2
3



B.? 3 ? a ? 6

C. ? 1 ? a ? 2

D.a ? ?3或a ? 6

22.若函数 f ( x) ? x ? 3bx ? 3b 在(0,1)内有极小值,则 A. b ? 1 B.0< b <1 C. b ? 0

(

) D. b ?

1 2

23.若函数 f ( x) ? x ? 3 x 在 ( a,6 ? a ) 上有最小值,则实数 a 的取值范围是(
3 2

)

A.(- 5 ,1)

B.[- 5 ,1)

C.[-2,1)

D.(-2,1)

24.已知函数 y ? x ? 3 x ? c 的图像与 x 轴恰有两个公共点,则 c ? (
3

) D.-3 或 1

A.-2 或 2

B.-9 或 3
3

C.-1 或 1

25.直线 y ? a 与函数 y ? x ? 3 x 的图像有三个相异的交点,则 a 的取值范围为( A. ( ?2,2) B. [ ?2,2] C. [ 2,?? ) D. ( ?? ,?2]



26. 已知函数 f ( x) ? 2 ln x ? x ? ax , 若曲线 y ? f ( x) 存在与直线 2 x ? y ? 0 平行的切线,
2

则实数 a 的取值范围是( ) A. (??, ?2] B. (??, ?2)

C. (?2, ??)

D. [?2, ??)

27.设 a ? R ,若函数 y ? x ? a ln x 在区间 ( , e) 有极值点,则 a 取值范围为( A. ( , e ) C. ( ?? ,

1 e



1 e

B. ( ? e , ? ) D. ( ?? , ? e) U ( ?

1 e

1 ) U (e , ? ? ) e
3 2

1 , ? ?) e

28.已知函数 f ( x) ? ax ? 3 x ? 1 ,若 f ( x ) 存在唯一的零点 x0 ,且 x0 ? 0 ,则 a 的取值范 围是( ) B. ?1, ?? ?
第 13 页

A. ? 2, ?? ?

C. ? ??, ?2 ?

D. ? ??, ?1?

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3 2

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29.方程 x ? 6 x ? 9 x ? 4 ? 0 的实根的个数为( A.0
3

) C. 2 D.3

B.1

30.已知函数 f ( x ) ? x ? 12 x ? a ,其中 a ? 16 ,则 f ( x ) 零点的个数是 ( A.0 个或 1 个 B.1 个或 2 个 C.2 个

) D. 3 个

31.若函数
2

f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? bx ? c 有极值点 x1 , x2 ,且 f ( x1 ) ? x1 ,若关于 x 的方
) C.5 D. 6

程 3 ? f ( x ) ? ? 2af ( x ) ? b ? 0 的不同实数根的个数是( A.3 B. 4

32.若函数 f ( x ) ? sin x ? kx 存在极值,则实数 k 的取值范围是( A. ? ?1, 1? B. [0,1) C.(1, ?? )

) D.( ??, ?1)

33.设函数 f ? x ? ? 的取值范围是

3 sin

?x
m

,若存在 f ? x ? 的极值点 x0 满足 x0 ? ? ? f ? x0 ? ? ? ? m ,则 m
2 2 2



34.设函数 f ( x) ? x ? 2ex ? mx ? ln x ,记 g ( x ) ?
3 2

f ( x) ,若函数 g ( x ) 至少存在一个零 x

点,则实数 m 的取值范围是( A. ? ??, e 2 ? ? e

) B. ? 0, e 2 ? ? e

? ?

1? ?

? ?

1? ? 1? ?

C. ? e 2 ?

? ?

1 ? , ?? ? e ?

D. ? ? e 2 ? , e 2 ? ? e e

? ?

1

35 . 在 ?ABC 中 , a, b, c 分 别 为 ?A, ?B , ?C 所 对 的 边 , 若 函 数

f ( x) ?
A. (0,

?

1 3 x ? bx 2 ? (a 2 ? c 2 ? ac ) x ? 1 有极值点,则 ?B 的范围是( 3 )
B. (0,

) D. (

?

3

3

]

C.[

?

3

,? ]

?
3

,? )

第 14 页

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36 . 定 义 : 如 果 函 数 f ( x ) 在 ?a, b? 上 存 在 x1 , x 2 (a ? x1 ? x 2 ? b), 满 足

f (b) ? f (a ) f (b) ? f (a ) , 则 称 函 数 f ( x ) 是 ?a, b? 上 的 “ 双 中 值 函 , f ?( x 2 ) ? b?a b?a 1 数”. 已知函数 f ( x ) ? x 3 ? x 2 ? a 是 [0, a ] 上“双中值函数”, 则实数 a 的取值范围是 ( ) 3 3 3 3 3 A. (1,3) B. ( ,3) C. (1, ) D. (1, ) ? ( ,3) 2 2 2 2 f ?( x1 ) ?

37. 设函数 f ( x) ? e (sin x ? cos x) (0 ? x ? 2015? ) , 则函数 f ( x) 的各极大值之和为 (
x



A.

e 2? (1 ? e 2015? ) 1 ? e 2?

B.

e 2? (1 ? e 2015? ) 1 ? e?

C.

1 ? e2015? 1 ? e 2?

D.

e? (1 ? e2016? ) 1 ? e 2?

38.已知函数 f ? x ? ? x ? 2 x ? 1 ? a ln x 有两个极值点 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ,则(
2



1 ? 2 ln 2 4 1 ? 2 ln 2 C. f ? x2 ? ? 4
A. f ? x2 ? ? ?

B. f ? x2 ? ?

1 ? 2 ln 2 4 1 ? 2 ln 2 D. f ? x2 ? ? 4

39.(2015 新课标 1 理)设函数 f ( x) ? e ( 2 x ? 1) ? ax ? a ,其中 a ? 1 ,若存在唯一的整数
x

x0 ,使得 f ( x0 ) ? 0 ,则 a 的取值范围是(
A.[ ?

) C.[

3 ,1) 2e

B.[ ?

3 3 , ) 2e 4

3 3 , ) 2e 4

D. [

3 ,1) 2e

40.设函数 f ? x ? ? x ? 3ax ? 3bx 有两个极值点 x1、x2 ,且 x1 ? ? ?1, 0? , x2 ? ?1, 2? ,则
3 2

点 ? a, b ? 在 aOb 平面上所构成区域的面积为( A.

) C.

1 4

B.

1 2

3 4

D. 1

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41 . 已 知 函 数 f ( x) ?

1 3 mx 2 ? (m ? n) x ? 1 的 两 个 极 值 点 分 别 为 x1 , x2 , 且 x ? 3 2

x1 ? (0,1), x2? ?1, ?? ? ,点 P(m,n)表示的平面区域为 D,若函数 y ? log a ( x ? 4), (a ? 1)
的图像上存在区域 D 内的点,则实数 a 的取值范围是( A. ?1,3? B. ?1,3? ) D. ?3, ?? ? C. ? 3, ?? ?

42. 已知函数 f ? x ? ?

1 3 x ? ax 2 ? 2bx ? c 有两个极值点 x1 , x2,且 ? 1 ? x1 ? 1 ? x2 ? 2 ,则 3
) D.? ??, ?

直线 bx ? ? a ? 1? y ? 3 ? 0 的斜率的取值范围是( A.? ?

? 2 2? , ? ? 5 3?

B.? ?

? 2 3? , ? ? 5 2?

C.? ?

? 2 1? , ? ? 5 2?

? ?

2? ?2 ? ? ? ? , ?? ? 5? ?3 ?

43 . 已 知 实 数 a, b, c, d 满 足

a ? 2e a 1 ? c ? ?1 其 中 e 是 自 然 对 数 的 底 数 , 则 b d ?1
) C. 12 D. 18

(a ? c) 2 ? (b ? d ) 2 的最小值为(
A. 4 B. 8

44 . 已知 函数 f ? x ? ? x ? bx ? cx ? d (bc, d 均为 常数 ) ,当 x ? (0,1) 时取 极大 值, 当
3 2

1 x ? (1, 2) 时取极小值,则 (b ? ) 2 ? (c ? 3) 2 的取值范围是( 2
A. (

) D. ? 5, 25 ?

37 ,5) 2

B.

?

5,5

?

C. (

37 , 25) 4

45.设函数 f ( x ) 在 R 上存在导数 f ?( x ) , ?x ? R ,有 f ( ? x) ? f ( x) ? x ,在 (0,?? ) 上
2

f ?( x ) ? x ,若 f ( 4 ? m) ? f ( m) ? 8 ? 4m ,则实数 m 的取值范围为(
A. [ ?2,2] B. [ 2,?? ) C. [0,?? )



D. ( ??, ?2] ? [2, ?? )

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46. (2015 全国新课标 2 理)设函数 f '( x ) 是奇函数 f ( x )( x ? R ) 的导函数, f ( ?1) ? 0 , 当 x ? 0 时, xf '( x ) ? f ( x ) ? 0 ,则使得 f ( x) ? 0 成立的 x 的取值范围是( A. ? ??, ?1? ? ? 0,1? C. ? ??, ?1? ? ? ?1, 0 ? B. ? ?1, 0 ? ? ?1, ?? ? D. ? 0,1? ? ?1, ?? ? )

47. (2015 全国新课标 2 文) 设函数 f ( x ) ? ln(1? | x |) ? 立的 x 的取值范围是( A. ( ,1) C. ( ? , ) )

1 , 则使得 f ( x ) ? f ( 2 x ? 1) 成 1? x2 1 3

1 3

B. ( ??, ) U (1,?? ) D. ( ??,? ) U ( ,?? )

1 1 3 3

1 3

1 3

48 . 已 知 函 数 f ( x) 的 导 函 数 f ' ( x) 的 图 象 如 图 所 示 , f ( ?1) ? f ( 2) ? 3 , 令

g ( x) ? ( x ? 1) f ( x) ,则不等式 g ( x) ? 3 x ? 3 的解集是(



A. [ ?1,1] ? [2, ?? ) C. ( ??,1] ? [2, ?? )

B. ( ??,1] ? [1, 2] D.[-1,2]

49. 若定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ) ? f ' ( x ) ? 1 ,f (0) ? 4 , 则不等式 f ( x) ? 为自然对数的底数)的解集为( A. (0,?? ) ) C. ( ??, 0) ? (0, ?? )

3 ?1 ( e ex

B. ( ??, 0) ? (3, ?? )

D. (3, ?? )

50.己知定义在 R 上的可导函数 f ( x ) 的导函数为 f ?( x ) ,满足 f ?( x ) ? f ( x ) ,且 f ( x ? 2) 为偶函数, f (4) ? 1 ,则不等式 f ( x ) ? e 的解集为(
x

) D. (4, ?? )

A. ( ?2, ?? )

B. (0, ?? )

C. (1, ?? )

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51 . 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x ) 是 奇 函 数 , 且 f (2) ? 0 , 当 x ? 0 时 , 有

xf ' ( x) ? f ( x) ? 0 ,则不等式 x 2 ? f ( x) ? 0 的解集是( 2 x
A. ( ?2,0) ? (2, ?? ) C. ( ?2,0) ? (0, 2)



B. ( ??, ?2) ? (0, 2) D. ( ?2, 2) ? (2, ?? )

52 .设奇函数 f ( x ) 是定义在 ( ?? , 0) ? (0, ? ) 上,其导函数为 f ( x ) ,且 f ( ) ? 0 ,当
'

?

0 ? x ? ? 时, f ' ( x) sin x ? f ( x) cos x ? 0 ,则关于 x 的不等式 f ( x) ? 2 f ( ) sin x 的解集 6
为________.

?

2

53.已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f (2) ? 1 ,且 f ( x ) 的导函数 f ?( x ) ? x ? 1 ,则不等 式 f ( x) ?

1 2 x ? x ? 1 的解集为( 2



A. x ? 2 ? x ? 2

?

?

B. x x ? 2

?

?

C. x x ? 2

?

?

D. {x | x ? ?2 或 x ? 2}

54 . 设 函 数 f ( x ) 是 定 义 在 ( ?? ,0) 上 的 可 导 函 数 , 其 导 函 数 为 f ?( x ) , 且 有

3 f ( x ) ? xf ?( x ) ? 0 ,则不等式 ( x ? 2015) 3 f ( x ? 2015) ? 27 f (?3) ? 0 的解集(
A. ( ?2018,?2015) B. ( ??,?2016) C. ( ?2016,?2015)



D. ( ??,?2012)

55 . 定 义 在 R 上 的 函 数

y ? f ? x ? , 满 足 f ? 2 ? x ? ? f ? x ? , ? x ? 1? f ' ? x ? ? 0 , 若


f ? 3a ? 1? ? f ? 3? ,则实数 a 的取值范围是(

A. ? ??, ? ?

? ?

2? 3?

B. ? , ?? ?

?2 ?3

? ?

C. ? ? , ?

? 2 2? ? 3 3?

D. ? ??, ? ? ? ? , ?? ?

? ?

2? ?2 3? ?3

? ?

56.对于 R 上可导的任意函数 f ? x ? ,若满足 ? x ? 1? f A. f ?0 ? ? f ?2 ? ? 2 f ?1? C. f ?0 ? ? f ?2 ? ? 2 f ?1?
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/

?x ? ? 0 ,则必有(



B. f ?0? ? f ?2? ? 2 f ?1? D. f ?0? ? f ?2 ? ? 2 f ?1?

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57.已知函数 f ( x ) ? x ln x ,且 0 ? x1 ? x2 ,给出下列命题: ①

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 ;② f ( x1 ) ? x2 ? f ( x2 ) ? x1 ;③ x2 f ( x1 ) ? x1 f ( x2 ) ; x1 ? x2

④当 ln x1 ? ?1 时, x1 f ( x1 ) ? x2 f ( x2 ) ? 2 x2 f ( x1 ) . 其中所有正确命题的序号为 .

58. 函数 f ? x ? 在定义域 R 上的导函数是 f ? ? x ? , 若 f ? x? ? f ?2 ? x? , 且当 x ? ? ??,1? 时,

? x ? 1? f ? ? x ? ? 0 ,设 a ? f ? 0 ? 、 b ?
A. a ? b ? c B. a ? b ? c

f

? 2 ? 、 c ? f ? log 8? ,则(
2

) D. a ? c ? b

C. c ? a ? b

59.函数 f ( x ) 定义在 (0,?? ) 上的非负可导函数,且满足 xf ?( x ) ? f ( x ) ? 0 ,对任意正数 a , b , 若 a ? b ,则必有( A. af (b) ? bf ( a ) ) B.bf ( a ) ? af (b) C.bf ( a ) ? af (b) D.bf ( a ) ? af (b)

60 .若定义在 R 上的函数 f(x) 的导函数为 f ?( x ) ,且满足 f ?( x ) ? f ( x ) ,则 f (2011) 与

f (2009)e 2 的大小关系为(
A. f (2011) ? f (2009)e C. f (2011) ? f (2009)e
2

) B. f (2011) = f (2009)e D.不能确定
2

2

π 61.定义在 (0, ) 上的函数 f ( x) , f ?( x) 是它的导函数,且恒有 f ( x) ? f ?( x) ? tan x 成立,则 2




π 2f( ) 3 π B. f (1) < 2 f ( )sin1 6 π π D. 3 f ( ) < f ( ) 6 3

π A. 3 f ( ) > 4

π π C. 2 f ( ) > f ( ) 6 4

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/

62.已知 f ? x ? 为定义在(- ?,?? )上的可导函数, f ? x ? ? f 为自然对数的底数,则( A. e C. e
2013

?x ? 对于 x ∈R 恒成立,且 e

) B. e D. e
2013

f ?2014? < e 2014 f ?2013? f ?2014? > e 2014 f ?2013?

f ?2014? = e 2014 f ?2013? f ?2014? 与 e 2014 f ?2013? 大小不确定

2013

2013

63.设 f ( x ) ? ln x ,若 0 ? c ? b ? a ? 1 ,则

f (a) ? a f (b) ? C. b
A.

f (b) ? b f (a) ? a

f (c ) c f (c ) c

f (a) f (b) , , a b f (c ) ? B. c f (a) ? D. a

f (c ) 的大小关系为( c f (b) f (a) ? b a f (c) f (b) ? c b



64 . 已 知 定 义 域 为 R 的 奇 函 数 y ? f ( x ) 的 导 函 数 为 y ? f ?( x ) , 当 x ? 0 时 ,

f ?( x ) ?

f ( x) 1 1 1 1 ? 0 ,若 a ? f ( ) , b ? ?2 f (?2) , c ? (ln ) f (ln ) ,则 a, b, c 的大小 x 2 2 2 2
) B. b ? c ? a C. a ? b ? c D. c ? a ? b

关系正确的是( A. a ? c ? b

65.已知函数 f ? x ? ? x ? cos x, x ? R ,则(
2

) B. f ?1? ? f ?

A. f ?

?? ? ? ?? ? ? f ?1? ? f ? ? ? ?3? ? 4?

?? ? ? ?? ? ? f ?? ? ?3? ? 4?

C. f ? ?

? ?? ?? ? ? ? f ?1? ? f ? ? ? 4? ?3?

D. f ?

?? ? ? ?? ? ? f ? ? ? ? f ?1? ?3? ? 4?

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第三讲

用导数研究单调性与最值

题型一:利用导数研究单调性 1 3 1.求 f ( x) ? x ? x 的单调区间. 3

3 2 2.已知函数 f ( x) ? ax ? x ? bx ( a, b ? R ) ,曲线 y ? f ( x ) 在点 (3, f (3)) 处的切线方程

为 y ? ?9 ,求 f ( x) 的单调递减区间..

3.已知函数 f ( x) ? x ln x ? ( x ? 1) ,判断函数 f ( x) 的单调性.

4.设 f ? x ? ? x ln x, g ? x ? ? x ? 1 .令 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ,求 h ? x ? 的单调区间.
2

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2016 届高三数学一轮复习之导数讲义 5.已知 f ( x) ?

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1 ? ln x ,求函数 y ? f ? x ? 的单调区间. x

6.已知函数 f ( x) ? 的单调区间.

2 ln x ? 2 ( m, n 为常数, e ? 2.71828 …是自然对数的底数) ,求 f ( x) ex

7.已知函数 f ( x) ? x 3 ? x ? x ,判断

f ( x) 的单调性. x

8. (2015 重庆文)已知函数 f ( x) ? ax ? x ( a ? R ) 在 x ? ?
3 2

4 处取得极值. 3

(1)确定 a 的值; (2)若 g ( x) ? f ( x)e ,讨论 g ( x) 的单调性.
x

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题型二:利用导数求函数的最值与极值 1 3 1.求 f ? x ? ? x ? 4 x ? 4 的极值. 3

2.已知函数 f ( x ) ?

1 3 1 2 x ? x ? 1 , x ? R .求函数 f ( x ) 的极大值和极小值. 3 2

3.已知函数 f ( x ) ? x ?

1 ? 1 .求函数 f ( x ) 的极小值. ex

4.已知函数 f ( x) ? ln x ?

1 ,求函数 f ( x ) 的极小值. 2x

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2016 届高三数学一轮复习之导数讲义 5.已知函数 f ( x ) ? 线垂直于 y ?

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x a 3 ? ? ln x ? ,其中 a ? R ,且曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切 4 x 2

1 x. 2

(1)求 a 的值; (2)求函数 f ( x ) 的单调区间与极值.

6.已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? 5 x ? 6 ln x ,求函数 f ? x ? 的极值点. 2

7.已知函数 f ( x) ? e ? a ln x, a ? R ,若 x ? 1 是 f ( x) 的极值点,求 a 的值.
x

8.设 f ( x) ? x ?
3

x2 ? 2 x ? 5 .求函数 f ( x ) 在区间 [ ?1, 2] 上的最大值和最小值. 2

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3 2

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9.已知 f ( x) ? ax ? bx ? cx( a ? 0) 在 x ? ?1 时取得极值,且 f (1) ? ?1 . (1)试求常数 a, b, c 的值; (2)试判断 x ? ?1 是函数的极小值还是极大值,并说明理由.

10.设函数 f ( x) ? ax ? bx( a ? 0) 的图象在点 M (1, f (1)) 处的切线方程为 6 x ? y ? 4 ? 0 .
3

(1)求 a , b 的值; (2)求函数 f ? x ? 的单调递增区间,并求函数 f ? x ? 在 ? ?1,3? 上的最大值和最小值.

11.已知函数 f ( x) ? x e

2 ?2 ax

(a ? 0) .
?4

(1)已知函数 f ( x) 的曲线在 x ? 1 处的切线方程为 y ? ?2e x ? b ,求实数 a , b 的值; (2)求函数在[1,2]上的最大值.

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2016 届高三数学一轮复习之导数讲义 12.设函数 f ( x ) ? ln x , g ( x ) ?

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x ,记 F ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) . x ?1

(1)求曲线 y ? f ( x ) 在 x ? e 处的切线方程; (2)求函数 F ( x ) 在 [ , e 2 ] 上的最值.

1 e

13.设函数 f ( x ) ? ln x , g ( x) ? x ? 3 x ,记 F ( x ) ? f ( x ) ? g ( x )
2

(1)求曲线 y ? f ( x ) 在 x ? e 处的切线方程; (2)求函数 F ( x ) 在 [ ,2] 上的最值.

1 2

题型三:含参单调区间
1. 设函数 f ( x ) ? ln x ? ax ( a ? R )( e ? 2.71828 是自然对数的底数) , 判断 f ( x ) 的单调性.

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2.已知函数 f ( x ) ? a1nx ? ax ? 3( a ? 0) ,讨论函数 f ( x ) 的单调性.

3.设函数 f ( x) ? ax ? ( a ? 1) ln( x ? 1), ( a ? ?1) ,求函数 f ( x) 的单调区间.

4.求函数 f ( x) ? ln x ? ax ?

1 2 x 的单调区间. 2

5.已知 f ( x) ? e ? ax ? 1 ,求 f ( x) 的单调增区间.
x

6.已知函数 f ( x) ?

1 2x e ? ax(a ? R ) ;讨论函数 f ( x) 的单调性. 2

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kx

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7.设函数 f ( x) ? xe ( k ? 0) ,求函数 f ( x) 的单调区间.

8.已知函数 f ? x ? ? x ? ax ? a ,求函数 f ( x) 的单调增区间.
3 2

9.设函数 f ( x ) ?

1 3 1 x ? (1 ? a ) x 2 ? ax ,其中 a ? 1 ,求 f ( x ) 在的单调区间. 3 2

10. 已知 x ? 1 是函数 f ( x) ? mx ? 3( m ? 1) x ? nx ? 1 的一个极值点, 其中 m, n ? R, m ? 0 .
3 2

(1) m 与 n 的关系式; (2)求 f ( x ) 的单调区间.

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11. 设 x ? 3 是函数 f ? x ? ? ? x 2 ? ax ? b ? e3? x , ? x ? R ? 的一个极值点. 求 a 与 b 的关系式 (用 a 表 示b ) ,并求 f ? x ? 的单调区间.

12.设函数 f ( x) ? a ln x ? x ? ax( a ? 0) ,求 f ( x ) 的单调区间.
2 2

13.已知函数 f ? x ? ? 性.

1 2 x ? 2a ln x ? ? a ? 2 ? x, a ? R .当 a ? 0 时,讨论函数 f ? x ? 的单调 2

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2

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14.已知函数 f ( x ) ? ax ? bx ? ln x , a, b ? R ,若 a ? 0 且 b ? 2 ? a ,试讨论 f ( x ) 的单调 性.

15.已知 f ( x ) ? ?

1 2 ax ? x ? ln(1 ? x ) ,其中 a ? 0 ,求 f ( x ) 的单调区间. 2

16.已知函数 f ? x ? ? ln ?1 ? x ? ? x ?

k 2 x ?k ? 0 ? .求 f ( x) 的单调区间. 2

17.已知函数 f ( x) ? x ?

2a 2 ? a ln x(a ? R ) ,讨论函数 y ? f ( x ) 的单调区间. x

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18.已知函数 f ? x ? ?

2ax ? a 2 ? 1 ,其中 a ? R ,求 f ? x ? 的单调区间. x2 ? 1

19. 已知函数 f ( x ) ? ln x ? x ? ln a ,g ( x ) ? 单调递增区间.

1 2 求函数 h( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) 的 x ? ( a ? 1) x ; 2

20. 已知函数 f ( x) ? (ax ? x ? 1)e , 其中 e 是自然对数的底数,a ? R . 若a ? 0, 求 f ( x)
2 x

的单调区间.

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2016 届高三数学一轮复习之导数讲义 21.已知函数 f ( x ) ? ln x ? ax ?

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1? a 1 ? 1(a ? R ) 当 a ? 时,讨论 f ( x ) 的单调性. x 2

22.已知函数 f ? x ? ? ln x ? ax ? x ? a ? R ? .
2

(1)若函数 f ? x ? 在 x ? 1 处的切线平行于 x 轴,求实数 a 的值,并求此时函数 f ? x ? 的极 值; (2)求函数 f ? x ? 的单调区间.

23.设 f ( x) ? ae ( x ? 1), g ( x) ? x ? bx ? 2 已知 f ( x) 和 g ( x) 在 x ? 0 处有相同的切线.
x 2

(1)求 f ( x), g ( x) 的解析式; (2)求 f ( x) 在 [t , t ? 1](t ? ?3) 上的最小值.

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24.已知函数 f ( x) ? ln x ? mx( m ? R ) ,求函数 f ( x) 在区间 [1, e] 上的最大值.

25.已知函数 f ( x) ?

ln x ?1. x

(1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)设 m ? 0 ,求 f ( x ) 在区间 [ m,2m] 上的最大值.

26.己知函数 f ( x ) ?

a ( x ? 1) ,其中 a ? 0 x2

(1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)若直线 x ? y ? 1 ? 0 曲线 y ? f ( x) 的切线,求实数 a 的值; (3)设 g ( x) ? x ln x ? x f ( x) ,求 g ( x) 在区间 ?1, e ? 上的最大值(其中 e 为自然对数的底
2

数)

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x 2

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27.设函数 f ( x) ? e , g ( x) ? f ( x) ? ax ? bx ? 1 ,其中 e 为自然对数的底数. (1)已知 x1 , x2 ? R ,求证:

1 x ?x ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? f ( 1 2 ) ; 2 2

(2)函数 h( x ) 是 g ( x ) 的导函数,求函数 h( x ) 在区间 [0,1] 上的最小值.

28 .设 x ? m 和 x ? n 是函数 f ( x ) ? ln x ?

a?R .

1 2 x ? ( a ? 2) x 的两个极值点,其中 m ? n , 2

(1)若曲线 y ? f ( x ) 在点 P (1, f (1)) 处的切线垂直于 y 轴,求实数 a 的值; (2)求 f ( m ) ? f ( n) 的取值范围; (3)若 a ?

e?

1 . ? 2 ,求 f ( n) ? f ( m) 的最大值( e 是自然对数的底数) e

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2016 届高三数学一轮复习之导数讲义 29.已知函数 f ( x ) ? ln x ?

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a . x

(1)若 a ? 0, 求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)若 f ( x ) 在 [1, e] 上的最小值为

3 ,求 a 的值. 2

a?x ,其中 a 为常数,且 a ? 0 . x 1 (1)若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 y ? x ? 1 垂直,求 a 的值; 2 1 (2)若函数 f ( x) 在区间 [1,2] 上的最小值为 ,求 a 的值. 2
30.已知函数 f ( x) ? ln x ?

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31. (2015 安徽文)已知函数 f ( x) ?

ax (a ? 0, r ? 0) . ( x ? r)2

(1)求 f ( x) 的定义域,并讨论 f ( x) 的单调性; (2)若

a ? 400 ,求 f ( x) 在 (0,??) 内的极值. r

32.设函数 f ? x ? ? ? x ? 1? e ? kx (其中 k ? R ).
x 2

(1)当 k ? 1 时,求函数 f ? x ? 的单调区间; (2)当 k ? ?

?1 ? ,1? 时,求函数 f ? x ? 在 ? 0, k ? 上的最大值 M . ?2 ?

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2016 届高三数学一轮复习之导数讲义 33.设函数 f ( x) ? x ? kx ? x ? k ? R ? .
3 2

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(1)当 k ? 1 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)当 k ? 0 时,求函数 f ( x ) 在 ? k , ?k ? 上的最小值 m 和最大值 M .

ex ? e a , x ? ? 0,1? , a ? R x (1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (2)当 a ? (0,1) 时,求函数 f ( x) 的最大值的表达式 M (a) .
34.已知函数 f ( x) ? 2 e x ? e a ?

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2016 届高三数学一轮复习之导数讲义 35.已知函数 y ? f ( x ) ?

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ln x . x 1 处的切线方程; e

(1)求函数 y ? f ( x ) 的图像在 x ? (2)求 y ? f ( x ) 的最大值;

(3)设实数 a ? 0 ,求函数 F ( x ) ? af ( x ) 在 ?a,2a ?上的最小值.

36.设函数 f ( x) ?

(1 ? a ) x 2 ? ax ? a ex

(1)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)当 x ? 0 时, f ( x) 的最大值为 a ,求 a 的取值范围.

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2

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37.已知函数 f ( x) ? 1n ( x ? 1) ? ax ? x ( a ? R) . (1)当 a ?

1 时,求函数 y ? f ( x ) 的单调区间; 4

(2)若对任意实数 b ? (1, 2) ,当 x ? ( ?1, b] 时,函数 f ( x ) 的最大值为 f (b) ,求 a 的取值 范围.

38. (2015 安徽理)设函数 f ( x ) ? x ? ax ? b .
2

(1)讨论函数 f (sin x )在(2

? ?

, )内的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值; 2 2

(2)记 f 0 ( x ) ? x ? a0 x ? b0 , 求函数 f (sin x ) ? f 0 (sin x ) 在 (-

? ?

, )上的最大值 D; 2 2

a2 (3)在(2)中,取 a0 ? b0 ? 0 ,求 z ? b ? 满足 D ? 1 时的最大值. 4

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题型四:函数单调性与导数的关系
1.已知函数 f ( x) ? 2e ? mx (其中 e ? 2.71828 )在区间[﹣1,0]上单调递减,则实数 m
x

的取值范围为



2.函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? ax 在(1,2)上单调递增,则实数 a 的取值范围是_________.

3.设 f ( x) ? 4 x3 ? mx 2 ? (m ? 3) x ? n ( m ,n ? R )是 R 上的单调增函数,则 m 的值为



4.若 f ( x) ? ? x2 ? b ln( x ? 2)在(-1,+?)上是减函数,则 b 的最大值是

1 2



3 2 5 .已知曲线 y ? ? a ? 3? x3 ? ln x 存在垂直于 y 轴的切线,且函数 f ( x) ? x ? ax ? 3x ? 1 在

?1, 2? 上单调递减,则 a 的范围为
2



6 . 已 知 函 数 f ( x) ? ( ax ? x) ? x ln x 在 [1, ?? ) 上 单 调 递 增 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 .

7.设 f ( x) ? ? 值范围为( A. a ? ?
1 9

1 3 1 2 2 x ? x ? 2ax ,若 f ( x) 在 ( ,??) 上存在单调递增区间,则实数 a 的取 3 2 3
B. a ? ?

)

1 9

C. a ?

1 9

D.不存在

1 8 .设 f ( x) ? ln x ? ax 2 ? 2 x(a ? 0) ,若 f ( x) 存在单调递减区间,则实数 a 的取值范围为 2

________.

2 x 9.若函数 f ? x ? ? x ? e ? ax 在 R 上存在单调递增区间,则实数 a 的取值范围是



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10. 设 f '( x ) 和 g '( x ) 分别是 f ( x ) 和 g ( x ) 的导函数, 若 f '( x ) g '( x ) ? 0 在区间 I 上恒成立, 则称 f ( x ) 和 g ( x ) 在区间 I 上单调性相反,若函数 f ( x ) ?

1 3 x ? 2ax 与 g ( x) ? x 2 ? 2bx 在 3


开区间 ( a, b) 上单调性相反 ( a ? 0) ,则 b ? a 的最大值为( A.

1 2

B.1

C.

3 2

D.2

11.若 f ? x ? ?

1 3 单调函数,则 a 的范围是 x ? ax 2 ? x 在 ? ??, ?? ? 不是 .. 3



12.已知函数 f ( x ) ? ? A. (0,1) ? (2, 3)

1 2 x ? 4 x ? 3ln x 在 [t , t ? 1] 上不单调,则 t 的取值范围是( 2
B. (0, 2) C. (0, 3)



D. (0,1] ? [2,3)

13.若函数 f ( x) ? 2 x ? ln x 在其定义域内的一个子区间 ( k ? 1, k ? 1) 内不是单调函数,则
2

实数 k 的取值范围是( A.[1,+∞)

) B.[1,

3 ) 2

C.[1,2)

D. [

3 ,2) 2

14.若函数 f ( x) ? x 2 ? ln x ? 1 在其定义域内的一个子区间 (a ? 1, a ? 1) 内存在极值,则实 数 a 的取值范围 .

1 2

15. 已知 f ( x) ? ax ? cos x ,x ? [ 则实数 a 的取值范围为

? ?

, ] ,若 ?x1 , x2 ? [ , ], x1 ? x2 , 4 3 4 3


? ?

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?0 x2 ? x1

16.设函数 f ( x) ? ln x ? 的取值范围.

m f (b) ? f (a ) , m ? R .若对任意 b ? a ? 0 , ? 1 恒成立,求 m x b?a

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17.已知 f ( x) ? a ln x ? 则 a 的取值范围是

1 2 f ( x2 ) ? f ( x1 ) x ,若对于 ?x1 , x2 ? (0,??), x1 ? x2 都有 ? 4, 2 x2 ? x1


18.已知函数 f ? x ? ? a ln ? x ? 1? ? x 2 ,在区间 ? 0, 2 ? 内任取两个实数 p , q ,且 不等式

p ? q ,若

f ? p ? 1? ? f ? q ? 1? ? 1 恒成立,则实数 a 的取值范围为 p?q



19.已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? 2a ln x ? (a ? 2) x, a ? R .是否存在实数 a ,对任意的 2 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? a ,恒成立,若存在求出 a 的取值范围,若 x2 ? x1

?x1 , x2 ? (0,??), x1 ? x2 ,有
不存在,说明理由.

20 . 已 知 函 数 f ( x) ? ax ? ( a ? 2) x ? ln x , 若 对 任 意 x1 , x2 ? (0,??), x1 ? x2 , 且
2

f ( x1 ) ? 2 x1 ? f ( x2 ) ? 2 x2 恒成立,求 a 的取值范围.

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2016 届高三数学一轮复习之导数讲义 21 . 已知 函 数 f ( x) ? ln x ?

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1 2 ax ? (a ? 1) x(a ? R ) , 若 对 ?x1 , x2 ? (0,??), x1 ? x2 , 且 2

f ( x1 ) ? x1 ? f ( x2 ) ? x2 恒成立,求实数 a 的取值范围.

a ? x ln x , g ( x) ? x 3 ? x 2 ? 3 x f ( x) (1)讨论函数 h( x) ? 的单调性 x
22.设函数 f ( x ) ? (2) 如果存在 x1 , x2 ? [0, 2] , 使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? M 成立, 求满足上述条件的最大整数 M (3)如果对任意的 s, t ? [ , 2] ,都有 f ( s ) ? g (t ) 成立,求实数 a 的取值范围.

1 2

23.已知函数 f ( x) ? ( a ? 1) ln x ? ax ? 1 ,设 a ? ?1 ;如果对任意 x1 , x2 ? (0,??) ,
2

| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 4 | x1 ? x2 | ,求 a 的取值范围.

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24 . 已 知 函 数

f ( x) ?

1 ? ln x 2 . 如 果 对 任 意 的 x1 , x2 ? [e ,??) , 有 x

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? k

1 1 ,求实数 k 的取值范围. ? x1 x 2

25 . 设 函 数 f ( x ) ? x 2 ?

2 , 其 导 函 数 为 f ?( x ) , 当 a ? 4 时 , ? a ln x ( a ? R ) x

?x1 , x2 ? (0,??), x1 ? x2 ,求证: f ?( x1 ) ? f ?( x2 ) ? x1 ? x2 .

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第四讲
3 2

用导数研究零点问题

1.已知函数 f ( x) ? x ? 3x ? 9 x ? m(m ? R) . (1)求 f ( x) 的极值(用含 m 的式子表示); (2)若 f ( x) 的图象与 x 轴有 3 个不同交点,求 m 的取值范围.

2.设函数 f ( x) ? x ? ax ? ax ? m(a ? 0) ,若 a ? 1 时函数 f ( x) 有三个互不相同的零点, 求实数 m 的取值范围.

3

2

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2016 届高三数学一轮复习之导数讲义 3.已知函数 f ( x) ? x ? 3 x .
3

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(1)讨论 f ( x ) 的单调区间; (2)若函数 g ( x ) ? f ( x ) ? m 在[ ?
x

3 ,3]上有三个零点,求实数 m 的取值范围; 2
2

( 3 ) 设 函 数 h( x) ? e ? ex ? 4n ? 2n ( e 为 自 然 对 数 的 底 数 ) ,如果对任意的

1 x1 , x 2 ? [ ,2] ,都有 f ( x1 ) ? h( x 2 ) 恒成立,求实数 n 的取值范围. 2

4.已知函数 f ? x ? ?

1 3 x ? x 2 ? ax ? a (a ? R ) 3

(1)当 a ? ?3 时,求函数 f ? x ? 的极值; (2)若函数 f ? x ? 的图象与 x 轴有且只有一个交点,求 a 的取值范围.

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5 . 已 知 函 数 f ? x ? ? x ? a ln x , 在 x ? 1 处 的 切 线 与 直 线 x ? 2y ? 0 垂 直 , 函 数

1 g ? x ? ? f ? x ? ? x2 ? bx 2 (1)求实数 a 的值; ;
(2)设 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 是函数 g ? x ? 的两个极值点,若 b ?

7 ,求 g ? x1 ? ? g ? x2 ? 的最小值. 2

6.已知函数 f ( x) ? x ? ax , a ? R .
3 2

(1)若 a ? 1 ,过点 (1, 0) 作曲线 y ? f ( x ) 的切线 l ,求 l 的方程; (2)若曲线 y ? f ( x ) 与直线 y ? x ? 1 只有一个交点,求实数 a 的取值范围.

7.设函数

f ( x ) ? ln x ?

m ,m? R . x

(1)当 m ? e ( e 为自然对数的底数)时,求 (2)讨论函数 g ( x ) ?

f ( x) 的最小值;

x f '( x ) ? 零点的个数. 3

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2016 届高三数学一轮复习之导数讲义 8.已知 f ( x ) ?

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1 ? ln x . x

(1)求函数 y ? f ? x ? 的单调区间; (2)若关于 x 的方程 f ( x) ? x ? 2 x ? k 有实数解,求实数 k 的取值范围.
2

9.已知 a ? R ,函数 f ( x ) ?

1 2 ax ? ln x . 2

(1)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x ) 在点 (1,f (1)) 处的切线的斜率; (2)讨论 f ( x ) 的单调性; (3)是否存在实数 a ,使得方程 f ( x ) ? 2 有两个不等的实数根?若存在,求出 a 的取值范 围;若不存在,说明理由.

10.已知函数 f ( x) ? a1nx ? bx 图象上点 p (1, f (1)) 处的切线方程为 2 x ? y ? 3 ? 0 .
2

(1)求函数 y ? f ( x ) 的解析式及单调区间; (2)若函数 g ( x) ? f ( x) ? m ? 1n4 在 [ , 2] 上恰有两个零点,求实数 m 的取值范围.

1 e

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2016 届高三数学一轮复习之导数讲义 11.已知函数 f ( x ) ?

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1 2 ax ? 2 x ? ln x ,其中 a ? 0 . 2

(1)若函数 f ( x ) 在其定义域内单调递减,求实数 a 的取值范围; (2)若 a ? ?

1 1 ,且关于 x 的方程 f ( x) ? x ? b 在 [1, 4] 上恰有两个不相等的实数根,求 2 2

实数 b 的取值范围.

12.已知函数 f ( x ) ? x ? x ? ln( x ? a ) ? 3b 在 x ? 0 处取得极值 0 .
2

(1)求实数 a , b 的值; (2)若关于 x 的方程 f ( x ) ? 取值范围.

5 2? 上恰有两个不同的实数根,求实数 m 的 x ? m 在区间 ?0, 2

13.已知函数 f ( x) ? 2ln x ? x 2 ? ax ( a ? R ) . (1)当 a ? 2 时,求 f ( x) 的图象在 x ? 1 处的切线方程;
1 (2)若函数 g ( x) ? f ( x) ? ax ? m 在 [ , e] 上有两个零点,求实数 m 的取值范围. e

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2

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14.已知函数 f ( x) ? a ln x ? x ( a 为实常数) . (1)当 a ? ?4 时,求函数 f ( x ) 在 ?1, e? 上的最大值及相应的 x 值; (2)当 x ? ?1, e? 时,讨论方程 f ? x ? ? 0 根的个数.

15. (2015 新课标 1 文)设函数 f ? x ? ? e

2x

? a ln x .

(1)讨论 f ? x ? 的导函数 f ? ? x ? 的零点的个数; (2)证明:当 a ? 0 时 f ? x ? ? 2a ? a ln

2 . a

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2016 届高三数学一轮复习之导数讲义 16.已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? (1)求 a , b 的关系式;

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b 1 (a, b ? R ) ,且对任意 x ? 0 ,都有 f ( x) ? f ( ) ? 0 . x x

(2)若 f ( x ) 存在两个极值点 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ,求出 a 的取值范围并证明 f ( (3)在(2)的条件下,判断 y ? f ( x ) 零点的个数,并说明理由.

a2 ) ?0; 2

17. (2015 新课标 1 理)已知函数 f ( x) ? x ? ax ?
3

1 , g ( x) ? ? ln x . 4

(1)当 a 为何值时, x 轴为曲线 y ? f ( x ) 的切线; (2)用 min{m, n} 表示 m, n 中的最小值,设函数 h( x) ? min f ( x), g ( x) 论 h( x) 零点的个数.

?

? ( x ? 0)

,讨

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2016 届高三数学一轮复习之导数讲义 18.已知函数 f ( x ) ? (1)求 a 的值; (2)求函数 f ( x ) 的单调区间;

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3 ? x ? a ln x ,且 x ? 3 是函数 f ( x ) 的一个极值点. x

(3)设 g ( x ) ? f ( x ) ? m ,当函数 y ? g ( x ) 在区间 (0,5] 上零点的个数为 0 个,3 个时,实 数 m 的取值范围分别为多少?(参考数据: ln 5 ? 1.61 , ln 3 ? 1.10 )

19. (2015 北京文)设函数 f ( x) ? (1)求 f ? x ? 的单调区间和极值;

x2 ? k ln x, k ? 0 . 2

(2)证明:若 f ? x ? 存在零点,则 f ? x ? 在区间 1, e 上仅有一个零点.

?

?

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2 x

20. (2015 广东理)设 a ? 1 ,函数 f ( x) ? (1 ? x )e ? a (1)求 f ( x) 的单调区间; (2)证明 f ( x) 在(??, ??)上仅有一个零点; (3)若曲线 y ? f ( x) 在点 P 处的切线与 x 轴平行,且在点 M ( m, n) 处的切线与直线 OP 平 行, (O 是坐标原点) ,证明: m ? 3 a ?

2 ?1 . e

21.已知函数 f ? x ? ?

2 ? a ln x ? 2?a ? 0 ? . x

(1)若对于 ?x ? ?0,?? ? 都有 f ? x ? ? 2?a ? 1? 成立,试求 a 的取值范围; (2)记 g ?x ? ? f ?x ? ? x ? b?b ? R ? ,当 a ? 1 时,函数 g ?x ? 在区间 e , e 上有两个零点,
?1

?

?

求实数 b 的取值范围.

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2016 届高三数学一轮复习之导数讲义 22. f ( x) ? ( ax ? x ? 1)e
2 x

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(1)当 a ? 0 时,求 f ( x ) 的单调区间; (2)若 a ? ?1 , f ( x ) 的图象与 g ( x ) ?

1 3 1 2 x ? x ? m 的图象有 3 个不同的交点,求实数 3 2

m 的范围.

23.已知函数 f ( x) ? ( x ? 6 x ? 3 x ? t )e ( t ? R , e 为自然对数的底数)
3 2 x

(1)若函数 y ? f ( x) 有三个极值点,求 t 的取值范围; (2)若存在实数 t ? [0,2] ,使对任意的 x ? [1, m] ,不等式 f ( x) ? x 恒成立,求正整数 m 的最 大值.

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24.已知函数 f ( x) ? ln( x ? a) ? x 2 ? x 在 x ? 0 处取得极值. (1)求实数 a 的值; (2)若关于 x 的方程 f ( x) ? ? x ? b 在区间 [0, 2] 上恰有两个不同的实数根,求实数 b 的取值 范围; (3)证明:对任意的正整数 n ,不等式 2 ?

5 2

3 4 n ?1 ? ? … ? 2 ? ln(n ? 1) 都成立. 4 9 n

25.已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? 1 在 x ? 3 处的切线方程为 y ? 5 x ? 8 .
2

(1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)若关于 x 的方程 f ( x) ? ke 恰有两个不同的实根,求实数 k 的值.
x

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2016 届高三数学一轮复习之导数讲义 26. 设函数 f ( x ) ?

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ab ln x 1 ,g ( x ) ? ? x ? ( a ? b)(其中 e 为自然对数的底数,a, b ? R 且 x 2

,曲线 y ? f ( x ) 在点 a ? 0) (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? ae( x ? 1) . (1)求 b 的值; (2)若对任意 x ? [ , ?? ) , f ( x ) 与 g ( x ) 有且只有两个交点,求 a 的取值范围.

1 e

27.己知函数 f ( x) ? 1n( ax ? 1) ? x ? x ? ax .
3 2

(1)若 x ?

2 为 f ( x) 的极值点,求实数 a 的值; 3

(2)若 y ? f ( x) 在 [1,??) 上为增函数, 求实数 a 的取值范围; (3)若 a ? ?1 时,方程 f (1 ? x ) ? (1 ? x )3 ?

b 有实根,求实数 b 的取值范围. x

ex 2 28.设函数 f ( x) ? 2 ? k ( ? ln x) ( k 为常数, e ? 2.71828... 是自然对数的底数) . x x
(1)当 k ? 0 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (2)若函数 f ( x) 在(0,2)内存在两个极值点,求 k 的取值范围.

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2016 届高三数学一轮复习之导数讲义 29.已知函数 f ( x ) ?

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x ? ax, x ? 1 . ln x

(1)若 f ( x ) 在 ?1, ?? ? 上单调递减,求实数 a 的取值范围; (2)若 a ? 2 ,求函数 f ( x ) 的极小值; (3)若存在实数 a 使 f ( x ) 在区间 (e , e )(n ? N , 且 n ? 1) 上有两个不同的极值点,求 n 的
n 1 n ?

最小值.

30.已知函数 f ( x) ? ln( x ? a ) ?

2 , g ( x) ? ln x . x

(1)已知 f ? x ? 在 ? e, ?? ? 上是单调函数,求 a 的取值范围; (2)已知 m, n, ? 满足 n ? ? ? m ? 0 ,且 g ' ?? ? ?

g ? n? ? g ? m? n?m

,试比较 ? 与 mn 的大小;

(3)已知 a ? 2 ,是否存在正数 k ,使得关于 x 的方程 f ? x ? ? kg ? x ? 在 ? e, ?? ? 上有两个不相 等的实数根?如果存在,求 k 满足的条件;如果不存在,说明理由.

31.已知函数 f ( x) ? e (sin x ? cos x) ? a , g ( x) ? ( a ? a ? 10)e ( a ? R 且 a 为常数) .
x 2 x

(1)若曲线 y ? f ( x ) 在 (0, f (0)) 处的切线过点 (1, 2) ,求实数 a 的值; (2)若存在实数 x 1 , x 2? [0, ? ] ,使得 g ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 13 ? e 2 成立,求实数 a 的取值范 围;
?

b(1 ? e2 ) g ( x) 1 ? ? 1 ? lnx (b ? 1) 在 (0, ??) 上的零点个数,并说 (3)判断函数 ? ( x) ? 2 2 (a ? a ? 10)e x x
明理由.

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32. (2015 山东文) 设函数 f ( x) ? ( x ? a ) ln x, g ( x) ? 处的切线与直线 2 x ? y ? 0 平行. (1)求 a 的值;

x2 , 已知曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) ex

(2)是否存在自然数 k ,使的方程 f ( x) ? g ( x) 在 ( k , k ? 1) 内存在唯一的根?如果存在, 求出 k ;如果不存在,请说明理由; (3) 设函数 m( x) ? min{ f ( x), g ( x)}(min ? p, q? 表示 p, q 中的较小值) , 求 m( x) 的最大值.

33.设函数 f ( x) ? ( x ? 1) ? a ln x, a ? R .
2

(1)若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 垂直,求 a 的值; (2)求函数 f ( x) 的单调区间; (3)若函数 f ( x) 有两个极值点 x1 , x2 且 x1 ? x2 ,求证: f ( x2 ) ?

1 1 ? ln 2 . 4 2

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2016 届高三数学一轮复习之导数讲义 34.已知函数 f ( x ) ?

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1 3 1 (其中 m 为常数) x ? ( m ? 3) x 2 ? (m ? 6) x , x ? R . 3 2

(1)当 m ? 4 时,求函数的极值点和极值; (2)若函数 y ? f ( x ) 在区间 (0, ?? ) 上有两个极值点,求实数 m 的取值范围.

35.已知函数 f ? x ? ? x ? x ?
3

x

(1)判断

f ? x? 的单调性; x

(2)求函数 y ? f ? x ? 的零点的个数;

ax 2 ? ax 1 ? ln x ,若函数 y ? g ? x ? 在 (0, ) 内有极值,求实数 a 的取值范 (3)令 g ( x) ? e f ( x) ? x
围.

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2016 届高三数学一轮复习之导数讲义

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36.已知常数 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ln(1 ? ax) ?

2x . x?2

(1)讨论 f ( x) 在区间(0,+∞)上的单调性; (2)若 f ( x) 存在两个极值点 x1 , x2 ,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,求 a 的取值范围.

37.已知函数 f ( x) ? ln x ?

x2 ? kx ,其中常数 k ? R . 2

(1)求 f ( x ) 的单调增区间与单调减区间; (2)若 f ( x ) 存在极值且有唯一零点 x0 ,求 k 的取值范围及不超过

x0 的最大整数 m . k

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2016 届高三数学一轮复习之导数讲义 38.已知函数 f ( x ) ?

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ax ? a ( a ? R , a ? 0) . ex

(1)当 a ? ?1 时,求函数 f ( x ) 的极值; (2)若函数 F ( x ) ? f ( x ) ? 1 没有零点,求实数 a 的取值范围.

39.已知函数 f ( x) ? ln x ? ax .
2

(1)求 f ( x) 的单调区间; (2)当 a ?

1 3 时,证明:存在 x0 ? [ 2,??) ,使 f ( x0 ) ? f ( ) . 8 2

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2016 届高三数学一轮复习之导数讲义 40.已知函数 f ? x ? ?

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1 3 x ? x 2 ? ax ? 1 ? a ? R ? . 3

(1)求函数 f ? x ? 的单调区间; (2)当 a ? 0 时,试讨论是否存在 x0 ? ? 0,

? ?

1? ?1 ? ?1? ? ? ? ,1? ,使得 f ? x0 ? ? f ? ? . 2? ?2 ? ?2?

41.已知函数 f ( x) ? x ?
2

2 3 ax (a ? 0), x ? R . 3

(1)求 f ( x) 的单调区间和极值; (2)若对于任意的 x1 ? ( 2,??) ,都存在 x2 ? (1,??) ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 ,求 a 的取值 范围.

第 62 页

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3 2

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42. (2015 江苏)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? b( a, b ? R ) . (1)试讨论 f ( x ) 的单调性; (2)若 b ? c ? a (实数 c 是与 a 无关的常数) ,当函数 f ( x ) 有三个不同的零点时, a 的取 值范围恰好是 ( ??,?3) ? (1, ) ? ( ,?? ) ,求 c 的值.

3 2

3 2

43. (2015 广东文)设 a 为实数,函数 f ? x ? ? ? x ? a ? ? x ? a ? a ? a ? 1? .
2

(1)若 f ? 0 ? ? 1 ,求 a 的取值范围; (2)讨论 f ? x ? 的单调性; (3)当 a ? 2 时,讨论 f ? x ? ?

4 在区间 ? 0, ?? ? 内的零点个数. x

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2016 届高三数学一轮复习之导数讲义 44.已知函数 f ( x) ? (cos x ? x)(? ? 2 x) ?

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8 (sin x ? 1) , 3 2x g ( x) ? 3( x ? ? ) cos x ? 4(1 ? sin x) ln(3 ? )

证明:(1)存在唯一 x0 ? (0, (2)存在唯一 x1 ? (

?
2

?

) ,使 f ( x0 ) ? 0 ;

?
2

, ? ) ,使 g ( x1 ) ? 0 ,且对(1)中的 x0 ,有 x0 ? x1 ? ? .

45. (2015 浙江文)设函数 f ( x) ? x ? ax ? b, ( a, b ? R ) .
2

(1)当 b ?

a2 ? 1 时,求函数 f ( x) 在 [?1,1] 上的最小值 g (a ) 的表达式; 4

(2)已知函数 f ( x) 在 [ ?1,1] 上存在零点, 0 ? b ? 2a ? 1 ,求 b 的取值范围.

第 64 页

2016 届高三数学一轮复习之导数讲义 46.已知函数 f ( x) ? 1 ? ln x ?

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k ( x ? 2) ,其中 k 为常数. x (1)若 k ? 0 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)若 k ? 5 ,求证: f ( x) 有且仅有两个零点; (3)若 k 为整数,且当 x ? 2 时, f ( x) ? 0 恒成立,求 k 的最大值.

47.已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? 3 x 在 x ? ?1 处取得极值.
3 2

(1)讨论 f (1) 和 f ( ?1) 是函数 f ( x ) 的极大值还是极小值; (2)过点 A(0, 16 ) 作曲线 y ? f ( x ) 的切线,求此切线方程.

第 65 页

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3 2

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48.已知函数 f ( x) ? mx ? 2nx ? 12 x 的减区间是(-2,2) (1)试求 m, n 的值; (2)求过点 A(1, ?11) 且与曲线 y ? f ( x) 相切的切线方程; (3)过点 A(1,t),是否存在与曲线 y ? f ( x) 相切的 3 条切线,若存在,求实数 t 的取值范 围;若不存在,请说明理由.

49.已知函数 f ( x) ? 2 x ? 3 x .
3

(1)求 f ( x ) 在区间 [ ?2,1] 上的最大值; (2)若过点 P (1, t ) 存在 3 条直线与曲线 y ? f ( x ) 相切,求 t 的取值范围; (3)问过点 A( ?1, 2), B (2,10), C (0, 2) 分别存在几条直线与曲线 y ? f ( x ) 相切?(只需写 出结论)

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2016 届高三数学一轮复习之导数讲义 50.已知函数 f ( x ) ? x ?

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1 ?1. ex

(1)求函数 f ( x ) 的极小值; (2)过点 B (0, t ) 能否存在曲线 y ? f ( x ) 的切线,请说明理由.

51.已知函数 f ( x ) ?

1 3 x ? ax 2 ? x ? b, 其中 a , b 为常数. 3

1 (1)当 a ? ?1 时,若函数 f ( x ) 在 [0,1] 上的最小值为 , 求 b 的值; 3 (2)讨论函数 f ( x ) 在区间 (a ,?? ) 上单调性; (3)若曲线 y ? f ( x ) 上存在一点 P , 使得曲线在点 P 处的切线与经过点 P 的另一条切线互

相垂直,求 a 的取值范围.

52.已知函数 f ( x) ? ln( x ? a ) ? ax, a ? R . (1)求函数 f ( x) 的单调区间和极值. (2) 若 a ? ( ?1,0) , 函 数 g ( x) ? a | f ' ( x) | 的 图 像 上 存 在 P 1, P 2 两点,其横坐标满足

1 ? x1 ? x2 ? 6 ,且 g ( x) 的图像在此两点处的切线互相垂直,求 a 的取值范围.

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2016 届高三数学一轮复习之导数讲义 53.已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ?|

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x?a |. x ? 2a

(1)记 f ( x) 在区间[0,4]上的最大值为 g ( a ) ,求 g ( a ) 的表达式; (2)是否存在 a 使函数 y ? f ( x) 在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线 互相垂直?若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,请说明理由.

54.已知函数 f ( x) ? (1)若 f ( x) 在 x ?

1 2 ax ? ln x , g ( x) ? ?bx ,设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) . 2

2 处取得极值,且 f ?(1) ? g (?1) ? 2 ,求函数 h( x) 的单调区间; 2

(2)若 a ? 0 时函数 h( x) 有两个不同的零点 x1 , x2 . ①求 b 的取值范围;②求证:
x1 x2 ? 1. e2

55. (2015 陕西文)设 f n ( x) ? x ? x ? ??? ? x ? 1, x ? 0, n ? N , n ? 2.
2 n

(1)求 f ' ( 2) ; (2)证明: f n ( x) 在(0,

2 1 1 2 n )内有且仅有一个零点(记为 an ) ,且 0 ? an ? ? ( ) . 3 2 3 3

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56. (2015 陕西理) 设 f n ? x ? 是等比数列 1 ,x ,x 2 ,??? ,x n 的各项和, 其中 x ? 0 ,n ? ? ,

n? 2.
( 1 ) 证 明 : 函 数 Fn ? x ? ? f n ? x ? ? 2 在 ?

?1 ? ,且 ,1? 内 有 且 仅 有 一 个 零 点 ( 记 为 xn ) ?2 ?

xn ?

1 1 n ?1 ? xn ; 2 2

(2) 设有一个与上述等比数列的首项、 末项、 项数分别相同的等差数列, 其各项和为 g n ? x ? , 比较 f n ? x ? 与 g n ? x ? 的大小,并加以证明.

57.设函数 f ( x) ? a ln x ? x 2 ? bx(a, b ? R , a ? 0) ,且 x ? 1 为 f ( x) 的极值点. (1)当 a ? 1 时,求 f ( x) 的单调递减区间; (2)若 f ( x ) ? 0 恰有两解,试求实数 a 的取值范围; (3) 在 (1) 的条件下, 设 g ( x) ? f ( x ? 1) ? x 2 ? x ? 2 , 证明: ?

1 3n 2 ? 5n ? ( n ? N* ) . (n ? 1)(n ? 2) k ?1 g ( k )
n

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4

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58. (2015 天津文)已知函数 f ( x) ? 4 x ? x , x ? R . (1)求 f ( x ) 的单调性; (2)设曲线 y = f ( x ) 与 x 轴正半轴的交点为 P,曲线在点 P 处的切线方程为 y = g ( x ) ,求证: 对于任意的正实数 x ,都有 f ( x) ? g ( x) ;

a (3)若方程 f ( x)=a (a为实数) 有两个正实数根 x1,x2, 且 x1 < x2 ,求证: x2 ? x1 ? ? ? 4 3 . 3

1

59. (2015 天津理)已知函数 f ( x) ? n x ? x , x ? R ,其中 n ? N , n ? 2 .
n *

(1)讨论 f ( x) 的单调性; (2) 设曲线 y = f ( x) 与 x 轴正半轴的交点为 P,曲线在点 P 处的切线方程为 y = g ( x) ,求证: 对于任意的正实数 x ,都有 f ( x) ? g ( x) ;

(3)若关于 x 的方程 f ( x)=a(a为实数) 有两个正实根 x1,x2 ,求证: | x2 -x1 |<

a +2 . 1- n

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第五讲 用导数研究恒成立与能成立(一)
1.已知函数 f ( x ) ? x ln x ? 1 ,若 x ? 1 时,函数 y ? f ( x ) 的图像恒在直线 y ? kx 上方,求 实数 k 的取值范围.

2 .已知 f ( x ) ? x ln x, g ( x ) ? ? x ? ax ? 3. 对一切 x ? (0, ?? ), 2 f ( x ) ? g ( x ) 恒成立,求
2

实数 a 的取值范围.

3. 已知 f ( x) ? 的取值范围.

x2 求a ? x, g ( x) ? x 2 ? x ? a .若不等式 f ( x ) ? g ( x ) 在 x ? (0, ??) 恒成立, x e

4.已知函数 f ( x) ?

x?b x e , b ? R ,且 a ? 0 , g ( x) ? ( x ? 1)e x ? f ( x) ,对任意 x ? (0,??) ,都有 x

g ( x) ? 1 成立,求 b 的最大值.

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5.已知函数 f ? x ? ? a ln x ? bx(a, b ? R ) ,曲线 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线方程为

?

?

x ? 2y ? 2 ? 0 .
(1)求 f ( x ) 的解析式; (2)当 x ? 1 时, f ? x ? ?

k ? 0 恒成立,求实数 k 的取值范围. x

6.已知函数 f ( x ) ? ln x ? bx ? c , f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? y ? 4 ? 0 . (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)求 f ( x ) 的单调区间; (3)若在区间 ? ,5? 内,恒有 f ( x) ? x ? ln x ? kx 成立,求 k 的取值范围. 2
2

?1 ?

? ?

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7.已知函数 f ( x ) ? ax 3 ? bx 2 ? cx ? d 为奇函数,且在 x ? ?1 处取得极大值 2. (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)过点 A(1, t ) ( t ? ?2) 可作函数 f ( x ) 图像的三条切线,求实数 t 的取值范围; (3) 若 f ( x) ? ( m ? 2) x ? x (e ? 1) 对于任意的 x ? [0, ?? ) 恒成立, 求实数 m 的取值范围.
2 x

8.已知函数 f ( x) ? 2e ? ax ? 2( a ? R ) ,当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围.
x

9.设函数 f ( x) ? x(e ? 1) ? ax
x

2

(a ? R ) ,若当 x ? 0 时 f ( x ) ? 0 ,求 a 的取值范围.

10.设函数 f ( x) ? e ? 1 ? x ? ax ,若当 x ? 0 时 f ( x ) ? 0 ,求 a 的取值范围.
x 2

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x 3

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11. 已知函数 f ( x) ? ( x ? 2)e 和 g ( x) ? kx ? x ? 2 ,当 x ? ? 0, ?? ? 时, 不等式 f ( x ) ? g ( x ) 恒成立,求实数 k 的最大值.

12. 设 f ( x) ? 2e ( x ? 1) , g ( x) ? x ? 4 x ? 2 ,若对 ?x ? ?2, kf ( x) ? g ( x) 恒成立, 求实数 k
x 2

的取值范围.

13.设 f ? x ? ? x ln x, g ? x ? ? x ? 1 ,当 x ? 1 时, f ? x ? ? mg ? x ? ? 0 恒成立,求实数 m 的取
2

值范围.

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14 .设函数, f ( x) ? ln( x ? 1) ? bx ,是否存在实数 b ,使得关于 x 的不等式 f ( x ) ? 0 在

?0,?? ? 上恒成立?若存在,求出 b 的取值范围;若不存在,说明理由.

1 2 x ? (1 ? a ) x ( x ? 0) ,其中 a 为实数,若函数 f ( x ) ? 0 对定 2 义域内的任意 x 恒成立,求实数 a 的取值范围.
15.已知函数 f ( x ) ? a ln x ?

16.设函数 f ( x ) ? ln(1 ? x ) ?

ax x ?1

(1)当 a ? 0 时,讨论函数 f ( x ) 在区间 (0,?? ) 上的单调性; (2)若 x ? 0 时有 f ( x ) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

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17.已知函数 f ( x) ? x ? ln( x ? a ) 的最小值为 0,其中 a ? 0 . (1)求 a 的值 (2)若对任意的 x ? [0,??) ,有 f ( x) ? kx 成立,求实数 k 的最小值.
2

18.已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ?

x(1 ? ?x) ,若 x ? 0 , f ( x) ? 0 ,求 ? 的最小值. 1? x

19.已知函数 f ( x) ? e ? e
x

?x

,若对 ?x ? (0,??) , mf ( x) ? e

?x

? m ? 1 恒成立,求 m 得取

值范围.

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20.已知函数 f ? x ? = e x ? e ? x ? 2 x ,设 g ? x ? ? f ? 2 x ? ? 4bf ? x ? ,当 x ? 0 时, g ? x ? ? 0 , 求 b 的最大值.

21.设函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 2 ln( x ? 1) ,当 x ? [ ? 1, e ? 1] 时,是否存在整数 m ,使不等
2

1 e

式 m ? f ( x) ? ? m ? 2m ? e 恒成立?若存在,求整数 m 的值;若不存在,请说明理由.
2 2

22.已知 f ( x) ? x ln x ,设 k ? Z ,当 x ? 1 时 f ( x ) 的图像恒在直线 l : y ? (k ? 3) x ? k ? 2 的 上方,求 k 的最大值.

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x

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23 . 设 函 数 f ( x) ? e ? x ? 2 , 其 导 函 数 为 f '( x ) , 若 k 为 整 数 , 当 x ? 0 时 ,

( x ? k ) f ' ( x) ? x ? 1 ? 0 恒成立,试求 k 的最大值.

24 . 已 知 函 数 f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? 3 x , f ?? x ? 为 其 导 函 数 , 若 不 等 式 3

f ' ( x) ? k ( x ln x ? 1) ? 6 x ? 4 ( k 为正整数)对任意正实数 x 恒成立,求 k 的最大值.

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2016 届高三数学一轮复习之导数讲义 25.已知函数 f ? x ? ? e
x

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? ln x ? k ? , ( k 为常数, e =2.71828

是自然对数的底数) .函数

y ? f ? x ? 的导函数为 f ? ? x ? ,且 f ? ?1? ? 0 .
(1)求 k 的值;
x (2)设 g ? x ? ? f ? ? x ? ? 2 ? ? f ? x? ? e ? ? ,? ? x ? ?

ex , g ? x ? ? t ? ? ? x ? 恒成立.求实数 t 的取 x

值范围.

26. (2015 山东理)设函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? a ( x ? x) ,其中 ? ? R .
2

(1)讨论函数 f ( x) 极值点的个数,并说明理由; (2)若 ?x ? 0 , f ( x) ? 0 成立,求 a 的取值范围.

1? x . 1? x (1)求曲线 y ? f ? x ? 在点 ? 0 ,f ? 0 ? ? 处的切线方程;
27. (2015 北京理)已知函数 f ? x ? ? ln

? x3 ? 1? 时, f ? x ? ? 2 ? x ? ? ; (2)求证:当 x ? ? 0 , 3? ? ? x3 ? 1? 恒成立,求 k 的最大值. (3)设实数 k 使得 f ? x ? ? k ? x ? ? 对 x ? ? 0 , 3? ?

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2016 届高三数学一轮复习之导数讲义 28 . 已 知 函 数 f ( x) ?

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a ln x b ? , 曲 线 y ? f ( x) 在 点 (1, f (1)) 处 的 切 线 方 程 为 x ?1 x

x ? 2y ?3 ? 0.
(1)求 a 、 b 的值; (2)如果当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, f ( x) ?

ln x k ? ,求 k 的取值范围. x ?1 x

29.设函数 f ? x ? ? 1 ? e .
?x

(1)证明:当 x>-1 时, f ? x ? ? (2)设当 x ? 0 时, f ? x ? ?

x ; x ?1

x ,求 a 的取值范围. ax ? 1

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2016 届高三数学一轮复习之导数讲义 30.已知函数 f ( x ) ?

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ax ? b ( a ? 0, a, b 为常数)的所有极值之和为零; x2 ? 1

(1)求 b 及 f ( x ) 的极大值点; (2)若 f ( x ) 的极大值为 1 ,对任意 x ? 0 , f ( x ) ? 围.

2 恒成立,求实数 m 的取值范 2 ? m ln 2 x

31. 设函数 f (x) ? ln x ,g ( x) ? ax ? 且在此点处两曲线有相同的切线. (1)求 a 、 b 的值;

b , 函数 f (x) 的图象与 x 轴的交点在函数 g(x) 的图象上, x

2 x ? g ( x) ? (1 ? t ) x ? 2 (t ? R) 的最大值为 M ,最小值为 N , ex 且 M ? 2 N ,求实数 t 的取值范围.
(2)设定义在 [0,1] 上的函数 h( x) ?

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32.已知函数 f ( x) ? ax ? ln( x ? 1) ,其中 a 为常数. (1)试讨论 f ( x) 的单调区间, (2)若 a ? 围.

1 1 2 ln x ? bx 时,存在 x 使得不等式 | f ( x ) | ? 成立,求 b 的取值范 ? 2x 1? e e ?1

33.已知函数 f ( x) ? e x ?

( x ? 1) 2 , g ( x) ? 2 ln( x ? 1) ? e ? x . 2

(1) x ? ( ?1, ?? ) 时,证明: f ( x ) ? 0 ; (2) a ? 0 ,若 g ( x) ? ax ? 1 ,求 a 的取值范围.

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2016 届高三数学一轮复习之导数讲义 34.已知 f ? x ? ?

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m ? n ln x (m, n 为常数 ) ,在 x ? 1 处的切线方程为 x ? y ? 2 ? 0 . x ?1

(1)求 y ? f ? x ? 的单调区间; (2)若任意实数 x ? [ ,1] ,使得对任意的 t ? [ , 2] 上恒有 f ? x ? ? t ? t ? 2at ? 2 成立,
3 2

1 e

1 2

求实数 a 的取值范围; (3)求证:对任意正整数 n ,有 4( ?

1 2

2 n ?? ? ) ? (ln1 ? ln 2 ? ? ? ln n) ? 2n . 3 n ?1

35 . 已 知 函 数 f ( x) ?

ax , 曲 线 y ? f ( x) 在 点 (1, f (1)) 处 的 切 线 方 程 为 be x ? 1

x ? (e ? 1) 2 y ? e ? 0 .其中 e ? 2.71828 为自然对数的底数.
(1)求 a, b 的值; (2)如果当 x ? 0 时, f ( 2 x) ?

1? k ,求实数 k 的取值范围. ex

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36.已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? a ln x ( a ? R ) . (1)当 a ? 2 时,求函数 f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)求函数 f ( x) 的单调区间; (3)若函数 f ( x) 有两个极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,不等式 f ( x1 ) ? mx2 恒成立,求实数 m 的取 值范围.

37.已知函数 f ( x ) ? ln x ?

k ,k?R. x

(1)若 k ? 1 ,求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)若 f ( x ) ? 2 ?

1? e 恒成立,求实数 k 的取值范围; x

(3)设 g ( x ) ? xf ( x ) ? k ,若对任意的两个实数 x1 , x2 满足 0 ? x1 ? x2 ,总存在 x0 ? 0 ,使 得 g ? ( x0 ) ?

g ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,证明: x0 ? x1 . x1 ? x2

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2016 届高三数学一轮复习之导数讲义 38.已知函数 f ( x) ? xe ? e ? 1 ,
tx x

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(1)当 t ? 0 时,求函数 f ( x) 的最大值; (2)证明:当 t ? 1 ?

1 时,方程 f ( x) ? 1 无实根; e

(3)若函数 f ( x) 是 (0,??) 内的减函数,求实数 t 的取值范围.

3(t ? 1) 2 x ? 3tx ? 1 . 2 (1)若 f ( x) 在(0,2)上无极值,求 t 的值;

39.已知 t ? 0 ,设函数 f ( x) ? x 3 ?

(2)若存在 x0 ? (0,2) ,使得 f ( x0 ) 是 f ( x) 在[0, 2]上的最大值,求实数 t 的取值范围; (3)若 f ( x) ? xe x ? m ? 2(e 为自然对数的底数)对任意 x ? [0,?? ) 恒成立时 m 的最大值为 1, 求实数 t 的取值范围.

第 85 页

2016 届高三数学一轮复习之导数讲义 40.已知函数 f ( x) ? e (sin x ? ax ? 2a ? e)
x 2

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(1)当 a ? 0 时,讨论函数 f ( x) 的单调性; (2)当

1 ? a ? 1 时,求证:对任意的 x ? [0,??) , f ( x) ? 0 . 2

41. 设函数 f ( x) ? a ( x ? 1) ln( x ? 1) ? bx ( x ? ?1) , 曲线 y ? f ( x ) 过点 (e ? 1, e ? e ? 1) ,
2 2

且在点 (0,0) 处的切线方程为 y ? 0 . (1)求 a , b 的值; (2)证明:当 x ? 0 时, f ( x) ? x ;
2

(3)若当 x ? 0 时, f ( x) ? mx 恒成立,求实数 m 的取值范围.
2

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2

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42. 已知函数 f ( x) ? x ? ax( a ? 0) ,g ( x ) ? ln x , f ( x ) 图象与 x 轴异于原点的交点 M 处 的切线为 l1 , g ( x ? 1) 与 x 轴的交点 N 处的切线为 l2 ,并且 l1 与 l2 平行. (1)求 f (2) 的值; (2) 已知实数 t ? R , 求 u ? x ln x, x ? ?1, e ? 的取值范围及函数 y ? f [ xg ( x)+t ], x ? ?1, e ? 的 最小值; (3)令 F ( x ) ? g ( x ) ? g '( x ) ,给定 x 1 , x2 ? (1, ??), x 1 ? x2 ,对于两个大于 1 的正数 ? , ? , 存在实数 m 满足:

? ? mx1 ? (1 ? m) x2 , ? ? (1 ? m) x1 ? mx2 , 并 且 使 得 不 等 式

| F (? ) ? F ( ? ) |?| F ( x1 ) ? F ( x2 ) | 恒成立,求实数 m 的取值范围.

3 x 2 ? ax 43. (2015 重庆理)设函数 f ( x) ? (a ? R) . ex
(1)若 f ( x) 在 x ? 0 处取得极值,确定 a 的值,并求此时曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的 切线方程; (2)若 f ( x) 在 [3,??) 上为减函数,求 a 的取值范围.

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f ( x) 在 I 上是减函数, x 2 则称 y ? f ( x ) 是 I 上的“非完美增函数”, 已知 f ( x ) ? ln x ,g ( x ) ? 2 x ? ? a ln x ( a ? R ) . x
44. 若函数 f ( x ) 是定义域 D 内的某个区间 I 上的增函数, 且 F ( x) ? (1)判断 f ( x ) 在 (0,1] 上是否是“非完美增函数”; (2)若 g ( x ) 是 [1, ?? ) 上的“非完美增函数”,求实数 a 的取值范围.

45.已知函数 f ? x ? ? a ln x ? ax ? 3 ( a ? 0 ) . (1)讨论 f ? x ? 的单调性;
2 (2)若 f ? x ? ? ? a ? 1? x ? 4 ? e ? 0 对任意 x ? ? ? e, e ? ? 恒成立,求实数 a 的取值范围( e 为自然

常数) ; (3) 求 证 ln 2 ? 1 ? ln 3 ? 1
2 2

?

? ?

?

? ln 4 2 ? 1 ? ? ? ln n 2 ? 1 ? 1 ? 2 ln n! n ? 2, n ? N *

?

?

?

?

?

?

( n ? 2 , n ? ?? ) .

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2016 届高三数学一轮复习之导数讲义 46.已知函数 f ( x) ? e sin x
x

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(1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)当 x ? [0,

?
2

] 时, f ( x ) ? kx ,求实数 k 的取值范围.

a ln x ? ( a ? 1) x 2 ? 1 . 2 1 1 (1)当 a ? ? 时,求 f ( x ) 在区间 [ , e] 上的最小值; 2 e
47.已知函数 f ( x ) ? (2)讨论函数 f ( x ) 的单调性; (3)当 ?1 ? a ? 0 时,有 f ( x) ? 1 ?

a ln(? a ) 恒成立,求 a 的取值范围. 4

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48. (2015 全国新课标 2 文)已知函数 f ( x) ? ln x ? a (1 ? x) . (1)讨论 f ( x) 的单调性; (2)当 f ( x) 有最大值,且最大值大于 2a ? 2 时,求 a 的取值范围.

49.已知函数 f ( x ) ? x cos x ? sin x, x ? [0, (1)求证: f ( x ) ? 0 ; (2)若 a ?

?
2

].

sin x ? ? b 对 x ? (0, ) 恒成立,求 a 的最大值与 b 的最小值. x 2

50.已知函数 f ( x) ? ( x ? 1)e ? 1 , x ? [0,1] .
x

(1)证明: f ( x ) ? 0 ; (2)若 a ?

ex ?1 ? b 在 x ? (0,1) 恒成立,求 b ? a 的最小值. x

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2016 届高三数学一轮复习之导数讲义 51 . 定 义 在 R 上 的 函 数

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f ( x) 满 足 f ( x) ?

f ?(1) 2 x ? 2 ?e ? x 2 ? 2 f (0) x , 2

x 1 g ( x ) ? f ( ) ? x 2 ? (1 ? a ) x ? a . 2 4
(1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)求函数 g ( x ) 的单调区间; (3)如果 s , t , r 满足 | s ? r |?| t ? r | ,那么称 s 比 t 更靠近 r .当 a ? 2 且 x ? 1 时,试比 较

e 和 e x ?1 ? a 哪个更靠近 ln x ,并说明理由. x

52.已知函数 f ( x) ? ax ? x ? x ln x( a ? 0) ..
2

(1)若函数满足 f (1) ? 2 ,且在定义域内 f ( x) ? bx ? 2 x 恒成立,求实数 b 的取值范围;
2

(2)若函数 f ( x) 在定义域上是单调函数,求实数 a 的取值范围; (3)当

1 y 1 ? ln y 的大小. ? x ? y ? 1 时,试比较 与 e x 1 ? ln x

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53.已知函数 f ( x) ?

( x ? a) ? e x ( e 为自然对数的底数) ,曲线 y ? f ( x ) 在 (1, f (1)) 处的 x ?1

切线与直线 4 x ? 3ey ? 1 ? 0 互相垂直. (1)求实数 a 的值; (2)若对任意 x ? ( ,?? ) , ( x ? 1) f ( x ) ? m( 2 x ? 1) 恒成立,求实数 m 的取值范围; ( 3 ) 设

2 3

g ( x) ?

( x ? 1) f ( x ) x( e ? e x )

, Tn ? 1 ? 2[g( ) ? g( ) ? g( ) ? ? ? g(

1 n

2 n

3 n

n ?1 )] n

( n ? 2, 3?) . 问 : 是 否 存 在 正 常 数 M , 对 任 意 给 定 的 正 整 数 n( n ? 2) , 都 有

1 1 1 1 ? ? ?? ? ? M 成立?若存在,求 M 的最小值;若不存在,请说明理由. T3 T6 T9 T3n

54.已知函数 f ? x ? ? ln x ? x ? a 有且只有一个零点. (1)求 a 的值; (2)若对任意的 x ? ?1, ?? ? ,有 2 f ? x ? ?

k ? x ? 2 恒成立,求实数 k 的最小值; x

( 3 ) 设 h ? x ? ? f ? x ? ? x ? 1 , 对 任 意 x1 , x2 ? ? 0, ?? ?? x1 ? x2 ? , 证 明 : 不 等 式

x1 ? x2 > x1 x2 恒成立. h ? x1 ? ? h ? x2 ?

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2

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55.函数 f ( x) ? 2ax ? 2bx ? a ? b(a, b ? R, a ? 0) , g ( x) ? 2ax ? 2b (1)若 ? ? ? 0, ? 时,求 f (sin ? ) 的最大值; 2 (2)设 a ? 0 时,若对任意 ? ? R ,都有 | f (sin ? ) |≤ 1 恒成立,且 g (sin ? ) 的最大值为 2, 求 f ( x) 的表达式.

? ?? ? ?

56.已知函数 f ( x) = a sin x + cos x ,其中 a > 0 . (1)当 a ? 1 时,判断 f ( x) 在区间 [0, ] 上的单调性;

π 4

(1)当 0 < a < 1 时,若不等式

π f ( x) < t 2 + at + 2 对于 x ? [0, ] 恒成立,求实数 4 a +1
2

2a

t 的取值范围.

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第五讲 用导数研究恒成立与能成立(二)
1.函数 f ( x) ?
1 3 x ? 4 x ? 4 ,设函数 g ( x) ? x ? m ,对 ?x1 , x2 ? [0,3] ,都有 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求 3

实数 m 的取值范围.

2.已知函数 f ( x) ? x ?

2 ? ln x ,设 g ( x) ? x 2 ? 2bx ? 4 ? ln 2 ,若对任意的 x1 , x2 ? [1, e] , x

( e 为自然对数的底数)都有 f ( x1 ) ? g ( x 2 ) ,求实数 b 的取值范围.

3 .已知函数 f ( x ) ?

ex , g ( x ) ? mx ? ln x ? tm , 若 m ? [ e , e 2 ] ,对 ?x1 , x2 ? (0, ??) , ex

f ( x1 ) ? g ( x2 ) 恒成立,求实数 t 的取值范围.

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2016 届高三数学一轮复习之导数讲义 4.设函数 f ? x ? ? ?

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1 3 x ? x 2 ? (m 2 ? 1) x ( x ? R ) ,其中 m ? 0 ,已知函数 f ? x ? 由三个互不 3

相同的零点 0, x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ,若对任意的 x ? [ x1 , x2 ] , f ? x ? ? f (1) 恒成立,求实数 m 的取值范围.

5.设函数 f ( x) ? x ? ax ? a x ? m( a ? 0) ,若对任意的 a ? [3,, 6] x ? [ ? 2, 2] ,不等式
3 2 2

f ( x) ? 1 恒成立,求实数 m 的取值范围.

6. 若函数 f ( x) ? 2 ln x ? 的范围.

1 ,若 ?x ? [1, ??) 及 t ? [1, 2] 不等式 f ( x ) ? t 2 ? 2mt ? 2 恒成立, 求实数 m x

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2

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7.设函数 f ( x) ? x ? a ln( x ? 1) 有两个极值点 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ,若对任意的 x ? ( x1 ,??) , 都有 f ( x ) ? m 成立,求实数 m 的取值范围.

8 .已知函数 f ( x) ? x ? 3 x ,若对于区间 [ ?2,2] 上任意两个自变量的值 x1 , x 2 ,都有
3

| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? c ,求实数 c 的最小值.

9. (2015 全国新课标 2 理)设函数 f ( x) ? e

mx

? x 2 ? mx .

(1)证明: f ( x) 在 ( ??,0) 单调递减,在 (0,??) 单调递增; (2)若对于任意 x1 , x2 ? [ ?1,1] ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? e ? 1 ,求 m 的取值范围.

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10 . 已 知 函 数 f ( x ) ? ? x 2 ? 2 ln x , g ( x) ? x ?
f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 1 恒成立,求实数 k 的取值范围. k ?1

1 1 , 若 对 于 ? x1 , x2 ? [ ,3] , 不 等 式 e x

11.已知函数 f ( x) ? e x (其中 e 是自然对数的底数) , g ( x) ? x 2 ? ax ? 1 , a ? R ,若对任意

x1 , x2 ? ? 0, 2? , x1 ? x2 ,均有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? g ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,求实数 a 的取值范围.

12.已知函数 f ( x ) ? 围.

1 3 1 2 x ? x ? 2 x ? 1 , ?x0 ? [ ?2,3] ,有 m ≥ f ( x0 ) 成立,求出 m 的范 3 2

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2016 届高三数学一轮复习之导数讲义 13.已知函数 f ( x) ? x ?

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1 , g ( x) ? x 2 ? 2ax ? 4 若对任意 x1 ? [0,1] ,存在 x2 ? [1,2] , x ?1

使 f ( x1 ) ? g(x 2 ) ,求实数 a 的取值范围.

14.己知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? 1 在 x ? 2 处的切线斜率为 ?

x ? 2kx ? k 1 ,设 g ( x ) ? ,对 2 x
2

?x1 ? (0,??), ?x2 ? (??,0) 使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 恒成立,求正实数 k 的取值范围.

15 . 已 知 函 数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? ln x , a, b ? R , 若 对 ?b ? [ ?2, ?1] , 总 ?x ? (1, e) 使 得

f ( x ) ? 0 成立,求实数 a 的取值范围.

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2016 届高三数学一轮复习之导数讲义 16.已知函数 f ( x ) ? ln(

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1 1 ? ax ) ? x 2 ? ax ( a 为常数),若对任意的 a ? (1,2) ,总存在 2 2

1 x0 ? [ ,1] ,使不等式 f ( x 0 ) ? m(1 ? a 2 ) 成立,求正实数 m 的取值范围. 2

17. 设函数 f ( x ) ? 的取值范围.

x 使 f ( x1 ) ? f ?( x 2 ) ? a 成立, 求实数 a e, e 2 ? ? ax ,若存在 x1 , x2 ? ? ? ?, ln x

ex 1 18. 已知函数 f ? x ? ? (其中常数 a < 0 ) ,若存在实数 x ? ? a, 0? , 使得不等式 f ? x ? ? x?a 2
成立,求 a 的取值范围.

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19.若实数 a ? 0 且 a ? 2 ,函数 f ( x) ?

1 3 1 ax ? (a ? 2) x 2 ? 2 x ? 1 ,若在区间(0,+∞) 3 2

上至少存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? 1 成立,求实数 a 的取值范围.

25 ? ? 20.设 x ? 3 是函数 f ? x ? ? ? x 2 ? ax ? b ? e3? x , ? x ? R ? 的一个极值点,设 a ? 0, g ? x ? ? ? a 2 ? ? e x , 4 ? ?
25 若存在 ..?1 , ? 2 ? ? 0, 4? ,使得 f ??1 ? ? g ?? 2 ? ? 4 成立,求实数 a 的取值范围.

21.已知函数 f ( x) ? e (sin x ? cos x) ? a ( a 为常数) .
x

(1)已知 a ? ?3 ,求曲线 y ? f ( x ) 在 (0, f (0)) 处的切线方程; (2)当 0 ? x ? ? 时,求 f ( x ) 的值域; (3)设 g ( x) ? ( a ? a ? 10)e ,若存在 x 1 , x 2? [0, ? ] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 13 ? e 2 成
2 x

?

立,求实数 a 的取值范围.

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22. 已知函数 f ( x ) ? x ln x ,若存在 求实数 a ..x ? [ , e] 使不等式 2 f ( x) ? ? x ? ax ? 3 成立,
2

1 e

的取值范围.

23.已知 f ( x) ? x ln x, g ( x) ? 实数 a 的取值范围.

ax 2 ,若至少存在一个 x0 ? [1, e] 使 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求 2

24.已知函数 f ( x) ? x ? ( 2a ? 1) x ? a ln x, a ? R
2

(1)当 a ? 1, 求 f ( x ) 的单调区间; (2) a >1 时,求 f ( x ) 在区间 1, e 上的最小值; (3) g ( x ) ? (1 ? a ) x, 若 ?x0 ? ? , e ? 使得 f ( x 0 ) ? g(x 0 ) 成立,求 a 的范围. e

? ?

?1 ? ? ?

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2016 届高三数学一轮复习之导数讲义 25.设函数 f ? x ? ? a ln x ?

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1? a 2 x ? bx , a ? R 且 a ? 1 . 曲线 y ? f ? x ? 在点 ?1, f ?1? ? 处 2 a 的切线的斜率为 0 ,若存在 x ? ?1, ?? ? ,使得 f ? x ? ? ,求 a 的取值范围. a ?1

26.已知函数 f ( x ) ? x ? a ln x , g ( x ) ? ? (1)若 a ? 1 ,求函数 f ( x ) 的极值;

1? a (a ? R) . x

(2)设函数 h( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ,求函数 h( x ) 的单调区间; (3)若在区间 [1, e] ( e ? 2.71828......) 上不存在 ...x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求实数 a 的 取值范围.

27.已知函数 f ( x) ? px ?

p 2e ? 2 ln x .设函数 g ( x) ? ,若在 ?1, e? 上至少存在一点 x0 ,使 x x

得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求实数 p 的取值范围.

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2 2

28. (2015 四川文)已知函数 f ( x) ? ?2 x ln x ? x ? 2ax ? a ,其中 a ? 0 . (1)设 g ( x) 为 f ( x) 的导函数,讨论 g ( x) 的单调性; (2)证明:存在 a ? (0,1) ,使得 f ( x) ? g ( x) ,且 f ( x) ? 0 在 (1,??) 有唯一解.

29. (2015 四川理)已知函数 f ( x ) ? ?2( x ? a ) ln x ? x ? 2ax ? 2a ? a , 其中a ? 0.
2 2

(1)设 g ( x )是f ( x )的导函数,讨论g ( x )的单调性; (2) 证明: 存在 a ? (0,1) , 使得 f ( x) ? 0 在区间 (1,??) 内恒成立, 且 f ( x) ? 0 在 (1,??) 有 唯一解.

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第六讲
2

导数综合

1.设函数 f ( x) ? x ? ax ? b ln x ,曲线 y ? f ( x ) 过点 P(1,0) ,且在 P 点处的切线的斜 率为 2, (1)求 a , b 的值; (2)证明: f ( x ) ? 2 x ? 2 .

2.已知函数 f ( x) ? sin x, g ( x) ? mx ? (1)求曲线 y ? f ( x) 在点 P (

x3 ( m 为实数). 6

?

, f ( )) 处的切线方程; 4 4

?

(2)求函数 g ( x) 的单调递减区间; (3)若 m ? 1 ,证明:当 x ? 0 时, f ( x) ? g ( x) ?

x3 . 6

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3. 已知函数 f ( x) ?

ln x ? k ( k 为常数, , 曲线 y ? f ( x) e ? 2.71828 ? ? ? 是自然对数的底数) ex

在点 (1, f (1)) 处的切线与 x 轴平行. (1)求 k 的值及 f ( x) 的单调区间; (2)设 g ( x) ? ( x ? x) f ?( x), 其中 f ?( x) 为 f ( x) 的导函数,证明:对任意 x ? 0 , g ( x) ? 1 ? e .
2 ?2

4.设函数 f ? x ? ? x ? aln ?1 ? x ? 有两个极值点 x1,x2 ,且 x1 ? x2 .
2

(1)求 a 的取值范围,并讨论 f ? x ? 的单调性; (2)证明: f ? x2 ? ?

1 ? 2ln 2 . 4

5.已知函数 f ( x ) ? x ? ln x , g ( x) ? ln x ? (1)求函数 g ( x ) 的极值; (2)已知 x1 ? 0 ,函数 h( x) ?

a , (a ? 0) . x

f ( x) ? f ( x1 ) , x ? ( x1 , ??) ,判断并证明 h( x ) 的单调性; x ? x1

(3)设 0 ? x1 ? x2 ,试比较 f (

x1 ? x2 1 ) 与 [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ,并加以证明. 2 2

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2016 届高三数学一轮复习之导数讲义 6.已知函数 f ( x ) ? ( x ? 1) ln x ? x ? 1 .

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(1)若 xf '( x) ? x ? ax ? 1 ,求 a 的取值范围;
2

(2)证明: ( x ? 1) f ( x ) ? 0 .

7 . 设 函 数 f ( x) ? ae ln x ?
x

be x ?1 , 曲 线 y ? f ( x) 在 点 ?1, f (1) ? 处 的 切 线 为 x

y ? e( x ? 1) ? 2 .
(1)求 a, b ; (2)证明: f ( x) ? 1 .

8.已知 f ( x) ? x ln x, g ( x) ?

1 2 x ?x?a. 2

(1)当 a ? 2 时,求函数 y ? g ( x) 在[0,3]上的值域;

(2)证明:对一切 x ? (0,??) ,都有 x ln x ?

g ' ( x) ? 1 2 ? 成立. ex e

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2016 届高三数学一轮复习之导数讲义 9.函数 f ( x) ?

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a ? ln x ,若曲线 f ( x) 在点 (e , f (e)) 处的切线与直线 e 2 x ? y ? e ? 0 垂 x

直(其中 e 为自然对数的底数) . (1)若 f ( x) 在 ( m, m ? 1) 上存在极值,求实数 m 的取值范围;

f ( x) 2e x ?1 (2)求证:当 x ? 1 时, . ? e ? 1 ( x ? 1)( xe x ? 1)

10.已知函数 f ( x) ? e ? a ( x ? 1) ,其中 a ? R , e 为自然对数底数.
x

(1)当 a ? ?1 时,求函数 f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)讨论函数 f ( x ) 的单调性,并写出相应的单调区间; (3)已知 b ? R ,若函数 f ( x ) ? b 对任意 x ? R 都成立,求 ab 的最大值.

11.设 x1 , x2 是函数 f ? x ? ? ln x ?

1 2 ? 1? x ? ? a ? ? x ? 1 的两个极值点,且 x1 ? x2 ,a ? 0 且 2 a? ?

a ? 1.
(1)当 a ? 2 时,求 f ? x ? 的单调递减区间; (2)求证: x1 x2 为定值; (3)求 f ? x1 ? ? f ? x2 ? 的取值范围.

第 107 页

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1

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12.设函数 f n ( x) ? x n ? ax ? b ( n ? N ? , a, b ? R ) . (1)当 n ? 2, a ? ?1, b ? 1 时,求函数 f n ( x ) 的极值; (2)若 n ? 2, a ? 1, b ? ?1 ,证明: f n ( x ) 在区间 (0, ) 内存在唯一的零点; (3)在(2)的条件下,设 xn 是 f n ( x ) 在区间 (0, ) 内的零点,判断数列 x2 , x3 ,..., xn ,... 的 增减性.

1 2

1 2

13.已知函数 f ( x ) ? x ? ln x , g ( x) ? ln x ? (1)求函数 g ( x ) 的极值; (2)已知 x1 ? 0 ,函数 h( x) ?

a , (a ? 0) . x

f ( x) ? f ( x1 ) , x ? ( x1 , ??) ,判断并证明 h( x ) 的单调性; x ? x1

(3)设 0 ? x1 ? x2 ,试比较 f (

x1 ? x2 1 ) 与 [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ,并加以证明. 2 2

第 108 页

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14.已知函数 f ( x ) 满足满足 f ( x ) ? f ?(1)e x ?1 ? f (0) x ? (1)求 f ( x ) 的解析式及单调区间; (2)若 f ( x ) ?

1 2 x ; 2

1 2 x ? ax ? b ,求 ( a ? 1)b 的最大值. 2

15.设 f ( x) ? e ( ax ? x ? 1) ,且曲线 y ? f ?x ? 在 x ? 1 处的切线与 x 轴平行
x 2

(1)求 a 的值,并讨论 f ? x ? 的单调性; (2)证明:当 ? ? ?0,

? ?? 时, f ?cos ? ? ? f ?sin ? ? ? 2 ? 2? ?

x2 16.已知函数 f ( x) ? ? a 3 ln( x ? a ? a 2 ) , a ? R 且 a ? 0 . 2
(1)讨论函数 f ( x ) 的单调性;

f ( x2 ) ? f ( x1 ) a 2 ? ?a. (2)当 a ? 0 时,若 a ? a ? x1 ? x2 ? a ? a ,证明: x2 ? x1 2
2 2

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2016 届高三数学一轮复习之导数讲义 17.已知函数 f ( x) ? x ? x .
3

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(1)求曲线 y ? f ( x) 在 M (t , f (t )) 处的切线方程. (2)设 a ? 0 ,若果过点 ( a, b) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,证明: ? a ? b ? f ( a ) .

18.已知函数 f ( x ) ? ln x ? ax , a 为常数. (1)若函数 f ( x ) 在 x ? 1 处的切线与 x 轴平行,求 a 的值; (2)当 a =1 时,试比较 f ? m ? 与 f ?

?1? ? 的大小; ?m?

(3)若函数 f ( x ) 有两个零点 x1 、 x2 ,试证明 x1 x2 ? e 2 .

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2016 届高三数学一轮复习之导数讲义 19.已知函数 f ( x) ? ln x ?

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a( x ? 1) . x?b

(1)当 b ? 1 时,若函数 f ( x) 在 ? 0, ?? ? 上为单调增函数,求 a 的取值范围; (2)当 a ? 0 且 b ? 0 时,求证:函数 f ( x) 存在唯一零点的充要条件是 a ? 1 ; (3)设 m, n ? (0, ??) ,且 m ? n ,求证:

m?n m?n < . ln m ? ln n 2

20.设函数 f ? x ? ? ln x, g ? x ? ? ? 2 ? a ?? x ? 1? ? 2 f ? x ? . (1)当 a ? 1 时,求函数 g ? x ? 的单调区间; (2)若对任意 x ? ? 0,

? ?

1? ? , g ? x ? ? 0 恒成立,求实数 a 的最小值; 2?

( 3 ) 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x1 , y2 ? 是 函 数 y ? f ? x ? 图 象 上 任 意 不 同 两 点 , 线 段 AB 中 点 为 C ? x0 , y0 ? ,直线 AB 的斜率为 k .证明: k ? f ? ? x0 ? .

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21.已知函数 f ? x ? ? ln x ? m ? x ? 1? ( m 为常数且 m ? R ) . (1)求函数 f ? x ? 的单调区间. (2)若函数 f ? x ? 在点 ? ①求 m 的值; ②在①的条件下,证明:对于任意的 0 ? a ? b ,都有

?1 , ?2

? 1 ?? f ? ? ? 处的切线与直线 y ? x ? 1 ? 0 相互垂直. ? 2 ?? f ?b? ? f ? a ? 1 ? ? 1 成立. b?a a

22.已知函数 f ( x ) ? ln x ?

1 , g ( x ) ? ax ? b . x

(1)若函数 h( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) 在 (0, ?? ) 上单调递增,求实数 a 的取值范围; (2)若直线 g ( x ) ? ax ? b 是函数 f ( x ) ? ln x ?

1 图象的切线,求 a ? b 的最小值; x

(3) 当 b ? 0 时, 若 f ( x ) 与 g ( x ) 的图象有两个交点 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) , 求证:x1 x2 ? 2e 2 . (取 e 为 2.8 ,取 ln 2 为 0.7 ,取 2 为 1.4 )

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2

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23.已知函数 f ? x ? ? x ? a ln x ? x ? a ? 0 ? . (1)求函数 f ? x ? 的单调区间; (2)若 a ? 0 ,设 A ? x1,y1 ? , B ? x2,y2 ? 是函数 f ? x ? 图像上的任意两点( x1 ? x2 ) ,记 直线 AB 的斜率为 k ,求证: f ' (

x1 ? 2 x2 )?k. 3

24.对于函数 f ( x), g ( x) ,如果它们的图象有公共点 P,且在点 P 处的切线相同,则称函数

f ( x) 和 g ( x ) 在 点 P 处 相 切 , 称 点 P 为 这 两 个 函 数 的 切 点 . 设 函 数

f ( x) ? ax 2 ? bx(a ? 0) , g ( x) ? ln x .
(1)当 a ? ?1 , b ? 0 时, 判断函数 f ( x) 和 g ( x ) 是否相切?并说明理由; (2)已知 a ? b , a ? 0 ,且函数 f ( x) 和 g ( x ) 相切,求切点 P 的坐标; (3)设 a ? 0 ,点 P 的坐标为 ( , ?1) ,问是否存在符合条件的函数 f ( x) 和 g ( x ) ,使得它 们在点 P 处相切?若点 P 的坐标为 (e , 2) 呢?(结论不要求证明) .
2

1 e

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2016 届高三数学一轮复习之导数讲义 25.已知函数 f ( x) ? e , ( x ? R) .
x

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(1)求 f ( x) 在点 (1 , e) 处的切线方程; (2)证明: 曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ?

1 2 x ? x ? 1 有唯一公共点; 2

(3)设 a ? b ,比较

f (a) ? f (b) f (b) ? f (a ) 与 的大小, 并说明理由. b?a 2

26.已知函数 f ( x) ? e

x

(1)当 f ( x) ? ex ? a 对任意的实数 x 恒成立,求 a 的取值范围; (2)若 a ? b ,求证:

f (b) ? f (a ) 1 f (a ) ? f (b) a?b ? [ ? f( )] . b?a 2 2 2

27.已知 f ( x) ? ln( x ? 1) , g ( x) ?

1 2 ax ? bx (a, b ? R ) . 2

(1)若 b ? 2且h( x) ? f ( x ? 1) ? g ( x) 存在单调递减区间,求实数 a 的取值范围; (2)若 a ? 0, b ? 1 ,求证:当 x ? ( ?1, ??) 时, f ( x) ? g ( x) ? 0 恒成立; (3)利用(2)的结论证明:若 x ? 0, y ? 0 ,则 x ln x ? y ln y ? ( x ? y ) ln

x? y . 2

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28.设函数 f ( x) ? x 2 ? x ? a ln x ,其中 a ? 0 . (1)若 a ? ?6 ,求 f ( x) 在[1,4]上的最值; (2)若 f ( x) 在定义域内既有极大值又有极小值,求实数 a 的取值范围; (3)求证:不等式 ln
n ?1 n ?1 ? 3 (n ? N * ) 恒成立. n n

29.已知函数 f ( x ) ?

1? x ? ln x ( a ? 0) ax

(1)若函数 f ( x ) 在 [1,?? ) 上为增函数,求实数 a 的取值范围; (2)当 a ? 1 时,求 f ( x ) 在 [ ,2] 上的最大值和最小值; (3)当 a ? 1 时,求证对任意大于 1 的正整数 n , ln n ?

1 2

1 1 1 1 ? ? ? ? ? 恒成立. 2 3 4 n

30.已知函数 f ( x) ? ax ? (1)当 a ?

a ?1 ? ln x x

1 时,试讨论函数 f ( x) 的单调性; 2
?

(2)证明:对任意的 n ? N

ln 1 ln 2 ln(n ? 1) ln n n2 ? ??? ? ? ,有 . 1 2 n ?1 n 2(n ? 1)

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2016 届高三数学一轮复习之导数讲义 31.已知函数 f ( x ) ? a ln x ?

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1 2 x ? (1 ? a ) x ( x ? 0) ,其中 a 为实数 2

(1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)若函数 f ( x ) ? 0 对定义域内的任意 x 恒成立,求实数 a 的取值范围;

(3)证明: 立.

1 1 1 n ,对于任意的正整数 m, n 成 ? ?? ? ? ln(m ? 1) ln(m ? 2) ln(m ? n) m(m ? n)

32.设函数 f ( x) ?

x ? a ln(1 ? x), g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx . 1? x

(1)若函数 f ( x) 在 x ? 0 处有极值,求函数 f ( x) 的最大值; (2)①是否存在实数 b ,使得关于 x 的不等式 g ( x) ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立?若存在,求出 b 的取值范围;若不存在,说明理由; n ②证明:不等式 ?1 ? ? 2k ? ln n ? 1 ? n ? 1, 2, ???? . 2 k ?1 k ? 1

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33.已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? 1 在 x ? 2 处的切线斜率为 ? (1)求实数 a 的值及函数 f ( x) 的单调区间; (2)设 g ( x) ?

1 . 2

x 2 ? 2kx ? k ,对 ?x1 ? (0,??), ?x2 ? ( ??,0) 使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,求正 x

实数 k 的取值范围; (3)证明:

ln 2 ln 3 ln n 2n 2 ? n ? 1 + + … + ( n ? 2, n ? N ? ). ? 22 32 n2 4 ? n ? 1?

34.已知函数 f ( x) ? e ? kx, x ? R .
x

(1)若 k ? e ,试确定函数 f ( x ) 的单调区间; (2)若 k ? 0 ,且对于任意 x ? R , f (| x |) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; (3)设函数 F ( x ) ? f ( x ) ? f ( ? x ) ,求证: F (1) F (2) ??? F (n) ? (e
n ?1

? 2) (n ? N * ) .

n 2

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35.已知函数 f ( x) ? a ln x ? ax ? 3( a ? R ) . (1)若 a ? ?1 ,求函数 f ( x) 的单调区间; (2)若函数 y ? f ( x) 的图象在点 ( 2, f ( 2)) 处的切线的倾斜角为 45°,对于任意的 t ? [1,2] , 函数 g ( x) ? x ? x ? f ? ? x ? ? ? ( f ' ( x) 是 f ( x) 的导数)在区间 (t ,3) 上总不是单调函数, 2? ?
3 2

?

m?

求 m 的取值范围; (3)求证:

ln 2 ln 3 ln 4 ln n 1 ×…× < ( n ? 2, n ? N ? ). ? ? 2 3 4 n n

36.已知函数 f ( x) ? e x ? ax ? a (其中 a ? R ,e 是自然对数的底数,e=2.71828…) . (1)当 a ? e 时,求函数 f ( x) 的极值; (2)若 f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)求证:对任意正整数 n ,都有

2 22 2n 1 ? 2 ?? ? n ? . 2 ?1 2 ?1 2 ?1 e

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37.已知函数 (1)求 (2)记

f ( x) ? x cos x ? sin x ? 1( x ? 0) .

f ( x) 的单调区间;
xi 为 f ( x) 的 从 小 到 大 的 第 i(i ? N *) 个 零 点 , 证 明 : 对 一 切 n ? N * , 有

1 1 1 2 ? 2 ?? ? 2 ? . 2 x1 x2 xn 3

38 . 已 知 函 数 f ( x) ? e ? x ? 1 , x ? R , 其 中 , e 是 自 然 对 数 的 底 数 . 函 数
x

g ( x) ? xsinx ? cosx ? 1 , x ? 0 .
(Ⅰ)求

f ( x) 的最小值;

(Ⅱ)将 g ( x) 的全部零点按照从小到大的顺序排成数列 {an } ,求证: (1)

(2n ? 1)? (2n ? 1)? ,其中 n ? N * ; ? an ? 2 2

(2) ln ? 1 ?

? ?

? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 2 ? ln ?1 ? 2 ? ? ln ?1 ? 2 ? ? ? ? ln ?1 ? 2 ? ? . 2 ? a1 ? ? a2 ? ? a3 ? ? an ? 3

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39.已知函数 f ( x ) ? ax , g ( x ) ? ln x ,其中 a ? R. (1)若函数 F ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) 有极值 1 ,求实数 a 的值; (2)若函数 G ( x ) ? f [sin(1 ? x )] ? g ( x ) 在区间 (0,1) 上是增函数,求实数 a 的取值范围;

(3)证明:

? sin (k ? 1)
k ?1

n

1

2

? ln 2.

40.已知 f ? x ? ? ln x ? ax , . (1)当 a ? 1 时,求 f ? x ? 的最大值; (2)试讨论函数 y ? f ? x ? 的零点情况; ( 3 ) 设 ak , bk , ??? ( k ? 1 , 2 , ??? , n ) 均 为 正 数 , 若

a1b1 ? a2b2 ? ??? ? anbn ? b1 ? b2 ? ??? ? bn ,求证 a1b1 ?a2b2 ?????an bn ? 1 .

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41.对于函数 f ( x )( x ? D ) ,若 x ? D 时,恒有 f ?( x ) ? f ( x ) 成立,则称函数 f ( x ) 是 D 上 的“ J 函数”. (Ⅰ)当函数 f ( x) ? me ln x 是定义域上的“ J 函数”时,求实数 m 的取值范围;
x

(Ⅱ)若函数 g ( x ) 为 ?0,?? ? 上的“ J 函数”. (ⅰ)试比较 g ( a ) 与 e
a ?1

; g (1) 的大小(其中 a ? 0 )

( ⅱ ) 求 证 : 对 于 任 意 大 于 1 的 实 数 x1 , x 2 , x3 ,, x n 均 有

g (ln( x1 ? x 2 ? ? ? ? ? x n )) ? g (ln x1 ) ? g (ln x 2 ) ? ? g (ln x n ) .

42.已知函数 f ( x) ? x ? ln( x ? a ) 的最小值为 0,其中 a ? 0 . (1)求 a 的值 (2)若对任意的 x ? [0,??) ,有 f ( x) ? kx 成立,求实数 k 的最小值
2

(3)证明

? 2i ? 1 ? ln(2n ? 1) ? 2(n ? N
i ?1

n

2

*

)

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2016 届高三数学一轮复习之导数讲义 43.已知 f ( x ) ? x ?

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a (a ? 0) , g ( x ) ? 2 ln x , x

(1)若对 [1,?? ) 内的一切实数 x ,不等式 f ( x ) ? g ( x ) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)当 a ? 1 时,求最大的正整数 k ,使得对 [e,3] ( e ? 2.71828 ??? 是自然对数的底数) 内的任意 k 个实数 x1 , x 2 , ? , x k 都有 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? f ( x k ?1 ) ? 16 g ( x k ) 成立; (3)求证:

? 4i
i ?1

n

2

4i ? ln(2n ? 1) (n ? N * ) . ?1

44.已知函数 f ( x ) ? ax , g ( x ) ? ln x ,其中 a ? R. (1)若函数 F ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) 有极值 1 ,求实数 a 的值; (2)若函数 G ( x ) ? f [sin(1 ? x )] ? g ( x ) 在区间 (0,1) 上是增函数,求实数 a 的取值范围;

(3)证明:

? sin (k ? 1)
k ?1

n

1

2

? ln 2.

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2016 届高三数学一轮复习之导数讲义 45.已知 f ? x ? ? ln x ? ax , . (1)当 a ? 1 时,求 f ? x ? 的最大值; (2)试讨论函数 y ? f ? x ? 的零点情况;

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( 3 ) 设 ak , bk , ??? ( k ? 1 , 2 , ??? , n ) 均 为 正 数 , 若

a1b1 ? a2b2 ? ??? ? anbn ? b1 ? b2 ? ??? ? bn ,求证 a1b1 ?a2b2 ?????an bn ? 1 .

46.已知 f ( x) 的定义域为 (0,??) ,满足 f ( x) ? 0 , f ' ( x) 为其导函数, (1)讨论函数 F ( x) ? e f ( x) 的单调性.
x

f ' ( x) ? ?1 . f ( x)

(2)设 0 ? x ? 1 ,比较 xf ( x) 与

1 1 f ( ) 的大小. x x

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x

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47.已知函数 f ( x) ? e ? a ( x ? 1) ,其中 a ? R , e 为自然对数底数. (1)当 a ? ?1 时,求函数 f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)讨论函数 f ( x ) 的单调性,并写出相应的单调区间; (3)已知 b ? R ,若函数 f ( x ) ? b 对任意 x ? R 都成立,求 ab 的最大值.

48.已知函数 f ( x) ? xe , ( x ? R ) . (1)求函数 f ( x ) 的单调区间和极值; (2)已知函数 y ? g ( x ) 的图象与函数 y ? f ( x ) 的图象关于直线 x ? 1 对称;证明:当 x ? 1 时, f ( x ) ? g ( x ) (3)如果 x1 ? x2 且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,证明 x1 ? x2 ? 2

?x

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49.已知函数 f ( x) ? ( x ? 1)e? x,x ? R ,其中 e 是自然对数的底数. (1)求函数 f ( x) 的单调区间和极值; (2)若函数 y ? g ( x) 对任意 x 满足 g ( x) ? f (4 ? x) ,求证:当 x ? 2 时, f ( x) ? g ( x) ; (3)若 x1 ? x2 ,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,求证: x1 ? x2 ? 4.

50.已知函数 f ( x) ?

( x ? a) 2 (其中 a 为常数) . ln x

(1)当 a ? 0 时,求函数的单调区间; (2)当 a ? 1 时,对于任意大于 1 的实数 x ,恒有 f ( x ) ? k 成立,求实数 k 的取值范围; ( 3 )当 0 ? a ? 1 时,设函数 f ( x ) 的 3 个极值点为 x1,x 2,x3 ,且 x1 ? x 2 ? x3 .求证:

x1 ? x3 ?

2 e



51.已知 a 为实常数,函数 f ( x) ? ln x ? ax ? 1 . (1)讨论函数 f ( x) 的单调性; (2)若函数 f ( x) 有两个不同的零点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ; (Ⅰ)求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)求证:

1 ? x1 ? 1 且 x1 ? x2 ? 2 .(注: e 为自然对数的底数) e

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2

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52 . ( 2015 浙江理)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? b( a, b ? R ) ,记 M ( a, b) 是 | f ( x) | 在区间

[?1,1] 上的最大值.
(1)证明:当 | a |? 2 时, M ( a, b) ? 2 ; (2)当 a, b 满足 M ( a, b) ? 2 时,求 | a | ? | b | 的最大值.

53.已知 f ( x ) ? mx ? a ln x ? m, g ( x ) ? (1)求 g ( x ) 的极值;

ex ,其中 m, a 均为实数, ex

(2)设 m =1, a =0 ,求证:对 ?x1 , x2 ? ?3, 4? ( x1 ? x2 ), f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 成立;

ex2 ex1 ? 恒 g ( x2 ) g ( x1 )

( 3 ) 设 a ? 2 , 若 对 ? 给 定 的 x0 ? ?0, e? , 在 区 间 ?0, e? 上 总 存 在 t1 , t 2 (t1 ? t 2 ) 使 得

f (t1 ) ? f (t 2 ) ? g ( x 0 ) 成立,求 m 的取值范围.

54.设函数 f ( x) ? ax ? ( a ? b) x ? bx ? c 其中 a ? 0, b, c ? R .
3 2

(1)若 f ' ( ) ? 0 ,求 f ( x) 的单调区间 (2)设 M 表示 f ' (0) 与 f ' (1) 两个数中的最大值,求证:当 0 ? x ? 1 时, | f ' ( x) |? M |.

1 3

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1 55.已知函数 f ( x) ? ln x ? a ( x ? 1) ( a ? R ) . 2 (1)若 a ? ?2 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)若不等式 f ( x) ? 0 对任意 x ? (1, ?? ) 恒成立.

①求实数 a 的取值范围; ②试比较 ea ? 2 与 a e ? 2 的大小,并给出证明( e 为自然对数的底数, e ? 2.71828 ) .

56.巳知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 2a ln x, g ( x) ? ln x ? 2a , 其中 x ? 0, a ? R .
2 2 2

(1)若 x ? 1 是函数 f ( x) 的极值点,求 a 的值; (2)若 f ( x) 在区间 ( 2,??) 上单调递增,求 a 的取值范围; (3)记 F ( x) ? f ( x) ? f ( x) ,求证: F ( x) ?

1 . 2

57.巳知函数 f ( x) ? e

2x

? 4ae x ? 2ax, g ( x) ? x 2 ? 5a 2 , a ? R .

(1)若 f ( x) 在 R 上单调递增,求 a 的取值范围; (2) F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,求证: F ( x) ?

4(1 ? ln 2) 2 . 5

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58.已知函数 f ( x ) ? ln x , g ( x ) ? (1 ? x ) f ( x ) . (1)求 y ? f ( x ) 在点(1,0)处的切线方程; (2)判断 h( x ) ? g ?( x ) 及 g ( x ) 在区间 (1, ?? ) 上的单调性;
2 x?2

(3)证明: x ? e x

2

?1

在 (1, ?? ) 上恒成立.

59.已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ln x ? ax , x ? 0 . ( f ( x) 的图象连续不断)
2

(1)求 f ( x) 的单调区间;

(2)若存在均属于区间[1,3]的 ? , ? ,且 ? ? ? ? 1 ,使 f (? ) ? f ( ? ) ,证明:

ln 3 ? ln 2 ln 2 . ?a? 5 3

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2016 届高三数学一轮复习之导数讲义 60.已知函数 f ( x) ? ln x ? ax , x ? 0
2

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(Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)已知存在正数 ? , ? 满足 ? ?

? , f (? ) ? f ( ? ) .

①若 ? , ? 都属于区间[1,3],且 ? ? ? ? 1 ,求实数 a 的取值范围.

②求证: ? ? ? ?

2 . a

61.已知函数 f ( x) ? x ln x .
2

(1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)证明:对任意的 t ? 0 ,存在唯一的 s ,使 t ? f ( s ) . (3) 设 (2) 中所确定的 s 关于 t 的函数为 s ? g (t ) , 证明: 当 t ? e 时, 有
2

2 ln g (t ) 1 ? ? . 5 ln t 2

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2

62. (2015 福建文)已知函数 f ? x ?

? x ? 1? ? ln x ?
2



(1)求函数 f ? x ? 的单调递增区间; (2)证明:当 x ? 1 时, f ? x ? ? x ? 1 ; (3) 确定实数 k 的所有可能取值, 使得存在 x0 ? 1 , 当 x ? ?1, x0 ? 时, 恒有 f ? x ? ? k ? x ? 1? .

63.已知 f ( x) ?

ln( x ? a ) . x

(1)若 a ? ?1 ,证明 f ( x) 是 (0,??) 上的减函数; (2)若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 出的切线与直线 x ? y ? 0 平行,求 a 的值; (3)若 x ? 0 ,求证:

ln( x ? 1) x . ? x x e ?1

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2016 届高三数学一轮复习之导数讲义

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64.(2015 湖北文)设函数 f ( x), g ( x) 的定义域均为 R ,且 f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,

f ( x) ? g ( x) ? e x ,其中 e 为自然对数的底数.
(1)求 f ( x), g ( x) 的解析式,并证明:当 x ? 0 时, f ( x) ? 0, g ( x) ? 1 ; (2)设 a ? 0, b ? 1 .证明:当 x ? 0 时, ag (x) ? (1 ? a) ?

f (x) ? bg (x) ? (1 ? b) . x

65. (2015 福建理)已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) , g ( x) ? kx( k ? R ) . (1)证明:当 x ? 0 时, f ( x) ? x ; (2)证明:当 k <1 时,存在 x0 >0 ,使得对任意 x ? (0, x0 ) ,恒有 f ( x) ? g ( x) ; (3)确定 k 的所以可能取值,使得存在 t >0 ,对任意的 x ? (0, t ) 恒有 | f ( x) ? g ( x) |? x .
2

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2016 届高三数学一轮复习之导数讲义 66.已知函数 f ( x ) ?

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x , g ( x ) ? a ln x, a ? R

(1)若曲线 y ? f ( x ) 与曲线 y ? g ( x ) 相交,且在交点处有共同的切线,求 a 的值和该切 线方程; (2)设函数 h( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ,当 h( x ) 存在最小值时,求其最小值 ? ( a ) 的解析式; (3)对(2)中的 ? ( a ) 和任意的 a ? 0, b ? 0 ,证明:? ?(

a ? b ? ?(a ) ? ? ?(b) 2ab )? ? ? ?( ) 2 2 a?b

67. (2015 湖南文)已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ae cos x( x ? [0, ??) ,记 xn 为 f ( x) 的从小
2

到大的第 n( n ? N ) 个极值点.
*

(1)证明:数列 { f ( xn )} 是等比数列; (2)若对一切 n ? N , xn ? f ( x n ) 恒成立,求 a 的取值范围.
*

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ax

68. (2015 湖南理)已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? e sin x( x ? [0, ??)) . 记 xn 为 f ( x ) 的从小 到大的第 n ( n ? N ) 个极值点,证明:
*

(1)数列 { f ( xn )} 是等比数列; (2)若 a ?

1 e ?1
2

,则对一切 n ? N * , xn ?| f ( xn ) | 恒成立.

69.已知函数 f ( x ) ?

1 2 x ? ln x . 2

(1)求函数 f ( x ) 在 [1, e] 上的最大值、最小值; (2)当 x ? [1, ?? ) ,比较 f ( x ) 与 g ( x ) ?

2 3 x 的大小. 3

n n n ? (3)求证: [ f ?( x)] ? f ?( x ) ? 2 ? 2( n ? N ) .

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?

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70.设函数 f ( x) ? (1 ? x) 的定义域是 [ ?1, ??) ,其中常数 ? ? 0 . (1)若 ? ? 1 ,求 y ? f ( x) 的过原点的切线方程. (2)当 ? ? 2 时,求最大实数 A ,使不等式 f ( x) ? 1 ? ? x ? Ax 对 x ? 0 恒成立.
2

1 n ?1 k ? 1 ? ? ) ? ) ?? . (3)证明当 ? ? 1 时,对任何 n ? N ,有 1 ? ? (( n k ?2 k k
*

71. (1)若 x ? 1 是 f ( x) ? t ln x ?

x2 的一个极值点,求 f ( x) 的单调区间; 1? x
ai 2 n ? ; 2 i=1 1 ? ai
n n i=1

(2)证明:若 a1a2 ? an ? 1, ai ? R ? , n ? N ?,则?

(3)证明:若 a1a2 ? an ? 1, ? ? R ? , ai ? R ? , n ? N ?,则?

ai 2 n . ? ? ? ai ? ? 1

72.已知函数 f ( x ) ? x ? 切点分别为 M , N .

t ( x ? 0) ,过点 P (1, 0) 作曲线 y ? f ( x ) 的两条切线 PM , PN , x

(1)当 t ? 2 时,求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (2)设 g (t ) ? MN ,求函数 g (t ) 的表达式; ( 3)在( 2)的条件下,若对任意的正整数 n ,在区间 ? 2, n ?

? ?

64 ? 内,总存在 m ? 1 个数 n? ?

a1 , a2 ,? , am , am ?1 , 使得不等式 g (a1 ) ? g (a2 ) ? ? ? g (am ) ? g (am ?1 ) 成立,求 m 的最大值.

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73.已知函数 f ( x) ? e? x ( x 2 ? ax) 在点 (0, f (0)) 处的切线斜率为 2 . (1)求实数 a 的值;
3 (2)设 g ( x) ? ? x( x ? t ? )(t ? R ),若 g ( x) ? f ( x) 对 x ? [0,1] 恒成立,求 t 的取值范围; e 1 (3)已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an ?1 ? (1 ? )an , n a a a ?1 3 ? 求证:当 n ? 2, n ? N 时 f ( 1 ) ? f ( 2 ) ? ? ? f ( n ?1 ) ? n ? ? ? ? n n n ? 6 2e ? ( e 为自然对数的底数, e ? 2.71828 ) .

1 74. (2015 湖北理)已知数列 {an } 的各项均为正数, bn ? n (1 ? ) n an (n ? N ? ) , e 为自然对 n
数的底数.

1 (1)求函数 f ( x) ? 1 ? x ? e x 的单调区间,并比较 (1 ? ) n 与 e 的大小; n
(2)计算

bb b b b ? bn b1 bb , 1 2 , 1 2 3 ,由此推测计算 1 2 的公式,并给出证明; a1 a1a2 a1a2 a3 a1a2 ? an
1

(3)令 cn ? (a1a2 ? an ) n ,数列 {an } , {cn } 的前 n 项和分别记为 Sn , Tn , 证明: Tn ? eSn .

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2016 届高三数学一轮复习之导数讲义 75.设函数 f ( x) ? x sin x( x ? R ) ,

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(1)证明 f ( x ? 2k? ) ? f ( x) ? 2k? sin x ,其中 k 为整数; (2)设 x0 为 f ( x) 的一个极值点,证明 (提示 sin 2 x ?
sin 2 x tan 2 x ? ) 2 sin x ? cos x 1 ? tan 2 x
2

?

f ( x0 )?

2

?

x 04 1 ? x 02



( 3 )设 f ( x) 在( 0 , +∞ )内的全部极值点按从小到大的顺序排列 a1 , a2 ,..., an ,.. ,证明

?
2

? a n ?1 ? a n ? ? .

76.设函数 f ( x) ? x ? mx ? m ln x.
2

(1)设曲线 y ? f ( x ) 在点(1, f (1) )处的切线与 x 轴平行. ① 求 f ( x ) 的最值; ② 若数列 ?a n ? 满足 a1 ? e ? 1 ( e 为自然对数的底数) , an ?1 ? f ( an ) ? 1, n ? N ,
?

求证:

?a
k ?1

n

k

? 2 n ? 2n ? 1 .

(2)设方程 x ? ln x ? 0 的实根为 x 0 . 求证:对任意 m ? ( x0 ,

? x0 ? x0 2 x ) ,存在 x ? ? x0 , ? 使 f ( x ) ? x ? ln(1 ? e ) 成立. 2 x ? 1 2 x0 ? 1 0 ? ?

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