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1.4.3正切函数的图像与性质课件(新人教A版必修4)


1.4.3 正切函数 的图象和性质

复习回顾
一.正弦余弦函数的作图: 几何描点法(利用三角函数线) 五点法作简图
二.周期性:
2? 函数y ? A sin(? x ? ? )和y ? Acos(? x ? ? ),x ? R的周期T ? |? |

三.奇偶性:

y ? sin x

为奇函数,图像关于原 点对称; y ? cos x为偶函数图像关于 y轴对称。

复习回顾
y 1 -6? -5? -4? -3? -2? -? o -1 y 1 -6? -5? -4? -3? -2? -? -1 ? 2? 3? 4? 5? 6? x

y=sinx

y=cosx
? 2? 3? 4? 5? 6? x

四.单调性:
正弦函数在 [? 在[

?
2

? 2k? ,

?
2

? 2k? ](k ? Z )上是单调递增的 , 从 ? 1到1;

?

2

? 2k? ,

3? ? 2k? ](k ? Z )上是单调递减的 , 从1到 ? 1 2

余弦函数在区间 [2k? ? ? ,2k? ](k ? Z)上是单调递增 , 从 ? 1到1 : 在区间 [2k? ,2k? ? ? ](k ? Z)上是单调递减 , 从1到 ? 1

复习回顾
y 1 -6? -5? -4? -3? -2? -? o -1 y 1 -6? -5? -4? -3? -2? -? -1 ? 2? 3? 4? 5? 6? x

y=sinx

y=cosx
? 2? 3? 4? 5? 6? x

五.定义域 、值域及取到最值时相应的x的集合:
y ? sin x : 定义域为R,值域[?1,1] 最大值1,此时x ?

?

2 y ? cos x : 定义域为R,值域[?1,1]

? 2k? ; 最小值-1, 此时x ? ?

?
2

? 2 k? ;

最大值1,此时x ? 2k? ; 最小值-1, 此时x ? 2k? ? ? ;

复习回顾
y 1 -6? -5? -4? -3? -2? -? o -1 y 1 -6? -5? -4? -3? -2? -? -1 ? 2? 3? 4? 5? 6? x

y=sinx

y=cosx
? 2? 3? 4? 5? 6? x

六.对称轴和对称点:
y ? sin x的对称轴:x ? k? ?

?
2

, 对称点: ( k? ,0);

y ? cos x的对称轴:x ? k? , 对称点: (k? ?

?
2

,0);

七. y ? sin x和y ? cos x的图像性质的研究思想 : (1)充分利用图像- - - -数形结合的思想

(2) y ? sin x, y ? cos x与y ? A sin(?x ? ? ), y ? A cos(?x ? ? )间的换元思想

正切函数的性质与图象
(1)正切曲线图象如何作:
几何描点法(利用三角函数线)

思考:画正切函数选取哪一段好呢?画多长一段呢?

正切函数的性质与图象
(二)周期性 :
由诱导公式 tan(x+? )=tanx,x ? R, x ? 可以知道? 是正切函数的一个正周期
问题:是否是最小的正周期呢?

?
2

? k? , k ? Z

(三)奇偶性:
由诱导公式tan(-x )= -tanx,x ? R,x ? y ? tan x, x ?

?
2

? k? , k ? Z

?
2

? k? ? k ? z ? 为奇函数,图像关于原点对称

正切函数的性质与图象

正切函数的性质与图象
(四)单调性:观察图象

? ? ?? 正切函数在? ? , ?,k ? Z中为递增函数,由周期 性知, ? 2 2? ? ? ? ? 正切函数在? ? ? k?, ? k? ?,k ? Z中是增函数。 2 ? 2 ?

思考:在整个定义域内是增函数么?

正切函数的性质与图象

(五)定义域、值域:

k? (六)关于对称点对称轴:从图象可以看出:无对称轴。 ( , 0) ? 直线 为渐近线,对称点为零点及函数值不存在的点,即 2 x ? ? k? k ?Z 2

应用提升
? 例1(书上P44例6有变动)

?? ?? 求函数y ? tan ? x ? ?的定义域,值域,并指出它的周期性, 3? ?2 奇偶性,单调性,对称中心,作出它的大致草图
解:

周期:T ? 2

1 定义域: {x | x ? 2k ? ,k ? Z} 3

值域:R

奇偶性:非奇非偶

5 1 单调区间:( ? ? 2k, ? 2k), k ? Z 3 3

2 对称中心:(k- , 0), k ? Z 3

应用提升
? 13? ? ? 17? ? 例2.比较tan? ? ?与tan? ? ?的大小? ? 4 ? ? 5 ?

练习1:试着画出y ?| tan x | 和y ? tan | x | 并讨论它们的单调性,周期性和奇偶性. ? 练习2.如果?、? ? ( , ? )且 tan ? ? cot ? , 2
那么必有( ) A.? ? ? 3? C.? ? ? ? 2 B.? ? ? 3? D.? ? ? ? 2

应用提升

应用提升
例3.求函数y ? tan x ? 1 3 ? tan x 的定义域

例4.试讨论函数y ? loga tan x的单调性

小结回顾
正切函数的基本性质

课后作业
1.书本P45练习,做书上.

2.P46习题A组6,7,8,9;B组2 做本子上 3.《作业本》同步练习


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