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圆锥曲线的共同性质及应用

时间:2014-01-19


铸就梦想,提高成绩,改变人生的高端教育机构

12.4 圆锥曲线的共同性质及应用
【知识网络】 1.用联系的观点看圆锥曲线的共同性质. 2.学会圆锥曲线几何性质的简单综合应用. 3.进一步体会函数方程思想、化归转化思想、分类讨论思想、数形结合思想. 【典型例题】 [例 1] (1)若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与椭圆 A. ?2 (2)曲线

B. 2 C. ?4

x2 y2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为( 6 2
D. 4



x2 y2 x2 y2 ? ? 1(m ? 6) 与曲线 ? ? 1(5 ? m ? 9) 的 ( ) 10 ? m 6 ? m 5?m 9?m
B. 离心率相等 C.焦点相同 D.准线相同

A.焦距相等 (3) 双曲线

x2 y2 y2 x2 e 的离心率为 , 双曲线 则 e1 + e 2 的最小值为 ( ) ? ? 1 ? ? 1 的离心率为 e 2 , 1 a2 b2 b2 a2
B.2 C. 2 2 D.4

A. 4 2

x2 y2 x2 y2 (4)已知椭圆 + =1 与双曲线 - =1(m,n,p,q∈R+)有共同的焦点 F1、F2,P 是椭圆和双 p q m n
曲线的一个交点,则|PF1|·|PF2|= . .

(5)若方程(1-k)x2+(3-k2)y2=4 表示椭圆,则 k 的取值范围是 [例 2] 双曲线 C 与椭圆

x2 y2 ? ? 1 有相同的焦点,直线 y= 3 x 为 C 的一条渐近线. 8 4

(1)求双曲线 C 的方程; (2)过点 P(0,4)的直线 l ,交双曲线 C 于 A,B 两点,交 x 轴于 Q 点(Q 点与 C 的顶点不重合).当

??? ? ??? ? ??? ? 8 PQ ? ?1 QA ? ?2 QB ,且 ?1 ? ?2 ? ? 时,求 Q 点的坐标. 3

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[例 3] 已知椭圆 C1 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 ,双曲线 C2 的左、右焦点分别为 C1 的左、右顶点,而 C2 的 4

左、右顶点分别是 C1 的左、右焦点。 (1) 求双曲线 C2 的方程; (2) 若直线 l: y ? kx ? 2 与椭圆 C1 及双曲线 C2 恒有两个不同的交点,且 l 与 C2 的两个交点 A 和 B 满足 OA ? OB ? 6 (其中 O 为原点),求 k 的取值范围。

[例 4] 学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图:航天器运行(按顺时针方
y2 x2 ? ? 1 ,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以 y 轴 100 25 64 ? ? 为对称轴、 M ? 0, ? 为顶点的抛物线的实线部分,降落点为 D( 8, 0 ) . 观测点 A( 4, 0 )、B( 6, 0 ) 同 7 ? ?

向)的轨迹方程为

时跟踪航天器. (1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方 (2)试问:当航天器在 x 轴上方时,观测点 A、B 天器的距离分别为多少时,应向航天器发出变轨 程; 测得离航 指令?

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【课内练习】 1.双曲线 为 A.

x2 y2 ? ? 1(mn ? 0) 离心率为 2,有一个焦点与抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点重合,则 mn 的值 m n
( )

3 16

B.

3 8

C.

16 3

D.

8 3

2.已知双曲线的中心在原点,离心率为 3 .若它的一条准线与抛物线 y 2 ? 4 x 的准线重合,则该双曲 线与抛物线 y 2 ? 4 x 的交点到原点的距离是 ( ) A.2 3 + 6 B. 21 C. 18 ? 12 2 D.21

3.方程

x2 y2 ? ? 1 所表示的曲线是 ( 2sin ? ? 3 sin ? ? 2



A.焦点在 x 轴上的椭圆 C.焦点在 x 轴上的双曲线

B.焦点在 y 轴上的椭圆 D.焦点在 y 轴上的双曲线 3 , 2

4.某圆锥曲线 C 是椭圆或双曲线, 其中心为原点,对称轴为坐标轴,且过点 A(-2,2 3 ),B( - 5 ),则 A.曲线 C 可以是椭圆也可以是双曲线 C.曲线 C 一定是椭圆 B.曲线 C 一定是双曲线 D.这样的曲线不存在

5.若直线 mx ? ny ? 3 ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 3 没有公共点,则以(m,n)为点 P 的坐标,过点 P 的一条 直线与椭圆
x2 y 2 ? ? 1的公共点有_________个。 7 3

x2 y2 ? ? 1 的右顶点和右焦点,圆心在双曲线上,则圆心到双曲线中心的距 6.设圆过双曲线 9 16
离 .

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7.如图,从点 M ( x0 ,2) 发出的光线沿平行于抛物线 y 2 ? 4 x 的轴的方 向射向此抛物线上的点 P, 反射后经焦点 F 又射向抛物线上 的点 Q,再反射后沿平行于抛物线的轴的方向射向直线

l : x ? 2 y ? 7 ? 0上的点N , 再反射后又射回点 M,则
x0=

x2 a2

8.设 F1(-c,0)、F2(c,0)是椭圆

+

y2 b2

=1(a>b>0)的两个

焦点,P 是以

F1F2 为直径的圆与椭圆的一个交点,若∠PF1F2=5∠PF2F1,求椭圆的离心率.

9.双曲线中心在原点,坐标轴为对称轴,与圆 x2+y2=17 交于 A(4,-1).若圆在点 A 的切线与双 曲线的一条渐近线平行,求双曲线的方程.

10.垂直于 x 轴的直线交双曲线

x2 a2



y2 b2

=1 右支于 M,N 两点,A1,A2 为双曲线的左右两个顶点,求

直线 A1M 与 A2N 的交点 P 的轨迹方程,并指出轨迹的形状.

12.4 圆锥曲线的共同性质及应用

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A组
1.若方程 A.实轴长
x2 y2 ? ? 1 表示双曲线时,这些双曲线有相同的( ) 9?k 4?k

B.虚轴长

C.焦距

D.焦点

x 2 y2 2. P 是双曲线 - = 1 的右支上一点,M、N 分别是圆(x+5)2+y2=4 和(x-5)2+y2=1 上的 9 16
点,则|PM|-|PN|的最大值为( ) A.6 B.7 C.8 D.9

3.设双曲线以椭圆 斜率为 A. ? 2

x2 y2 ? ? 1 长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点,则双曲线的渐近线的 25 9
( )

B. ?

4 3
2

C. ?
2

1 2

D. ?

3 4


4.设 0≤α <2π,若方程 x sinα -y cosα =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则α 的取值范围是 5.已知双曲线 是
x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 的一条准线与抛物线 y2=-6x 的准线重合,则该双曲线的离心率 2 a .

PF1 ·PF2 x2 x 2 y2 ? y 2 ? 1 与 C1 的一个交点, ? ? 1 的焦点, 6. 设 F1、 F2 为曲线 C1∶ P 是曲线 C2∶ 求 → → 3 6 2 |PF1 ||PF2 |
的值.

→ →

x2 y 2 P 为双曲线上任意一点, F 为双曲线的一个焦点, 讨论以|PF| ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2 为直径的圆与圆 x2+y2=a2 的位置关系.

7. 设双曲线方程为

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8. 已知 A (-2, 0) , B (2, 0) , 动点 P 与 A、 B 两点连线的斜率分别为 k PA 和 k PB , 且满足 k PA · k PB =t (t≠0 且 t≠-1). (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)当 t<0 时,曲线 C 的两焦点为 F1,F2,若曲线 C 上存在点 Q 使得∠F1QF2=120O, 求 t 的取值范围.

B组
1.已知双曲线 m:9x2-16y2=144,若椭圆 n 以 m 的焦点为顶点,以 m 的顶点为焦点,则椭圆 n 的准线 方程是? ( )

A. x ? ?

16 5

B. x ? ?

16 3

C. x ? ?

25 4

D. x ? ?

25 3

2.当 8<k<17 时,曲线 A.焦距 3.已知椭圆 B.准线

x2 y2 x2 y 2 ? ? 1与 ? ? 1有相同的( ) 17 ? k 8 ? k 8 17

C.焦点

D.离心率

x2 y 2 x2 y 2 ( a > b > 0), 与双曲线 ? ? 1 ? ? 1(m>0,n>0)有相同的焦点(-c,0),(c,0), a 2 b2 m2 n2 若 c 是 a,m 的等比中项,n2 是 2m2 与 c2 的等差中项,则椭圆的离心率是( )

A.

3 3

B.

2 2

1 C. 4

D.

1 2

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x 2 y2 x 2 y2 4. 设椭圆 2 ? 2 ? 1 , 双曲线 2 ? 2 ? 1 , 抛物线 y2=2(m+n)x(其中 m>n>0)的离心率分别为 e1、 m n m n
e2、e3,则 e1e2 与 e3 的大小关系是 .

5.一动圆圆心在抛物线 x2=2y 上,过点(0, A. x=

1 )且恒与定直线 l 相切,则直线 l 的方程( 2 1 16



1 2

B. x=

1 16

C.

D. y= -

6.已知定点 A(0,t)(t≠0),点 M 是抛物线 y2=x 上一动点,A 点关于 M 的对称点是 N. (1)求 N 点的轨迹方程; (2)设(1)中所求轨迹与抛物线 y2=x 交于 B,C 两点,求当 AB⊥AC 时 t 的值.

x2 y 2 2 ? ? 1交于 A,B 两点,R 是抛物线 C2:y =2px(p>0)上一点.若 4 3 21 直线 l 与 C2 无公共点,且△ABR 有最小面积 ,求 p 的值和 R 点的坐标. 4

7.直线 l:x-2y+3=0 与椭圆 C1:

8.设双曲线 C 的中心在原点,以抛物线 y2=2 3 x-4 的顶点为双曲线的右焦点,抛物线的准线为双曲 线的右准线. (1)试求双曲线 C 的方程; (2)设直线 l:y=2x+1 与双曲线 C 交于 A、B 两点,求|AB|;

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(3) 对于直线 y=kx+1,是否存在这样的实数 k, 使直线 l 与双曲线 C 的交点 A、 B 关于直线 y=ax(a 为常数)对称,若存在,求出 k 值;若不存在,请说明理由.

12.4 圆锥曲线的共同性质及应用
【典型例题】

x2 y2 例 1 (1)解:椭圆 ? ? 1 的右焦点为(2,0),所以抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点为(2,0),则 p ? 4 , 6 2
故选 D.

x2 y2 x2 y2 ? ? 1(m ? 6) 知该方程表示焦点在 x 轴上的椭圆,由 ? ? 1(5 ? m ? 9) 10 ? m 6 ? m 5?m 9?m 知该方程表示焦点在 y 轴上的双曲线,故只能选择答案 A.
(2)由 (3)C.提示:用基本不等式. (4)m-p .提示:分别用椭圆和双曲线的定义,并将两等式平方相减. (5)(- 3 ,1).提示:将问题转化成解不等式组问题. 例 2(1)依据渐近线设双曲线方程,并用待定系数法求得双曲线方程是 x 2 ? 用定比分点公式联列方程组,得 Q(?2, 0) ..
2 2 例 3、(1)设双曲线 C2 的方程为 x 2 ? y 2 ? 1 ,则 a 2 ? 4 ? 1 ? 3, 再由a 2 ? b 2 ? c 2 得b 2 ? 1.

y2 ? 1 ;(2)设 Q 点的坐标, 3

a

b

故 C2 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3

x2 ? y 2 ? 1得(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8 2kx ? 4 ? 0. (2)将 y ? kx ? 2代入 4
由直线 l 与椭圆 C1 恒有两个不同的交点得

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?1 ? (8 2 ) 2 k 2 ? 16(1 ? 4k 2 ) ? 16(4k 2 ? 1) ? 0, 即

1 k2 ? . 4



将y ? kx ? 2代入

x2 ? y 2 ? 1得(1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6 2kx ? 9 ? 0 . 3

由直线 l 与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A,B 得
2 ? 1 ?1 ? 3k ? 0, 即k 2 ? 且k 2 ? 1. ? 2 2 2 3 ? ?? 2 ? (?6 2k ) ? 36(1 ? 3k ) ? 36(1 ? k ) ? 0.

6 2k ?9 设A( xA , y A ), B( xB , yB ), 则x A ? xB ? , x A ? xB ? 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 ??? ? ??? ? 由OA ? OB ? 6得xA xB ? y A yB ? 6, 而 xA xB ? y A yB ? xA xB ? (kxA ? 2)(kxB ? 2)
? ( k 2 ? 1) x A xB ? 2k ( x A ? xB ) ? 2 ? ( k 2 ? 1) ? ? 3k 2 ? 7 . 3k 2 ? 1


?9 6 2k ? 2k ? ?2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

3k 2 ? 7 15k 2 ? 13 13 1 于是 2 ? 6,即 ? 0. 解此不等式得 k 2 ? 或k 2 ? . 2 3k ? 1 3k ? 1 15 3
由①、②、③得

1 1 13 ? k 2 ? 或 ? k 2 ? 1. 4 3 15
故 k 的取值范围为 (?1, ?

13 3 1 1 3 13 ) ? (? ,? )?( , )?( ,1) 15 3 2 2 3 15

例 4、(1)设曲线方程为 y ? ax 2 ? 由题意可知, 0 ? a ? 64 ?

64 , 7

64 . 7

? a??

1 . 7

? 曲线方程为 y ? ?

1 2 64 . x ? 7 7

(2)设变轨点为 C ( x, y ) ,根据题意可知

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? x2 y2 ? ? ?100 25 ? 1, ? ? y ? ? 1 x 2 ? 64 , ? 7 7 ?

(1) (2)

得 4 y 2 ? 7 y ? 36 ? 0 ,

9 y ? 4 或 y ? ? (不合题意,舍去). 4
? y ? 4.

得 x ? 6 或 x ? ?6 (不合题意,舍去).
| AC |? 2 5 , | BC |? 4 .

?

C 点的坐标为 ( 6, 4 ) ,

答:当观测点 A、B 测得 AC、BC 距离分别为 2 5、 4 时,应向航天器发出变轨指令.

【课内练习】 1.A. 提示:可以分别求出 m,n. 2.B.提示:求出基本量. 3.C.提示:注意 sinθ 的取值范围. 4.B.提示:考虑对称性. 5.2.提示:运用点到直线的距离公式后,说明点 P 在椭圆内. 6. 16 .提示:可以利用距离相等求出圆心的坐标. 3

7.6.提示:由抛物线方程得焦点坐标,进而得到 P,Q 的坐标,再由 直线 QN 与 MN 关于直线 l 对称,求得 x0. 8.8.
6 . 3

2c ?e? 2a
9.

| PF1 | | PF2 | 2c | PF1 | ? | PF2 | 2a ,∴ ? ? ? ? sin15? sin75? 1 sin 15? ? sin75? sin15? ? cos15? 1 6 ? . 3 2 sin 60 ?


16 x 2 y2 ? ? 1.提示:先求圆的切线方程,进而得到双曲线的渐近线方程,再用待定系数法求双 255 255 曲线的方程.

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x2 y 2 ? ? 1 ,a=b 时表示以原点为圆心,a 为半径的圆;a>b 时,表示焦点在 x 轴上的椭圆;a a 2 b2 <b 时,表示焦点在 y 轴上的椭圆.提示:设出点的坐标,写出直线方程(含参变量),结合点在曲

10.

线上,消去参数.

12.4 圆锥曲线的共同性质及应用 A组
1.D.提示:焦点可以在不同的轴上. 2.设双曲线的两个焦点分别是 F1(-5,0)与 F2(5,0),则这两点正好是两圆的圆心,当且仅当 点 P 与 M、F1 三点共线以及 P 与 N、F2 三点共线时所求的值最大,此时 |PM|-|PN|=(|PF1|-2)-(|PF2|-1)=10-1=9 故选 B. 3.C.提示:求出基本量. 4.( 5. 6. 2 3

? 3?
2 4 ,

)∪(

3? 7? ).提示:二次项系数为正,且 y2 的分母较大. , 2 4

3 .提示:依据基本量之间的关系及准线方程,分别求出 a,c.

1 .提示:分别应用椭圆、双曲线的定义,求出|PF1|,|PF2|,再用余弦定理. 3

7.当点 P 在双曲线的右支上时,外切;当点 P 在双曲线的左支上时,内切.提示:用双曲线的定义 及两圆相切时的几何性质. 8.(1)设点 P 坐标为(x,y),依题意得

x2 y2 y y =t ? y2=t(x2-4) ? + =1 ? 4 ? 4t x?2 x?2

x2 y2 轨迹 C 的方程为 + =1(x≠ ? 2). 4 ? 4t
(2)当-1<t<0 时,曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆, 设 PF1 =r1, PF2 = r2, 则 r1+ r2=2a=4. 在△F1PF2 中, F1 F2 =2c=4 1 ? t , ∵∠F1PF2=120°,由余弦定理,
2 2 2 ? 得 4c2=r 1 +r 2 2 -2r1r2 cos120 = r 1 +r 2 + r1r2

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= (r1+r2)2-r1r2≥(r1+r2)2-( 所以当-

r1 ? r2 2 1 ) =3a2, ∴16(1+t)≥12, ∴t≥- . 2 4

1 ≤t<0 时,曲线上存在点 Q 使∠F1QF2=120° 4

当 t<-1 时,曲线 C 为焦点在 y 轴上的椭圆, 设 PF1 =r1, PF2 = r2,则 r1+r2=2a=-4 t, 在△F1PF2 中, F1 F2 =2c=4 ? 1 ? t . ∵∠F1PF2=120O,由余弦定理,
2 2 2 0 得 4c2=r 1 +r 2 2 -2r1r2 cos120 = r 1 +r 2 + r1r2

= (r1+r2)2-r1r2≥(r1+r2)2-(

r1 ? r2 2 ) =3a2, ∴16(-1-t)≥-12t ? t≤-4. 2

所以当 t≤-4 时,曲线上存在点 Q 使∠F1QF2=120O 综上知当 t<0 时,曲线上存在点 Q 使∠AQB=120O 的 t 的取值范围是

1 ? ?? ?,?4? ? ? ?? ,0 ? . ? 4 ?

B组
1. C.提示:注意基本之间的联系. 2. A.提示:将方程均化为标准方程,再求其焦距. 3. D.提示:联想基本量之间的关系. 4.e1e2<e3,提示:用离心率的计算公式,注意抛物线的离心率是 1.

1 1 提示:抛物线 x2=2y 的焦点坐标为(0, ), 由抛物线的定义知抛物线上任意一点到焦点 2 2 1 1 F(0, )的距离等于到直线 y=- 的距离. 2 2
5.y= - 6.(1)(y+t)2=2x;(2)t=± 2 .提示:(1)用坐标转移法求轨迹方程;(2)联列方程组后用韦 达定理. 1 7.p= ,R(1,1).提示:先求线段 AB 的长,依据面积求出抛物线上点到直线的最小距离,依据相切 2 求出 p,再求得最小距离时点的坐标.

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8. (1)由抛物线 y2=2 3 x-4,即 y2=2 3 (x-

2 2 3 ),可知抛物线顶点为( ,0),准线方程为 x= . 6 3 3

在双曲线 C 中,中心在原点,右焦点(

2 3 ,0),右准线 x= , 6 3

2 ? c ? ? 3 ? 3 a ? ? ? 3 ? ?a2 3 ? ∴? ? ? ?b ? 1 6 ?c ? 2 2 ?c ? a ? b 2 ?c ? 2 3 ? ? 3 ? ?
∴双曲线 c 的方程 3x2-y2=1 (2)由 ?

? y ? 2x ? 1 ?3x ? y ? 1
2 2

? 3x 2 ? ( 2 x ? 1) 2 ? 1 ? x 2 ? 4 x ? 2 ? 0

∴|AB|=2 10 (3)假设存在实数 k,使 A、B 关于直线 y=ax 对称,设 A(x1,y1)、B(x2,y2),

? ? k a ? ?1 ? 则 ? y1 ? y 2 ? k ( x1 ? x 2 ) ? 2 ?y ? y x ? x2 2 ? 1 ? a? 1 ? 2 2



③ ?y ? kx ? 1 2 2 ? ( 3 ? k ) x ? 2 k x ? 2?0 由? 2 2 y ? 3 x ? 1 ? 由②③,有 a(x1+x2)=k(x1+x2)+2 由④知:x1+x2=

④ ⑤

2k 代入⑤ 3? k2

整理得 ak=3 与①矛盾,故不存在实数 k,使 A、B 关于直线 y=ax 对称.


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