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立体几何小小练13


北师大版·数学·必修 2

高中同步学习方略

立体几何时练(十三)
一、选择题 1.下列命题中正确的是( )

A.如果两个平面互相垂直,那么一个平面内的任何直线都与另 一个平面垂直 B.如果两个平面与某一条直线垂直,那么两个平面垂直 C.如果一个平面含有另一个平面的垂线,那么这两个平面互相 垂直 D.如果两

个平面互相垂直,过其中一个平面内的点做另一个平 面的垂线,那么这条直线不一定在这个平面内 答案 C )

2.若两条直线 a 与 b 异面,则过 a 且与 b 垂直的平面( A.有且只有一个 C.有无数个 B.至多一个 D.一定不存在

解析 若 a⊥b, 则存在一个过 a 与 b 垂直的平面, 若 a 不垂直 b, 则不存在过 a 与 b 垂直的平面. 答案 B

3.若 m,n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面,则 下列命题中的真命题是( )

A.若 m β,α⊥β,则 m⊥α B.若 α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,则 α∥β C.若 m⊥β,m∥α,则 α⊥β D.若 α⊥γ,α⊥β,则 β⊥γ 解析 由 m∥α 可知 α 内至少有一条直线 m′∥m,又 m⊥β, ∴m′⊥β,又 m′ α,∴α⊥β,故选 C.
1

北师大版·数学·必修 2 答案 4. C

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以等腰直角三角形 ABC 的斜边 AB 的中线 CD 为棱,将△ABC 折叠,使平面 ACD⊥面 BCD,则 AC 与 BC 的夹角为( A.30° C.90° 解析 B.60° D.不确定 )

∵CD⊥BD,CD⊥DA,又面 ACD⊥面 BCD,

∴∠BDA=90° ,设 AD=x, 则 AC=BC= 2x,AB= 2x, ∴△ABC 为等边三角形,∴∠BCA=60° . 答案 5. B

如图所示,α⊥β,CD β,CD⊥AB,CE,CF α,∠FEC=90° , 则下列说法中正确的个数为( )

①EF⊥面 β;②EF⊥DE;③面 EFD⊥面 DEC;④面 DEF⊥β. A.1
2

B.2

北师大版·数学·必修 2 C.3 解析 D.4

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∵DC⊥AB,α⊥β,α∩β=AB,∴CD⊥α.又 EF α,

∴DC⊥EF.又∠FEC=90° ,∴EF⊥EC,∴EF⊥面 DCE.又 DE 面 DEF, ∴EF⊥DE; 又 EF 面 DEF.∴面 DEF⊥面 DCE.故②③正确, ①④显然不正确. 答案 B )

6.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,下列判断正确的是(

A.A1C⊥面 AB1D1 C.A1B⊥面 AB1D1 解析

B.A1C⊥面 AB1C1D D.A1B⊥AD1

∵ 在 正 方 体 ABCD—A1B1C1D1 中 , ∴A1C1⊥B1D1 ,

B1D1⊥CC1,∴B1D1⊥面 A1C1C,∴B1D1⊥A1C.同理可证 A1C⊥AD1, 又 AD1∩B1D1=D1, ∴A1C⊥面 AB1D1. 答案 A

二、填空题 7.已知 PA 垂直于平行四边形 ABCD 所在平面,若 PC⊥BD, AB 与 BC 不垂直,则平行四边形 ABCD 一定是________.

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解析 由 PA⊥面 ABCD,知 PA⊥BD. 又 BD⊥PC, ∴BD⊥面 PAC,故 BD⊥AC. 又 AB 与 BC 不垂直, ∴四边形 ABCD 为菱形. 答案 8. 菱形

如图,已知 PA⊥矩形 ABCD 所在平面,图中互相垂直的平面有 ________对. 解析 面 PAB⊥面 ABCD, 面 PAD⊥面 ABCD, 面 PAB⊥面 PAD, 面 PBC⊥PAB,面 PCD⊥面 PAD. 答案 5 9.对于四面体 ABCD,给出下列四个命题: ①若 AB=AC,BD=CD,则 BC⊥AD;②若 AB=CD,AC= BD ,则 BC⊥AD ;③若 AB⊥AC , BD⊥CD ,则 BC⊥AD ;④若
4

北师大版·数学·必修 2 AB⊥CD,BD⊥AC,则 BC⊥AD.

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其中真命题的序号是________.(写出所有真命题的序号) 解析 对于①,取 BC 的中点 E,连接 AE,DE,则 BC⊥面 AED,故 BC⊥AD, 故①对,②不一定,③也不一定. 对于④,过 A 作面 BCD 的垂线,垂足为 O, 由 AB⊥CD,BD⊥AC,可知 O 为△BCD 的垂心, ∴BC⊥DO,又 BC⊥AO,∴BC⊥面 AOD, 即有 BC⊥AD.故④正确,故正确的有①④. 答案 ①④

三、解答题 10.如图所示,三棱锥被平行于底面 ABC 的平面所截得的几何 体,截面为 A1B1C1,∠BAC=90° ,AA1⊥面 ABC,AB=AC,D 为 BC 的中点.

求证:面 A1AD⊥面 BCC1B1. 证明 ∵AC=AB,D 为 BC 的中点,∴BC⊥AD.

又 AA1⊥面 ABC,∴AA1⊥BC. 又 AA1∩AD=A,∴BC⊥面 A1AD.
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北师大版·数学·必修 2 ∵BC 面 BCC1B1, ∴面 A1AD⊥面 BCC1B1.

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11.如图所示,面 PAB⊥面 ABC,面 PAC⊥面 ABC,AE⊥面 PBC,E 为垂足. (1)求证:PA⊥面 ABC; (2)当 E 为△PBC 的垂心时,求证:△ABC 为直角三角形. 证明

(1)在平面 ABC 内取一点 D, 作 DF⊥AC 于 F, 作 DG⊥AB 于 G, ∵面 PAC⊥面 ABC,且面 PAC∩面 ABC=AC, ∴DF⊥AP,同理可证 DG⊥AP. 又 DG∩DF=D,DG 面 ABC, DF 面 ABC,∴PA⊥面 ABC.
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北师大版·数学·必修 2 (2)连接 BE 并延长交 PC 于 H, ∵E 为△PBC 的垂心,∴PC⊥BE. AE⊥面 PBC,∴PC⊥AE. ∴PC⊥面 ABE,∴PC⊥AB. 又 PA⊥面 ABC,∴PA⊥AB. 又 PC∩PA,∴AB⊥面 PAC. ∴AB⊥AC,即△ABC 是直角三角形.

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12.某几何体的三视图,如图所示,P 是正方形 ABCD 对角线的 交点,G 是 PB 的中点,

(1)根据三视图,画出该几何体的直观图; (2)在直观图中,①证明:PD∥面 AGC;②证明: 面 PBD⊥面 AGC.

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北师大版·数学·必修 2 解 (1)该几何体的直观图如图所示.

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(2)①证明:连接 AC,BD 交于 O,连接 OG. ∵G 为 PB 的中点,O 为 BD 的中点, ∴OG∥PD,又 OG 面 GAC, PD?面 AGC,∴PD∥面 AGC. ②由三视图可知 PO⊥面 ABCD, 又 AO⊥BO,∴AO⊥面 PBD. 又 AO 面 AGC,∴面 PBD⊥面 AGC. 思 维 探 究 13.如图,在△ABC 中,∠BAC=60° ,线段 AD⊥平面 ABC, AH⊥平面 DBC,H 为垂足. 求证:H 不可能是△BCD 的垂心.

证明

假设 H 是△BCD 的垂心,则 BH⊥CD,

∵AH⊥平面 DBC,DC 平面 DBC, ∴AH⊥DC. ∵AH∩BH=H,∴CD⊥平面 ABH. 又 AB 平面 ABH,∴AB⊥CD.
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北师大版·数学·必修 2 ∵AD⊥平面 ABC,AB 平面 ABC,∴AD⊥AB. 由于 AD∩CD=D,∴AB⊥平面 ACD. ∵AC 平面 ACD,∴AB⊥AC. 这与已知中∠BAC=60° 相矛盾. ∴假设不成立.故 H 不可能是△BCD 的垂心.

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