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高中数学 第一章 1.1.1正弦定理(一)导学案新人教A版必修5


1.1.1

正弦定理(一)

课时目标 1.熟记正弦定理的内容; 2.能够初步运用正弦定理解斜三角形.

A B C π 1.在△ABC 中,A+B+C=π , + + = . 2 2 2 2 π a b 2.在 Rt△ABC 中,C= ,则 =sin_A, =sin_B. 2 c c 3.一般地,把三角形的三个角 A

,B,C 和它们的对边 a,b,c 叫做三角形的元素.已 知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
4.正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即 = = sin A sin B c ,这个比值是三角形外接圆的直径 2R. sin C

a

b

一、选择题 1.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 A∶B∶C=1∶2∶3,则 a∶b∶c 等于( ) A.1∶2∶3 B.2∶3∶4 C.3∶4∶5 D.1∶ 3∶2 答案 D 2.若△ABC 中,a=4,A=45°,B=60°,则边 b 的值为( ) A. 3+1 B.2 3+1 C.2 6 D.2+2 3 答案 C 解析 得 由正弦定理 = , sin A sin B

a

b

4 b = ,∴b=2 6. sin 45° sin 60° 2 2 2 3.在△ABC 中,sin A=sin B+sin C,则△ABC 为( ) A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形 答案 A 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 解析 sin A=sin B+sin C?(2R) sin A=(2R) sin B+(2R) sin C,即 a =b +c ,由勾 股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形. 4.在△ABC 中,若 sin A>sin B,则角 A 与角 B 的大小关系为( ) A.A>B B.A<B C.A≥B D.A,B 的大小关系不能确定 答案 A 解析 由 sin A>sin B?2Rsin A>2Rsin B?a>b?A>B. 5.在△ABC 中,A=60°,a= 3,b= 2,则 B 等于( ) A.45°或 135° B.60° C.45° D.135° 答案 C

解析 =



= 得 sin B= sin A sin B

a

b

bsin A a

2sin 60° 2 = . 2 3 ∵a>b,∴A>B,B<60° ∴B=45°. 6.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,如果 c= 3a,B=30°,那么角 C 等于( ) A.120° B.105° C.90° D.75° 答案 A 解析 ∵c= 3a,∴sin C= 3sin A= 3sin(180°-30°-C) 1 ? 3 ? = 3sin(30°+C)= 3? sin C+ cos C?, 2 ?2 ? 即 sin C=- 3cos C. ∴tan C=- 3. 又 C∈(0°,180°),∴C=120°. 二、填空题 7.在△ABC 中,AC= 6,BC=2,B=60°,则 C=_________. 答案 75° 2 6 2 解析 由正弦定理得 = ,∴sin A= . sin A sin 60° 2 ∵BC=2<AC= 6,∴A 为锐角.∴A=45°. ∴C=75°. 1 8.在△ABC 中,若 tan A= ,C=150°,BC=1,则 AB=________. 3 答案 解析 10 2 1 10 ∵tan A= ,A∈(0°,180°),∴sin A= . 3 10

由正弦定理知 = , sin A sin C ∴AB=

BC

AB

BCsin C 1×sin 150° 10 = = . sin A 2 10
10

2π 9.在△ABC 中,b=1,c= 3,C= ,则 a=________. 3 答案 1

解析 由正弦定理,得 3 1 = , 2π sin B sin 3 1 ∴sin B= .∵C 为钝角, 2

π ∴B 必为锐角,∴B= , 6 π ∴A= . 6 ∴a=b=1. 10.在△ABC 中,已知 a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,若 b=2a,B=A+60°, 则 A=______. 答案 30° 解析 ∵b=2a∴sin B=2sin A,又∵B=A+60°, ∴sin(A+60°)=2sin A 即 sin Acos 60°+cos Asin 60°=2sin A, 3 3 化简得:sin A= cos A,∴tan A= ,∴A=30°. 3 3 三、解答题 11.在△ABC 中,已知 a=2 2,A=30°,B=45°,解三角形. 解 ∵ = = , sin A sin B sin C 2 2× 2 2

a

b

c

∴b=

=4. 1 2 ∵C=180°-(A+B)=180°-(30°+45°)=105°, asin C 2 2sin 105° 2 2sin 75° ∴c= = = =2+2 3. sin A sin 30° 1 2 12.在△ABC 中,已知 a=2 3,b=6,A=30°,解三角形. 解 a=2 3,b=6,a<b,A=30°<90°. 又因为 bsin A=6sin 30°=3,a>bsin A, 所以本题有两解,由正弦定理得: bsin A 6sin 30° 3 sin B= = = ,故 B=60°或 120°. a 2 2 3 当 B=60°时,C=90°,c= a +b =4 3; 当 B=120°时,C=30°,c=a=2 3. 所以 B=60°,C=90°,c=4 3或 B=120°,C=30°,c=2 3. 能力提升 13.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c 若 a= 2,b=2,sin B+cos B = 2,则角 A 的大小为________. π 答案 6 π 解析 ∵sin B+cos B= 2sin( +B)= 2. 4 π ∴sin( +B)=1. 4 π 又 0<B<π ,∴B= . 4
2 2

asin B 2 2sin 45° = = sin A sin 30°

由正弦定理,得 sin A=

asin B = b



2 2 1 = . 2 2

π 又 a<b,∴A<B,∴A= . 6 14.在锐角三角形 ABC 中,A=2B,a,b,c 所对的角分别为 A,B,C,求 的取值范围. 解 在锐角三角形 ABC 中,A,B,C<90°, ∴30°<B<45°.

a b

B<90°, ? ? 即?2B<90°, ? ?180°-3B<90°,

a sin A sin 2B 由正弦定理知: = = =2cos B∈( 2, 3), b sin B sin B
故 的取值范围是( 2, 3).

a b

1.利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题: (1)已知两角和任一边,求其它两边和一角. (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边和两角. 2.已知两边和其中一边的对角,求第三边和其它两个角,这时三角形解的情况比较复 杂,可能无解,可能一解或两解.例如:已知 a、b 和 A,用正弦定理求 B 时的各种情况. bsin A a<bsin A a=bsin A a≥b <a<b A 为锐角 两解(一锐角, 无解 一解(直角) 一解(锐角) 一钝角) a≤b a>b A 为直角 或钝角 无解 一解(锐角)


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