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2.1.1合情推理


高二选修 1-2 数学导学案

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2.1.1 合情推理
【学习目标】 1.结合已学过的数学实例和生活中的实例,了解归纳推理的含义; 2.能利用归纳推理的思想,解决一些数学问题; 3.体会并认识归纳推理在数

学发展中的作用. 【重难点】能利用归纳推理的思想,解决一些数学问题。

【预习案】
一、预习新知: 1.归纳推理:由某类事物的 具有某些特征,推出该类事物的 都具有这些特征的 推理,或者由 概括出 的推理,称为归纳推理,简称归纳.简言之,归纳推理 是由 到 、由 到 的推理。 2.类比推理:由 具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出 也具有这些特 征的推理称为类比推理(简称 )。类比推理是由 到 的推理。 3.合情推理包括 和 ;它们都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想, 再进行 ,然后提出猜想的推理。归纳推理所得的结论不一定是正确的。 二、预习自测: ,......,猜想该数列的第 n 项可能是( 1.由数列 1,10,100,1000 ). A. 10
n

B. 10

n ?1

C. 10

n ?1

D. 11

n

2. 因 为 三 角 形 的 内 角 和 是 180? ? (3 ? 2) , 四 边 形 的 内 角 和 是 180? ? (4 ? 2) , 五 边 形 的 内 角 和 是

180? ? (5 ? 2) ……所以 n 边形的内角和是
【探究案】
探究点一:归纳推理 1.观察 1=1, 1 ? 4 ? ?(1 ? 2) , 1 ? 4 ? 9 ? ?(1 ? 2 ? 3) , 1 ? 4 ? 9 ? 16 ? ?(1 ? 2 ? 3 ? 4) … 猜想第 n 个等式是: 2. 数列 ?an ?中, a1 ? 1, an ?1 ? ?

1 ,则 a2008 ? an ? 1

2 3.设 f (n) ? n ? n ? 41 , n ? N? ,计算 f (1), f (2), f (3)......f (10) 的值,同时作出归纳推理,并用 n ? 40 验 证猜想是否正确。

4.观察下列等式,

3 3 2 ? 2 ? 2 ? , sin 60 ? sin 120 ? sin 180 ? 2 2 3 3 sin 2 45? ? sin 2 105 ? ? sin 2 165 ? ? , sin 2 15? ? sin 2 75? ? sin 2 135 ? ? 2 2 sin 2 30 ? ? sin 2 90 ? ? sin 2 150 ? ?
猜想一个一般性的结论: 5.两条直线最多有一个交点,3 条直线最多有 3 个交点,4 条直线最多有 6 个交点,5 条直线最多有 10 个 交点......试归纳 n 条直线最多有多少个交点?

高二选修 1-2 数学导学案

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探究点二:类比推理: 6.类比实数的加法和乘法,列出它们相似的运算性质: 类比角度 运算结果 运算律 (交换律和结合律) 逆运算 单位元 7.在等差数列 ?an ?中, 2an?1 ? an ? an? 2 成立。类比上述性质,在等比数列 ?bn ?中,有( A. 2bn?1 ? bn ? bn?2
2 B. bn ?1 ? bn ? bn? 2

实数的加法

实数的乘法

)

C. 2bn?1 ? bn ? bn?2

2 D. bn ?1 ? bn ? bn ? 2

8.类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想.

【巩固提升】

a 2 ? b 2 ? ? a ? b ?? a ? b ? ,
1.观察 a ? b ? ? a ? b ? a ? ab ? b
3 3 2

a 4 ? b4

? ? ?a ? b? ?a

2

?

进而猜想 a

n

? bn ?

3

? a 2b ? ab 2 ? b3 ?
an (n ? N ? ) ,试归纳推理出 an ? 3an ? 1
2 4 . 1 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

2.在数列 ?an ?中,已知 a1 ? 2, an ?1 ?

3..(2008 江苏)将全体正整数排成一个三角形数阵: 按照以上排列的规律,第 n 行( n ? 3 )从左向右的第 3 个数为

………………
4..在平面几何中有命题“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定
值”,那么在正四面体中类似的命题是 5.差数列 ?an ?中,若 a10 ? 0 ,则有 a1 ? a2 ? ? ? an ? a1 ? a2 ? ? ? a19?n (n ? 19, n ? N ) 成立,类比上述
?

性质,在等比数列 ?bn ?中,若 b9 ? 1,则有等式

6.数列 ?an ?满足 Sn ? 2n ? an ,先计算数列的前 4 项,再归纳猜想 an 。


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