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一道竞赛题的再推广


2001 年 第 1 期

中学数学教学

29

数学竞赛专栏
主持人 郭要红 丁一鸣
a 令小 令枷 令: 峥 1 . 今小 令: 峥小 令朴 令小 杏心 . 中 令, . . 巾 令加 令. 今胆 令, . 令 如 令. ,, , 备 咯小
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1 二 … 。 ‘ ! 犷 . 甲 。 ‘ : 。 . t 全

有 奖 解 题 擂 台 (47)
R lf} 省R E 德中学 刘永春 ( 邮编: 718000)
题 注

在 △ A B C 电 证 明 或 否 定 不 等 式 : 券舀 溃瓷 丽+ 蒜i袭 石 万 十
: 供题人对第一位解答正确者授予奖金 50 元)

sin C s in C + s in A

< 27

. 今 : 。 . ! 全 ! 令 . ! ,

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卜 月 . 闷 卜 闷 . 闷 , 月 . . 阅 卜 司 .月 卜‘ , 月 卜。月 . 闷 卜 阅 卜州 .月 卜. 阅 卜 ,阅 卜 门曰 .卜 . 月 卜. 川 卜闷 .月 卜. , 卜. 阅 卜侧 一 月 卜. , 月 卜 ,门 卜二月 卜. 曰 卜闷 .川 卜 ,月 ,. , 卜叫 , 闷 卜 ,阔 . 婚阅 卜肠月 ,峥阅 卜俘, 卜 朋.月 卜 , .月 卜 叫 , 月 卜婚月 卜物门 ,相月 卜确司 卜均月 卜‘ 巨 月 卜 , .

一道竞赛题的再推广
河南太康一高 王国平 ( 邮编:461400) 河南城建高 专 朱绍智 ( 邮编:467001)
题 如图 1, 在等腰直角三角形 ABC 中, AB 二1, 匕A = 90*, 点 E 为腰 AC 的

由 角平分线定 理知 BG/ GE = AB/ AE 二 又 + 1,
. SAA B G ’ ‘ So asc a2 2( a + 2) ' P =人 + 1今 5 △ 月 仪 ;=

中点, 点 F 在底边BC 上, 且 FE 土BE , 求△CEF 的面积。 (1998 年全国初中数学竟赛
第 11 题 )

了 + 2 O&A B E=

人+ 1 。

文【 1] 将等腰直角三角 形推广到等腰三角形, 本文再作如下推广。 推广 1 如图 2, 在等腰

(A+1)2}2(a +2)= 20 + 1)2(;L+2) 0

. 5oC EF 二二 -五 C ‘_ . A + 1 ' . 。 _ , 二戈 = - - - 气犷 - 一 。 二 O ,n , ! 'F F 一 B` a, 一 ’ ‘ 5o A B ('. 月L a2 P at

, (卫 s‘ )2

当 a 二1, A= 1 时, 即得原题结论 1/ 240 更一般地, 有

直角三角形 ABC 中, 乙A = 900 飞 AB 二a , 点 E 为腰 AC 上的点, 点E 内 分〔 A 为: CE : EA 二2 , 点 F 在底边 BC 一 上, 且 FE 土BE , 则
S AC S 二

又 2a 2

图2

推论 2 如图 3, 在△ AB C 中 , 已 知角A,B, C, AC二 l, 点E 为AC 上的点, E内 分C A 为C E :丑 气为定比几 , 点F 在B C 上, 且使得L BEF = A。 则 SoC F F=
A Z12Si} "SinB"sinC

20 + 1)2(A+ 2) 0

2(1+ A)2(A sin2C+ sin2A)0
证明

图3

证明
五A

由 A C 一 A B 一 , 箭=* , 知 E C 一 击,

依 题 设 知 C E一 击, E A - 1 十几’
c2sinA "sinC
2 s in B

作 AD 上BC, D 为垂足, 交 BE 于 G , 则 一又+ 10 E , F , D, G 四点共圆, 易证△ABGC I)o CEF .

乙ABE 二 艺 CEF 二a , S&A w=
。 几 n _

因 SoA W二 a2/ 2, .‘ . SAA B E / Sa C $E二 AE/ EC= 1八, 故有 SoA B E= S△ 二 / A+ 1= a2/ 2(A+ 1)0

( A l2sinA s in C 3AB E C=A 1J o A B C ' “2(A+ 1)sir B 。

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中学数学教学

2001 年第 1 期

一道数学奥林匹克题的简证及推广
浙江省三门中专 李 日 ( 邮编:317100)
题 令 x , y, z 是满足x 十 y + z = 1 的非负实数。
x "Y" + y^z' + z"xm

证 明 :x2 y+y , 二 十 z, 二 、 弃 , 并 求 不 等 式 成 立 的 条 件 。
(1999 年加拿大数学奥林匹克题) 简证 由 于不等式是关于 x ,y, z 轮换对称的, 故 可设 x> , y妻z, 从而尸y + y2z 十 护 x( x2y + 2xyz
” xy (x + 2z ) = 土 2 'x "2y "(x + 2z )

镇x"y". 十 了一 ‘ 尹z + x ” 一 1尹: ( ’ :, : > m) = x"y," +2x” 一 ’ yr"z< - x"yn + nx'‘ 一 IY"z

一 气(m x)" y '"+n x'。 一 , y '" z
刀z

= 与 ~ ), 一 lv'"(m x + m, 二 )

二 -二 1 (二)” 一 ‘ .(nv)'"(二 +m 、 二 ) 镇 一1m om
刀n 一刀

、 告 (x+2 y+x+2 3 z)3 ‘ 丫 x,, 一 非 负 , 11 2 (x+ }.+z)J 3 一 2 4 7 '
1/ 3, z 二 0.

n 一1 )x + n:nv + ( n1z + ninz
” ! + 刀

、 、 奋 , 声 1 1 一

朋十



等号在x 二 2y = x 十 2z 时成立, 即 z = 2/ 3, y 二

推广 若条件不变, 则结论可推广为:

X " Y '十 y"z, 十 二 二越 \丁 } n""m ` - \n+ " ` m (n > m,
n, m 任 N) 证明 推广后的不等式仍是关于 .z, y, z 的轮换 对称式, 故仍不妨设 xi yi z , 从而
l sin C ’

1 (M 0 1 4十 ”_ nnm mnnm( m + n ) ,+” ( , + m )’ ‘ 辛 阴 ’ 等号在 二 = ny 二 m.r 十 mnz 时成立,
z = 0. 即 x = 不呻 m, y二 石 下不,
刀2

m " n ' m " n " `[

m 十, t
刀 2十刀

)仍 +”

1 1阴 +’ ‘ ( 由.z + y + z 二

期 2000 - 03 - 17) ( 收稿 日

由正弦定理得 AB 二 sin B
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习L

。 。

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一万- 不丁 。
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l sinA

二 EF . 1(} sinA +A sinAsin2B
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由斯蒂瓦特定理知 八 B2 . CE 十BC2 EA
C E + 五A
又 z + 1 + 久 1

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A l I Z sinC (A sin2C + sinZ A)(1+ 1 ) ’
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Z Z( (.1sin2C + sinZ A )(1+ A

.l s1 矛B l

(1+ ;L )2sin2B
记△ = (A sin2C + sinZ A ) (1 + A) 一 dsin2B , 则

1 = 一 2

.1l /-Z sinC
A212sinAsinBsinC

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sin A "sin B

(dsin2C+ sin2A)(1+ A) 1+ A

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B E二 厂 华气 。 在 △ A R E中 , 由 正 弦 定 理 得
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sina 二 ;s inA, 二 “ m a一 B E 一 了 乙
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FA "sinA

sinA "sinB

2(1+ .1)2(A sin2C + sin2A) ' 当l 二 a >A = 90%B = C= 45’ 时, 即得推论 10
参考文献 1 曾令辉。一道竞赛题的推广和引申。中学数 学研究, 2000(4)0 ( 收稿 日 期 2000 - 05 - 06)

囚5△ 二= 言 B E"EF-sinA十 言C E"EF"sina
(BE sinA + CE -sina ) , 即
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1 。 , 。 。 二

1 。 。 , 。

.1l2sinAsinC _ EF I{ , 丫 么 lslnA 于,e _ 气犷下一 2 \ 11 + ,l ) sln b 2( .l + 1)sinB

.l l sin A sin B

(1+ 入 ) Irz


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