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山东省淄博市淄川般阳中学高中数学 正弦定理余弦定理的应用学案 新人教A版必修5

时间:2015-01-03


山东省淄博市淄川般阳中学高中数学 正弦定理余弦定理的应用学案 新 人教 A 版必修 5
授课时间 课题 年 月 日 第 周 星期 编号 §1.2 应用举例 课型 复习 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实 学习目标 际问题;有关底部不可到达的物体高度测量的问题;有关计算角度的实际 问题; 解决有关三角形的问题; 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用; 能证明三角形中的简单的恒等式. 一.学情调查,情景导入 1. 正弦定理: 2、余弦定理: 二.问题展示,合作探究 (一) :测距 例 1. 如图,设 A、B 两点在河的两岸,要测量两点之间的距离,测量者在 A 的同侧,在所在的 河岸边选定一点 C,测出 AC 的距离是 55m, ? BAC= 51? , ? ACB = 75? . 求 A、B 两点的距离(精 确到 0.1m).

例 2. 如图,A、B 两点都在河的对岸(不可到达) ,设计一种测量 A、B 两点间距离的方法. 分析:这是例 1 的变式题,研究的是两个 的点之间的距 离测量问题. 首先需要构造三角形,所以需要确定 C、D 两点. 根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另 两边的方法,分别求出 AC 和 BC, 再利用余弦定理可以计算出 AB 的距离.

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(二)测高: 探究:AB 是底部 B 不可到达的一个建筑物,A 为建筑物 的最高点,设计一种测量建筑物高度 AB 的方法. 分析:选择基线 HG,使 H、G、B 三点共线, 要求 AB,先求 AE 在 ?ACE 中,可测得角 ,关键求 AC 在 ?ACD 中,可测得角 ,线段 ,又有 ? 故可求得 AC

例 3. 如图,在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角 ? =54 ?40 ? ,在塔底 C 处测得 A 处的俯角 ? =50 ?1? . 已知铁塔 BC 部分的高为 27.3 m,求出山高 CD(精确到 1 m)

例 4. 如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行 驶, 到 A 处时测得公路南侧远处一山顶 D 在东偏南 15 ? 的方向上,行驶 5km 后到达 B 处,测得此山顶在东偏 南 25 ? 的方向上,仰角为 8 ? ,求此山的高度 CD. 问题 1;欲求出 CD,思考在哪个三角形中研究比较适 合呢? 问题 2:在 ? BCD 中,已知 BD 或 BC 都可求出 CD,根据条件,易计算出哪条边的长?

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(三)测角: 例 5. 如图,一艘海轮从 A 出发,沿北偏东 75 ? 的方向航行 67.5 n mile 后到达海岛 B,然后从 B 出发, 沿北偏东 32 ? 的方向航行 54.0 n mile 后达到海岛 C.如果下次航行直接从 A 出发到达 C, 此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到 0.1 ? ,距离精确到 0.01n mile) 分析:首先由三角形的内角和定理求出角 ? ABC,然后用余弦定理算出 AC 边, 再根据正弦定理算出 AC 边和 AB 边的夹角 ? CAB.

(四)面积与证明: 探究:在 ? ABC 中,边 BC 上的高分别记为 h a ,那么它如何用已知边和角表示? h a =bsinC=csinB 1 根据以前学过的三角形面积公式 S= ah, 2 1 代入可以推导出下面的三角形面积公式,S= absinC, 或 S= , 2 同理 S= . 新知:三角形的面积等于三角形的任意两边以及它们夹角的正弦之积的一半. 例 6. 在 ? ABC 中,根据下列条件,求三角形的面积 S(精确到 0.1cm 2 ) : ? (1)已知 a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5 ; (2)已知 B=62.7 ? ,C=65.8 ? ,b=3.16cm; (3)已知三边的长分别为 a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm.

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例 7. 在 ? ABC 中,求证: a2 ? b2 sin 2 A ? sin 2 B (1) ? ; c2 sin 2 C (2) a 2 + b 2 + c 2 =2(bccosA+cacosB+abcosC) .

小结:证明三角形中恒等式方法: 应用正弦定理或余弦定理, “边”化“角”或“角”化“边” . 三. 达标训练,巩固提升 A1. 在 ? ABC 中,已知 a ? 28cm , c ? 33cm , B ? 45 ,则 ? ABC 的面积是 . 1:两灯塔 A、B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 30°,灯 塔 B 在观察站 C 南偏东 60°,则 A、B 之间的距离为多少? 2:某人在山顶观察到地面上有相距 2500 米的 A、B 两个目标,测得目标 A 在南偏西 57°, 俯角是 6 0°,测得目标 B 在南偏东 78°,俯角是 45°,试求山高. 3. 甲、乙两船同时从 B 点出发,甲船以每小时 10( 3 +1) km 的速度向正东航行,乙船以每 小时 20km 的速度沿南 60°东的方向航行,1 小时后甲、乙两船分别到达 A、C 两点,求 A、C 两点的距离,以及在 A 点观察 C 点的方向角. A2. 2. 在 ? ABC 中,求证: c(a cos B ? b cos A) ? a2 ? b2 A3. 4. 某巡逻艇在 A 处发现北偏东 45 ? 相距 9 海里的 C 处有一艘走私船, 正沿南偏东 75 ? 的方向以 10 海里/小时的速度向我海岸行驶, 巡逻艇立即 以 14 海里/小时的速度沿着直线方向追去,问巡逻艇应该沿什么方向去 追?需要多少时间才追赶上该走私船? 四.知识梳理,归纳总结 五、预习指导,新课链接

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