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湖北省2013届高三最新文科数学(精选试题17套+2007-2012湖北高考文科试题)汇编6:不等式


湖北省 2013 届高三最新文科数学(精选试题 17 套+2007-2012 六年湖北高考文科试题) 分类汇编 6:不等式
一、选择题

?x ? y ? a ? 1 . (湖北省黄冈市 2013 届高三 3 月份质量检测数学(文)试题)设 M ( x, y ) 是区域 ? x ? y ? 8 内的动点, ? x?6 ?
且不等式 x ?

2 y ? 14 恒成立,则实数 a 的取值范围是 A.[8,10] 【答案】A B.[8,9] C.[6,9] D.[6,10]
x





2 . (湖北省武汉市 2013 届高三第二次(4 月)调研考试数学(文)试题)若函数 y = 2 图象上存在点( x ,y )

满足约束条件,

?x ? y ? 3 ? 0 ? ?x ? 2 y ? 3 ? 0 ?x ? m ?

,则 数 的最大值为 实m





1 A. 2
【答案】B

B.1

3 C. 2

D.2

?3 x ? y ? 6 ? 0 ? ?x ? y ? 2 ? 0 ? x ? 0, y ? 0 3 . (湖北省七市 2013 届高三 4 月联考数学(文)试题)设 x,y 满足约束条件 ? ,若目标函数 z
y??
=ax+by (a>0, b>0)的最大值为 8, 点 P 为曲线

1 ( x ? 0) 3x 2 上动点,则点 P 到点(a,b)的最小距离为
( )

7 13 A. 13
【答案】A

B.O

7 13 C. 26

D.1

4 . (湖北省浠水一中 2013 届高三模拟考试文科数学试卷) 已知 O 为坐标原点,点 A 的坐标是 ?2,3? ,点 P?x, y ?

?x ? y ? 3 ? 在不等式组 ?2 x ? y ? 6 所确定的区域内(包括边界)上运动,则 OA? OP 的范围是 ?x ? 2 y ? 6 ?
A. ?4,10?
【答案】C





B. ?6,9?

C. ?6,10?

D. ?9,10?

先求出三条直线 x ? y ? 3, 2 x ? y ? 6, x ? 2 y ? 6 的交点,交点分别是 A?3,0? 、B?2,2? 、

C ?0,3? ,可行域是

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y

C(0, 3)

B(2,2)

O

A(3,0) x

如图所示的 ?ABC 区域(包括边界),因为 OA? OP ? 2x ? 3 y ,令 z ? 2 x ? 3 y ,如图平行移动直线

z ? 2 x ? 3 y ,当直线 z ? 2 x ? 3 y 过 A?3,0? 时, z 取得最小值 6,当直线 z ? 2 x ? 3 y 过 B?2,2? 时, z 取
得最大值 10, 6 ? OA ? OP ? 10 ,故选 C.

5 . (湖北省荆州市 2013 届高三 3 月质量检测(Ⅱ)数学(文)试题)已知变量 x,y 满足约束条件

, )

则目标函数 z=3x+y 的最小值为 A.12 B.11 【答案】C

( C.8 D.-1

? ? ? 6 . (2011 年全国高考文科数学试题及答案-湖北)直线 2 ? ?0 0 x y 1 ? 与不等式组 ? ? ? ?
面区域的公共点有 A.0 个 【答案】B B.1 个 C.2 个 D.无数个

x ? 0 y ? 0 表示的平 x ? y ? ?2 4x ? 3y ? 20
( )

7 . (2008 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案-湖北卷)在平面直角坐标系 xOy 中,满足

不等式组 ?

) y ,x (

?x ? y, ? 的点 ? x ?1 ?

的集合用阴影表示为下列图中的

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【答案】C

? x ? y ? 5 ? ?, ? 8 . (湖北省重点高中 2013 届高三五月模拟考试文科数学 WORD 版 )由不等式组 ? y ? t, 围成的三角形 ?0 ? x ? 2 ?
区域内有一个内切圆,向该三角形区域内随机投一个点,该点落在圆内的概率是关于 t 的函数 P (t ) ,则 ( A. P
'



(t ) ? 0

B. P

'

(t ) ? 0

C. P

'

(t ) ? 0

D. P

'

(t ) 符号不确定

【答案】C 9 . (2009 年全国高考文科数学试题及答案-湖北卷)在“家电下乡”活动中,某厂要将 100 台洗衣机运往邻

近的乡镇,现有 4 辆甲型货车和 8 辆乙型货车可供使用,每辆甲型货车运输费用 400 元,可装洗衣机 20 台;每辆乙型货车运输费用 300 元,可装洗衣机 10 台,若每辆车至多只运一次,则该厂所花的最少运输 费用为 ( ) A.2000 元 B.2200 元 C.2400 元 D.2800 元

?0 ? x ? 4 ? 【答案】 设甲型货车使用 x 辆,已型货车 y 辆.则 ?0 ? y ? 8 B ,求 Z=400x+300y 最小值.可求出 ? 20 x ? 10 y ? 100 ?
最优解为(4,2)故 ?min ? 2200 故选 B.

10. (湖北省黄冈市 2013 届高三 4 月调研考试数学 (文) 试题) 已知 x ? 1, y ? 1, 且

1 1 ln x, ,lny 成等比数列, 4 4
( )

则 xy A.有最大值 e
【答案】C

B.有最大值 e

C.有最小值 e

D.有最小值 e

11 . 湖 北 省 天 门 市 2013 届 高 三 模 拟 测 试 ( 一 ) 数 学 文 试 题 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 若 不 等 式 组 (

? x ? y ? 1 ? 0, ? (a 为常数),所表示的平面区域的面积等于 2,则 a 的值为 ? x ? 1 ? 0, ?ax ? y ? 1 ? 0, ?
A.3
【答案】A
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B.2

C.1

D.-5

12. (湖北省黄梅一中 2013 届高三下学期综合适应训练(四)数学(文)试题 )若 a>b>0,则下列不等式不成 .

立的是 A. a ? b ? 2 ab
【答案】A

( B. a ? b
1 2 1 2



C.lna>lnb

D. 0.3a ? 0.3b

?y ? 1 ? 13. (湖北省襄阳市 2013 届高三 3 月调研考试数学(文)试题)若变量 x、y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 , ?x ? y ? 2 ? 0 ?
则 z=x-2y 的最大值为 A.4 B.3 【答案】B ( C.2 D.1 )

x 2 ? 2x ?
14. (湖北省七市 2013 届高三 4 月联考数学(文)试题)不 等 式

a 16b ? b a 对任意 a ,b∈ (0,+∞)
( )

恒成立,则实数 x 的取值范围是 A.( -2, 0) C.( -4,2) 【答案】C

B.( -∞, -2) U (0,+∞) D.( -∞,-4) U (2,+∞ )

15. (湖北省天门市 2013 届高三模拟测试(一)数学文试题 )在 R 上定义运算 ? :x ? y=x(l-y).若对任意

x>2,不等式(x-a) ? x≤a+2 都成立,则实数 a 的取值范围是 A.[一 1,7] B.(一∞,3] C.(一∞,7] 【答案】C
16. (湖北省八市 2013 届高三 3 月联考数学(文)试题)不等式组 ?

( D.(一∞,-1]U[7,+∞)



?( x ? y ? 3)( x ? y ) ≥ 0 表示的平面区域是 ?0 ≤ x ≤ 4
( ) D.等腰梯形

A.矩形
【答案】D 二、填空题

B.三角形

C. 直角梯形

?( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 ? 17. (湖北省黄冈中学 2013 届高三第一次模拟考试数学(文)试题)若点 ( x, y) 满足 ?1 ? x ? 2 ,则 ?1 ? y ? 2 ?
目标函数 z ? x ? y 的最小值为________.
【答案】答案:3
2 2 【解析】 x ? y ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0 即 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 1 ,表示以 ?1,1? 为
2 2

圆心、以 1 为半径的圆周及其以外的区域,目标函数 z 在点 (1,2) 和点 (2,1) 处取到最小值 3.

? x ? 1, ? 18. (湖北省黄冈市 2013 届高三 4 月调研考试数学(文)试题)实数 x、y 满足 ? y ? a ( a ? 1), 若目标函数 ? x ? y ? 0, ? z ? x ? y 取得最大值 4,则实数 a 的值为_________.
【答案】2
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19. (湖北省黄冈中学 2013 届高三第一次模拟考试数学(文)试题) 已知实数 a、 满足 2a ? b ? 1 ,则 a ? ab 的 b
2

最大值为_______.
【答案】答案:

1 4

20. (湖北省武汉市 2013 届高三第二次(4 月)调研考试数学(文)试题)不等式|x-1|+|x+2| ? 5 的解集是

______,
【答案】

(??, ?3] ? [2, ??)

? x ? ?1 ? 21. (湖北省八校 2013 届高三第二次联考数学(文)试题)已知变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则 ? x ? y ?1 ?
z ? x ? 2 y 的最小值为_________.
【答案】-2

? y ? x, ? 22. (2010 年高考(湖北文) 已知 z=2x—y,式中变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, 则 z 的最大值为 ) ? x ?? 2, ?
_______. 【答案】5
23. (2007 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试卷及答案 -湖北卷) 设变量 x, y 满足约束条件

? x ? y ? 3 ≥ 0, ? ? x ? y ≥ 0, 则目标函数 2x ? y 的最小值为________. ??2 ≤ x ≤ 3, ?
【答案】 ?

3 2

24. (湖北省武汉市 2013 届高三 5 月模拟考试数学(文)试题(试题与答案纯 WORD 版))若 x, y 满足约束条件

?x ? y ?1 ? 0 ? ? x ? y ? 3 ? 0 ,则 z ? 3x ? y 的最小值为____________. ?x ? 3y ? 3 ? 0 ?
【答案】 ?1 25. (湖北省黄冈市 2013 届高三 4 月调研考试数学(文)试题)若向量 a ? ( x ? 1,2), b ? (4, y) 相互垂直,则

9 y ? 3 y 的最小值为_______.
【答案】6 26. (湖北省武汉市 2013 届高三 5 月模拟考试数学(文)试题(试题与答案纯 WORD 版))若存在实数 x 使

| x ? a | ? | x ?1|? 3| a | 成立,则实数 a 的取值范围是___________.
【答案】 ( ??, ? ] ? [ , ?? )
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1 2

1 4

27. (湖北省襄阳市 2013 届高三 3 月调研考试数学(文)试题)已知 x>0,y>0,

2 1 + =2,则 2x+y 的最小值 x y ?1

为______. 【答案】3

? 28. (湖北省武汉市 2013 届高三 5 月供题训练数学文试题 (二) (word 版) ) x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 0 , 设 ?x ? y ? 1 ?

?x ? 0

并设满足该条件的点(x,y)所成的区域为 Ω ,则 (I)z=2x +y 的最大值是_______;
【答案】(1)5

(II)包含 Ω 的最小圆的方程为_______.

(2) ( x ? 1) ? y ? 2
2 2

29. (湖北省浠水一中 2013 届高三模拟考试文科数学试卷) 已知 x ? 0, y

1 1 的 ? 0, lg 2 x ? lg 8 y ? lg 2 ,则 ? x 3y

最小值是______________ .
【答案】4 由

1 1 1 1 ? ( x ? 3 y )( ? ) lg 2 x ? lg 8 y ? lg 2 , 得 lg 2 x ?3 y ? lg 2,? x ? 3 y ? 1 , ? ? x 3y x 3y

?( x?

1 1 2 ? 3y ) ? 4. x 3y

? x ? y ? ?1, ? 30. (2012 年湖北高考试题(文数) 若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, ) ?3 x ? y ? 3, ?

则目标函数 z ? 2 x ? 3 y 的最小值

是________. 【答案】2
三、解答题 31. (2008 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案-湖北卷)(本不题满分 12 分)

如图,要设计一张矩形广告,该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分),这两栏的面 2 积之和为 18000cm ,四周空白的宽度为 10cm,两栏之间的中缝空白的宽度为 5cm,怎样确定广告的高与 宽的尺寸(单位:cm),能使矩形广告面积最小?

【答案】解法 1:设矩形栏目的高为 a cm,宽为 b cm,则 ab=9000.



广告的高为 a+20,宽为 2b+25,其中 a>0,b>0.
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广告的面积 S=(a+20)(2b+25) =2ab+40b+25a+500=18500+25a+40b ≥18500+2 25a ? 40b =18500+ 2 1000 ? 24500 ab . 当且仅当 25a=40b 时等号成立,此时 b=

5 a ,代入①式得 a=120,从而 b=75. 8

即当 a=120,b=75 时,S 取得最小值 24500. 故广告的高为 140 cm,宽为 175 cm 时,可使广告的面积最小. 解法 2:设广告的高和宽分别为 x cm,y cm,则每栏的高和宽分别为 x-20,

y ? 25 18000 ? 18000 ,由此得 y= ? 25, 2 x ? 20 18000 18000 x ? 25 )= ? 25 x, 广告的面积 S=xy=x( x ? 20 x ? 20 360000 ? 25( x ? 20) ? 18500 . 整理得 S= x ? 20
两栏面积之和为 2(x-20) 因为 x-20>0,所以 S≥2

y ? 25 , 其中 x>20,y>25 2

360000 ? 25( x ? 20) ? 18500? 24500 . x ? 20

当且仅当

360000 ? 25( x ? 20 ) 时等号成立, x ? 20
2

此时有(x-20) =14400(x>20),解得 x=140,代入 y=

18000 +25,得 y=175, x ? 20

即当 x=140,y=175 时,S 取得最小值 24500, 故当广告的高为 140 cm,宽为 175 cm 时,可使广告的面积最小.
2 的思想,解:(Ⅰ) f ?( x) ? 3x ? 4ax ? b, g ?( x) ? 2 x ? 3.

由于曲线 y ? f ( x)与y ? g ( x) 在点(2,0)处有相同的切线, 故有 f (2) ? g (2) ? 0, f ?(2) ? g ?(2) ? 1.

由此得 ?

?8 ? 8a ? 2b ? a ? 0, ?a ? ?2, 解得 ? ?12 ? 8a ? b ? 1, ?b ? 5.

所以 a ? ?2, b ? 5 ,切线 l 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? x ? 4 x ? 5x ? 2 ,所以 f ( x) ? g ( x) ? x ? 3x ? 2 x.
3 2 3 2

依题意,方程 x( x ? 3x ? 2 ? m) ? 0 有三个互不相同的实数 0, x1 , x2 ,
2

故 x1 , x2 是方程 x ? 3x ? 2 ? m ? 0 的两相异的实根.
2

所以 ? ? 9 ? 4(2 ? m) ? 0, 即m ? ? . 又对任意的 x ? [ x1 , x2 ], f ( x) ? g ( x) ? m( x ? 1) 成立,
第 7 页,共 8 页

1 4

特别地,取 x ? x1 时, f ( x1 ) ? g ( x1 ) ? mx1 ? ?m 成立,得 m ? 0. 由韦达定理,可得 x1 ? x2 ? 3 ? 0, x1 x2 ? 2 ? m ? 0, 故0 ? x1 ? x2 . 对任意的 x ? [ x1 , x2 ], 有x-x2 ? 0, x ? x1 ? 0, x ? 0 则 f ( x) ? g ( x) ? mx ? x( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0, 又f ( x1 ) ? g ( x1 ) ? mx1 ? 0 所以函数 f ( x) ? g ( x) ? mx在x ? [ x1 , x2 ] 的最大值为 0. 于是当 m ? 0 时,对任意的 x ? [ x1 , x2 ], f ( x) ? g ( x) ? m( x ? 1) 恒成立, 综上, m 的取值范围是 ( ?

1 , 0). 4

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