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2014全国统一高考数学真题及逐题详细解析(文科)—福建卷


2014 年福建文科卷
一.选择题 1.若集合 P ? x 2 ? x ? 4? , Q ? x x ? 3? , 则 P ? Q 等于

?

?





A. x 3 ? x ? 4?

?

B. x 3 ? x ? 4

?
( )

?

C. x 2 ? x ? 3?

?

D. x 2 ? x ? 3?

?

2.复数 ? 3 ? 2i ? i 等于

A. ? 2 ? 3i A.2? B.?

B. ? 2 ? 3i C.2
C.3

C.2 ? 3i

D.2 ? 3i


3. 以边长为 1 的正方形的一边所在直线为旋转轴, 将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于 (

D.1


4.阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的 n 的值为 (

A.1 B.2

D.4

5.命题“ ?x ??0, ??? , x ? x ? 0 ”的否定是 (
3



A.?x ? ? ??, 0 ? .x3 ? x ? 0 C.?x0 ? ? 0, ?? ? .x03 ? x0 ? 0
2

B.?x ? ? ??, 0 ? .x3 ? x ? 0 D.?x0 ? ?0, ?? ? .x03 ? x0 ? 0
( )

2 6.已知直线 l 过圆 x ? ? y ? 3 ? ? 4 的圆心,且与直线 x ? y ? 1 ? 0 垂直,则 l 的方程是

A.x ? y ? 2 ? 0

B.x ? y ? 2 ? 0

C.x ? y ? 3 ? 0

D.x ? y ? 3 ? 0

7.将函数 y ? sin x 的图象向左平移 是 ( )

? 个单位,得到函数 y ? f ? x ? 的函数图象,则下列说法正确的 2
B.y=f(x)的周期为π π D.y=f(x)的图像关于点?- ,0?对称 ? 2 ? ( )

A.y=f(x)是奇函数 π C.y=f(x)的图像关于直线 x= 对称 2

8.若函数 y ? loga x ? a ? 0, 且a ? 1? 的图象如右图所示,则下列函数正确的是

A.
3

B.

C.

D.

9.要制作一个容积为 4m ,高为 1m 的无盖长方体容器,已知该溶器的底面造价是每平方米 20 元, 侧面造价是每平方米 10 元,则该溶器的最低总造价是 ( )

A.80元

B.120元 C.160元

D.240元

10.设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点,O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点,则

OA ? OB ? OC ? OD 等于





AOM .

B.2OM
2

C.3OM
2

D.4OM
? x ? y ? 7 ? 0, ? ? 1 ,设平面区域 ? ? ? x ? y ? 3 ? 0, ,若圆心 C ? ? ,且圆 C 与 x ?y ? 0 ?
( )

11.已知圆 C : ? x ? a ? ? ? y ? b ?

轴相切,则 a ? b 的最大值为
2 2

A.5

B.29

C.37

D.49

12. 在平面直角坐标系中, 两点 P “L-距离” 定义为 PP 1 ? x1 , y1 ? , P 2 ? x2 , y2 ? 间的 1 2 ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 . 则平面内与 x 轴上两个不同的定点 F1 , F2 的“L-距离”之和等于定值(大于 F1 F2 )的点的轨迹可以 是 ( )

A 二.填空题

B

C

D

13.如图,在边长为 1 的正方形中,随机撒 1000 粒豆子,有 180 粒落到阴影部分,据此估计阴影部分 的面积为___________

14.在 ?ABC 中, A ? 60?, AC ? 2, BC ? 3 ,则 AB 等于_________ 15.函数 f ?x ? ? ?

? x 2 ? 2,

x?0 的零点个数是_________ 2 x ? 6 ? ln x , x ? 0 ?

16. 已知集合 ?a, b, c? ? ?0,1,2?,且下列三个关系:? a ? 2 ? b ? 2 ? c ? 0 有且只有一个正确,则

100a ? 10b ? c等于 ________
三.解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 17. (本小题满分 12 分) 在等比数列 {an } 中, a2 (Ⅰ)求 an ; (Ⅱ)设 bn

? 3, a5 ? 81 .

? log3 an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn .

18. (本小题满分 12 分) 已知函数 (Ⅰ)求

f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) .
f( 5? ) 的值; 4

(Ⅱ)求函数

f ( x) 的最小正周期及单调递增区间.

19. (本小题满分 12 分) 如图,三棱锥 A ? BCD 中, AB ? 平面BCD, CD ? BD . (Ⅰ)求证: CD ? 平面 ABD ; (Ⅱ)若 AB ? BD ? CD ? 1 , M 为 AD 中点,求三棱锥 A ? MBC 的体积.

20. (本小题满分 12 分) 根据世行 2013 年新标准,人均 GDP 低于 1035 美元为低收入国家;人均 GDP 为 1035-4085 美元为中 等偏下收入国家;人均 GDP 为 4085-12616 美元为中等偏上收入国家;人均 GDP 不低于 12616 美元为 高收入国家.某城市有 5 个行政区,各区人口占该城市人口比例及人均 GDP 如下表: 行政区 区人口占城市人口比例 区人均 GDP(单位:美元)

A 25% B 30% C 15% D 10% E 20% (Ⅰ)判断该城市人均 GDP 是否达到中等偏上收入国家标准;

8000 4000 6000 3000 10 000

(Ⅱ) 现从该城市 5 个行政区中随机抽取 2 个, 求抽到的 2 个行政区人均 GDP 都达到中等偏上收入国 家标准的概率. 21. (本小题满分 12 分) 已知曲线 ? 上的点到点 F (0,1) 的距离比它到直线 y (Ⅰ)求曲线 ? 的方程; (Ⅱ)曲线 ? 在点 P 处的切线 l 与 x 轴交于点 A .直线 y

? ?3 的距离小 2.

? 3 分别与直线 l 及 y 轴交于点 M , N 。以

MN 为直径作圆 C ,过点 A 作圆 C 的切线,切点为 B ,试探究:当点 P 在曲线 ? 上运动(点 P 与
原点不重合)时,线段 AB 的长度是否发生变化?证明你的结论. 22. (本小题满分 12 分) 已知函数 为 ?1 . (Ⅰ)求 a 的值及函数

f ( x) ? ex ? ax( a 为常数)的图像与 y 轴交于点 A ,曲线 y ? f ( x) 在点 A 处的切线斜率
f ( x) 的极值;
2

(Ⅱ)证明:当 x ? 0 时, x

? ex
x

(Ⅲ)证明:对任意给定的正数 c,总存在 x0 ,使得当 x ? ( x0 , ??) 时,恒有 x ? ce

参考答案
一.选择题 1.A[解析] 把集合 P={x|2≤x<4}与 Q={x|x≥3}在数轴上表示出来,得 P∩Q={x|3≤x<4},故选 A 2.B[解析] (3+2i)i=3i+2i2=-2+3i,故选 B. 3.A[解析] 由题意可知,该正方形旋转一周后所得的圆柱的底面半径 r=1,高 h=1,则该圆柱的侧 面积 S=2π rh=2π ,故选 A. 4.B[解析] 当 n=1 时,21>12 成立,执行循环,n=2;当 n=2 时,22>22 不成立,结束循环,输出 n =2,故选 B. 5.C[解析] “?x∈[0,+∞),x3+x≥0”是含有全称量词的命题,其否定是“?x0∈[0,+∞),x3 0+ x0<0” ,故选 C 6.D[解析] 由直线 l 与直线 x+y+1=0 垂直,可设直线 l 的方程为 x-y+m=0. 又直线 l 过圆 x2+(y-3)2=4 的圆心(0,3),则 m=3,所以直线 l 的方程为 x-y+3=0,故选 D. π π 7.D[解析] 将函数 y=sin x 的图像向左平移 个单位后,得到函数 y=f(x)=sin?x+ ?的图像,即 f(x) 2 ? 2? =cos x. 由余弦函数的图像与性质知, f(x)是偶函数, 其最小正周期为 2π , 且图像关于直线 x=kπ (k∈Z) π 对称,关于点? +kπ ,0?(k∈Z)对称,故选 D ?2 ? 8.B[解析] 由函数 y=logax 的图像过点(3,1),得 a=3. 选项 A 中的函数为 y= ( ) ,其函数图像不正确;选项 B 中的函数为 y=x3,其函数图像正确;选项 C 中的函数为 y=(-x)3,其函数图像不正确;选项 D 中的函数为 y=log3(-x),其函数图像不正确, 故选 B. 4 9.C[解析] 设底面矩形的一边长为 x.由容器的容积为 4 m3,高为 1 m.得另一边长为 m. x 记容器的总造价为 y 元,则 4? y=4×20+2? ?x+x?×1×10 4? =80+20? ?x+x? 4 ≥80+20×2 x· x =160, 4 当且仅当 x= ,即 x=2 时等号成立. x 因此,当 x=2 时,y 取得最小值 160,即容器的最低总造价为 160 元,故选 C 10.D[解析] 如图所示,因为 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点,所以 M 是 AC 与 BD 的中点,即 → → → → MA=-MC,MB=-MD. → → → → → → → 在△OAC 中,OA+OC=(OM+MA)+(OM+MC)=2OM. → → → → → → → 在△OBD 中,OB+OD=(OM+MB)+(OM+MD)=2OM, → → → → → 所以OA+OC+OB+OD=4OM,故选 D.

1 3

x

x+y-7≤0, ? ? 11.C[解析] 作出不等式组?x-y+3≥0,表示的平面区域Ω (如下图阴影部分所示,含边界),圆 C: ? ?y≥0
? ?x+y-7=0, (x-a)2+(y-b)2=1 的圆心坐标为(a, b), 半径为 1.由圆 C 与 x 轴相切, 得 b=1.解方程组? ?y=1, ? ? x = 6 , ? 得? 即直线 x+y-7=0 与直线 y=1 的交点坐标为(6,1),设此点为 P. ?y=1, ? 又点 C∈Ω ,则当点 C 与 P 重合时,a 取得最大值, 所以,a2+b2 的最大值为 62+12=37,故选 C.

12.A[解析] 设 M(x,y)是轨迹上任意一点,F1(-c,0),F2(c,0),||MF1|+|MF2||=2a,其中 a 为常数, 且 a>c>0, 由“L-距离”定义,得 1 |x+c|+|y|+|x-c|+|y|=2a,即|y|= (2a-|x+c|-|x-c|), 2 ?x+a,x<-c, 当 y≥0 时,y=?a-c,-c≤x<c;

?

? ?-x+a,x≥c, -x-a,x<-c, ? ? 当 y<0 时,y=?-a+c,-c≤x<c, ? ?x-a,x≥c.
则满足上述关系的图像只有选项 A. 二.填空题 13. 0.18 [解析] 设阴影部分的面积为 S.随机撒 1000 粒豆子, 每粒豆子落在正方形内任何一点是等可 能的,落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比,即 S 落在阴影部分中的豆子数 180 ≈ = =0.18, 1 落在正方形中的豆子数 1000 所以可以估计阴影部分的面积为 0.18 2sin 60° BC AC 14. 1 [解析] 由 = ,得 sin B= =1, sin A sin B 3 即 B=90°,所以△ABC 为以 AB,BC 为直角边的直角三角形, 则 AB= AC2-BC2= 22-( 3)2=1,即 AB 等于 1 15. 2 [解析] 当 x≤0 时,f(x)=x2-2, 令 x2-2=0,得 x= 2(舍)或 x=- 2, 即在区间(-∞,0)上,函数只有一个零点.

当 x>0 时,f(x)=2x-6+ln x, 令 2x-6+ln x=0,得 ln x=6-2x. 作出函数 y=ln x 与 y=6-2x 在区间(0,+∞)上的图像, 则两函数图像只有一个交点,即函数 f(x)=2x-6+ln x(x>0)只有一个零点. 综上可知,函数 f(x)的零点的个数是 2. 16. 201 [解析] (i)若①正确,则②③不正确,由③不正确得 c=0,由①正确得 a=1,所以 b=2,与 ②不正确矛盾,故①不正确. (ii)若②正确,则①③不正确,由①不正确得 a=2,与②正确矛盾,故②不正确. (iii)若③正确,则①②不正确,由①不正确得 a=2,由②不正确及③正确得 b=0,c=1,故③正 确. 则 100a+10b+c=100×2+10×0+1=201. 三.解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 17. (1)设 {an } 的公比为 q,依题意得

? a1q ? 3 ?a1 ? 1 ,解得 ? ,因此, an ? 3n?1 . ? 4 a q ? 81 ? 1 ?q ? 3
(2)因为 bn ? log3 an ? n ?1 , 所以数列 {bn } 的前 n 项和 Sn ? 18.解法一: (1) f (

n(b1 ? bn ) n2 ? n ? . 2 2

5? 5? 5? 5? ) ? 2 cos (sin ? cos ) 4 4 4 4

? ?2 cos

?
4

(? sin

?

? cos ) ? 2 4 4 2 sin(2 x ? ) ? 1 . 4

?

(2)因为 f ( x) ? 2sin x cos x ? 2cos2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 所以 T ? 由 2 k? ?

?

2? ?? . 2

?
2

? 2x ?

?
4

? 2 k? ?

?
2

, k ? Z ,得 k? ?

3? ? ? x ? k? ? , k ? Z , 8 8

所以 f ( x ) 的单调递增区间为 [ k? ? 解法二:

3? ? , k? ? ], k ? Z . 8 8

2 因为 f ( x) ? 2sin x cos x ? 2cos x ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ?

2 sin(2 x ? ) ? 1 4

?

(1) f (

5? 11? ? ) ? 2 sin ? 1 ? 2 sin ? 1 ? 2 4 4 4 2? ?? 2

(2) T ?

由 2 k? ? 得 k? ?

?
2

? 2x ?

?
4

? 2 k? ?

?
2

,k ?Z ,

3? ? ? x ? k? ? , k ? Z , 8 8 3? ? , k? ? ], k ? Z . 8 8

所以 f ( x ) 的单调递增区间为 [ k? ?

19. (1)∵ AB ? 平面 BCD, CD ? 平面 BCD,∴ AB ? CD . 又∵ CD ? BD , AB

BD ? B ,

AB ? 平面 ABD, BD ? 平面 ABD,
∴ CD ? 平面 ABD . (2)由 AB ? 平面 BCD,得 AB ? BD . ∵ AB ? BD ? 1 ,∴ S ?ABD ? ∵M 是 AD 的中点, ∴ S?ABM ?

1 . 2

1 1 S?ABD ? . 2 4

由(1)知, CD ? 平面 ABD, ∴三棱锥 C-ABM 的高 h ? CD ? 1, 因此三棱锥 A ? MBC 的体积

1 1 VA? MBC ? VC ? ABM ? S?ABM ? h ? . 3 12

解法二: (1)同解法一. (2)由 AB ? 平面 BCD 知,平面 ABD ? 平面 BCD, 又平面 ABD 平面 BCD=BD,

如图,过点 M 作 MN ? BD 交 BD 于点 N.

则 MN ? 平面 BCD,且 MN ?

1 1 AB ? , 2 2

又 CD ? BD, BD ? CD ? 1 ,∴ S ?BCD ? ∴三棱锥 A ? MBC 的体积

1 . 2

VA? MBC ? VA? BCD ? VM ? BCD ?

1 1 1 AB ? S ?BCD ? MN ? S ?BCD ? . 3 3 12

20. (1)设该城市人口总数为 a,则该城市人均 GDP 为

8000 ? 0.25a ? 4000 ? 0.30a ? 6000 ? 0.15a ? 3000 ? 0.10a ? 10000 ? 0.20a ? 6400 a
因为 6400 ?[4085,12616) , 所以该城市人均 GDP 达到了中等偏上收入国家标准. (2) “从 5 个行政区中随机抽取 2 个”的所有的基本事件是:

{A, B},{A, C},{ A, D},{ A, E},{B, C},{B, D}, {B, E},{C, D},{C, E},{D, E} 共 10 个,
设事件“抽到的 2 个行政区人均 GDP 都达到中等偏上收入国家标准”为 M, 则事件 M 包含的基本事件是: { A, C},{ A, E},{C, E} ,共 3 个, 所以所求概率为 P ( M ) ?

3 . 10

21. (1)设 S ( x, y ) 为曲线 ? 上任意一点, 依题意,点 S 到 F (0,1) 的距离与它到直线 y ? ?1 的距离相等, 所以曲线 ? 是以点 F (0,1) 为焦点,直线 y ? ?1 为准线的抛物线, 所以曲线 ? 的方程为 x ? 4 y .
2

(2)当点 P 在曲线 ? 上运动时,线段 AB 的长度不变,证明如下: 由(1)知抛物线 ? 的方程为 y ? 设 P( x0 , y0 )( x0 ? 0) ,则 y0 ?

1 2 x , 4

1 2 x0 , 4

由y ?
'

1 x ,得切线 l 的斜率 k ? y ' 2

x ? x0

?

1 x0 , 2

所以切线 l 的方程为 y ? y0 ?

1 1 1 2 x0 ( x ? x0 ) ,即 y ? x0 x ? x0 . 2 2 4

1 1 2 ? 1 ? y ? x0 x ? x0 由? 2 4 ,得 A( x0 , 0) . 2 ? y?0 ? 1 1 2 ? 1 6 ? y ? x0 x ? x0 由? 2 4 ,得 M ( x0 ? ,3) . 2 x0 ? y?3 ?
又 N (0,3) ,所以圆心 C ( x0 ? 半径 r ?

1 4

3 ,3) , x0

1 1 3 | MN |?| x0 ? | , 2 4 x0

1 1 3 1 3 | AB |? | AC |2 ?r 2 ? [ x0 ? ( x0 ? )]2 ? 32 ? ( x0 ? ) 2 ? 6 . 2 4 x0 4 x0
所以点 P 在曲线 ? 上运动时,线段 AB 的长度不变.

解法二: (1)设 S ( x, y ) 为曲线 ? 上任意一点, 则 | y ? (?3) |?

( x ? 0) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2 ,

依题意,点 S ( x, y ) 只能在直线 y ? ?3 的上方,所以 y ? ?3 ,
2 2 所以 ( x ? 0) ? ( y ? 1) ? y ? 1 ,

化简得,曲线 ? 的方程为 x ? 4 y .
2

(2)同解法一. 22. (1)当 x ? ln 2 时, f ( x ) 有极小值 f (ln 2) ? 2 ? ln 4 , f ( x ) 无极大值. (2)见解析. (3)见解析. 解法一:

(1)由 f ( x) ? e x ? ax ,得 f ' ( x) ? e x ? a . 又 f ' (0) ? 1 ? a ? ?1,得 a ? 2 . 所以 f ( x) ? e x ? 2 x , f ' ( x) ? e x ? 2 . 令 f ' ( x) ? 0 ,得 x ? ln 2 . 当 x ? ln 2 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减; 当 x ? ln 2 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增. 所以当 x ? ln 2 时, f ( x ) 有极小值, 且极小值为 f (ln 2) ? eln 2 ? 2ln 2 ? 2 ? ln 4 ,

f ( x) 无极大值.
(2)令 g ( x) ? e x ? x 2 ,则 g ' ( x) ? e x ? 2 x . 由(1)得, g ' ( x) ? f ( x) ? f (ln 2) ? 2 ? ln 4 ? 0 ,即 g ' ( x) ? 0 . 所以 g ( x) 在 R 上单调递增,又 g (0) ? 1 ? 0 , 所以当 x ? 0 时, g ( x) ? g (0) ? 0 ,即 x ? e .
2 x

(3)对任意给定的正数 c,取 x0 ?
2 x

1 , c

由(2)知,当 x ? 0 时, x ? e . 所以当 x ? x0 时, e ? x ?
x 2

1 x ,即 x ? ce x . c
x

因此,对任意给定的正数 c,总存在 x0 ,当 x ? ( x0 , ??) 时,恒有 x ? ce . 解法二: (1)同解法一. (2)同解法一. (3)令 k ?
x

1 ( k ? 0) ,要使不等式 x ? ce x 成立,只要 e x ? kx 成立. c

而要使 e ? kx 成立,则只需 x ? ln(kx) ,即 x ? ln x ? ln k 成立. ①若 0 ? k ? 1 ,则 ln k ? 0 ,易知当 x ? 0 时, x ? ln x ? ln x ? ln k 成立. 即对任意 c ? [1, ??) ,取 x0 ? 0 ,当 x ? ( x0 , ??) 时,恒有 x ? ce .
x
' ②若 k ? 1 ,令 h( x) ? x ? ln x ? ln k ,则 h ( x ) ? 1 ?

1 x ?1 ? , x x

所以当 x ? 1 时, h ( x) ? 0 , h( x) 在 (1, ??) 内单调递增.
'

取 x0 ? 4k ,

h( x0 ) ? 4k ? ln(4k ) ? ln k ? 2(k ? ln k ) ? 2(k ? ln 2) ,

易知 k ? ln k , k ? ln 2 ,所以 h( x0 ) ? 0 . 因此对任意 c ? (0,1) ,取 x0 ?

4 x ,当 x ? ( x0 , ??) 时,恒有 x ? ce . c
x

综上,对任意给定的正数 c,总存在 x0 ,当 x ? ( x0 , ??) 时,恒有 x ? ce . 解法三: (1)同解法一. (2)同解法一. (3)①若 c ? 1 ,取 x0 ? 0 , 由(2)的证明过程知, e ? 2 x ,
x

所以当 x ? ( x0 , ??) 时,有 ce ? e ? 2 x ? x ,即 x ? ce .
x x x

②若 0 ? c ? 1 , 令 h( x) ? ce x ? x ,则 h' ( x) ? ce x ? 1 , 令 h' ( x) ? 0 得 x ? ln 当 x ? ln

1 . c

1 时, h' ( x) ? 0 , h( x) 单调递增. c 2 , c
2 c

取 x0 ? 2 ln

h( x0 ) ? ce
易知

2ln

? 2ln

2 2 2 ? 2( ? ln ) , c c c

2 2 ? ln ? 0 ,又 h( x) 在 ( x0 , ??) 内单调递增, c c
x

所以当 x ? ( x0 , ??) 时,恒有 h( x) ? h( x0 ) ? 0 ,即 x ? ce . 综上,对任意给定的正数 c,总存在 x0 ,当 x ? ( x0 , ??) 时,恒有 x ? ce .
x

注:对 c 的分类可有不同的方式,只要解法正确,均相应给分。


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