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用均值不等式求最值的参数法

时间:2010-11-25


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?

4   重 庆  O?

《 学 教 学 通 讯 ) 0 J年 第 4期 ( 第 l 7期 ) 数 20 总   3  

用 均 值 不 等 式 求 最 值 的 参 数 法  
( 南省 周 口 市 教 委 教 研 室 河 46

0 ) 李世 臣 6 0 1    ( 南 省 周 口市 第十 中学 河 4 6 0 ) 陈 海 洲  6 0 0 

均 值 不 等 式 常用 于 解 决 最 值 问 题 , 般 通  一 过观 察 、 当配 置 即 可达 到 目的. 有 些 问题 只  适 但 靠 观 察 拼 凑 无 法 实 现 合 理 配 置 , 时 , 以采 用  这 可 引 进 参 数 的方 法 , 据 题 目 要 求 和 不 等 式 取 等  根

z 所 以 ,当  一 — + b) -  ̄a ( a

— — —   —

a + b  b 2


时 , 盒 的容积最 大. 纸   ’   …
… =  

号 的 条 件 , 出关 于 参数 的 方 程 或 方 程 组 , 方  列 若 程或 方 程 组 有 解 , 求最 值 问 题 就 迎 刃而 解 了 . 则  
下 面 通 过 几 道 最 值 问题 的 求 解 过 程 , 说 明 这  来




土 n = 5 [ + 6 (  一  7   a r 4    ) 2 L … ~ Ⅱ
。 6+ b ) ]  j .  

6 (b— n )2 )+ 2 。 ( 

例 2 已 知 球 的半 径 为 R, 求 它 的 内 接    试
圆 锥 的 全 面 积 S 的最 大 值 .   解 :如 图 l 是 球 的 内 接 圆 锥 的 轴 截 面 ,   , 设 圆 锥 的 底 面 半 径 为 r 母 线 长 为 , OAB = , ,       则  B OD = 2 , = 2 c s , 0  R o 0 r— Rsn 0 i2 .  
S =  +  r  一  

方 法 的应 用 .  

1 求积 的 最 大 值    倒 l 有 一 边 长 为 n 和 b a≥ 6 ( )的 长 方 形 

的 纸 板 , 四角 各 裁 去 一 个 太 小 相 同 的 正 方 形 , 在   把 四 边 折 起 做 成 一 个 无 盖 的盒 子 , 使 纸 盒 的  要 容积最 大 , 裁去 的正方形 的边 长应为多少 ? 问  
解 : 裁 去 的 正 方 形 的 边 长 为  , 做 成 的  设 则 无 盖 盒 子 的 容 积 为 
^  

r c ? i 2 ?( i 0 J c s ) 一  R  s n 0 sn2   。2 o O
4 ' ?s n ?C S 0 ?( + s n a R  iO O  1 i O)一  4r r R。?s n ?( iO 1一 s n ) ?( + s n ) . iO 1 i O   

引 人 参 数  、 ( b> O . b a、 ) 则 
S 一 4 R _- 2  ̄

V =  ( d一 2 ( x) 6— 2 )( x O<  < ÷ ) .  
‘ 

.日 i O .b( 一 s n ) . ( +   sn 1 iO 1

引 人 参 数 m、 m、 > 0 , 后 利 用 均 值 不  n( n )然
等 式 得 
1  

sn ) i O ≤  
4 R   

! t ±  二 ! 2± ! !    !    ± !  
4  


ab  

V = 
—  

?/ ?    ̄x n . z

一 2 x)?( 6— 2 x)≤ 

一 而Rz ( r   b十 2 c E )+ ( “


6 + z sn ) l 

r 。 ! !二 三  兰 ± !  ±  二 
3  

]  

 ̄Z   /n '

』 日~ 6+ 2— 0  ;
lsn a iO= 6 1一 sn )一 1+ sn . ( iO iO  
, 一  6 .  

西  [ m 一 2 (  

2 x+ ( + )  )   ]

当  ̄ X —  ( 一 2 / ' Z Ⅱ x)= b一 2   x

解 方 程 组 得 n一 
sn 一  i  .  

成立 时 , 等式 取等号 ; 不  
当 m 一 2 一 2= 0 n  

成 立 时 , 等 式 右 端 为 常 数 .  当 二 者 l   不 B 司时

所 以, 当  一  最大值 , 即 
=  

sn  I(

)时 ,  ) s( 有 

成立时 , 函数 有 最 大 值 .  

于 ,① m   塑,   罢.  是由 得 一 _ n 三 代 一 一
人 ② 得 1 x 一 4 a+ b x+ a 2。 ( ) b= 0  
解 得 z一 — + ( a
— —

( ¨

2) 1= 

b) i
— — —



a /







— —

b+ b  ̄


. 

__ _

. 

因为0 <皂, <z  

倒 3 现 有 宽 为 n 的 长 方 形 板 材 , 其 设    将
计 成一 个 龄 口 的 长 方 形 7 k槽 . k槽 槽 截 面 为 等  7

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《 数学 教 学通 讯  ̄ 0 1年第 4期 ( 20 总第 1 7期 ) 3  

重庆

?4   1?

A 

求 解 , 于 例 2 文 []在 得 出 5 的 函 数 式 后 断  对 , 2 言 , 们 用 初 等数 学 中 的方 法 很 难 解 决 , 以 不  我 所
D 

得 已用 了 高 等 数 学 中 的 方 法 , 于 例 3 文 [ ] 对 , 3 
则 运 用 试 算 筛 选 的 方 法 , 到 近 似 的 答 案 . 以  找 由
上 解 法 可 以 看 出 , 果 表 达 式 能 分 解 成 某 个 变  如 元 的 一 次 因 式 的 积 的 话 , 用 在 均 值 不 等 式 的  采

幽 1  

幽 Z  

使 用 过 程 中 , 理 地 引 逃 参 数 的方 法 , 解 决 这  合 来 类 极值 问题 并 非 难 事 .   2 求 和 的 最 小值  

腰 梯形 , 样 设 计 才 能 使 其 流 量 最 大 ? 怎   解 :如 图 2 设 等 腰 梯 形 的腰 长 为  , 与  , 高 腰 的夹 角 为 口 则 : ,  

S一 去 [d~ 2 ) ( s O ( x + 2 i +口一 2 )  xn  ]
?x o O — x( i + d ~ 2 c s . cs xsnO x) o O 

例4 求 数 z _ 壶 函   。 z  >。   ++ ) 的
最 小值.  

5(   x[ s O~ 2x + d c s  ) (i n ) ]? o O= 
(   一 z) ( ] 2~ sn )O 口≤   iO C S

解 : 【 参 数 xg< ^< 1 .    进 ( )周

砸  
当  一 
号.  

~ s Oc s? i )o 8 n  
① 时 , 等 式 取 等  不

= z z 乏+ 丢 一 z +      + 。鑫+ ) (+ 云 )  + 击 +z   ≥
s   十 z

√  
. 

5():  [sn 口 (i0+ 

)oO  c s3

I- A
2 x

有 解 时 , 等 式 墩 等 号  不

S ( ) 一 一 ( 十 sn ) 1 一 sn ) sn +   口 1 iO ( iO (iO
二 
Z 

’  

z  

消 去 ^ 4   2 。 l: 0 即 ( x — 1 ( x +  碍 x + x一 . 2 )2 
2 + 1 一 0  x ) .

引人参数  、  、  (  > O , ) 则 

5 ( ) 生 . 1 s O  ( ~ s O   。口 : m( + i ). 1 i ). n n
m  

方程有唯一实数解 ,   = 寺 ,   一 即 此时  

(i0+ a - 2 ) ≤  sn x   ( — n + 2 s  + [ +  + 2 a- 2 )  m )1 。   ( - x) ]



告. 函数的 最小值为   一÷.  

例5 求 数 z {+   >o的 函  + 善 ) 
最小值 .  

( — — — — — —   — — — —   一 —
r 一    + 2 一 O、  

)  

解 :引 人参 数 ^ 1> ^> 0 , ( ) 则 

当 1  一 ( s) s + {( +  1 . 一i   一  n  
时 , 等式取 等号 . 不 由此 推 得  2 sn O+ ( z iZ d一 2 ) iO~ z— O x sn  

.  
② 

+ ( 一 ^  +  1 )
—  

+ j =  2

( 等+ + ( ^ + ≥ 等+  ) [ 一)  ]  1 z 3筹+ /丁 . √ 2     
生 一 .    
方程组 取 等 号 


联立 ①②, 0 3。   詈. 解碍 = 0, z  
即将 宽 三 等分 , 角 为 10 折 2 。时 , 截 面 面  横 积最 大 , 即 流 量 最 大 . 大 面积 为  也 最
r 

{ ’6 解, 式 1   有时 等    f 1 不
k x 一  ) .  

5… ( , )一    
J  

n.    

对 于 例 1 文 [ ]采 用 一 元 函数 微 分 学 知 识  , 1

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-4   重庆  2?

《 学 教学 通讯  ̄0 1 第 4斯 ( 第 1 7斯 ) 数 20 年 总 3  

球 ?盒 子 模 型 的 应 用 
( 江 省 金 华 湎 澳 中 学  3 1 7 ) 张 拥 军  浙 2 0 5 

在 同 学 学 习 排 列 组 合 的 问题 时 , 常 碰 到  常

能性 有 几 种 ?   分析 : 三项 冠 军 类 比 于 3个 不 同 的 小 球 ,  4 个 学 生类 比于 4个 不 同 的盒 子 , 4 种 可 能 . 故 。   例 3 A、 C、 E 5 人 排 一 个 5 的值    B、 D、   个 天 日表 , 天 由 一 人 值 日 , 人 可 以 值 多 天 或 不  每 每 值 , 相 邻两 天 不 能 同 一 人值 , 么值 日排 法 种  但 那
数 有多少 ?   分 析 : 果“ 邻 两 天不 能 由同一 个 人值 ” 如 相  

球 放 人 盒 子 有 关 的 问 题 , 类 问题 的 变 化 较 多 , 这  
学 生 掌 握 起 来 比 较 困难 , 其 它 一 些 问 题 可 以  且 转 化 为 球 ?盒 子 问 题 , 即具 有 模 型 置 换 的 功  也 能 , 文 拟就此谈 些解 决方 法. 本   模 型 之 一 : n个 不 同 小 球 随 意 放 人  个  把 
不 同盒 子.  

把 m 个 不 同小 球 随意 放 人  个 不 同盒 子 的  问题 , 实质 上 是 一 个 重 复 排 列 的 问题 . 以 用 乘  可 法 原理 解 决 . 一 球 有 ”种 放 法 , 二 个 球 有  第 第 种 放 法 … … 第 
?  
— —

这 一 限 制 条 件 不 考 虑 , 周 一 到 周 五 共 5天 类   则 比于 5个 不 同 的 小 球 ,   、 D、 5个 人类 比  A、 c、 E 
于 5个 不 同 的 盒 子 , 采 用 乘 法 原 理 . 虑 到 题   故 考 中 的 限 制 条 件 , 周 一 有 5种 值 法 , 二 到 周 五   故 周

个 球 有  种 放 法 , 共 有  故


  一



 
 



 

种不 同的放法 .  

例 1 5个 学 生 报 名 数 、 、 外 4门 学 科    理 化

各 有 4个 值 法 , 即共 有 5? ? 4 4-4?4— 5? ‘ 4  一 18   0种 值 日排 法 . 2   模 型 之 二 : m( > ) 不 同 小 球 放 人 n 把 m 个   个 不 同盒 子 , 个 盒 子 至 少 有 1个 小 球 . 类 问  每 这

竞 赛 , 人 限报 一门 , 报名 方法有 多少种 ? 每 则   分析 : 5个 学 生 类 比 于 5个 不 同 的 小 球 ,  4 门 学 科 类 比于 4个 不 同 的盒 子 , 有 4 种 不 同  故   的报 名 方 法 .  
例 2 4名 学 生 争 夺 三 项 冠 军 , 冠 军 的 可    获
捎 去 ^得   一 6 一 4 — 0, z  

题 实 质 上 是 分 组 和 分 配 问题 的综 合 问题 .  
例 4 把 4名 学 生 分 别 推 荐 到 3个 学 校 学   
… … … … 一 … … … … 0 ●  

+ 2 (  一 2 一 2 = 0  ) z z ) .



√ +丽 等 z
一 


+. s  
1) … ”

方 程 组 有 唯 一 正 实 数 解 z — l+ / j ,   此

当堑   2


, 且 ( 并 1一  一    z 一

时 ^一 3 丁 一 5 已 知 函 数 的 最 小 值    . Y =3 百 .       1 一  ) 时 , 等 式 取 等 号 ? 时 ,   z一  不 此 z(
3) = 0.  

例 6
小值.  

求 函 数  一 

1 

> 1 )的最 

=  { …= { 。 , s.    
老 老 寸 赫  

解 : 一   
( ~ 1 +    ) 十 

= 
+ 3,  

i 周 祖 逵 .折 纸 盒 中 的 完 垒 平 方 数 . 数 学 通 报 ,    
l9 ( ) 9 8 7 

引 入 参 数 ^( O< ^< 1 . ) 因为  一 1> 0  , 则  一 [   +  +  ]+ 

2 古 永 喜 , 佑 珊 .运 用 “ 比 推 理 ” 注 意 的 三 个 问    博 类 应 题 数 学 通 报 , 9 3 7  19 ()   数 学 应 用 题 教 学 的实 践 与 思 考 数 学 通  3 何 小亚  
报 ,0 0 4  20 ()

[1 ^ 一 1 + 兰了] 3 (一 )   )   + ≥ 


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