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福建省漳州市第一中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 文


漳州一中 2015~2016 学年第一学期期末考 高二年数学(文)科试卷
考试时间:120 分钟 满分:150 分

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.设 p 、 q 为简单命题,则“ p 且 q ”为假是“ p 或 q ”为假的 A.充分不必要条件 B.必要不

充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.函数 f ( x) ? x3 , f ?( x0 ) ? 6 ,则 x0 ? A. 2 B. ? 2 C. ?1 D. ? 2 3.已知 F1 (?1,0) , F2 (1,0) 是椭圆的两焦点,过 F1 的直线 l 交椭圆于 M , N ,若 ?MF2 N 的 周长为 8 ,则椭圆方程为

x2 y2 y2 x2 x2 y2 ? ?1 ? ?1 ? ?1 B. C. 4 3 4 3 16 15 2 4.全称命题“ ?x ? R , x ? 5x ? 4 ”的否定是
A. A. ?x ? R , x ? 5x ? 4
2 2 2

D.

y2 x2 ? ?1 16 15

B. ?x ? R , x ? 5x ? 4

C. ?x ? R , x ? 5x ? 4 D.以上都不正确 5.一名小学生的年龄和身高(单位: cm )得到数据如下: 8 6 7 年龄 x y 身高 118 126 136
? ?

9 144

由散点图可知,身高 y 与年龄 x 之间的线性回归直线方程为 y ? 8.8 x ? a ,预测该学生

10 岁时的身高约为 A. 154 cm
3

B. 153 cm

C. 152 cm

D. 151cm

6.以 v cm /秒的恒定速度往高为 H 的杯中注水,水深 h 是时间 t 的函数,其图像如图,则 此杯的形状可能是
h H O t0 t

7.若双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线为 2 x ? y ? 0 ,则该双曲线的离心率为 a 2 b2

1

A. 5

B. 5

C. 3

D.

5 2

8.如图是一容量为 100 的样本的重量的频率分布直方图,则由图 可估计样本重量的中位数为 A. 11 B. 11.5 C. 12 D. 12.5

9.下列说法正确的是
2 2 2 2 A.命题“若 a ? b ,则 a ? b ”的否命题是“若 a ? b ,则 a ? b ”

B. x ? 2 是 x ? 5x ? 6 ? 0 成立的必要不充分条件
2 2 2 C.命题“若 x ? 2 ,则 x ? 5x ? 6 ? 0 ”的逆命题是“若 x ? 5x ? 6 ? 0 ,则 x ? 2 ” D.命题“若 ? ? ? ,则 cos ? ? cos ? ”的逆否命题为真命题

10.函数 f ( x) 在定义域 R 内可导,若 f ( x) ? f (2 ? x) ,且当 x ? (??, 1) 时,

1 ( x ? 1) f ?( x) ? 0 .设 a ? f (0), b ? f ( ), c ? f (3) ,则 2
A. c ? a ? b B. c ? b ? a C. a ? b ? c D. b ? c ? a

11.在区间 [0,1] 上随机取两个实数 a、 b , 则函数 f ( x) ? 只有一个零点的概率是 A.

1 3 x ? ax ? b 在区间 [0,1] 上有且 2
D.

1 8

B.

1 4

C.

3 4

12.抛物线 x 2 ? ay (a ? 0) 的准线 l 与 y 轴交于点 P ,若 l 绕点 P 以每秒 按逆时针方向旋转 t 秒钟后,恰与抛物线第一次相切,则 t 等于 A. 1 B. 2 C. 3

? 弧度的角速度 12
D. 4

7 8

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5,共 20 分) 13.抛物线 y ? ax 的焦点恰好为双曲线 x ? y ? 2 的右焦点,则 a ?
2
2 2

.

14.一支田径队有男女运动员 98 人, 其中男运动员有 56 人. 按男女比例用分层抽样的方法, 从全体运动员中抽出一个容量为 28 的样本,那么应抽取女运动员人数是_______. 15.如右图是函数 f ( x) ? x ? bx ? cx ? d 的大致图像,
3 2

则 x1 ? x 2 =

.

2

16.设 P 为曲线 C : y ? x 2 ? x ? 1上一点,曲线 C 在点 P 处的切线的斜率的范围是 [?1,3] , 则点 P 纵坐标 的取值范围是 ... .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证 明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分) 已知在直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程为 ?

?x ? t ? 3 ? y ? 3t

在极坐标系 (直 (t 为参数 ) ,

角坐标系 xOy 取相同的单位长度,且以原点 O 为极点,以正半轴 x 为 极轴)中,曲线

C 的极坐标方程为 ? 2 ? 4? cos? ? 3 . (Ⅰ)求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设点 P 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的取值范围.

18. (本小题满分 10 分)已知椭圆 C :

x2 y2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,椭圆 C 上 2 a b 3

任意一点到椭圆两焦点的距离之和为 6 . (Ⅰ)求椭圆 C 的 方程; (Ⅱ)设直线 l : y ? x ? 2 与椭圆 C 交于 M , N 两点, O 是原点,求 ?OMN 的面积.

19. (本小题满分 12 分)口袋中有质地、大小完全相同的 5 个球,编号分别为 1,2,3,4,5 , 甲、乙两人玩一种游戏:甲先摸出一个球,记下编号,放回后乙再摸一个球,记下编 号,如果两个编号的和为偶数算甲赢,否则算乙赢. (Ⅰ)求事件“两个编号的和为 6 ”发生的概率; (Ⅱ)这种游戏规则公平吗?试说明理由.

3

20.(本小题满 12 分)已知函数 f ( x ) ? (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间;

1 2 x ? ln x . 2

(Ⅱ)若 f ( x) ? t 对 ?x ? [ , e] 成立(其中 e 为自然对数 y ? ln x 的底数) ,求实数 t 的 取值范围.

1 e

21.(本小题满分 12 分)已知抛物线 C : x2 ? 4 y 的焦点为 F ,准线与 y 轴的交点为 Q , 过点 Q 的直线 l 与抛物线 C 相交于不同的 A, B 两点. y (Ⅰ)若 AB ? 4 15 ,求直线 l 的方程; B (Ⅱ)记 FA 、 FB 的斜率分别为 k1 、 k2 , 试问: k1 ? k2 的值是否随直线 l 位置 的变化 而变化?证明你的结论. F O Q A x

22.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x ? ax .
3

(Ⅰ)若 f ( x) 在 x ? 1 处的切线平行于 x 轴,求 a 的值和 f ( x) 的极值;
4

(Ⅱ)若过点 A(1, 0) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,求 a 的取值范围.

5

漳州一中 2015~2016 学年第一学期期末考 高二年数学(文)科评分标准 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 B 2 D 3 A 4 C 5 B 6 A 7 B 8 C 9 D 10 A 11 D 12 C

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 8 14. 12 15.

2 3

16. [ ,3]

3 4

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.解: (Ⅰ)直线 l 的普通方程为: 3x ? y ? 3 3 ? 0 ????????????2 分 曲线 C 的直角坐标方程为: x 2 ? y 2 ? 4x ? 3 ? 0 .
2 2

?????????5 分

(Ⅱ) 曲线 C 的 标准方程为: ( x ? 2) ? y ? 1,圆心 C (2,0) ,半径为 1 ,

|2 3 ?0?3 3 | 5 3 ?????8 分 ? 2 2 5 3 5 3 所以点 P 到直线 l 的距离的取值范围为 [ ?????10 分 ? 1, ? 1] 2 2 x2 y2 6 18.解: (Ⅰ)椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,椭圆 C 上任意一点 到椭 a b 3 c 6 圆两焦点的距离之和为 6 . ∴ 2a ? 6 , ? ????????????2 分 a 3 2 2 2 ∴ a ? 3 ,c ? 6 ,∴ b ? a ? c ? 3 ?????????????3 分 2 2 x y ? ? 1. ∴椭圆 C 的方程为 ?????????????4 分 9 3
则圆心 C (2,0) 到直线 l 的距离 d ?

?y ? x ? 2 ? (Ⅱ)由 ? x 2 y 2 ? 4 x 2 ? 12x ? 3 ? 0 ?1 ? ? 3 ?9
分 设 M ( x1, y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 3 , x1 ? x2 ? ∴ | MN |?

? ????????????5

3 4

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 2[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2

6

3 ? 2(32 ? 4 ? ) ? 2 3 4
∵原点 O 到直线 y ? x ? 2 的距离 d ? ∴ ?OMN 的面积为 S ?

??????? ??????8 分

|0?0?2| ? 2 2

??????????9 分

1 ?2 3? 2 ? 6 . 2

????????????10 分 ????????????2 分

19.解: (Ⅰ)两个编号共有 25 个等可能的结果,

设“两个编号的和为 6 ”为事件 A ,事件 A 包含的基本事件为:

(1,5),(2,4),(3,6),(4,2),(5,1) ,共 5 个,
∴ P( A) ?

????????????4 分 ????????????6 分

5 1 ? 25 5

(Ⅱ)设“甲赢”为事件 B ,“乙赢”为事件 C ,则甲赢的基本事件有 13 个:

(1,1), (1,3), (1,5), (2,2), (2,4), (3,1), (3,3), (3,5), (4,2), (4,4), (5,1), (5,3), (5,5) , ??9 分
所以甲 赢的概率 P ( B ) ?

13 13 12 ? , 乙赢的概率 P (C ) ? 1 ? 25 25 25

???11 分 ???12 分

由于 P( B) ? P(C ) ,所以这种游戏规则不公平. 20.解: (Ⅰ)由已知得定义域为 ? 0, ??? ,∵ f ?( x) ? x ?

1 ( x ? 1)( x ? 1) ? ???2 分 x x 令 f ?( x) ? 0 ? x ? 1( x ? 0) , f ?( x) ? 0 ? x ? 1( x ? 0) , f ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? 1, ∴ f ( x ) 的减区间为 (0,1) , 增区间为 (1, ??) ????????????????6 分 ?1 ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x ) 在 ? ,1? 上递 减,在 ?1, e? 上递增 ?????????8 ?e ?
∵ f( )?



1 1 1 1 ? 1 , f (e) ? e 2 ? 1 ,且 e 2 ? 1 ? 2 ? 1 ?????????9 分 2 2e 2 2 2e 1 2 ?1 ? ∴当 x ? ? , e ? 时, ? f ( x) ?max ? f (e) ? e ? 1 ??????????????10 分 2 ?e ? 1 2 ?1 ? ∵ f ( x) ? t 对 ?x ? ? , e ? 成立,∴ t ? ? f ( x)?max ,即 t ? e ? 1 , 2 ?e ? ?1 2 ? ∴实数 t 的取值范围为 ? e ? 1, ?? ? .??????????????????12 分 ?2 ? 21.解: (Ⅰ)∵ Q(0, ?1) 且直线斜率存在,∴可设 l : y ? kx ? 1 , ?????1 分
7

1 e

代入 x2 ? 4 y 得: x ? 4kx ? 4 ? 0 ,令△ ? 16k 2 ?16 ? 0 ? k ? 1 ,
2

????2 分

设 A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 ) ,∴ x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? 4 , ∴ AB ? (1 ? k )( x1 ? x2 ) ? (1 ? k ) ? ?( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? ?
2 2 2 2

???????3 分

? (1 ? k 2 )(16k 2 ? 16) ? 4 k 4 ? 1 ,
∴ l : y ? ?2 x ? 1 . (Ⅱ)∵ F (0,1) ,∴ k1 ? k2 ?

???????????5 分 ??????6 分

∵ AB ? 4 15 ,∴ k 4 ?1 ? 15 ? k ? ?2 ? (??, ?1) ? (1, ??) ,

?????????????7 分

y1 ? 1 y2 ? 1 x2 ( y1 ? 1) ? x1 ( y2 ? 1) ? ? x1 x2 x1 x2 x (kx ? 2) ? x1 (kx2 ? 2) 2kx1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) 8k ? 8k ? 2 1 ? ? ? 0 , ???11 分 x1 x2 x1 x2 4 ∴ k1 ? k2 的值不随直线 l 的变化而变化. ?????????12 分

22.解: (Ⅰ) f ' ( x) ? 3x 2 ? a , ??????1 分 ∵ f ( x ) 在 x ? 1 处的切线平行于 x 轴, ∴ f ' (1) ? 3 ? a ? 0 ,即 a ? ?3 . ???2 分 ∴ f ( x) ? x ? 3x .
3 2 令 f ' ( x) ? 3x ? 3 ? 0 ,得 x ? ?1 .

??????3



x
f ' ( x)
f ( x)

(??,?1)
+ ↗

?1
0 极大值

(?1, 1)


1 0 极小值

(1, ? ?)
+ ↗ ??????6

∴ f ( x) 极大值 ? f (?1) ? 2 , f ( x) 极小值 ? f (1) ? ?2 . 分 (Ⅱ)设切点为 (t , t ? at) ,则切线斜率为 f ' (t ) ? 3t ? a ,
3 2

∴ 切线方程为 y ? t ? at ? (3t ? a)(x ? t ) ,
3 2
3 2

∵ 点 A(1, 0) 在切线上, (*) ????8

3 2 ∴ ? t ? at ? (3t ? a)(1 ? t ) , 即 2t ? 3t ? a ? 0 .

分 于是, 若过点 A 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线, 则方程(*)有三个相异的实根根.
8

记 g (t ) ? 2t 3 ? 3t 2 ? a , 则 g ' (t ) ? 6t 2 ? 6t . 当 t ? (??, 0) 时, g ' (t ) ? 0 , g (t ) 是增函数, 当 t ? (0, 1) 时, g ' (t ) ? 0 , g (t ) 是减函数, 当 t ? (1, ? ?) 时 , g ' (t ) ? 0 , g (t ) 是增函数 , 分 ∴ g (t ) 极大值 ? g (0) ? ?a, 分 要使方程 (*) 有三个相异实根 , 则 ? 分 ?????????11

g (t ) 极小值 ? g (1) ? ?1 ? a .
? g (t ) 极大值 ? ?a ? 0, ? g (t ) 极小值 ? ?1 ? a ? 0,

?????????12

即 ? 1 ? a ? 0 . ?14

9


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