nbhkdz.com冰点文库

全国高中数学联赛模拟试题七

时间:2012-03-31


全国高中数学联赛模拟试题(七)
(选题人:李潜)

第一试
一、选择题: (每小题 6 分,共 36 分)
1、a、b 是异面直线,直线 c 与 a 所成的角等于 c 与 b 所成的角,则这样的 直线 c 有 (A)1 条 (B)2 条 (C)3 条 (D)无数条 2、已知 f(x)是 R 上的奇函数,g(x)是 R 上的偶函数,

若 f(x)?g(x)=x2+2x+3, 则 f(x)+g(x)= (A)?x2+2x?3 (B)x2+2x?3 (C)?x2?2x+3 (D)x2?2x+3 2π 3、已知△ABC,O 为△ABC 内一点,∠AOB=∠BOC=∠COA= ,则使 3 AB+BC+CA≥m(AO+BO+CO) 成立的 m 的最大值是 (A)2 (B)
5 3

(C ) 3

(D)

3 2

4、设 x=0.820.5,y=sin1,z=log3 7 则 x、y、z 的大小关系是

(A)x<y<z

(B)y<z<x

(C)z<x<y

(D)z<y<x

? 101995 ? 5、整数 ? 95 ? 的末尾两位数字是 ?10 + 3 ?
(A)10 (B)01 (C)00 (D)20 6、设(a,b)表示两自然数 a、b 的最大公约数.设(a,b)=1,则(a2+b2,a3+b3)为 (A)1 (B)2 (C )1 或 2 (D)可能大于 2

二、填空题: (每小题 9 分,共 54 分)
1、若 f(x)=x10+2x9?2x8?2x7+x6+3x2+6x+1,则 f( 2 ?1)=



2、设 F1、F2 是双曲线 x2?y2=4 的两个焦点,P 是双曲线上任意一点,从 F1 引∠F1PF2 平分线的垂线,垂足为 M,则点 M 的轨迹方程是 . 3、给定数列{xn},x1=1,且 x n +1 =

3xn + 1 3 ? xn

,则 x1999?x601=



4、 正方体 ABCD?A1B1C1D1 的棱长为 1,E 是 CD 中点,F 是 BB1 中点,则 四面体 AD1EF 的体积是 .

?y ≥ ? x ?1 ? 5、在坐标平面上, 由条件 ? 所限定的平面区域的面积是 ? y ≤ ?2 x + 3 ?
第 1 页 共 4 页



6、12 个朋友每周聚餐一次,每周他们分成三组,每组 4 人,不同组坐不同 的桌子.若要求这些朋友中任意两个人至少有一次同坐一张桌子,则至 少需要 周.

三、 (20 分)
已知椭圆 x2 y2 + = 1 过定点 A(1,0), 且焦点在 x 轴上, 椭圆与曲线|y|=x a2 b2

的交点为 B、C.现有以 A 为焦点,过 B、C 且开口向左的抛物线,抛物 2 线的顶点坐标 M(m,0).当椭圆的离心率 e 满足 < e 2 < 1 ,求实数 m 的 3 取值范围.

四、 (20 分)
a、b、c 均为实数,a≠b,b≠c,c≠a.

证明:

a + b ? 2c + b + c ? 2a + c + a ? 2b 3 ≤ <2 . 2 a?b + b?c + c?a

五、 (20 分)
已知 f(x)=ax4+bx3+cx2+dx,满足 (i)a、b、c、d 均大于 0; (ii)对于任一个 x∈{?2, ?1,0,1,2},f(x)为整数; (iii)f(1)=1,f(5)=70. 试说明,对于每个整数 x,f(x)是否为整数.

第 2 页 共 4 页

第二试
一、 (50 分)
设 K 为△ABC 的内心,点 C1、B1 分别为边 AB、AC 的中点,直线 AC 与 C1K 交于点 B2,直线 AB 于 B1K 交于点 C2.若△AB2C2 于△ABC 的面积相等,试求∠CAB.

二、 (50 分)
5 5 求证:f(x)为一整系数多项式,且 f(x)不能分解为两个至少为一次的 整系数多项式之积.

设 w = cos

π

+ i sin

π

,f(x)=(x?w)(x?w3)(x?w7)(x?w9).

三、 (50 分)
在圆上有 21 个点.求在以这些点为端点组成的所有的弧中,不超过 120°的弧的条数的最小值.

第 3 页 共 4 页

参考答案
第一试
一、选择题: 题号 答案 二、填空题: 1、4; 3、0;
5、16;

1 D

2 A

3 C

4 B

5 C

6 C

2、x2+y2=4; 5 4、 ; 24 6 、5 .

? 3+ 2 ? ?. 三、 ?1, ? 4 ? ? ?

四、证略. 五、是.

第二试
一、60°; 二、证略. 三、100.

第 4 页 共 4 页


全国高中数学联赛模拟试题函数

全国高中数学联赛模拟试题函数_数学_高中教育_教育专区。全国高中数学联赛模拟试题分类汇编(集合函数) 1、设 f1 ( x ) ? ? 2x ? 7 , f n?1 ( x) ? ...

2015年全国高中数学联赛模拟试题10

2015年全国高中数学联赛模拟试题10_学科竞赛_高中教育_教育专区。2015 年全国高中....此时, x ? (??, ?1] . x x x 7 1 综上所述,满足题意的 x 的...

2017年全国高中数学联赛模拟试题01

2015 年全国高中数学联赛模拟试题 01 第一试 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分. 1.设 f1 ( x ) ? ? 2x ? 7 , f n?1 ( ...

2017年全国高中数学联赛模拟试题10_图文

2017年全国高中数学联赛模拟试题10_学科竞赛_高中教育_教育专区。2017年全国高中....此时, x ? (??, ?1] . x x x 7 1 综上所述,满足题意的 x 的...

2017年全国高中数学联赛模拟试题19

2017年全国高中数学联赛模拟试题19_学科竞赛_高中教育_教育专区。2017年全国高中...[- , ]. 2 2 7.正四棱锥 P-ABCD 外接于一个半径为 1 的球面,若球心...

2017年全国高中数学联赛模拟试题02_图文

2017年全国高中数学联赛模拟试题02_IT认证_资格考试/认证_教育专区。2017年全国...2 7. 已知 20 块质量为整数克的砝码可称出 1, 2,?, 2014 克的物品,...

全国高中数学联赛模拟试题第一试试题

全国高中数学联赛模拟试题第一试试题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。全国高中...二、填空题 7 、 已知复数 z1,z2,z3 满足 |z1| ≤ 1,|z2| ≤ 1,|2...

2017年全国高中数学联赛模拟试题

2017年全国高中数学联赛模拟试题_数学_高中教育_教育专区。数学竞赛培训课程---...四点共圆. 的 第7页 数学竞赛培训课程---高中联赛模拟试卷 证明:要证 如图...

2015年全国高中数学联赛模拟试题06

2015年全国高中数学联赛模拟试题06_学科竞赛_高中教育_教育专区。2015年全国高中数学...C4 6 ? . 3 C8 7 . 3 4 个,所求“构成直 角三角形”的概率是 三、...

2017年全国高中数学联赛模拟试题05

2017年全国高中数学联赛模拟试题05_学科竞赛_高中教育_教育专区。2017年全国高中...tan ?AOB 7.设AB是抛物线y 2 =2 px的一条焦点弦,且AB与x轴不垂直,P是...