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成都市2010届高中毕业班摸底测试数学(理工农医类)

时间:2014-02-28


2013 届高中毕业班摸底测试数学(理工农医类) 模拟试题
(全卷满分为 150 分,完成时间为 120 分钟) 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率为 P, 那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 - Pn(k)=CnkPk(1-P)n k

球的表面积公式 S=4πR2 其中 R 表示球的半径 球的体积公式 4 V=3πR3 其中 R 表示球的半径

第Ⅰ卷

(选择题,共 60 分)

注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔填写在答题卡上. 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案。不能答在试题卷上. 3.考试结束后,监考员将本试卷和答题卡一并收回. 一、选择题:本大题共有 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分;在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的,把正确选项的代号涂在机读卡的相应位置上. 1.复数 ? 1 ? ? 的值为 (A) ?8 2.集合 M ? y | y ? 10 (A) ? x | x ? 3? (B) 8 (C) ?8i (D) 8i

? ?

1? i?

6

?

?x

? ,集合 N ? ?x | y ?
? ? 1? 3?

log3 x ? 1 ,则 M ? N ?
(D) ? x | 0 ? x ? ?

?

(B) ? x | x ? ?

(C) ? x | 0 ? x ? 1?

? ?

1? 3?

3.已知函数 f ? x ? ? 3 sin x, g ? x ? ? cos ?? ? x ? ,直线 x ? a 与 f ? x ? , g ? x ? 的图像分别交于

M ,N 两点,则 MN 的最大值为
(A) 1 (B) 3 (C) 2 (D) 1 ? 3

4 .设四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是单位正方形, PB ? 底面ABCD 且 PB ? 3 ,记

?APD ? ? ,则 sin? ?
(A)

2 2

(B)

5 5

(C)

3 3

(D)

6 6

5.数列 a1 , a2 ,? a7 ,其中恰好有 5 个 2008 和 2 个 2009,这样的互不相同的数列的个数是 (A) 21 (B) 42 (C) 72 (D) 5040

第 1 页 共 12 页

a3 6.在直角坐标中,函数 f ? x ? ? 2 a ? x2
y a
y a

? a ? 0 ? 所表示的曲线称为箕舌线,则箕舌线可能是
y a

y a

O

x

O

x

O

x

O

x

(A)

(B)

(C)

(D)

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 7.向量 OA ? ? 2, 0 ? , OB ? 2 ? 2 cos ? , 2 3 ? 2sin ? ,则向量 OA与OB 的夹角的范围是

?

?

(A) ?0,

? ?? ? 4? ?

(B) ?

?? ? ? , ?6 2? ?

(C) ?

?5 ?? ?, ?12 2 ? ?

(D) ?

?? 5 ? , ? ?12 12 ? ?

8.若不等式 x ? 1 ? a 成立的充分条件为 0 ? x ? 4 ,则实数 a 的取值范围是 (A) ?3, ?? ? (B) ?1, ?? ?
2 2

(C) ? ??,3?

(D) ? ??,1?

9.直线 l : y ? k ? x ? 2 ? ? 2 与圆 C : x ? y ? 2 x ? 2 y ? 0 相切,则直线 l 的一个方向向量为 (A) ? 2, ?2 ? (B) ?1,1? (C) ? ?3, 2 ? (D) ? 1, ?

? 1? ? 2?

10.等差数列 ?an ? , ?bn ? 前 n 项和分别为 S n ,Tn ,

Sn 3n ? 15 a ? ,则使 n 为整数的正整数 n 有 Tn n?2 bn
(D)大于 3 个

(A) 1 个

(B) 2 个

(C) 3 个

11.定义域为 R 的函数 f ? x ? 在 ? 6, ?? ? 上为减函数且函数 y ? f ? x ? 6 ? 为偶函数,则 (A) f ? 4 ? ? f ? 5 ? (B) f ? 4 ? ? f ? 7 ? (C) f ? 5 ? ? f ? 8 ? (D) f ? 5 ? ? f ? 7 ?

??? ? ??? ? ??? ? ? x2 ? y 2 ? 1 的右焦点为 F , A,B,C 为该椭圆上的三点,若 FA ? FB ? FC ? 0 , 则 4 ??? ? ??? ? ??? ? FA ? FB ? FC ?
12.椭圆 (A)

3 2

(B) 3 3

(C)

3 2

(D) 3

第Ⅱ卷
注意事项:

(非选择题,共 90 分)

第 2 页 共 12 页

1.第Ⅱ卷共 6 页,用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上. 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚. 三 17 18 19 20 21 22

题 得 得 分

号 分 评卷人







二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共计 16 分) 把答案填在题中横线上.
10

? 4 1? 13. ? 2 x ? ? 的展开式中,常数项为_________________ x? ?
14.三棱锥 P ? ABC 内接于球 O ,如果 PA,PB,PC 两两垂直且 PA ? PB ? PC ? a ,则球心

O 到平面 ABC 的距离为_________________
15. 已知 f ? x ? ? log 1 x , 设x?
2

a b c ,y? ,z ? , 其中 0 ? c ? b ? a ? 1 , 则 x, y, z f ?a? f ?b ? f ?c?

的大小顺序为_________________ 16.在△ ABC 中,若 ? cos A ? sin A ?? cos B ? sin B ? ? 2 ,则角 C ? _________________

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 74 分) 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 得 分 评卷人 17.(本小题满分 12 分)

,cos 在锐角△ ABC 中, 已知 5 AC ? BC ? 4 AC ? BC , 设 m ? ? sin A
且 m?n ?

???? ??? ?

???? ??? ?

? ?

? B , ?n cos ? ?, B cos ?

A

?

?? ?

1 ,求: 5

(Ⅰ) sin ? A ? B ? 的值; (Ⅱ) tan A 的值.

第 3 页 共 12 页

得 分

评卷人 18.(本小题满分 12 分)

某气象站天气预报的准确率为 80%,计算: (结果保留到小数点后第 2 位) (Ⅰ)5 次预报中恰有 2 次准确的概率; (Ⅱ)5 次预报中至少有 2 次准确的概率; (Ⅲ)5 次预报中恰有 2 次准确且其中第 3 次预报准确的概率.

得 分

评卷人 第 4 页 共 12 页

19.(本小题满分 12 分) 如图,直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? AD ? 2 ,

A1

D1

CB ? CD ? 2 3, AA1 ? 3, AB ? BC , AC 与 BD 交于点 E .
(Ⅰ)求证: BD ? AC ; 1 (Ⅱ)求二面角 A1 ? BD ? C1 的大小; (Ⅲ)求异面直线 AD 与 BC 所成角的余弦值.
B A B1 D C1

E C

得 分

评卷人 20.(本小题满分 12 分)

设函数 f ? x ? ? ?

1 3 x ? 2ax 2 ? 3a 2 x ? b 3

? 0 ? a ? 1, b ? R ?

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的单增区间和极值;

第 5 页 共 12 页

(Ⅱ)若对任意 x ? ? a ? 1, a ? 2? ,不等式 f ? ? x ? ? a 恒成立,求 a 的取值范围.

得 分

评卷人 21.(本小题满分 12 分)

如图,线段 AB 过 y 轴上一点 N ? 0, m ? , AB 所在直线的斜率为 k 轴的距离之差为 4k . (Ⅰ)求以 y 轴为对称轴,过 A, O, B 三点的抛物线方程;

? k ? 0 ? ,两端点 A, B 到 y

第 6 页 共 12 页

(Ⅱ)过抛物线的焦点作动弦 CD ,过 C , D 两点分别作抛物线的切线,设其交点为 M ,求点

??? ? ??? ? FC ? FD M 的轨迹方程并求出 ???? ? 2 的值. FM
N B

y

A

O

x

得 分

评卷人 22.(本小题满分 14 分)

根据定义在集合 A 上的函数 y ? f ? x ? ,构造一个数列发生器,其工作原理如下: ①输入数据 x0 ? A ,计算出 x1 ? f ? x0 ? ; ②若 x1 ? A ,则数列发生器结束工作;若 x1 ? A ,则输出 x1 ,并将 x1 反馈回输入端,再计算出

第 7 页 共 12 页

x2 ? f ? x1 ? ,并依此规律继续下去.
若集合 A ? ? x | 0 ? x ? 1? , f ? x ? ?

mx m ?1? x

? m ? N? ? .

(Ⅰ)求证:对任意 x0 ? A ,此数列发生器都可以产生一个无穷数列 ? xn ? ; (Ⅱ)若 x0 ?

1 1 ,记 an ? ,求数列 ? an ? 的通项公式; xn 2

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,证明

1 1 ? xm ? . 4 3

第 8 页 共 12 页

成都市 2010 届高中毕业班摸底测试 数学(理工农医类) 模拟试题参考答案及评分意见
一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分) 1.D;2.D;3.C;4.B;5.A;6.A;7.B;8.A;9.A;10.B;11.C;12.C. 二、填空题: (每小题 4 分,共计 16 分) 13. 180 ; 14.

3 ? a ; 15. x ? y ? z ; 16. . 6 2
???? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ?

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 74 分) 17.解: (Ⅰ)∵ 5 AC ? BC ? 5 AC ? BC cos C ? 4 AC ? BC ,∴ cos C ? ∴ sin ? A ? B ? ? sin C ?

4 , ……2 分 5
……2 分

(Ⅱ)设 x ? tan A ? 0 , m ? n ? sin A cos B ? cos A sin B ?

?? ?

3 5 1 5


3 ② 5 2 1 ∴①+②得 sin A cos B ? , cos A sin B ? , ……4 分 5 5 x ∴ tan A cot B ? 2 ,故 tan B ? , 2 x x? x ? tan B 2 ? 3x ? ? 3 即 x 2 ? 4 x ? 2 ? 0 又 tan ? A ? B ? ? ? 1 ? x tan B 1 ? x ? x 2 ? x 2 4 2 sin ? A ? B ? ? sin A cos B ? cos A sin B ?
∴ x ? 2 ? 6 ,∴ tan A ? 2 ? 6 18.解: (Ⅰ) P 5 ? 2 ? ? C5 ? 0.8 ? ?1 ? 0.8 ? ? 0.05
2 2 3 0 0 5 1 1 4

……4 分 ……4 分

(Ⅱ) 1 ? P 5 ? 0? ? P 5 ?1? ? 1 ? C5 ? 0.8 ? ?1 ? 0.8 ? ? C5 ? 0.8 ? ?1 ? 0.8 ? ? 0.99 ……4 分 (Ⅲ)所求概率为 C4 ? 0.8 ? ?1 ? 0.8 ? ? 0.8 ? 0.02
1 3

……4 分

19.解: (Ⅰ)∵ ABCD ? A1 B1C1 D1 为直四棱柱,∴ AA1 ? 平面 ABCD , 又 AB ? AD, CB ? CD ,∴ AC ? BD , AC 是 AC 在平面 ABCD 上的射影,由三 1

? BD 垂线定理知 AC 1

……3 分

(Ⅱ)连接 A1 E , C1 E ,∵ E 为 AC 与 BD 的交点且 AC ? BD , 第 9 页 共 12 页

∴ A1 E ? BD, C1 E ? BD , ∴ ?A1 EC1 为二面角 A1 ? BD ? C1 的平面角, ∵ AB ? BC ,∴ AD ? DC ,∴ ?A1 D1C1 ? ?ADC ? 90 ,
?

……2 分

又∵ A1 D1 ? AD ? 2, C1 D1 ? CD ? 2 3, AA1 ? 3, AC ? BD , ∴ A1C1 ? 4, AE ? 1, EC ? 3 ,∴ A1 E ? 2 , C1 E ? 2 3 , 在△ A1 EC1 中, A1C1 ? A1E ? EC1 ,∴ ?A1 EC1 ? 90 ,
2 2 2 ?

∴二面角 A1 ? BD ? C1 为 90

?

……3 分

(Ⅲ)∵ AD ? DC ,∴ AD ? 平面 CD1 ,过 B 作 BF∥AD 交 CD 于 F , 则 ?FBC1 为所求的角, BF ? 平面 CD1 , ∵ AD ? AB ? 2, AD ? DC, AC ? BD ,∴ CD ? CB ? 2 3 , ∴ ?BCD ? 60 ,在 Rt△ BCF 中
?

BF ? BC sin 60? ? 3 ,∵ BC1 ? 15 ,∴ cos ?FBC1 ?

BF 15 ? BC1 5
……4 分

∴ AD 与 BC1 所成角的余弦值为 20.解: (Ⅰ)设函数 f ? x ? ? ?

15 5

1 3 x ? 2ax 2 ? 3a 2 x ? b 3

? 0 ? a ? 1, b ? R ?

f ? ? x ? ? ? x 2 ? 4ax ? 3a 2 ,令 f ? ? x ? ? 0 得 f ? x ? 的单增区间为 ? a,3a ? ,
令 f ? ? x ? ? 0 得 f ? x ? 的单减区间为 ? ??, a ? 和 ? 3a, ?? ? ,

4 f ? x ?极小值 ? f ? a ? ? ? a3 ? b , f ? x ?极大值 ? f ? 3a ? ? b 3
2 2 (Ⅱ)由 f ? ? x ? ? a 得 ?a ? ? x ? 4ax ? 3a ? a

……4 分 ……2 分



∵ 0 ? a ? 1,∴ 1 ? a ? 2a , ∴ f ? ? x ? ? ? x ? 4ax ? 3a 在 ? a ? 1, a ? 2? 上是减函数,
2 2

∴当 x ? ? a ? 1, a ? 2? 时, f ? ? x ?max ? f ? ? a ? 1? ? 2a ? 1 ,

f ? ? x ?min ? f ? ? a ? 2 ? ? 4a ? 4 ,于是对任意的 x ? ? a ? 1, a ? 2? ,

第 10 页 共 12 页

不等式①恒成立等价于 ? ∴

? ? a ? 4a ? 4 , ? a ? 2a ? 1

……4 分

4 4 ? a ? 1 ,又∵ 0 ? a ? 1,∴ ? a ? 1 5 5
2

……2 分

21.解: (Ⅰ)设 AB 所在直线方程为 y ? kx ? m ,抛物线方程为 x ? 2 py 且 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,由题目可知 x1 ? 0, x2 ? 0 , ∴ x1 ? x2 ? 4k 即 x1 ? x2 ? 4k , 把 y ? k ? x

? p ? 0?

2 代 入 x ? 2 p y整 理 得 m

x2 ? 2 p k ? x2

,∴ p? m 0 x1 ? x2 ? 2 pk ? 4k ,∴ p ? 2 ,
2

∴所求抛物线方程为 x ? 4 y

……4 分

(Ⅱ)设 C ? x3 ,

? ?

1 2? ? 1 2? x3 ? , D ? x4 , x4 ? , 4 ? ? 4 ?

过抛物线上 C , D 两点的切线方程分别为 y ? ∴两条切线的交点 M 的坐标为 ?

1 1 2 1 1 2 x3 x ? x3 y ? x4 x ? x4 2 4 2 4
……2 分
2

? x3 ? x4 x3 x4 ? , ?, 4 ? ? 2
2

设 CD 所在直线方程为 y ? nx ? 1 ,代入 x ? 4 y 得 x ? 4nx ? 4 ? 0 , ∴ x3 x4 ? ?4 ,∴ M 的坐标为 ?

? x3 ? x4 ? , ?1? , ? 2 ?
……2 分

∴点 M 的轨迹方程为 y ? ?1 , 又∵ FC ? ? x3 ,

??? ?

? ?

? ? 1 2 ? 1 2 ? ??? x3 ? 1? , FD ? ? x4 , x4 ? 1? , 4 ? ? 4 ?

∴ FC ? FD ? x3 x4 ?

??? ? ??? ?

1 2 1 2 1 2 2 x3 ? x4 ? ? x3 ? x4 ? ?1 4 4 4 1 2 1 2 2 2 ? x3 x4 ? 1 ? ? x3 ? x4 ? 1 ? ? ? x3 ? x4 ? ??2 , 4 4

……2 分

2 2 ???? ? 2 ? x ? x ?2 x3 ? x4 ? 2 x3 x4 1 2 2 4 ? 4 ? ? 4 ? ? x3 而 FM ? ? 3 ? x4 ??2 , ? 4 4 ? 2 ? ??? ? ??? ? FC ? FD ∴ ???? ……2 分 ? 2 ? ?1 FM

22.解: (Ⅰ)当 x ? A 即 0 ? x ? 1 时, m ? N? 可知 m ? 1 ? x ? 0 ,∴

mx ? 0, m ?1? x

第 11 页 共 12 页



? m ? 1?? x ? 1? ? 0 ,∴ mx mx ?1 ? ? 1即 f ? x? ? A , m ?1? x m ?1? x m ?1? x

故对任意 x0 ? A ,有 x1 ? f ? x0 ? ? A ,由 x1 ? A 可得 x2 ? f ? x1 ? ? A , 由 x2 ? A 可得 x3 ? f ? x2 ? ? A , 依次类推可一直继续下去,从而产生一个无穷数列 ? xn ? (Ⅱ)由 xn ?1 ? f ? xn ? ? ∴ an ?1 ? 则 bn ?1 ? ……4 分

mxn 1 m ?1 1 1 可得 ? ? ? , m ? 1 ? xn xn ?1 m xn m

m ?1 1 m ?1 an ? ,即 an?1 ? 1 ? ? an ? 1? ,令 bn ? an ? 1 , m m m
m ?1 1 2m ? 1 m ?1 bn , b1 ? a1 ? 1 ? ? 1 ? ?1 ? , m x1 m m
n ?1

? m ?1? ∴ ?bn ? 为等比数列,∴ bn ? ? ? ? m ?
m

? m ?1? b1 即 an ? ? ? ?1 ? m ?
m

n

……4 分

1? 1? ? ? (Ⅲ)即证 3 ? ?1 ? ? ? 1 ? 4 ,需证 2 ? ?1 ? ? ? 3 ,当 m ? N? 时有 ? m? ? m? 1? 1 1 1 ? 0 ? 1 ? 1 m 0 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? Cm ? ? ? Cm ? ? ? ? C m ? m ? C m ? ? ? C m ? ? 2 m m m ? m? ?m? ?m? m ? m ? 1?? ? m ? k ? 1? 1 1 1 1 ?1? ? ? ? ? 当 k ? 2 时,由 C ? ? ? ? k m k ! k ! k ?1 k ?m?
k k m m 0 0

∴当 m ? 2 时

1? 1? 1 ? ? 1? ?1 1? ? 1 ? ? ? 3? ? 3 ?1 ? ? ? 1 ? 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? m ? m? ? 2? ? 2 3? ? m ?1 m ?
又 m ? 1时 2 ? ? 1 ?

m

? ?

1? ? ? 2 ? 3, m?

m

∴对任意的 m ? N? 都有

1 1 ? xm ? 4 3

……6 分

第 12 页 共 12 页


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