nbhkdz.com冰点文库

江苏省盐城市东台市创新学校2014-2015学年高三上学期12月月考数学试卷(理科)

时间:2016-07-13


2014-2015 学年江苏省盐城市东台市创新学校高三(上)12 月月 考数学试卷(理科)
一、填空题: (共 14 小题,每题 5 分,满分 70 分) 1.已知集合 M={0,1,3},集合 N={x|x=3a,a∈M},则 M∩N= 2.若复数 为纯虚数,i 是虚数单位,则实数 a 的值是 .



3. 已知复数 z1=1+3i, z2=3+i (i 为虚数单位) . 在复平面内, z1﹣z2 对应的点在第 限. 4.命题“? x∈R,x≤0”的否定是: . (用符号表示) .



5.已知{an}是等差数列,若 2a7﹣a5=3,则 a9 的值是

6.将甲、乙两个球随机放入编号为 1,2,3 的 3 个盒子中,每个盒子的放球数量不限,则在 1,2 号盒子中各有 1 个球的概率为 . 7.在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线的渐近线方程是 y=±2x,且经过点( 双曲线的方程是 . ,2) ,则该

8.若 cos(α﹣

)= ,则 sin(2α﹣

)的值是



9.若 a ﹣ab+b =1,a,b 是正实数,则 a+b 的最大值是

2

2



10.如图,在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,若各条棱长均为 2,且 M 为 A1C1 的中点,则三棱锥 M﹣ AB1C 的体积是 .

11.设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,但 x≤0 时,f(x)=x +x,则关于 x 的不等式 f (x)<﹣2 的解集是 .

2

12.已知光线通过点 M(﹣3,4) ,被直线 l:x﹣y+3=0 反射,反射光线通过点 N(2,6) ,则 反射光线所在直线的方程是 .

13.如图,已知△ABC 中,AB=AC=4,∠BAC=90°,D 是 BC 的中点,若向量 且 的终点 M 在△ACD 的内部(不含边界) ,则 ? 的取值范围是

=

+m? .



14.已知函数 f(x)=x ﹣2ax+a ﹣1,若关于 x 的不等式 f(f(x) )<0 的解集为空集,则实 数 a 的取值范围是 .

2

2

二、解答题本大题共 6 小题,15~17 每小题 14 分,18~20 每小题 14 分,共计 90 分.请在 答题卡指定的区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,∠B= (1)若 a=2,b=2 ,求 c 的值; (2)若 tanA=2 ,求 tanC 的值. 16.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,且 PB=PD. (1)求证:BD⊥PC; (2)若平面 PBC 与平面 PAD 的交线为 l,求证:BC∥l.

17.如图是一个半圆形湖面景点的示意图,已知 AB 为直径,且 AB=2km,O 为圆心,C 为圆周 上靠近 A 的一点,D 为圆周上靠近 B 的一点,且 CD∥AB,现在准备从 A 经过 C 到 D 建造一条 观光路线,其中 A 到 C 是圆弧 ,C 到 D 是线段 CD,设∠AOC=x rad,观光路线总长为 y km.

(1)求 y 关于 x 的函数解析式,并指出该函数的定义域; (2)求观光路线总长的最大值.

18.已知函数 f(x)=e (其中 e 是自然数的底数) ,g(x)=x +ax+1,a∈R. (1)记函数 F(x)=f(x) ? g(x) ,且 a>0,求 F(x)的单调增区间; (2)若对任意 x1,x2∈,x1≠x2,均有|f(x1)﹣f(x2)|>|g(x1)﹣g(x2)|成立,求实 数 a 的取值范围.

x

2

19.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C:
2 2

+

=1,设 R(x0,y0)是椭圆 C 上的

任一点,从原点 O 向圆 R: (x﹣x0) +(y﹣y0) =8 作两条切线,分别交椭圆于点 P,Q. (1)若直线 OP,OQ 互相垂直,求圆 R 的方程; (2)若直线 OP,OQ 的斜率存在,并记为 k1,k2,求证:2k1k2+1=0; 2 2 (3)试问 OP +OQ 是否为定值?若是,求出该值;若不是,说明理由.

20.已知数列{an}是等差数列,其前 n 项和为 Sn,若 S4=10,S13=91. (1)求 Sn; (2)若数列{Mn}满足条件:M1=St1,当 n≥2 时,Mn=Stn﹣
*

,其中数列{tn}单调递增,且

t1=1,tn∈N . 2 ①试找出一组 t2,t3,使得 M2 =M1? M3; ②证明:对于数列{an},一定存在数列{tn},使得数列{Mn}中的各数均为一个整数的平方.

三.附加题(选修 4-2:矩阵与变换) 21. 已知二阶矩阵 A 有特征值λ1=1 及对应的一个特征向量 个特征向量 ,试求矩阵 A 及其逆矩阵 A .
﹣1

和特征值λ2=2 及对应的一

(选修 4-4:坐标系与参数方程)

22.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程是

(α是参数) .若以 O 为极

点、x 轴的正半轴为极轴,取与直角坐标系中相同的单位长度,建立极坐标系,求曲线 C 的极 坐标方程.

四.解答题 23.如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,已知∠BAC=90°,AB=AC=1,AA1=3,点 E,F 分别在棱 BB1,CC1 上,且 C1F= C1C,BE=λBB1,0<λ<1. (1)当λ= 时,求异面直线 AE 与 A1F 所成角的大小; (2)当直线 AA1 与平面 AEF 所成角的正弦值为 时,求λ的值.

24.已知数列{an}的各项均为正整数,对于任意 n∈N ,都有 2+ 且 a2=4. (1)求 a1,a3 的值; (2)猜想数列{an}的通项公式,并给出证明.

*



<2+

成立,

2014-2015 学年江苏省盐城市东台市创新学校高三(上) 12 月月考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、填空题: (共 14 小题,每题 5 分,满分 70 分) 1.已知集合 M={0,1,3},集合 N={x|x=3a,a∈M},则 M∩N= {0,3} . 考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 由 x=3a,a∈M,根据 M 确定出 N,求出 M 与 N 的交集即可. 解答: 解:∵集合 N 中 x=3a,a∈M,M={0,1,3}, ∴x=0,3,9,即 N={0,3,9}, ∴M∩N={0,3}. 故答案为:{0,3} 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2.若复数 为纯虚数,i 是虚数单位,则实数 a 的值是 1 .

考点: 复数的基本概念;复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的运算法则与共轭复数的定义、纯虚数的定义即可得出. 解答: 解:∵复数 = = = 为纯虚数,



,解得 a=1.

故答案为:1. 点评: 本题考查了复数的运算法则与共轭复数的定义、纯虚数的定义,属于基础题. 3.已知复数 z1=1+3i,z2=3+i(i 为虚数单位) .在复平面内,z1﹣z2 对应的点在第 考点: 复数的代数表示法及其几何意义. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的运算法则、几何意义即可得出. 解答: 解:∵复数 z1=1+3i,z2=3+i, ∴z1﹣z2=(1+3i)﹣(3+i)=﹣2+2i,对应的点为(﹣2,2) . ∴在复平面内,z1﹣z2 对应的点在第 二象限. 故答案为:二. 点评: 本题考查了复数的运算法则、几何意义,属于基础题. 二 象限.

4.命题“? x∈R,x≤0”的否定是: ? x∈R,x>0

. (用符号表示)

考点: 特称命题;命题的否定. 专题: 规律型. 分析: 根据特称命题的否定是全称命题,即可得到命题的否定. 解答: 解:∵命题“? x∈R,x≤0”为特称命题, ∴根据特称命题的否定是全称命题得到命题的否定为:? x∈R,x>0. 故答案为:? x∈R,x>0. 点 评: 本题主要考查含有量词的命题的否定,要求熟练掌握特称命题的否定是全称命题,全 称命题的否定是特称命题. 5.已知{an}是等差数列,若 2a7﹣a5=3,则 a9 的值是 3 . 考点: 等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 直接利用等差数列的性质结合已知得答案. 解答: 解:在等差数列{an}中, ∵a5+a9=2a7,2a7﹣a5=3, ∴2a7=a5+3 ∴a5+a9=a5+3, 得 a9=3. 故答案为:3. 点评: 本题考查了等差数列的通项公式,考查了等差数列的性质,基本知识的考查. 6.将甲、乙两个球随机放入编号为 1,2,3 的 3 个盒子中,每个盒子的放球数量不限,则在 1,2 号盒子中各有 1 个球的概率为 .

考点: 排列、组合及简单计数问题;古典概型及其概率计算公式. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 确定所有放法,求出在 1,2 号盒子中各有 1 个球的放法,即可得到结论. 解答: 解:甲、乙两个球随机放入编号为 1,2,3 的 3 个盒子中,每个球都有 3 种放法,故 共有 3×3=9 种放法 在 1,2 号盒子中各有 1 个球,有 2 种放法 ∴在 1,2 号盒子中各有 1 个球的概率为 故答案为: 点评: 本题考查排列知识,考查概率的计算,属于基础题. 7.在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线的渐近线方程是 y=±2x,且经过点( 双曲线的方程是 . ,2) ,则该

考点: 双曲线的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设双曲线方程为 (λ≠0) ,把点( ,2)代入,能求出双曲线方程.

解答: 解:∵双曲线的渐近线方程是 y=±2x, ∴设双曲线方程为 ∵双曲线经过点( ,2) , (λ≠0) ,

∴2﹣ =λ,解得λ=1,

∴双曲线方程为



故答案为:



点评: 本题考查双曲线方程的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意双曲线性质的合理 运用.

8.若 cos(α﹣

)= ,则 sin(2α﹣

)的值是



考点: 二倍角的余弦;三角函数的化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 直接利用诱导公式化简所求表达式,通过二倍角的余弦函数,结合已知条件求解即可. 解答: 解:∵cos(α﹣ ∴sin (2α﹣ ﹣ . 故答案为:﹣ . 点评: 本题主要考查了诱导公式和二倍角的余弦公式的应用,属于基本知识的考查. 9.若 a ﹣ab+b =1,a,b 是正实数,则 a+b 的最大值是 2 . 考点: 基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由 a、b 为两正数,通过平方以及由基本不等式可得到 a+b 的不等式,即可求出最大 值.
2 2

)= , ﹣2α+ ) =cos (2α﹣ ) =2cos(α﹣
2

) =cos (

) ﹣1=2×

=

解答: 解:∵a>0,b>0,a ﹣ab+b =1=(a+b) ﹣3ab, ∵ab ∴1≥(a+b) ﹣3
2 2

2

2

2

, ,

可得(a+b) ≤4, ∴a+b≤2,当且仅当 a=b=1 时取到“=” . 故答案为:2. 点评: 本题考查基本不等式,易错点在于忽视等号成立的条件,属于基本知识的考查. 10.如图,在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,若各条棱长均为 2,且 M 为 A1C1 的中点,则三棱锥 M﹣ AB1C 的体积是 2 .

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由 ,利用等积法能求出三棱锥 M﹣AB1C 的体积.

解答: 解:∵在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,各条棱长均为 2,且 M 为 A1C1 的中点, ∴S△AMC= =2, = = . . ,

MB1⊥平面 AMC,且 B1M= ∴ = 故答案为: = =

点评: 本题考查三棱锥 M﹣AB1C 的体积的求法,是中档题,解题时要注意等积法的合理运用. 11.设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,但 x≤0 时,f(x)=x +x,则关于 x 的不等式 f (x)<﹣2 的解集是 {x|x>2} . 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用.
2

分析: 本题可以先利用函数的奇偶性,由 x≤0 时的解析式求出 x>0 的解析式,将不等式 f (x)<﹣2 转化为关于 x 的不等式,解不等式组,得到本题结论. 解答: 解:∵函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴f(﹣x)=﹣f(x) . ∵当 x≤0 时,f(x)=x +x, ∴当 x>0 时,﹣x<0, f(x)=﹣f(﹣x)=﹣=﹣x +x. ∵不等式 f(x)<﹣2, ∴ 或 ,
2 2

∴x>2. ∴关于 x 的不等式 f(x)<﹣2 的解集是{x|x>2}. 点评: 本题考查了函数的奇偶性和解不等式,本题难度不大,属于基础题. 12.已知光线通过点 M(﹣3,4) ,被直线 l:x﹣y+3=0 反射,反射光线通过点 N(2,6) ,则 反射光线所在直线的方程是 y=6x﹣6 . 考点: 专题: 分析: 程. 解答: 与直线关于点、直线对称的直线方程. 直线与圆. 求出 M 关于 x﹣y+3=0 的对称点的坐标,利用两点式方程求出反射光线所在的直线方 解:∵光线通过点 M(﹣3,4) ,直线 l:x﹣y+3=0 的对称点(x,y) ,





,K(1,0) ,

∵N(2,6) , ∴MK 的斜率为 6, ∴反射光线所在直线的方程是 y=6x﹣6, 故答案为:y=6x﹣6,

点评: 对称点的坐标的求法:利用垂直平分解答,本题是通过特殊直线特殊点处理,比较简 洁,考查计算能力.

13.如图,已知△ABC 中,AB=AC=4,∠BAC=90°,D 是 BC 的中点,若向量 且 的终点 M 在△ACD 的内部(不含边界) ,则 ?

=

+m?



的取值范围是 (﹣2,6) .

考点: 向量在几何中的应用. 专题: 计算题;作图题;平面向量及应用. 分析: 以 AB 为 x 轴,AC 为 y 轴,作图如右图,利用向量的坐标运算求 解答: 解:以 AB 为 x 轴,AC 为 y 轴,作图如右图, 点 A(0,0) ,B(4,0) ,C(0,4) ,D(2,2) , 则 = +m? = (4,0)+m(0,4)=(1,4m) , ? 的取值范围.

则 M(1,4m) , 又∵ 的终点 M 在△ACD 的内部(不含边界) ,

∴1<4m<3, <m< , 则
2

?

=(1,4m) ?(﹣3,4m)

=16m ﹣3, ∵ <m< , ∴﹣2<16m ﹣3<6; 故答案为: (﹣2,6) .
2

点评: 本题考查了向量在平面几何中的运用,属于基础题. 14.已知函数 f(x)=x ﹣2ax+a ﹣1,若关于 x 的不等式 f(f(x) )<0 的解集为空集,则实 数 a 的取值范围是 a≤﹣2 . 考点: 其他不等式的解法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由 f(x)<0 解得 a﹣1<x<a+1,不等式 f(f(x) )<0? a﹣1<f(x)<a+1,原 不等式的解集为空集,得到 a﹣1<f(x)<a+1 解集为空集,那么(a﹣1,a+1)与值域的交 集为空集,求出 a 的范围. 解答: 解:f(x)=x ﹣2ax+a ﹣1=x ﹣2ax+(a﹣1) (a+1)= 由 f(x)<0 即<0 解得 a﹣1<x<a+1, 那么不等式 f(f(x) )<0? a﹣1<f(x)<a+1 (*) 又 f(x)=(x﹣a) ﹣1 当 x=a 时,f(x)取得最小值﹣1 即函数的值域为 (1)若 a=2,b=2 ,求 c 的值; (2)若 tanA=2 ,求 tanC 的值. 考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)△ABC 中,由条件利用余弦定理可得 b =12=4+c ﹣4c? cos
2 2 2 2 2 2 2 2

,由此求得 c 的值.

(2)由 tanA=2 得结果.

,tanB=tan

=

,再根据 tanC=﹣tan(A+B)=

,计算求

解答: 解: ( 1) △ABC 中, ∵a=2, b=2

, ∠B=

, 由余弦定理可得 b =12=4+c ﹣4c? cos

2

2

=4+c

2

﹣2c, 求得 c=4,或 c=﹣2(舍去) ,即 c=4. (2)若 tanA=2 = = ,∵tanB=tan = = . ,∴tanC=﹣tan(A+B)

点评: 本题主要考查余弦定理、两角和的正切公式,属于基础题. 16.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,且 PB=PD. (1)求证:BD⊥PC; (2)若平面 PBC 与平面 PAD 的交线为 l,求证:BC∥l.

考点: 直线与平面平行的性质. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)根据线面垂直的性质证明 BD⊥平面 PAC 即可. (2)根据线面平行的性质定理证明 BC∥平面 PAD 即可. 解答: 解: (1)设 AC 与 BD 的中点为 O,连结 PO, ∵PB=PD,∴PO⊥BD, ∵底面 ABCD 是菱形,∴BD⊥AC, ∵PO∩AC=0, ∴BD⊥平面 PAC, ∵PC? 平面 PAC, ∴BD⊥PC. (2)∵BC∥AD,BC? 面 PAD,AD? 面 PAD, ∴BC∥面 PAD. ∵平面 PBC 与平面 PAD 的交线为 l, ∴BC∥l.

点评: 本题主要考查空间直线和平面垂直的性质以及线面平行的性质的应用,要求熟练掌握 相应的定理. 17.如图是一个半圆形湖面景点的示意图,已知 AB 为直径,且 AB=2km,O 为圆心,C 为圆周 上靠近 A 的一点,D 为圆周上靠近 B 的一点,且 CD∥AB,现在准备从 A 经过 C 到 D 建造一条 观光路线,其中 A 到 C 是圆弧 ,C 到 D 是线段 CD,设∠AOC=x rad,观光路线总长为 y km.

(1)求 y 关于 x 的函数解析式,并指出该函数的定义域; (2)求观光路线总长的最大值.

考点: 根据实际问题选择函数类型. 专题: 应用题;导数的综合应用. 分析: (1)由题意得 y=1? x+1? sin( (2)求导 y′=1﹣2cos( 解答: 解: (1)由题意得, y=1? x+1? sin( =x+2sin( ﹣x)×2 ) ; }; ﹣x)×2,化简并写出定义域(0<x< ) ;

﹣x)以确定函数的单调性,从而求最大值.

﹣x) , (0<x<

函数的定义域为{x|0<x< (2)y′=1﹣2cos( 令 y′=0 解得,x= 故当 x= ,

﹣x) ,

时,观光路线总长最大,

最大值为

+2×

=

+

(km) .

点评: 本题考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力,属于中档题. 18.已知函数 f(x)=e (其中 e 是自然数的底数) ,g(x)=x +ax+1,a∈R. (1)记函数 F(x)=f(x) ? g(x) ,且 a>0,求 F(x)的单调增区间; (2)若对任意 x1,x2∈,x1≠x2,均有|f(x1)﹣f(x2)|>|g(x1)﹣g(x2)|成立,求实 数 a 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)求出函数的导数,即可求函数 f(x)的单调区间; (2)设 x1<x2,因为 g(x)=e 在单调递增,故原不等式等价于|f(x1)﹣f(x2)|<g(x2) x x ﹣g(x1)在 x1、x2∈,且 x1<x2 恒成立,当 a≥﹣(e +2x)恒成立时,a≥﹣1;当 a≤e ﹣2x 恒成立时,a≤2﹣2ln2,综合讨论结果,可得实数 a 的取值范围. 解答: 解: (1)y=f(x) ? g(x)=(x x+1) ? e, x ∴F'(x)=e , 2 令 F'(x)=0,则 x +(a+2)x+(a+1)=0,即(x+1)=0,解得 x=﹣1,或 x=﹣a﹣1 ∵a>0,∴﹣a﹣1<﹣1, ∵x∈时,y'<0,x∈(﹣∞,﹣a﹣1)和(﹣1,+∞)时,y'>0, ∴函数 F(x)的单调增区间为(﹣∞,﹣a﹣1)和(﹣1,+∞) , (2)设 x1<x2,因为 f(x)=e 在单调递增, 故原不等式等价于|f(x1)﹣f(x2)|<g(x2)﹣g(x1)在 x1、x2∈,且 x1<x2 恒成立, 所以 g(x1)﹣g(x2)<f(x1)﹣f(x2)<g(x2)﹣g(x1)在 x1、x2∈,且 x1<x2 恒成立, 即 ,在 x1、x2∈,且 x1<x2 恒成立,
x 2+a x x x 2

则函数 F(x)=g(x)﹣f(x)和 G(x)=f(x)+g(x)都在单调递增, 则有
x x

,在恒成立,

当 a≥﹣(e +2x)恒成立时,因为﹣(e +2x)在单调递减, x 所以﹣(e +2x)的最大值为﹣1,所以 a≥﹣1; x x 当 a≤e ﹣2x 恒成立时,因为 e ﹣2x 在单调递减,在单调递增, x 所以 e ﹣2x 的最小值为 2﹣ln2,所以 a≤2﹣2ln2, 综上:﹣1≤a≤2﹣2ln2. 点评: 本题考查的知识点是导数在最大值和最小值中的应用,利用导数分析函数的单调性, 利用导数分析函数的极值,运算量大,综合性强,转化困难,属于难题.

19.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C:
2 2

+

=1,设 R(x0,y0)是椭圆 C 上的

任一点,从原点 O 向圆 R: (x﹣x0) +(y﹣y0) =8 作两条切线,分别交椭圆于点 P,Q. (1)若直线 OP,OQ 互相垂直,求圆 R 的方程;

(2)若直线 OP,OQ 的斜率存在,并记为 k1,k2,求证:2k1k2+1=0; 2 2 (3)试问 OP +OQ 是否为定值?若是,求出该值;若不是,说明理由.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;圆的标准方程;直线与圆锥曲线的关系. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)通过直线 OP,OQ 互相垂直,以及点的坐标适合椭圆方程,求出圆的圆心,然后 求圆 R 的方程; (2)因为直线 OP:y=k1x,OQ:y=k2x,与圆 R 相切,推出 k1,k2 是方程 =的两个不相等的实数根,利用韦达定理 推出 k1k2.结合点 R(x0,y0)在椭圆 C 上,证明 2k1k2+1=0. 2 2 (3)OP +OQ 是定值,定值为 36,理由如下: 法一: (i)当直线ξ不落在坐标轴上时,设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,

联立

,推出



,由

,求出 OP +OQ 是定值. (ii)当直线落在坐标轴上时,显然有 OP +OQ =36. 法二: (i)当直线 OP,OQ 不落在坐标轴上时,设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,通过 2k1k2+1=0,
2 2

2

2

推出

,利用 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,在椭圆 C 上,联立

,推出

OP +OQ =36.即可. 解答: 解: (1)由圆 R 的方程知,圆 R 的半径的半径 因为直线 OP,OQ 互相垂直,且和圆 R 相切, 所以 ,即 ,①…(1 分)

2

2



又点 R 在椭圆 C 上,所以

,②…(2 分)

联立①②,解得

…(3 分)

所以所求圆 R 的方程为 (2)因为直线 OP:y=k1x,OQ:y=k2x,与圆 R 相切, 所以 ,化简得

. …(4 分)

=0…(6 分) 同理 所以 k1,k2 是方程ξ的两个不相等的实数根, …(8 分) ,…(7 分)

因为点 R(x0,y0)在椭圆 C 上,所以

,即



所以
2 2

,即 2k1k2+1=0.

…(10 分)

(3)OP +OQ 是定值,定值为 36,…(11 分) 理由如下: 法一: (i)当直线ξ不落在坐标轴上时,设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,

联立

解得

…(12 分)

所以

,同理,得

,…(13 分)

由 所以



=

=

=

=36…(15 分)

(ii)当直线ξ落在坐标轴上时,显然有ξ, 综上:OP +OQ =36. …(16 分) 法二: (i)当直线 OP,OQ 不落在坐标轴上时,设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) , 因为 2k1k2+1=0,所以 ,即 ,…(12 分)
2 2

因为 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,在椭圆 C 上,所以





,…(13 分)

所以 所以
2 2

,整理得 ,



所以 OP +OQ =36. …(15 分) 2 2 (ii)当直线落在坐标轴上时,显然有 OP +OQ =36, 2 2 综上:OP +OQ =36. …(16 分) 点评: 本题考查直线与椭圆的综合应用,直线与圆相切关系的应用,考查分析问题解决问题 的能力.转化思想的应用. 20.已知数列{an}是等差数列,其前 n 项和为 Sn,若 S4=10,S13=91. (1)求 Sn; (2)若数列{Mn}满足条件:M1=St1,当 n≥2 时,Mn=Stn﹣
*

,其中数列{tn}单调递增,且

t1=1,tn∈N . 2 ①试找出一组 t2,t3,使得 M2 =M1? M3; ②证明:对于数列{an},一定存在数列{tn},使得数列{Mn}中的各数均为一个整数的平方. 考点: 数列与函数的综合;数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)利用已知条件,列出方程组,直接求解首项与公差,然后求 Sn; (2) )①通过 ,通过 t2=2,3,4 分别求解推出 t3=13,即可.

②由①,推出一般的取 得到 Mn 为一整数平方. 解答: 解: (1)设数列{an}的首项为 a1,公差为 d,

,通过 Mn=



,化简整理,

由 S4=10,S13=91,得

,…(2 分)

解得



所以 (2)①因为 M1=S1=1, 若 t2=2,M2=S2﹣S1=3﹣1=2, 因为 ,

…(4 分)



所以

,t3(t3+1)=14,此方程无整数解; …(6 分)

若 t2=3,M2=S3﹣S1=6﹣1=5, 因为 ,



所以

,t3(t3+1)=62,此方程无整数解;…(8 分)

若 t2=4,M2=S4﹣S1=10﹣1=9, 因为 ,



所以

,t3(t3+1)=182,解得 t3=13,

所以 t2=4,t3=13 满足题意…(10 分) ②由①知 t1=1,t2=1+3, ,则 M1=1, , ,

一般的取

,…(13 分)

此时





则 Mn=



=



所以 Mn 为一整数平方. 因此存在数列{tn},使得数列{Mn}中的各数均为一个整数的平方.…(16 分) 点评: 本题考查是与函数的综合应用,分类讨论思想的应用,考查分析问题解决问题的能力. 三.附加题(选修 4-2:矩阵与变换) 21. 已知二阶矩阵 A 有特征值λ1=1 及对应的一个特征向量 个特征向量 ,试求矩阵 A 及其逆矩阵 A .
﹣1

和特征值λ2=2 及对应的一

考点: 二阶矩阵;特征值与特征向量的计算. 专题: 计算题. 分析: 设矩阵 ,则有 ,因为 是矩阵 A 的属于λ2=2 的特征向

量,则有

,由此能够求出矩阵 A 及其逆矩阵 A .

﹣1

解答: 解:设矩阵

,这里 a,b,c,d∈R,

因为

是矩阵 A 的属于λ1=1 的特征向量,则有

①,

又因为

是矩阵 A 的属于λ2=2 的特征向量,则有

②,

根据①②,则有

从而 a=2,b=﹣1,c=0,d=1,因此

, (6 分)

根据题意

分别是矩阵 A 属于特征值 1, 的特征向量,

﹣1

不妨设

,则有



则得

从而

,因此

. (10 分)

点评: 本题考查矩阵的性质和应用,解题时要注意公式的灵活运用. (选修 4-4:坐标系与参数方程) 22.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程是 (α是参数) .若以 O 为极

点、x 轴的正半轴为极轴,取与直角坐标系中相同的单位长度,建立极坐标系,求曲线 C 的极 坐标方程. 考点: 圆的参数方程;简单曲线的极坐标方程. 专题: 直线与圆. 分析: 求得圆 C 的直角坐标方程为 x +(y﹣1) =1,把 x=ρcosθ y=ρsinθ 代入化简可得 曲线 C 的极坐标方程. 解答: 解:求得圆 C 的直角坐标方程为 x +(y﹣1) =1,表示以(0,1)为圆心,以 1 为半 径的圆. 把 x=ρcosθ y=ρsinθ 代入化简可得 (ρcosθ) +(ρsinθ﹣1) =1, 即 ρ=2sinθ. 点评: 本题主要考查把参数方程化为普通方程,把直角坐标方程化为极坐标方程的方法,属 于基础题. 四.解答题 23.如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,已知∠BAC=90°,AB=AC=1,AA1=3,点 E,F 分别在棱 BB1,CC1 上,且 C1F= C1C,BE=λBB1,0<λ<1. (1)当λ= 时,求异面直线 AE 与 A1F 所成角的大小; (2)当直线 AA1 与平面 AEF 所成角的正弦值为 时,求λ的值.
2 2 2 2 2 2

考点: 直线与平面所成的角;异面直线及其所成的角. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: 建立如图所示的空间直角坐标系 A﹣xyz. (1)推出相关点的坐标,求出向量 和 对应的向量,利用向量的数量积求出夹角即可.

(2)求出平面 AEF 的法向量, AEF 所成角的正弦值为 ,得到 .

,利用向量的数量积求解直线 AA1 与平面

解答: 解:建立如图所示的空间直角坐标系 A﹣xyz. (1)因为 AB=AC=1,AA1=3, ,

所以各点的坐标为 A(0,0,0) ,E(1,0,1) ,A1(0,0,3) , F(0,1,2) . . 因为 , , , …(2 分)

所以 120°, 所以异面直线 AE 与 A1F 所成角为 60°. (2)因为 E(1,0,3λ) ,F(0,1,2) ,所以 设平面 AEF 的法向量为 n=(x,y,z) , 则 ,且 .

.所以向量



所成的角为

…(4 分) .

即 x+3λz=0,且 y+2z=0.令 z=1,则 x=﹣3λ,y=﹣2. 所以 =(﹣3λ,﹣2,1)是平面 AEF 的一个法向量. …(6 分) 又 ,则 ,

又因为直线 AA1 与平面 AEF 所成角的正弦值为 所以 ,解得, .



…(10 分)

点评: 本题考查直线与平面所成角,异面直线所成角的求法,考查计算能力.

24.已知数列{an}的各项均为正整数,对于任意 n∈N ,都有 2+ 且 a2=4. (1)求 a1,a3 的值; (2)猜想数列{an}的通项公式,并给出证明. 考点: 数学归纳法. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法.

*



<2+

成立,

分析: (1)直接利用已知条件,通过 n=1,直接求 a1,n=2,求解 a3 的值; (2)通过数列的前 3 项,猜想数列{an}的通项公式,然后利用数学归纳法的证明步骤证明猜 想即可.

解答: 解: (1)因为

,a2=4

当 n=1 时,由 解得 当 n=2 时,由 解得 8<a3<10,所以 a3=9. …(4 分)

,即有 .因为 a1 为正整数,故 a1=1. …(2 分) ,



(2)由 a1=1,a2=4,a3=9,猜想: 下面用数学归纳法证明. 1°当 n=1,2,3 时,由(1)知 2°假设 n=k(k≥3)成立,则

…(5 分)

均成立.…(6 分) ,

由条件得



所以

,…(8 分)

所以

…(9 分)

因为 k≥3,







,所以 也成立.
*



即 n=k+1 时,

由 1°,2°知,对任意 n∈N ,

. …(10 分)

点评: 本题考查递推数列的应用,数学归纳法的应用,考查分析问题解决问题的能力.


江苏省盐城市东台市创新学校2014-2015学年高一上学期12...

(如图所示) ,求这个内接矩形的最大面积. ,其中 A, 江苏省盐城市东台市创新学校 2014-2015 学年高一上学期 12 月月考数学试卷参考答案与试题解析 一、填空题:...

江苏省盐城市东台市创新学校2016届高三上学期11月月考...

江苏省盐城市东台市创新学校2016届高三上学期11月月考数学试卷(解析版).doc_数学_高中教育_教育专区。2015-2016 学年江苏省盐城市东台市创新学校高三(上)11 月...

江苏省盐城市东台市创新学校2014-2015学年高一上学期10...

江苏省盐城市东台市创新学校2014-2015学年高一上学期10月月考数学试卷 Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。2014-2015 学年江苏省盐城市东台市创新学校高一(上)...

江苏省盐城市东台市创新学校2014-2015学年高一上学期10...

江苏省盐城市东台市创新学校2014-2015学年高一上学期10月月考数学试卷_数学_高中教育_教育专区。2014-2015 学年江苏省盐城市东台市创新学校高一(上)10 月月 考...

江苏省盐城市东台市创新学校2014-2015学年高一上学期9...

(1﹣2x)<2,求 x 的 范围. 江苏省盐城市东台市创新学校 2014-2015 学年高一上学期 9 月月考数学试卷参考答案与试题解析 一、填空题: (每题 5 分) 1. ...

江苏省盐城市东台市创新学校2014-2015学年高二上学期9...

江苏省盐城市东台市创新学校2014-2015学年高二上学期9月月考数学试卷 Word版含...(4) 点评: 本题考察了函数的单调性,基本不等式的应用 属于中档题. 12.一批...

江苏省盐城市东台市创新学校2014-2015学年高一上学期9...

(1﹣2x)<2,求 x 的 范围. 江苏省盐城市东台市创新学校 2014-2015 学年高一上学期 9 月月考数学试卷参考答案与试题解析 一、填空题: (每题 5 分) 1. ...

江苏省盐城市东台市创新学校2014-2015学年高二上学期9...

江苏省盐城市东台市创新学校2014-2015学年高二上学期9月月考数学试卷_高二数学_...(4) 点评: 本题考察了函数的单调性,基本不等式的应用 属于中档题. 12.一批...

江苏省东台市创新学校2015-2016学年高二12月月考数学(...

江苏省东台市创新学校2015-2016学年高二12月月考数学(理)试题_高二数学_数学_...东台市创新高级中学 2015-2016 学年度第一学期第四次月考 数学(理科)试题一、...

江苏省盐城市东台市创新学校2014-2015学年高二上学期第...

江苏省盐城市东台市创新学校2014-2015学年高二上学期第二次月考数学试卷(文科) Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。2014-2015 学年江苏省盐城市东台市创新学校...