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江苏省2012-2013学年高一上学期期末考试


2012~2013 学年度第一学期期末考试 高一数学试题
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相应答题线 上. ) 1. sin 240 ? 的值为 2.函数 y ? ▲ . ▲ . ▲ ▲ ▲ . . . ▲ .

1 的定义域为 1? x

3.已知幂函数 y ? f

(x) 的图象过点 ( 2 ,2 2 ) ,则 f (2) ? ... 4.若函数 f ( x) ? x ? (m ? 1) x ? 1 为偶函数,则实数 m 的值为
4

? 5.已知扇形的中心角为 120 ,半径为 3 ,则此扇形的面积为

6.将函数 y ? 3sin 2 x 的图象向右平移
2

? 个单位后所得图象的函数解析式是 y ? 6

7. lg 4 ? 2 lg 5 ? 8 3 ?





8.在平面直角坐标系 xoy 中,已知以 x 轴为始边的角 ? 、 ? 的终边分别经过点 (?4,3) 、 (3, 4) ,则

tan(? ? ? ) ?


2

. ▲ .
m p

9.函数 f ( x) ? x ? 2 ? x 的单调增区间是

10.如图,在 4 ? 4 的方格纸中,若起点和终点均在格点的向 量 m,n, p 满足 值为 ▲
2

p ? xm + yn (x,y?R) 4 x ? y 的 ,则


n

第 10 题图 ▲ .

11.若函数 f ( x) ? x ? 2ax ? b(a ? 1) 的定义域与值域都是 [1, a ] ,则实数 b ? 12. 已知直线 x ? ? (0 ? ? ?

?
4

) 与函数 f ( x) ? cos x, g ( x) ? sin 2 x 和 h( x) ? sin x 的图象及 x 轴依次
2 2

交于点 P, M , N , Q ,则 PN ? MQ 的最小值为





13.已知点 G 、 H 分别为 ?ABC 的重心(三条中线的交点) 、垂心(三条高所在直线的交 点) ,若 AC ? 4, AB ? 6 ,则 HG ? BC 的值为
2

????

??? ?

???? ??? ?





14.已知函数 f ( x) ? mx ? 1 , g ( x) ? x ? (m ? 1) x ? 1 ,若对任意的 x0 ? 0 , f ( x0 ) 与 g ( x0 ) 的值

不异号,则实数 m 的值为 ...





二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )
15. (本小题满分 14 分) 已知集合 A ? x 2 ? x ? 6, x ? R , B ? x ?1 ? x ? 5, x ? R ,全集 U ? R . (1)求 A ? (CU B ) ; (2)若集合 C ? x x ? a, x ? R , A ? C ? ? ,求实数 a 的取值范围.

?

?

?

?

?

?

16. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? (1)求 A, ? 的值; (2)求 f ( x) 的单调增区间; (3)求 f ( x) 在区间 [?

?
6

)( A ? 0, ? ? 0) 的部分图象如图所示.
y 1 2π 3 O π 6 -1 x

? ?

, ] 上的最大值和最小值. 6 4

17. (本小题满分 14 分) 销售甲、乙两种商品所得利润分别是 y1 、 y2 万元,它们与投入资金 x 万元的关系分别 为 y1 ? m x ? 1 ? a , y2 =bx , (其中 m, a, b 都为常数) ,函数 y1,y2 对应的曲线 C1 、 C2 如图所示. (1)求函数 y1 、 y2 的解析式; (2) 若该商场一共投资 4 万元经销甲、乙两种商品,求该商场所获利润的最大值.

y

C2
8 5

C1

O

8

x

18. (本小题满分 16 分) 已知向量 a = ?1, cos ? ? , b = ?1,sin ? ? , c ? (3,1) ,且 (a ? b) ∥ c . (1)若 ? ?

?
3

,求 cos 2? 的值;

(2)证明:不存在角 ? ,使得等式 a ? c ? a ? c 成立; (3)求 b ? c ? a 的最小值.
2

19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x , g ( x) ? ax ? 3 (a?R) .
2

(1)记函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) , (i)判断函数 F ( x) 的零点个数; (ii)若函数 F ( x) 在 [0,1] 上是减函数,求实数 a 的取值范围. (2)设 G ( x) ? ?

? f ( x), x ? 1 .若对于函数 y ? G( x) 图象上异于原点 O 的任意一点 P, ? g ( x), x ? 1
??? ???? ?

在函数 y ? G( x) 图象上总存在另一点 Q ,使得 OP ? OQ ? 0 ,且 PQ 的中点在 y 轴上,求 a 的取值范

围.

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) 是区间 D ? [0, ??) 上的增函数,若 f ( x) 可表示为 f ( x) ? f1 ( x) ? f 2 ( x) ,且满足 下列条件:① f1 ( x) 是 D 上的增函数;② f 2 ( x) 是 D 上的减函数;③函数 f 2 ( x) 的值域 A ? [0, ??) , 则称函数 f ( x) 是区间 D 上的“偏增函数” . (1) (i) 问函数 y ? sin x ? cos x 是否是区间 (0, (ii)证明函数 y ? sin x 是区间 (0,

?
4

) 上的“偏增函数”?并说明理由;

?
4

. ) 上的“偏增函数”

(2) 证明:对任意的一次函数 f ( x) ? kx ? b(k ? 0) , 必存在一个区间 D ? [0, ??) , 使 f ( x) 为 D 上的“偏增函数” .

2012~2013 学年度第一学期期末考试 高一数学(类一)试题参考答案
一、填空题 1. ?

3 ; 2

2. (??,1) ;

3. 8 ; 8.

4. 1 ;

5.

?;

6. y ? 3sin(2 x ? 10. 7 ;

?
3

) ; 7. 6 ;
11. 5 ;

7 1 1 ; 9. (? , ??) ( [? , ??) 也对) ; 24 2 2 3 20 1 12. ; 13. ? ; 14. . 4 3 2

二、解答题
15. 解: (1)? B ? x ?1 ? x ? 5, x ? R ,

?

?

? CU B ? ? x x ? ?1或x ? 5? ,??????????????????????4 分 ? A ? (CU B )= ? x 5 ? x ? 6? . ?????????????????????8 分

(2)? A ? x 2 ? x ? 6, x ? R , C ? x x ? a, x ? R , A ? C ? ? ,

?

?

?

?

?a 的取值范围是 a ? 2 . ???????????????????????14 分
(不写等号扣 2 分) 16. 解:(1)由图象知 A ? 1 , ??????????????????????2 分 由图象得函数的最小正周期为 2( 则由

2?

2? ? ? ) ?? , 3 6

?

? ? 得 ? ? 2 .?????????????????????????4分

(2)? ?

?
2

? 2 k? ? 2 x ?

?
6

?

?
2

? 2 k? ,

??
??

?
3

2? ? ? 2k? ? 2 x ? ? 2k? . 3 3 ? k? ? x ?

?

6

? k? .

所以 f ( x) 的单调递增区间为 [? (3)? ?

?
3

? k? ,

?
6

? k? ], k ? Z . ??????????9分

, 4 3 2 ? ? 2? . ?? ? 2 x ? ? 6 6 3 1 ? ?? ? sin(2 x ? ) ? 1 . ?????????????????????12分 2 6 6
当 2x ? 当 2x ?

?

?x?

?

, ??

?

? 2x ?

?

?

?

6

?

?

2

,即x ?

?

6

??

?
6

6

时, f ( x) 取得最大值1 ;

,即 x ? ?

?
6

时, f ( x) 取得最小值 ?

1 . 2

?????????14分

?m ? a ? 0 4 4 ? 17.解: (1)由题意 ? 8 ,解得 m ? , a ? ? , 5 5 ?3m ? a ? 5 ?

4 4 ????????????????????4 分 x ? 1 ? , ( x ? 0) 5 5 8 1 又由题意 8b ? 得 b ? 5 5 1 ??????????????????????????7 分 y2 ? x ( x ? 0) 5 y1 ?
(不写定义域扣一分) (2)设销售甲商品投入资金 x 万元,则乙投入( 4 ? x )万元 由(1)得 y ?

4 4 1 x ? 1 ? ? (4 ? x) , (0 ? x ? 4) ???????????10 分 5 5 5

令 x ? 1 ? t , (1 ? t ? 5) ,则有

1 4 1 1 y ? ? t 2 ? t ? = ? (t ? 2) 2 ? 1 , (1 ? t ? 5) , 5 5 5 5
当 t ? 2 即 x ? 3 时, y 取最大值 1. 答:该商场所获利润的最大值为 1 万元.?????????????????14 分 (不答扣一分) 18. 解: ? a ? b ? (2, cos ? ? sin ? ), c ? (3,1) ,且 (a ? b) ∥ c .

?

?

? c o s ? s i?n? ?
(1)?? ?

(2)假设存在角 ? 使得等式成立则有

1 1 ,? sin ? ? , 3 2 6 17 ?????????????????????6 分 ? cos 2? ? 1 ? 2sin 2 ? ? . 18
,? cos ? ?

?

2 3

, ??????????????????????3 分

?2 ? ? ?2 ? 2 ? ? ? a ? 2a ? c ? c ? a ? 2a ? c ? c ? ? ?a ? c ? 0

2

? c o ? ? ?3 不成立 s
?不存在角 ? 使得等式成立.?????????????????????11 分
(3)? cos ? ? sin ? ?

2 , 3

? sin ? ?

2 ? cos ? ? [?1,1] , 3

1 5 ?? ? cos ? ? ,又 ?1 ? cos ? ? 1, 3 3 1 ?????????????????????13 分 ?? ? cos ? ? 1 , 3

?

? ? ?2 8 b ? c ? a ? 2 ? sin ? ? cos 2 ? ? ? cos 2 ? ? cos ? ? 3 1 35 ? ?(cos ? ? ) 2 ? 2 12
2 . 3
???????????????????16 分

?当 cos ? ? 1 时, y min ?
19. 解: (1)(i) F ( x )

? x 2 ? ax ? 3

? ? ? a 2 ? 12 ? 0,

?函数 F ( x) 有 2 个零点 . ????????????????4 分

(ii) F ( x) ? x ? ax ? 2 ? ?
2

F ( x) ? 0 ? F ( x) , , ?? F ( x) , F ( x) ? 0

由题意 ? 2

? a ?? ? 0 ?? F (1) ? 0 ?

, ? ?2 ? a ? 0 .?????????????8 分

(2) G ( x) ? ?

? x2 ,

x ?1

?ax ? 3, x ? 1



由题意易知 P , Q 两点在 y 轴的两侧,不妨设 P 点坐标在 y 轴的左侧,设 P( x1 , x1 ) ,
2 当 ? 1 ? x1 ? 0 ,则 Q(? x1 , x1 ) , OP ? OQ ? x1 ( x1 ? 1) ? 0 恒成立,???????12 分

2

??? ???? ?

2

2

当 x1 ? ?1 ,则设点 Q ( ? x1 ,?ax1 ? 3 ) ,

??? ???? ? OP ? OQ ? ? x12 ? x12 (?ax1 ? 3) ? 0 恒成立,? ax1 ? 2 恒成立,? x1 ? ?1,
?a ? 2 2 恒成立,只要 ? a ? ( ) min x1 x1
, ????????????14 分

?2? ? x1 ? ?1,? ? ? ? ?2 ,? a ? ?2 . ?x ? ? 1 ? min
20. 解: (1)(i) y ? sin x ? cos x 是区间 (0,

????????????16 分

?
4

.????1 分 ) 上的“偏增函数”

记 f1 ( x) ? sin x, f 2 ( x) ? cos x , 显 然 f1 ( x) ? sin x 在 (0,

?
4

) 上 单 调 递 增 , f 2 ( x) ? cos x 在

2 ? ), (0, ) 上单调递减,且 f 2 ( x) ? cos x ? (0, 2 4
又 y ? f ( x) ? sin x ? cos x ? 故 y ? sin x ? cos x 是区间 (0,

?

2 sin( x ? ) 在 (0, ) 上单调递增, 4 4
.???????????4 分 ) 上的“偏增函数”

?

?

4

(ii) y ? sin x ? (sin x ? cos x) ? cos x ? 记 f1 ( x) ?

2 sin( x ? ), f 2 ( x) ? cos x , 4 2 sin(x ?

?

2 sin( x ? ) ? cos x , 4

?

显然 f1 ( x) ?

?

)在 (0, ) 上单调递增, f 2 ( x) ? cos x 在 (0, ) 上单调递减,且 4 4 4

?

?

f 2 ( x) ? cos x ? (0,

2 ), 2

又 y ? f ( x) ? f1 ( x) ? f 2 ( x) ? sin x 在 (0, 故 y ? sin x 是区间 (0,

?
4

) 上单调递增,

?
4

. ) 上的“偏增函数” ?????????????10 分

(2) 证:当 b ? 0 时,令 f1 ( x) ? (k ? 1) x , f 2 ( x) ? ? x ? b , D ? (0, b) , 显然 D ? (0, b) ? [0, ??) ,? k ? 0 ,? f ( x) ? kx ? b 在 (0, b) 上单调递增, f1 ( x) ? (k ? 1) x 在

(0, b) 上单调递增, f 2 ( x) ? ? x ? b 在 (0, b) 上单调递减,且对任意的 x ? (0, b) , f 2 ( x) ? f 2 (b) ? 0 ,
因 此 b ? 0 时 , 必 存 在 一 个 区 间 (0, b) , 使 f ( x) ? kx ? b(k ? 0) 为 D 上 的 “ 偏 增 函 数” . ?????????????13 分 当 b ? 0 时,取 c ? 0, 且满足 c ? b ? 0 ,令 f1 ( x) ? (k ? 1) x ? c , f 2 ( x) ? ? x ? b ? c ,

D ? (0, b ? c) ? [0, ??) ,
显然, f ( x) ? kx ? b 在 (0, b ? c) 上单调递增, f1 ( x) ? (k ? 1) x ? c 在 (0, b ? c) 上单调递增,

f 2 ( x) ? ? x ? b ? c 在 (0, b ? c) 上单调递减,且对任意的 (0, b ? c) , f 2 ( x) ? f 2 (b ? c) ? 0 ,
因此 b ? 0 时,必存在一个区间 (0, b ? c) ,使 f ( x) ? kx ? b(k ? 0) 为 D 上的“偏增函数” . 综上,对任意的一次函数 f ( x) ? kx ? b(k ? 0) , 必存在一个区间 D ? [0, ??) , 使 f ( x) 为 D 上的“偏增函数” . (其他构造方法相应给分) ?????????????????????16 分


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