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2010年高考 数学常用公式及结论

时间:2010-03-02


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高中数学常用公式及结论
1. 元素与集合的关系: x ? A ? x ? CU A , x ? CU A ? x ? A . ? ? A ? A ? ? 2.德摩根公式 : CU ( A ? B) ? CU A ? CU B; CU ( A ? B) ? CU A ? CU B . 3.包含关系:

A ? B ? A ? B ? A ? A ? B ? B ? CU B ? CU A ? A ? CU B ? ? ? CU A ? B ? R
4.元素个数关系:

card ( A ? B) ? cardA ? cardB ? card ( A ? B) card ( A ? B ? C ) ? cardA ? cardB ? cardC ? card ( A ? B) ? card ( B ? C ) ? card (C ? A) ? card ( A ? B ? C ) .
5.集合 {a1 , a2 ,?, an } 的子集个数共有 2 非空的真子集有 2 ? 2 个. 6.二次函数的解析式的三种形式
n n

个;真子集有 2 ? 1 个;非空子集有 2 ? 1 个;
n n

(1)一般式 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ; (2)顶点式 f ( x) ? a( x ? h)2 ? k (a ? 0) ;(当已知抛物线的顶点坐标 ( h, k ) 时,设为此式) (3) 零 点 式 f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) ; 当 已 知 抛 物 线 与 x 轴 的 交 点 坐 标 为 (

( x1,0),( x2 ,0) 时,设为此式)
(4)切线式: f ( x) ? a(x ? x0 )2 ? (kx ? d ), (a ? 0) 。 (当已知抛物线与直线 y ? kx ? d 相 切且切点的横坐标为 x0 时,设为此式) 7.解连不等式 N ? f ( x) ? M 常有以下转化形式

N ? f ( x) ? M ? [ f ( x) ? M ][ f ( x) ? N ] ? 0 ?
2

? f ( x) ? N f ( x) ? N ?0 ?? . M ? f ( x) ? f ( x) ? M

8.方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 在 (k1 , k 2 ) 内有且只有一个实根,等价于 f (k1 ) f (k2 ) ? 0 或

b ? ? k2 ? k1 ? ? 。 2a ? ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ?
9.闭区间上的二次函数的最值
2 二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 在闭区间 ? p, q ? 上的最值只能在 x ? ?

b 处及区间的 2a

两端点处取得,具体如下: (1)当 a>0 时,若 x ? ?

b b ? ? p, q ?,则 f ( x) min ? f (? ), f ( x) max ? max ? f ( p), f (q)? ; 2a 2a

b ? ? p, q ?, f ( x)max ?max ? f ( p), f (q)? , f ( x)min ?min ? f ( p), f (q)? . 2a b ? ? p, q ?,则 f ( x)min ? min ? f ( p), f (q)? , (2)当 a<0 时,若 x ? ? 2a x??
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b ? ? p, q ?,则 f ( x)max ? max ? f ( p), f (q)? , f ( x)min ? min ? f ( p), f (q)? . 2a 10.一元二次方程 f ( x) ? x2 ? px ? q =0 的实根分布
若x ??

? p 2 ? 4q ? 0 ? (1)方程 f ( x) ? 0 在区间 (m,??) 内有根的充要条件为 f (m) ? 0 或 ? p ; ?? ? m ? 2 (2)方程 f ( x) ? 0 在区间 (m, n) 内有根的充要条件为 p m ? n ?m ? n p ? ?m ? ? 2 ? 2 ? 2 ??2 ?n ? ? f (m) f (n) ? 0 或 ? p 2 ? 4q ? 0 或 ? p 2 ? 4q ? 0 ; ? ? f ( n) ? 0 f ( m) ? 0 ? ? ? ? ? p 2 ? 4q ? 0 ? (3)方程 f ( x) ? 0 在区间 (??, m) 内有根的充要条件为 f (m) ? 0 或 ? p . ?? ? m ? 2
11.定区间上含参数的不等式恒成立(或有解)的条件依据 (1)在给定区间 (??,??) 的子区间 L (形如 ?? , ? ? , ?? ?, ? ? ,?? ,??? 不同)上含参数的不 等式 f ( x) ? t ( t 为参数)恒成立的充要条件是 f ( x)min ? t ,( x ? L) 。 (2)在给定区间 (??,??) 的子区间 L 上含参数的不等式 f ( x) ? t ( t 为参数)恒成立的充要 条件是 f ( x)max ? t ,( x ? L) 。 (3) 在给定区间 (??,??) 的子区间 L 上含参数的不等式 f ( x) ? t ( t 为参数)的有解充要条 件是 f ( x)max ? t ,( x ? L) 。 (4) 在给定区间 (??,??) 的子区间 L 上含参数的不等式 f ( x) ? t ( t 为参数)有解的充要 条件是 f ( x)min ? t ,( x ? L) 。 对于参数 a 及函数 y ? f ( x), x ? A .若 a ? f ( x) 恒成立,则 a ? f max ( x) ;若 a ? f ( x) 恒 成立,则 a ? f min ( x) ;若 a ? f ( x) 有解,则 a ? f min ( x) ;若 a ? f ( x) 有解,则 a ? f max ( x) ; 若 a ? f ( x) 有解, f min ( x) ? a ? f max ( x) . 则 (若函数 y ? f ( x), x ? A 无最大值或最小值的情况, 可以仿此推出相应结论).

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12.真值表 p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 非p 假 假 真 真 p或q 真 真 真 假 p且q 真 假 假 假

13.常见结论的否定形式 原结论 反设词 是 不是 都是 不都是 大于 不大于 小于 不小于 对所有 x ,成立 存在某 x ,不成立 对任何 x ,不成立 存在某 x ,成立

原结论 至少有一个 至多有一个 至少有 n 个 至多有 n 个 p 或q

反设词 一个也没有 至少有两个 至多有( n ? 1 )个 至少有( n ? 1 )个 ?p 且 ?q

p 且q

?p 或 ?q
原命题 若 p则 q 互 否 否命题 若 ┐p则 ┐q 互 逆 互 为 为 互 否 逆命题 若 q则 p 互 否 逆否命题 若 ┐q则 ┐p

14.四种命题的相互关系(右图): 15.充要条件(记 p 表示条件, q 表示结论) (1)充分条件:若 p ? q ,则 p 是 q 充分条件. (2)必要条件:若 q ? p ,则 p 是 q 必要条件. (3)充要条件:若 p ? q ,且 q ? p ,则 p 是 q 充要条件. 注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条 件;反之亦然. 16.函数的单调性的等价关系 (1)设 x1, x2 ??a, b? , x1 ? x2 那么



逆 否

互 逆

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b?上是增函数; x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b? 上是减函数. ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ? x1 ? x2 (2)设函数 y ? f (x) 在某个区间内可导, 如果 f ?( x) ? 0 , f (x) 为增函数; 则 如果 f ?( x) ? 0 , 则 f (x) 为减函数. 17.如果函数 f (x) 和 g (x) 都是减函数,则在公共定义域内,和函数 f ( x) ? g ( x) 也是减函数; 如果函数 f (x) 和 g (x) 都是增函数,则在公共定义域内,和函数 f ( x) ? g ( x) 也是增函数; 如果 函数 y ? f (u ) 和 u ? g (x) 在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数 y ? f [ g ( x)] 是增函数; 如果函数 y ? f (u ) 和 u ? g (x) 在其对应的定义域上都是增函数,则复合函数 y ? f [ g ( x)] 是增 函数;如果函数 y ? f (u ) 和 u ? g (x) 在其对应的定义域上一个是减函数而另一个是增函数,则 复合函数 y ? f [ g ( x)] 是减函数.

( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ?

18.奇偶函数的图象特征
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奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来,如果一个函数的图象关 于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函数是偶函 数. 19.常见函数的图像:
y
y
y
y

y

k<0
o

k>0
x
o

a<0
x

2 -1
o1

1 y=x+ x
x

y=ax
0<a<1 1 a>1
o

y=logax
0<a<1 1 a>1
x

a>0

x o y=ax2+bx+c 20.对于函数 y ? f (x) ( x ? R ), f ( x ? a) ? f (b ? x) 恒成立,则函数 f (x) 的对称轴是

y=kx+b

-2

x?

a?b b?a ;两个函数 y ? f ( x ? a) 与 y ? f (b ? x) 的图象关于直线 x ? 对称. 2 2 a 21.若 f ( x) ? ? f (? x ? a) ,则函数 y ? f (x) 的图象关于点 ( ,0) 对称; 2 若 f ( x) ? ? f ( x ? a) ,则函数 y ? f (x) 为周期为 2 a 的周期函数.
22.多项式函数 P( x) ? an xn ? an?1xn?1 ? ?? a0 的奇偶性 多项式函数 P ( x) 是奇函数 ? P ( x) 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数 P ( x) 是偶函数 ? P ( x) 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数 y ? f ( x) 的图象的对称性 (1)函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? a 对称 ? f (a ? x) ? f (a ? x ) ? f (2a ? x) ? f ( x) . (2)函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ?

? f (a ? b ? mx) ? f (mx) .

a?b 对称 ? f (a ? mx) ? f (b ? mx ) 2

24.两个函数图象的对称性 (1)函数 y ? f ( x) 与函数 y ? f (? x) 的图象关于直线 x ? 0 (即 y 轴)对称. (2)函数 y ? f (mx ? a) 与函数 y ? f (b ? mx) 的图象关于直线 x ? (3)函数 y ? f (x) 和 y ? f
?1

a?b 对称. 2m

( x) 的图象关于直线 y=x 对称. 25.若将函数 y ? f (x) 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到函数 y ? f ( x ? a) ? b 的图象; 若将曲线 f ( x, y) ? 0 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到曲线 f ( x ? a, y ? b) ? 0 的图象.
26.互为反函数的两个函数的关系: f (a) ? b ? f
?1

?1

(b) ? a .

27.函数 y ? f ( x) 与其反函数 y ? f ( x) 的图像的交点不一定全在直线 y ? x 上。 28.几个常见的函数方程 (1)正比例函数 f ( x) ? cx ? f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y), f (1) ? c .
x (2)指数函数 f ( x) ? a ? f ( x ? y) ? f ( x) f ( y), f (1) ? a ? 0 .

(3)对数函数 f ( x) ? loga x ? f ( xy) ? f ( x) ? f ( y), f (a) ? 1(a ? 0, a ? 1) .
? (4)幂函数 f ( x) ? x ? f ( xy) ? f ( x) f ( y), f ?(1) ? ? .

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(5)余弦函数 f ( x) ? cos x ,正弦函数 g ( x) ? sin x , f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) ? g ( x) g ( y) ,

f (0) ? 1, lim

sin x ? 1. x ?0 x

29.几个函数方程的周期(约定 a>0) (1) f ( x) ? f ( x ? a) ,则 f (x ) 的周期 T=a;

1 1 ( f ( x) ? 0) ,或 f ( x ? a) ? ? ( f ( x) ? 0) ,则 f (x) 的周期 T=2a; f ( x) f ( x) 1 ( f ( x) ? 0) ,则 f (x) 的周期 T=3a; (3) f ( x) ? 1 ? f ( x ? a) f ( x1 ) ? f ( x2 ) (4) f ( x1 ? x2 ) ? 且 f (a) ? 1( f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1,0 ?| x1 ? x2 |? 2a) , f (x ) 的 则 1 ? f ( x1 ) f ( x2 )
(2) f ( x ? a) ? 周期 T=4a; 30.分数指数幂 (1) a (2) a
m n

? n a m ( a ? 0, m, n ? N ? ,且 n ? 1 ).

?

m n

?

1 a
m n

?

1
n

a

m

( a ? 0, m, n ? N ? ,且 n ? 1 ).

31.根式的性质 (1) ( n a )n ? a . (2)当 n 为奇数时, n an ? a ; 当 n 为偶数时, n a n ?| a |? ? 32.有理指数幂的运算性质

?a, a ? 0 . ??a, a ? 0

ar ? as ? ar ?s (a ? 0, r, s ? Q) . r s rs (2) (a ) ? a (a ? 0, r, s ? Q) . r r r (3) (ab) ? a b (a ? 0, b ? 0, r ? Q) .
(1) 注: 若 a>0,p 是一个无理数,则 a 表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性质, 对于无理数指数幂都适用. 33.指数式与对数式的互化式: loga N ? b ? ab ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) . 34.对数的换底公式 : log a N ? 对数恒等式: a
log a N
p

log m N ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m ? 0 ,且 m ? 1 , N ? 0 ). log m a

? N ( a ? 0 ,且 a ? 1 , N ? 0 ). n n 推论 log a m b ? log a b ( a ? 0 ,且 a ? 1 , N ? 0 ). m
35.对数的四则运算法则:若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则 (1) loga (MN ) ? loga M ? loga N ; (2) log a
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M ? log a M ? log a N ; N
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n log a N (n, m ? R) 。 m 2 36.设函数 f ( x) ? logm (ax2 ? bx ? c)(a ? 0) ,记 ? ? b ? 4ac .若 f (x) 的定义域为 R ,则 a ? 0 且 ? ? 0 ;若 f (x) 的值域为 R ,则 a ? 0 ,且 ? ? 0 。 37. 对数换底不等式及其推广:设 n ? m ? 1, p ? 0 , a ? 0 ,且 a ? 1 ,则 2 m?n (1) logm? p (n ? p) ? logm n . (2) log a m log a n ? log a . 2 38. 平均增长率的问题(负增长时 p ? 0 ) 如果原来产值的基础数为 N, 平均增长率为 p , 则对于时间 x 的总产值 y , y ?N 1 ? ) x . 有 ( p
(3) loga M n ? n loga M (n ? R) ; (4) log am N ?
n

39.数列的通项公式与前 n 项的和的关系: n ? ? a

n ?1 ?s1 , ( 数列 {an } 的前 n 项的和为 ?sn ? sn?1 , n ? 2

sn ? a1 ? a2 ? ?? an ).
40.等差数列的通项公式: an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d (n ? N * ) ;

n(a1 ? an ) n(n ? 1) d 1 ? na1 ? d ? n 2 ? (a1 ? d )n . 2 2 2 2 a n n ?1 * 41.等比数列的通项公式: an ? a1q ? 1 ? q (n ? N ) ; q
其前 n 项和公式为: sn ?

? a1 (1 ? q n ) ? a1 ? an q ,q ?1 ,q ?1 ? ? 其前 n 项的和公式为 sn ? ? 1 ? q 或 sn ? ? 1 ? q . ? na , q ? 1 ?na , q ? 1 ? 1 ? 1 42.等比差数列 ?an ? : an?1 ? qan ? d , a1 ? b(q ? 0) 的通项公式为 ?b ? (n ? 1)d , q ? 1 ? an ? ? bq n ? (d ? b)q n ?1 ? d ; ,q ?1 ? q ?1 ? ?nb ? n(n ? 1)d , (q ? 1) ? 其前 n 项和公式为: sn ? ? . d 1 ? qn d (b ? ) ? n, (q ? 1) ? 1? q q ?1 1? q ?
43.分期付款(按揭贷款) :每次还款 x ? 44.常见三角不等式 (1)若 x ? (0,

ab(1 ? b)n 元(贷款 a 元, n 次还清,每期利率为 b ). (1 ? b)n ? 1

?

2

) ,则 sin x ? x ? tan x .

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(2) 若 x ? (0,

) ,则 1 ? sin x ? cos x ? 2 . 2 (3) | sin x | ? | cos x |? 1 .
45.同角三角函数的基本关系式 : sin ? ? cos ? ? 1 , tan ? =
2 2

?

sin ? , tan ? ? cot? ? 1 . cos ?

46.正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变,符号看象限)
n n ? ? n? (?1) 2 co s ? , ( n为偶数) ?(?1) 2 sin ? , ( n为偶数) n? ? sin( ? ? ) ? ? , co s( ??) ? ? n ?1 n ?1 2 2 ?(?1) 2 co s ? , (n为奇数) ?(?1) 2 sin ? , ( n为奇数) ? ?

47.和角与差角公式

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; tan ? ? tan ? . tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ? sin(? ? ? )sin(? ? ? ) ? sin 2 ? ? sin 2 ? (平方正弦公式);

cos(? ? ? )cos(? ? ? ) ? cos2 ? ? sin 2 ? .
a sin ? ? b cos ? = b 定, tan ? ? ). a

a 2 ? b2 sin(? ? ? ) ( 辅 助 角 ? 所 在 象 限 由 点 (a, b) 的 象 限 决

48.二倍角公式及降幂公式

sin 2? ? sin ? cos ? ?

2 tan ? . 1 ? tan 2 ?

cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ? ?
2 tan ? . 1 ? tan 2 ? 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? sin 2 ? ? , cos 2 ? ? 2 2 sin 2? 1 ? cos 2? tan ? ? ? 1 ? cos 2? sin 2? tan 2? ?
49. 三倍角公式

1 ? tan 2 ? . 1 ? tan 2 ?

sin 3? ? 3sin ? ? 4sin 3 ? ? 4sin ? sin( ? ? ) sin( ? ? ) . 3 3 cos 3? ? 4 cos3 ? ? 3cos ? ? 4 cos ? cos( ? ? ) cos( ? ? ) 3 3

?

?

?

?

.

tan 3? ?

3tan ? ? tan 3 ? ? ? ? tan ? tan( ? ? ) tan( ? ? ) . 2 1 ? 3tan ? 3 3
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50.三角函数的周期公式 函数 y ? sin(? x ? ? ) ,x∈R 及函数 y ? cos(? x ? ? ) ,x∈R(A,ω , ? 为常数,且 A≠0)的周 期T ?

? 2? ;函数 y ? tan( x ? ? ), x ? k? ? , k ? Z (A,ω , ? 为常数,且 A≠0)的周期 ? 2 |? |

T?

? . |? |
三角函数的图像: y

y=sinx


1

y=cosx
π 3π/2 2π

y
1

-π/2 -2π -3π/2

o
-1

π/2

x

-2π -3π/2



-π/2

o
-1

π/2

π

3π/2



x

? x ?? x
y

五点法作图列表: 0

π /2

π

3π /2



51.正弦定理 :

a b c ? ? ? 2 R (R 为 ?ABC 外接圆的半径). sin A sin B sin C ? a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C ? a : b : c ? sin A : sin B : sin C

52.余弦定理

a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ; b2 ? c2 ? a2 ? 2ca cos B ; c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C .
53.面积定理

1 1 1 aha ? bhb ? chc ( ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 边上的高). 2 2 2 1 1 1 (2) S ? ab sin C ? bc sin A ? ca sin B . 2 2 2 ??? ??? 2 ??? ??? 2 ? ? ? ? 1 (| OA | ? | OB |) ? (OA ? OB ) . (3) S ?OAB ? 2 a ? b-c斜边 2S? r?内切圆 ? , r直角?内切圆 ? a?b?c 2
(1) S ? 54.三角形内角和定理 在△ABC 中,有 A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B)

?

C ? A? B ? ? ? 2C ? 2? ? 2( A ? B) . 2 2 2

55. 简单的三角方程的通解

sin x ? a ? x ? k? ? (?1)k arcsin a(k ? Z ,| a |? 1) . co s x ? a ? x ? 2k? ? arccos a(k ? Z ,| a |? 1) . tan x ? a ? x ? k? ? arctan a(k ? Z , a ? R) .
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特别地,有

sin ? ? sin ? ? ? ? k? ? (?1)k ? (k ? Z ) . co s ? ? cos ? ? ? ? 2k? ? ? (k ? Z ) . tan ? ? tan ? ? ? ? k? ? ? (k ? Z ) .
56.最简单的三角不等式及其解集

sin x ? a(| a |? 1) ? x ? (2k? ? arcsin a, 2k? ? ? ? arcsin a), k ? Z . sin x ? a(| a |? 1) ? x ? (2k? ? ? ? arcsin a, 2k? ? arcsin a), k ? Z . cos x ? a(| a |? 1) ? x ? (2k? ? arccos a, 2k? ? arccos a), k ? Z . cos x ? a(| a |? 1) ? x ? (2k? ? arccos a, 2k? ? 2? ? arccos a), k ? Z .
tan x ? a(a ? R) ? x ? (k? ? arctan a, k? ? ), k ? Z . 2 tan x ? a(a ? R) ? x ? (k? ?

?

?

2

, k? ? arctan a), k ? Z .

57.实数与向量的积的运算律:设λ 、μ 为实数,那么 ? ? (1) 结合律:λ (μ a )=(λ μ ) a ; ? ? ? (2)第一分配律:(λ +μ ) a =λ a +μ a ; (3)第二分配律:λ ( a + b )=λ a +λ b . 58.向量的数量积的运算律: (1) a · b = b · a (交换律);

? ?

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2)( ? a ) b = ? ( a · b )= ? a · b = a · ? b ); · ( ? ? ? ? ? ? ? (3)( a + b ) c = a · c + b · c . ·
?
59.平面向量基本定理 ? ? 如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有 一对实数λ 1、λ 2,使得 a =λ 1 e1 +λ 2 e2 . 不共线的向量 e1 、 e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 三点 A、B、C 共线的充要条件: MC ? ? MA ? (1 ? ? )MB (M 为任意点) 60.向量平行的坐标表示

?

?

?

?

?

?

???? ?

??? ?

????

设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0 ,则 a ? b ( b ? 0 ) ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 . 53. a 与 b 的数量积(或内积): a · b =| a || b | cos ? 。

?

?

?

?

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? 61. a · b 的几何意义: ? ? ? ? ? ? ? 数量积 a · b 等于 a 的长度| a |与 b 在 a 的方向上的投影| b | cos ? 的乘积. ? ? ? ? ? a ?b 向量 b 在向量 a 上的投影:| b | cos ? = ? . |a|

62.平面向量的坐标运算

(1)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a + b = ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) .
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?

?

? ?

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(2)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a - b = ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . (3)设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则 AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1, y2 ? y1 ) . (4)设 a = ( x, y ), ? ? R ,则 ? a = (? x, ? y ) .

?

?

? ?

??? ??? ??? ? ? ?
?

? ?

?

(5)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a · b = ( x1 x2 ? y1 y2 ) . 63.两向量的夹角公式

?

?

? ? a ?b cos ? ? ? ? ? | a |?|b |

x1 x2 ? y1 y2
2 2 x12 ? y12 ? x2 ? y2

( a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ).

?

?

64.平面两点间的距离公式

??? ? ??? ??? ? ? d A, B = | AB |? AB ? AB ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 (A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ). ? ? ? ? 65.向量的平行与垂直 :设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0 ,则 ? ? ? ? a || b ? b =λ a ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 . ? ? ? ? ? ? a ? b ( a ? 0 ) ? a · b =0 ? x 1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 66.线段的定比分公式 :设 P ( x1 , y1 ) , P ( x2 , y2 ) , P( x, y) 是线段 PP 的分点, ? 是实数, 1 2 1 2

? x1 ? ? x2 ???? ???? ?x ? 1? ? ??? ? ???? ??? ??? ? ? ???? ??? OP ? ? OP ? 1 ? 2 且 PP ? ? PP ,则 ? ). ? OP ? 1 ? OP ? tOP ? (1? t )OP ( t ? 1 2 1 2 1? ? 1? ? ? y ? y1 ? ? y2 ? 1? ? ?
67.三角形的重心坐标公式 △ABC 三个顶点的坐标分别为 A(x1 ,y1 )、 B(x2 ,y2 )、 C(x3 ,y3 ),则△ABC 的重心的坐标是

G(

x1 ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 , ). 3 3
68.点的平移公式

???? ??? ???? ? ? x' ? x ? h ? x ? x' ? h ? ? ?? ? OP' ? OP ? PP' . ? ' ' ?y ? y ? k ?y ? y ? k ? ?
'

注:图形 F 上的任意一点 P(x, y)在平移后图形 F 上的对应点为 P ( x , y ) , PP 的坐标为 且

'

'

'

????
'

( h, k ) .
69.“按向量平移”的几个结论 (1)点 P( x, y) 按向量 a = ( h, k ) 平移后得到点 P ( x ? h, y ? k ) .
'

?

(2) 函数 y ? f ( x) 的图象 C 按向量 a = ( h, k ) 平移后得到图象 C ,则 C 的函数解析式为
' '

?

y ? f ( x ? h) ? k .
'

(3) 图象 C 按向量 a = ( h, k ) 平移后得到图象 C ,若 C 的解析式 y ? f ( x) ,则 C 的函数解析
'

?

式为 y ? f ( x ? h) ? k .

' ' (4) 曲 线 C : f ( x, y) ? 0 按 向 量 a = ( h, k ) 平 移 后 得 到 图 象 C , 则 C 的 方 程 为

?

f ( x ? h, y ? k ) ? 0 .
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(5) 向量 m = ( x, y ) 按向量 a = ( h, k ) 平移后得到的向量仍然为 m = ( x, y ) . 70. 三角形五“心”向量形式的充要条件 设 O 为 ?ABC 所在平面上一点,角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c ,则

?

?

?

??? 2 ??? 2 ??? 2 ? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? ? (2) O 为 ?ABC 的重心 ? OA ? OB ? OC ? 0 . ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? (3) O 为 ?ABC 的垂心 ? OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA . ??? ? ??? ? ??? ? ? (4) O 为 ?ABC 的内心 ? aOA ? bOB ? cOC ? 0 . ??? ? ??? ? ??? ? (5) O 为 ?ABC 的 ? A 的旁心 ? aOA ? bOB ? cOC .
(1) O 为 ?ABC 的外心 ? OA ? OB ? OC . 71.常用不等式:
2 2

(1) a, b ? R ? a ? b ? 2ab (当且仅当 a=b 时取“=”号).

a?b ? ab (当且仅当 a=b 时取“=”号). 2 3 3 3 (3) a ? b ? c ? 3abc(a ? 0, b ? 0, c ? 0).
(2) a, b ? R ? ? (4)柯西不等式: (a ? b )(c ? d ) ? (ac ? bd ) , a, b, c, d ? R.
2 2 2 2 2

(5) a ? b ? a ? b ? a ? b .

2ab a?b a 2 ? b2 (当且仅当 a=b 时取“=”号)。 ? ab ? ? a?b 2 2 72.极值定理:已知 x, y 都是正数,则有
(6) (1)若积 xy 是定值 p ,则当 x ? y 时和 x ? y 有最小值 2 p ; (2)若和 x ? y 是定值 s ,则当 x ? y 时积 xy 有最大值 (3)已知 a, b, x, y ? R? ,若 ax ? by ? 1则有

1 2 s . 4

1 1 1 1 by ax ? ? (ax ? by )( ? ) ? a ? b ? ? ? a ? b ? 2 ab ? ( a ? b ) 2 。 x y x y x y a b ? (4)已知 a, b, x, y ? R ,若 ? ? 1 则有 x y a b ay bx x ? y ? ( x ? y )( ? ) ? a ? b ? ? ? a ? b ? 2 ab ? ( a ? b )2 x y x y 2 2 73. 一 元 二 次 不 等 式 ax ? bx ? c ? 0(或 ? 0) (a ? 0, ? ? b ? 4ac ? 0) , 如 果 a 与 ax 2 ? bx ? c 同号,则其解集在两根之外;如果 a 与 ax 2 ? bx ? c 异号,则其解集在两根之间.简
言之:同号两根之外,异号两根之间.

x1 ? x ? x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0( x1 ? x2 ) ; x ? x1 , 或x ? x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0( x1 ? x2 ) .
74.含有绝对值的不等式 :当 a> 0 时,有

x ? a ? x2 ? a2 ? ?a ? x ? a .
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x ? a ? x2 ? a2 ? x ? a 或 x ? ?a .
75.无理不等式 (1)

(2)

(3)

? f ( x) ? 0 ? . f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) ? 0 ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? . ?? 或? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 或? 2 ? f ( x) ? [ g ( x)] ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ? g ( x) ? 0 ? ? f ( x) ? 0 ? . f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ?
? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 . ? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?

76.指数不等式与对数不等式 (1)当 a ? 1 时,

a

f ( x)

?a

g ( x)

? f ( x) ? g ( x) ;

(2)当 0 ? a ? 1 时,

a

f ( x)

?a

g ( x)

? f ( x) ? g ( x) ;

77.斜率公式

k?

y2 ? y1 ( P ( x1 , y1 ) 、 P ( x2 , y2 ) ). 1 2 x2 ? x1

78.直线的五种方程 (1)点斜式 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P ( x1 , y1 ) ,且斜率为 k ). 1 (2)斜截式 y ? kx ? b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距).

y ? y1 x ? x1 ( y1 ? y2 )( P ( x1 , y1 ) 、 P ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )). ? 1 2 y2 ? y1 x2 ? x1 两点式的推广: ( x2 ? x1 )( y ? y1 ) ? ( y2 ? y1 )( x ? x1 ) ? 0 (无任何限制条件! ) x y ? ? 1 ( a、 b 分别为直线的横、纵截距, a ? 0、b ? 0 ) (4)截距式 a b (5)一般式 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0). ? ? 直线 Ax ? By ? C ? 0 的法向量: l ? ? ( A, B) ,方向向量: l ? ( B, ? A)
(3)两点式 79.两条直线的平行和垂直 (1)若 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2
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① l1 || l2 ? k1 ? k2 , b1 ? b2 ; ① l1 || l2 ? 80.夹角公式

(2)若 l1 : A x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 ,且 A1、A2、B1、B2 都不为零, 1

② l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1 .

A1 B1 C1 ;② ? ? l1 ? l2 ? A1 A2 ? B1B2 ? 0 ; A2 B2 C2

k2 ? k1 | . ( l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 , k1k2 ? ?1) 1 ? k2 k1 A B ? A2 B1 (2) tan ? ?| 1 2 | .( l1 : A1x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 , A1 A2 ? B1B2 ? 0 ). A1 A2 ? B1 B2 ? 直线 l1 ? l2 时,直线 l1 与 l2 的夹角是 . 2 81. l1 到 l2 的角公式 k ? k1 (1) tan ? ? 2 .( l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 , k1k2 ? ?1) 1 ? k2 k1 A B ? A2 B1 (2) tan ? ? 1 2 .( l1 : A x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 , A A2 ? B1B2 ? 0 ). 1 1 A1 A2 ? B1B2 ? 直线 l1 ? l2 时,直线 l1 到 l2 的角是 . 2
(1) tan ? ?| 82.四种常用直线系方程及直线系与给定的线段相交: (1)定 点直 线 系方 程:经 过 定点 P ( x0 , y0 ) 的 直 线系 方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ( 除直 线 0

x ? x0 ),其中 k 是待定的系数; 经过定点 P ( x0 , y0 ) 的直线系方程为 A( x ? x0 ) ? B( y ? y0 ) ? 0 , 0 其中 A, B 是待定的系数. (2)共点直线系方程: 经过两直线 l1 : A x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 的交点的直 1 线系方程为 ( A x ? B1 y ? C1 ) ? ? ( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 (除 l2 ),其中λ 是待定的系数. 1 (3)平行直线系方程:直线 y ? kx ? b 中当斜率 k 一定而 b 变动时,表示平行直线系方 程.与直线 Ax ? By ? C ? 0 平行的直线系方程是 Ax ? By ? ? ? 0 ( ? ? 0 ),λ 是参变量. (4)垂直直线系方程:与直线 Ax ? By ? C ? 0 (A≠0,B≠0)垂直的直线系方程是 Bx ? Ay ? ? ? 0 ,λ 是参变量. (5)直线系 F ( x, y, ? ) ? 0 与线段 AB, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 相交 ? F ( x1, y1, ? ) ? F ( x2 , y2 , ? ) ? 0 。 ⑹到定点 P ( x0 , y0 ) 距离为 r 的直线系方程: x cos? ? y sin ? ? r ? x0 cos? ? y0 sin ? ? 0 0 ? 是待定的系数) (其中 .
83.点到直线的距离 : d ?

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

(点 P( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ).

84. Ax ? By ? C ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域 设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,则 Ax ? By ? C ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域是:
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若 B ? 0 ,当 B 与 Ax ? By ? C 同号时,表示直线 l 的上方的区域;当 B 与 Ax ? By ? C 异 号时,表示直线 l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下. 若 B ? 0 ,当 A 与 Ax ? By ? C 同号时,表示直线 l 的右方的区域;当 A 与 Ax ? By ? C 异 号时,表示直线 l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左。 85. ( A x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域 1

( A1x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域是两直线 A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 和 。 A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 所成的对顶角区域(上下或左右两部分)
86. 圆的四种方程 (1)圆的标准方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 . (2)圆的一般方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D ? E ? 4 F >0).
2 2

? x ? a ? r cos? . ? y ? b ? r sin ? (4) 圆的直径式方程 ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1)( y ? y2 ) ? 0 (圆的直径的端点是 A( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) ). B
(3)圆的参数方程 ? 87. 圆系方程 (1)过点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 的圆系方程是

( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? ?[( x ? x1 )( y1 ? y2 ) ? ( y ? y1 )( x1 ? x2 )] ? 0 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? ?(ax ? by ? c) ? 0 , 其 中 ax ? by? c ?0 是 直 线 AB 的
方程,λ 是待定的系数. (2)过直线 l : Ax ? By ? C ? 0 与圆 C : x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的交点的圆系方程是

x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? ? ( Ax ? By ? C) ? 0 ,λ 是待定的系数. (3) 过圆 C1 : x2 ? y2 ? D1x ? E1 y ? F ? 0 与圆 C2 : x2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 的交点的 1
圆系方程是 x2 ? y 2 ? D1x ? E1 y ? F ? ? ( x2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ) ? 0 ,λ 是待定的系数. 1 特别地,当 ? ? ?1 时, x2 ? y 2 ? D1x ? E1 y ? F ? ? ( x2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ) ? 0 就是 1

( D1 ? D2 ) x ? ( E1 ? E2 ) y ? ( F1 ? F2 ) ? 0 表示:
①当两圆相交时,为公共弦所在的直线方程; ②向两圆所引切线长相等的点的轨迹(直线)方程,有的称这条直线为根轴; 88.点与圆的位置关系:点 P( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的位置关系有三种
2 2 2

若d ?

(a ? x0 )2 ? (b ? y0 )2 ,则 d ? r ? 点 P 在圆外; d ? r ? 点 P 在圆上; d ? r ? 点

P 在圆内.
89.直线与圆的位置关系
2 2 2 直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的位置关系有三种( d ?

Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

):

d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相交 ? ? ? 0 .
90.两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, O1O2 ? d

d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4条公切线;
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d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3条公切线;

r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2条公切线; d ? r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线; 0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线.
91.圆的切线方程及切线长公式 (1)已知圆 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 .

内含

内切 r2-r1

相交

外切 相离 r1+r2

o

d

d

d

d

①若已知切点 ( x0 , y0 ) 在圆上,则切线只有一条,其方程是

D( x0 ? x) E ( y0 ? y ) ? ? F ? 0. 2 2 D( x0 ? x) E ( y0 ? y ) ? ? F ? 0 表示过两个切点的切 当 ( x0 , y0 ) 圆外时, x0 x ? y0 y ? 2 2 x0 x ? y0 y ?
点弦方程.求切点弦方程,还可以通过连心线为直径的圆与原圆的公共弦确定。 ②过圆外一点的切线方程可设为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,再利用相切条件求 k,这时必有两 条切线,注意不要漏掉平行于 y 轴的切线. ③斜率为 k 的切线方程可设为 y ? kx ? b ,再利用相切条件求 b,必有两条切线. (2)已知圆 x2 ? y 2 ? r 2 . ①过圆上的 P ( x0 , y0 ) 点的切线方程为 x0 x ? y0 y ? r 2 ; 0 ②斜率为 k 的圆的切线方程为 y ? kx ? r 1 ? k 2 .
2 2 (3) 过圆 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 外一点 ( x0 , y0 ) 的切线长为 l ? x0 ? y0 ? Dx0 ? Ey0 ? F
2 2

92.椭圆

? x ? a cos? x2 y 2 c b2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程是 ? . 离心率 e ? ? 1 ? 2 , a2 b a a ? y ? b sin ?

a2 b2 ,焦点到对应准线的距离(焦准距) p ? 。 c c b2 过焦点且垂直于长轴的弦叫通经,其长度为: 2? . a 2 2 x y 93.椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积 a b ?F PF a2 a2 PF1 ? e( x ? ) ? a ? ex , PF2 ? e( ? x) ? a ? ex ; S?F1PF2 ? c | yP |? b 2 tan 1 。 2 c c
准线到中心的距离为 94.椭圆的的内外部

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的内部 ? a 2 b2 x2 y 2 (2)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的外部 ? a b
(1)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 95. 椭圆的切线方程
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2 2 x0 y0 ? 2 ?1. a2 b 2 2 x0 y0 ? ?1. a 2 b2

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xx y y x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 ? 02 ? 1 . 2 a b a b 2 2 xx y y x y (2)过椭圆 2 ? 2 ? 1 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 02 ? 02 ? 1 . a b a b 2 2 x y 2 2 2 2 2 (3)椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是 A a ? B b ? c . a b
(1)椭圆

x2 y 2 c b2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率 e ? ? 1 ? 2 ,准线到中心的距离为 a2 b a a 2 2 a b ,焦点到对应准线的距离(焦准距) p ? 。 c c b2 过焦点且垂直于实轴的弦叫通经,其长度为: 2? . a
96.双曲线

a2 a2 ) |?| a ? ex | , PF2 ?| e( ? x) |?| a ? ex | , c c ?F1 PF 2 两焦半径与焦距构成三角形的面积 S ?F1PF2 ? b cot 。 2
焦半径公式 PF1 ?| e( x ? 97.双曲线的内外部

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的内部 ? a 2 b2 x2 y 2 (2)点 P( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的外部 ? a b
(1)点 P( x0 , y0 ) 在双曲线 98.双曲线的方程与渐近线方程的关系

2 2 x0 y0 ? 2 ?1. a2 b 2 2 x0 y0 ? 2 ?1. a2 b

x2 y2 x2 y 2 b (1)若双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 ? 渐近线方程: 2 ? 2 ? 0 ? y ? ? x . a a b a b 2 2 x y x y b (2)若渐近线方程为 y ? ? x ? ? ? 0 ? 双曲线可设为 2 ? 2 ? ? . a b a a b 2 2 2 2 x y x y (3)若双曲线与 2 ? 2 ? 1 有公共渐近线,可设为 2 ? 2 ? ? a b a b ( ? ? 0 ,焦点在 x 轴上, ? ? 0 ,焦点在 y 轴上). (4) 焦点到渐近线的距离总是 b 。
99. 双曲线的切线方程

xx y y x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 ? 02 ? 1 . 2 a b a b 2 2 xx y y x y (2)过双曲线 2 ? 2 ? 1 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 02 ? 02 ? 1 . a b a b
(1)双曲线

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x2 y 2 ? 2 ? 1 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是 A2 a 2 ? B2b2 ? c2 . 2 a b 100. 抛物线 y 2 ? 2 px 的焦半径公式 p 抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 焦半径 CF ? x0 ? . 2 p CF ? (其中θ 为 x 轴的正向绕焦点按逆时针方向旋转到 FC 的角) 1 ? cos ? p p 过焦点弦长 CD ? x1 ? ? x 2 ? ? x1 ? x 2 ? p . 2 2 2p CD ? (其中α 为倾斜角) sin 2 ? 2 y? 2 101. 抛 物 线 y ? 2 px 上 的 动 点 可 设 为 P ( , y? ) 或 P(2 pt 2 , 2 pt ) P ( x? , y? ) , 其 中 2p y?2 ? 2 px? .
(3)双曲线

b 2 4ac ? b2 ) ? (a ? 0) 的图象是抛物线: 2a 4a b 4ac ? b2 b 4ac ? b 2 ? 1 , ); , ); (1)顶点坐标为 (? (2)焦点的坐标为 (? 2a 4a 2a 4a 4ac ? b 2 ? 1 (3)准线方程是 y ? . 4a
102.二次函数 y ? ax ? bx ? c ? a( x ?
2

103.以抛物线上的点为圆心, 焦半径为半径的圆必与准线相切; 以抛物线焦点弦为直径的圆, 必与准线相切;以抛物线的半径为直径径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。 104. 抛物线的切线方程 (1)抛物线 y ? 2 px 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 y0 y ? p( x ? x0 ) .
2

(2)过抛物线 y ? 2 px 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 y0 y ? p( x ? x0 ) .
2

(3)抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是 pB ? 2 AC . 105.两个常见的曲线系方程 (1)过曲线 f1 ( x, y) ? 0 , f2 ( x, y) ? 0 的交点的曲线系方程是 f1 ( x, y) ? ? f 2 ( x, y) ? 0 ( ? 为参数).
2 2

x2 y2 ? 2 ? 1 ,其中 k ? max{a2 , b2} . 2 a ?k b ?k 2 2 2 2 2 2 当 k ? min{a , b } 时,表示椭圆; 当 min{a , b } ? k ? max{a , b } 时,表示双曲线.
(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程 106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB ?

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 或

AB ? (1 ? k 2 )[( x2 ? x1 )2 ? 4 x2 ? x1 ] ?| x1 ? x2 | 1 ? tan 2 ? ?| y1 ? y2 | 1 ? co t 2 ?
( 弦 端点 A ( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , 由 方程 ?

?y ? kx ? b 2 消 去 y 得 到 ax ? bx ? c ? 0 , ?F( x, y) ? 0
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? ? 0 , ? 为直线 AB 的倾斜角, k 为直线的斜率, | x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ).
107.圆锥曲线的两类对称问题 (1)曲线 F ( x, y) ? 0 关于点 P( x0 , y0 ) 成中心对称的曲线是 F (2 x0 -x, 2 y0 ? y) ? 0 . (2)曲线 F ( x, y) ? 0 关于直线 Ax ? By ? C ? 0 成轴对称的曲线是

2 A( Ax ? By ? C ) 2 B( Ax ? By ? C ) ,y? )?0. 2 2 A ?B A2 ? B 2 特别地,曲线 F ( x, y) ? 0 关于原点 O 成中心对称的曲线是 F (? x, ? y ) ? 0 . 曲线 F ( x, y) ? 0 关于直线 x 轴对称的曲线是 F ( x, ? y ) ? 0 . 曲线 F ( x, y) ? 0 关于直线 y 轴对称的曲线是 F (? x, y ) ? 0 . 曲线 F ( x, y) ? 0 关于直线 y ? x 轴对称的曲线是 F ( y, x) ? 0 . 曲线 F ( x, y) ? 0 关于直线 y ? ? x 轴对称的曲线是 F (? y, ? x) ? 0 . 108.圆锥曲线的第二定义:动点 M 到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离之比为常数 e ,若 0 ? e ? 1 ,M 的轨迹为椭圆;若 e ? 1 ,M 的轨迹为抛物线;若 e ? 1 ,M 的轨迹为双曲线。 F (x ?
109.证明直线与直线的平行的思考途径 (1)转化为判定共面二直线无交点; (2)转化为二直线同与第三条直线平行; (3)转化为线面平行; (4)转化为线面垂直; (5)转化为面面平行. 110.证明直线与平面的平行的思考途径 (1)转化为直线与平面无公共点; (2)转化为线线平行; (3)转化为面面平行. 111.证明平面与平面平行的思考途径 (1)转化为判定二平面无公共点; (2)转化为线面平行; (3)转化为线面垂直. 112.证明直线与直线的垂直的思考途径 (1)转化为相交垂直; (2)转化为线面垂直; (3)转化为线与另一线的射影垂直; (4)转化为线与形成射影的斜线垂直. 113.证明直线与平面垂直的思考途径 (1)转化为该直线与平面内任一直线垂直; (2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直; (3)转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4)转化为该直线垂直于另一个平行平面。 114.证明平面与平面的垂直的思考途径 (1)转化为判断二面角是直二面角; (2)转化为线面垂直; (3) 转化为两平面的法向量平行。
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115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律: a + b = b + a .

? ? ? ? ? ? ? ? ? (2)加法结合律:( a + b )+ c = a +( b + c ). ? ? ? ? (3)数乘分配律:λ ( a + b )=λ a +λ b .
?
116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和, 等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公 共始点为始点的对角线所表示的向量. 117.共线向量定理 对空间任意两个向量 a 、 b ( b ≠ 0 ), a ∥ b ? 存在实数λ 使 a =λ b .

? ? ? ??? ??? ? ? ??? ? ??? ??? ? ? P、A、B 三点共线 ? AP || AB ? AP ? t AB ? OP ? (1 ? t )OA ? tOB . ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? AB || CD ? AB 、 CD 共线且 AB、CD 不共线 ? AB ? tCD 且 AB、CD 不共线.
?

?

?

?

?

? ? ? ???? ???? ???? 推论 空间一点 P 位于平面 MAB 内的 ? 存在有序实数对 x, y ,使 MP ? xMA ? yMB , ??? ???? ? ? ???? ???? 或对空间任一定点 O,有序实数对 x, y ,使 OP ? OM ? xMA ? yMB . ? ? ?? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? 119. 对 空 间 任 一 点 O 和 不 共 线 的 三 点 A 、 B 、 C , 满 足 O P? x O A y O ? z O C ? B (x? y?z ?k) ,则当 k ? 1 时,对于空间任一点 O ,总有 P、A、B、C 四点共面;当 k ? 1 时, 若 O ? 平面 ABC,则 P、A、B、C 四点共面;若 O ? 平面 ABC,则 P、A、B、C 四点不共面. ? ???? ??? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? A、B、 、D 四点共面 ? AD 与 AB 、 AC 共面 ? AD ? xAB ? yAC ? C ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OD ? (1 ? x ? y)OA ? xOB ? yOC ( O ? 平面 ABC).
向量 p 与两个不共线的向量 a 、 b 共面的 ? 存在实数对 x, y ,使 p ? xa ? yb .

118.共面向量定理

?

?

?

? ? ? ? ? y,z,使 p =x a +y b +z c .

120.空间向量基本定理

如果三个向量 a 、 b 、 c 不共面,那么对空间任一向量 b ,存在一个唯一的有序实数组 x, 推论 设 O、A、B、C 是不共面的四点,则对空间任一点 P,都存在唯一的三个有序实数 x,

?

?

?

y,z,使 OP ? xOA ? yOB ? zOC . 121.射影公式 已知向量 AB = a 和轴 l , e 是 l 上与 l 同方向的单位向量.作 A 点在 l 上的射影 A? ,作 B 点在 l 上的射影 B? ,则

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ?

?

??? ? ? ? ? ? A?B? ?| AB | cos ? a, e ?? a ? e
?

122.向量的直角坐标运算 设 a = (a1 , a2 , a3 ) , b = (b1 , b2 , b3 ) 则 (1) a + b = (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; (2) a - b = (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; (3)λ a = (?a1 , ?a2 , ?a3 ) (λ ∈R); (4) a · b = a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ;
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?

? ? ?

?
?

?

?

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123.设 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则 124.空间的线线平行或垂直

??? ??? ??? ? ? ? AB ? OB ? OA = ( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 ) .

设 a ? ( x1 , y1 , z1 ) , b ? ( x2 , y2 , z2 ) ,则

r

r

? x1 ? ? x2 r r r r r r ? a Pb ? a ? ?b(b ? 0) ? ? y1 ? ? y2 ; ?z ? ? z 2 ? 1 r r r r a ? b ? a ? b ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 ? 0 .
125.夹角公式 设 a = (a1 , a2 , a3 ) , b = (b1 , b2 , b3 ) ,则 cos ? a, b ??

?

?

? ?

a1b1 ? a2b2 ? a3b3
2 2 2 a12 ? a2 ? a3 b12 ? b2 ? b32

.

2 2 2 2 2 推论 (a1b1 ? a2b2 ? a3b3 )2 ? (a1 ? a2 ? a3 )(b12 ? b2 ? b3 ) ,此即三维柯西不等式.

126. 正棱锥的侧面与底面所成的角为 ? ,则 cos ? ?

S底面 。 S侧面
1 。 3

特别地,对于正四面体每两个面所成的角为 ? ,有 cos ? ? 127.异面直线所成角

x12 ? y12 ? z12 ? x2 2 ? y2 2 ? z2 2 r r o o b b (其中 ? ( 0 ? ? ? 90 )为异面直线 a, 所成角, a, b 分别表示异面直线 a, 的方向向量) 128.直线 AB 与平面所成角 ??? ?? ? AB ? m ?? ? ? ? arc sin ??? ?? ( m 为平面 ? 的法向量). | AB || m | 129.若 ?ABC 所在平面 ? 与过若 AB 的平面 ? 成的角 ? ,另两边 AC , BC 与平面 ? 成的 角分别是 ?1 、 ?2 , A、B 为 ?ABC 的两个内角,则

r r r r | a ?b | cos? ?| cos a, b | = r r ? | a |?|b |

| x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 |

sin2 ?1 ? sin2 ?2 ? (sin2 A ? sin2 B)sin2 ? .
特别地,当 ?ACB ? 90 时,有 sin2 ?1 ? sin2 ?2 ? sin2 ? .
?

130.若 ?ABC 所在平面 ? 与过 AB 的平面 ? 成的角 ? ,另两边 AC , BC 与平面 ? 成的角分 别是 ?1 、 ?2 , A 、B 为 ?ABO 的两个内角,则
' '

tan2 ?1 ? tan2 ?2 ? (sin2 A' ? sin2 B' ) tan2 ? .
特别地,当 ?AOB ? 90 时,有 sin
?

2

131.二面角 ? ? l ? ? 的平面角(根据具体图形确定是锐角或是钝角)

?1 ? sin2 ?2 ? sin2 ? .

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?? ? ?? ? ?? ? m? n m? n ? ? arc cos ?? ? 或 ? ? arc cos ?? ? ( m , n 为平面 ? , ? 的法向量). | m || n | | m || n |
132.三余弦定理 设 AC 是α 内的任一条直线,AD 是α 的一条斜线 AB 在α 内的射影, BD⊥AD, 且 垂足为 D, AB 与α (AD)所成的角为 ? 1 , 设 AD 与 AC 所成的角为 ? 2 , AB 与 AC 所成的角为 ? .则

B A ?
?1 ?2 ?

D C

cos? ? cos?1 cos? 2 .

133. 三射线定理 若夹在平面角为 ? 的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是 ? 1 , ? 2 ,与二面角的 棱所成的角是θ ,则有 sin2 ? sin2 ? ? sin2 ?1 ? sin2 ?2 ? 2sin?1 sin?2 cos? ;

| ?1 ??2 |? ? ? 180? ? (?1 ??2 ) (当且仅当 ? ? 90? 时等号成立).
134.空间两点间的距离公式 若 A ( x1 , y1 , z1 ) , ( x2 , y2 , z2 ) , d A, B = | AB |? AB ? AB ? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) ? ( z2 ? z1 ) . B 则
2 2 2

??? ?

??? ??? ? ?

135.点 Q 到直线 l 距离

? ? ??? 1 ? ? ? ? ? h ? ? (| a || b |)2 ? (a ? b ) 2 (点 P 在直线 l 上, a 为直线 l 的方向向量, b = PQ ). |a|
136.异面直线间的距离

??? ?? ? ? ? | CD ? n | ? ( l1 , l2 是两异面直线,其公垂向量为 n ,C、D 分别是 l1 , l2 上任一点,d 为 l1 , l2 d? |n|
??? ?? ? ? | AB ? n | ? ? ( n 为平面 ? 的法向量, A ? ? , AB 是 ? 的一条斜线段). d? |n|

间的距离). 137.点 B 到平面 ? 的距离

138.异面直线上两点距离公式

d ? h2 ? m2 ? n2 ? 2mn cos? . ???? ??? ? d ? h 2 ? m 2 ? n 2 ? 2mn cos EA' , AF .
d ? h 2 ? m 2 ? n 2 ? 2mn cos ? ( ? ? E ? AA' ? F ).
(两条异面直线 a、b 所成的角为θ ,其公垂线段 AA 的长度为 h.在直线 a、b 上分别取两点 E、 F, A E ? m , AF ? n , EF ? d ). 139.三个向量和的平方公式
'
'

? ? ? ? 2 ? 2 ?2 ? ? ? ? ? ? (a ? b ? c)2 ? a ? b ? c ? 2a ? b ? 2b ? c ? 2c ? a ? 2 ? 2 ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? c ? 2 | a | ? | b | cos a, b ? 2 | b | ? | c | cos b, c ? 2 | c | ? | a | cos c, a

140. 长度为 l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为 l1、l2、l3 ,夹角分别为
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?1、? 2、?3 ,则有 l 2 ? l12 ? l22 ? l32 ? cos2 ?1 ? cos2 ?2 ? cos2 ?3 ? 1 ? sin2 ?1 ? sin2 ?2 ? sin2 ?3 ? 2 .
(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例). 141. 面积射影定理 S ?

S' . cos?
'

(平面多边形及其射影的面积分别是 S 、 S ,它们所在平面所成锐二面角的为 ? ). 142. 斜棱柱的直截面 已知斜棱柱的侧棱长是 l ,侧面积和体积分别是 S斜棱柱侧 和 V斜棱柱 ,它的直截面的周长和面积 分别是 c1 和 S1 ,则① S斜棱柱侧 ? c1l ;② V斜棱柱 ? S1l 。 143.作截面的依据 三个平面两两相交,有三条交线,则这三条交线交于一点或互相平行. 144.棱锥的平行截面的性质 如果棱锥被平行于底面的平面所截, 那么所得的截面与底面相似, 截面面积与底面面积的比 等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比 (对应角相等, 对应边对应成比例的多边形是相似多边形, 相似多边形面积的比等于对应边的比的平方) ;相应小棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于顶点 到截面距离与棱锥高的立方比; 相应小棱锥的的侧面积与原棱锥的的侧面积的比等于顶点到截面 距离与棱锥高的平方比. 145.欧拉定理(欧拉公式) V ? F ? E ? 2 (简单多面体的顶点数 V、棱数 E 和面数 F). (1) E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为 n 的多边形,则面数 F 与棱 数 E 的关系: E ?

1 nF ; 2 1 mV . 2

(2)若每个顶点引出的棱数为 m ,则顶点数 V 与棱数 E 的关系: E ? 146.球的半径是 R,则其体积 V ?

4 ? R 3 ,其表面积 S ? 4? R2 . 3

147.球的组合体 (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是 正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体: 棱长为 a 的正四面体的内切球的半径为

6 a (正四面体高 12

1 3 6 6 6 a 的 ),外接球的半径为 a (正四面体高 a 的 ). 4 4 3 4 3
148.柱体、锥体的体积

1 V柱体 ? Sh ( S 是柱体的底面积、 h 是柱体的高). 3 1 V锥体 ? Sh ( S 是锥体的底面积、 h 是锥体的高). 3 149.分类计数原理(加法原理) N ? m1 ? m2 ? ? ? mn . :
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150.分步计数原理(乘法原理) N ? m1 ? m2 ??? mn . :

n! .( n , ∈N , m ? n ). 规定 0! ? 1 . m * 且 (n ? m)! n m m m m An ?1 ; 152.排列恒等式 :(1) An ? (n ? m ? 1) An ?1 ;(2) An ? n?m n n?1 n m m m m m (3) An ? nAn??1 ; (4) nAn ? An?1 ? An ; (5) An?1 ? An ? mAn ?1 . 1 (6) 1!? 2 ? 2!? 3 ? 3!? ? ? n ? n! ? (n ? 1)!? 1 .
m 151.排列数公式 :An = n(n ? 1)?(n ? m ? 1) =

153.组合数公式: n = Cm

Anm n(n ? 1) ? (n ? m ? 1) n! * m = = ( n ∈N , ? N , m ? n ). 且 m 1? 2 ? ? ? m m!(n ? m)! ? Am

m m n m m 0 154.组合数的两个性质:(1) C n = C n ?m ;(2) C n + Cn ?1 = Cn?1 .规定 Cn ? 1 .

155.组合恒等式

n ? m ? 1 m ?1 n m m Cn ;(2) Cn ? Cn ?1 ; m n?m n n m ?1 m n r (3) Cn ? Cn ?1 ; (4) ? C n = 2 ; m r ?0
(1) Cn ?
m

r r ?1 (5) Crr ? Crr?1 ? Crr?2 ? ? ? Cn ? Cn?1 .
0 1 2 r n (6) Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? ? ? Cn ? 2 n . 1 3 5 0 2 4 (7) Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? Cn ? Cn ? ?2 n?1 . 1 2 3 n (8) Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ? ? nCn ? n2 n?1 . r 0 r 1 0 r r (9) CmCn ? Cm?1Cn ? ? ? Cmr Cn ? Cm?n .

(10) (Cn ) ? (Cn ) ? (Cn ) ? ? ? (Cn ) ? C2n .
0 2 1 2 2 2 n 2 n
m 156.排列数与组合数的关系: An ? m ? Cn . ! m

157.单条件排列(以下各条的大前提是从 n 个元素中取 m 个元素的排列) (1) “在位”与“不在位”
m m m ①某 (特) 元必在某位有 An??1 种; (特) ②某 元不在某位有 An ? An ??1 ? 1 m?1 1(补集思想) An ?1 An ?1 1 m 1 m (着眼位置) ? An ?1 ? Am?1 An ??1 (着眼元素)种. 1

(2)紧贴与插空(即相邻与不相邻)
k m ①定位紧贴: k (k ? m ? n) 个元在固定位的排列有 Ak An ?? k 种. k

②浮动紧贴: n 个元素的全排列把 k 个元排在一起的排法有 An ? k ?1 Ak 种. 注:此类问题常用捆绑法; ③插空:两组元素分别有 k、h 个( k ? h ? 1 ) ,把它们合在一起来作全排列,k 个的一组互
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n ? k ?1

k

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h k 不能挨近的所有排列数有 Ah Ah ?1 种.

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(3)两组元素各相同的插空 m 个大球 n 个小球排成一列,小球必分开,问有多少种排法? 当 n ? m ? 1 时,无解;当 n ? m ? 1 时,有
n Am?1 n ? C m?1 种排法. n An

n (4)两组相同元素的排列:两组元素有 m 个和 n 个,各组元素分别相同的排列数为 Cm ? n .

158.分配问题 (1)(平均分组有归属问题)将相异的 mn 个物件等分给 m 个人,各得 n 件,其分配方法数 共有 N ? C mn ? C mn ?n ? C mn ?2 n ? ? ? C 2 n ? C n ?
n n n n n

(m n)! . (n!) m

(2)(平均分组无归属问题)将相异的 mn 个物体等分为无记号或无顺序的 m 堆,其分配方 法数共有
n n n n n Cmn ? Cmn ? n ? Cmn ? 2n ...? C2n ? Cn (mn)! . ? m! m!(n!)m (3)(非平均分组有归属问题)将相异的 P(P=n1 +n2 +?+n m ) 个物体分给 m 个人,物件必须 被分完,分别得到 n1 , n2 ,?, nm 件,且 n1 , n2 ,?, nm 这 m 个数彼此不相等,则其分配方

N?

nm n n 法数共有 N ? C p1 ? C p 2 n1 ...Cnm ? m!? ?

p!m! . n1!n2!...nm!

(4)(非完全平均分组有归属问题)将相异的 P(P=n1 +n2 +?+n m ) 个物体分给 m 个人,物件 必须被分完,分别得到 n1 , n2 ,?, nm 件,且 n1 , n2 ,?, nm 这 m 个数中分别有 a、b、c、? 个相等,则其分配方法数有 N ?

p !m ! . a!b!c!... n1 !n2 !...nm !(a !b !c !...) (5) (非平均分组无归属问题)将相异的 P(P=n1 +n2 +?+n m ) 个物体分为任意的 n1 ,n2 , ?, ?

nm n n C p1 ? C p 2? n1 ...Cnm ? m!

nm 件 无 记 号 的 m 堆 , 且 n1 , n2 , ? , nm 这 m 个 数 彼 此 不 相 等 , 则 其 分 配 方 法 数 有 p! . N? n1!n2! . .nm! . (6)(非完全平均分组无归属问题)将相异的 P(P=n1 +n2 +?+n m ) 个物体分为任意的 n1 , n2 ,?, nm 件无记号的 m 堆,且 n1 , n2 ,?, nm 这 m 个数中分别有 a、b、c、?个相等,则 p! 其分配方法数有 N ? . n1!n2!...nm!(a!b!c!...) (7)(限定分组有归属问题)将相异的 p ( p ? n1 +n2 +?+nm )个物体分给甲、乙、丙,?? 等 m 个人, 物体必须被分完, 如果指定甲得 n1 件, 乙得 n2 件, 丙得 n3 件, ?时, 则无论 n1 , 2 , n ?, nm 等 m 个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有
nm n n N ? C p1 ? C p 2? n1 ...Cnm ?

p! . n1!n2!...nm!
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159. “错位问题” 2 封信与 2 个信封全部错位排列数:1; 3 封信与 3 个信封全部错位排列数:2; 4 封信与 4 个信封全部错位排列数:9; 5 封信与 5 个信封全部错位排列数:44; (一般记着上面的就够了) 推广 贝努利装错笺问题:信 n 封信与 n 个信封全部错位的组合数为

f (n) ? n ![

1 1 1 1 ? ? ? ? ? (?1) n ] . 2! 3! 4! n!

推广: n 个元素与 n 个位置,其中至少有 m 个元素错位的不同组合总数为
1 2 3 4 f (n, m) ? n !? Cm (n ? 1)!? Cm (n ? 2)!? Cm (n ? 3)!? Cm (n ? 4)! p m ? ? ? (?1) p Cm (n ? p)!? ? ? (?1) m Cm (n ? m)!
1 2 3 4 p m Cm Cm Cm Cm p Cm m Cm ? n![1 ? 1 ? 2 ? 2 ? 4 ? ? ? (?1) p ? ? ? (?1) m ] . An An An An An An

160.不定方程 x1 +x2 +?+xn ? m 的解的个数 (1)方程 x1 +x2 +?+xn ? m ( n, m ? N )的正整数解有 Cm?1 个. (2) 方程 x1 +x2 +?+xn ? m ( n, m ? N ? )的非负整数解有 Cn?m?1 个. (3) 方程 x1 +x2 +?+xn ? m( n, m ? N )满足条件 xi ? k ( k ? N , 2 ? i ? n ? 1 )的非负 整数解有 Cm?1?( n?2)( k ?1) 个.
0 1 2 r n 161.二项式定理 (a ? b) n ? Cn a n ? Cn a n?1b ? Cn a n?2b 2 ? ? ? Cn a n?r b r ? ? ? Cn b n ; r 1, 二项展开式的通项公式 Tr ?1 ? Cn a n?r b r (r ? 0,2?,n) .
?
?

?

n?1

n ?1

n?1

f ( x) ? (ax ? b)n ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? ?? an xn 的展开式的系数关系:
a0 ? a1 ? a2 ? ? ? an ? f (1) ; a0 ? a1 ? a2 ? ?? (?1)n an ? f (?1) ; a0 ? f (0) 。 m 162.等可能性事件的概率: P ( A) ? . n
163.互斥事件 A,B 分别发生的概率的和:P(A+B)=P(A)+P(B). 164. n 个互斥事件分别发生的概率的和: P(A1+A2+?+An)=P(A1)+P(A2)+?+P(An). 165.独立事件 A,B 同时发生的概率:P(A·B)= P(A)·P(B). 166.n 个独立事件同时发生的概率: P(A1· A2·?· An)=P(A1)· P(A2)·?· P(An). 167.n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率: P (k ) ? Cn P (1 ? P) n
k k n ?k

.

168.离散型随机变量的分布列的两个性质
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(1) P ? 0(i ? 1, 2,?) ;(2) P ? P ? ? ? 1. i 1 2 169.数学期望: E? ? x1P ? x2 P ? ? ? xn P ? ? 1 2 n 170.数学期望的性质 (1) E (a? ? b) ? aE (? ) ? b . (2)若 ? ~ B(n, p) ,则 E? ? np . (3) 若 ? 服从几何分布,且 P(? ? k ) ? g (k , p) ? qk ?1 p ,则 E? ?
2 2

1 . p
2

171.方差: D? ? ? x1 ? E? ? ? p1 ? ? x2 ? E? ? ? p2 ? ? ? ? xn ? E? ? ? pn ? ? 172.标准差: ?? = D? . 173.方差的性质 (1) D ? a? ? b? ? a2 D? ; (2)若 ? ~ B(n, p) ,则 D? ? np(1 ? p) .
(3) 若 ? 服从几何分布,且 P(?

? k ) ? g (k , p) ? qk ?1 p ,则 D? ?
2

q . p2

2 174.方差与期望的关系: D? ? E? ? ? E? ? .

175.正态分布密度函数: f ? x ? ?

式中的实数μ , ? ( ? >0)是参数,分别表示个体的平均数与标准差.
x ? 1 176.标准正态分布密度函数: f ? x ? ? e 2 , x ? ? ??, ?? ? . 2? 6 ? x?? ? 177.对于 N (?, ? 2 ) ,取值小于 x 的概率: F ? x ? ? ? ? ?. ? ? ? P?x1 ? x0 ? x2 ? ? P?x ? x2 ? ? P?x ? x1 ?
2

? 1 e 2? 6

? x ? ? ?2
262

, x ? ? ??, ?? ? ,

? x ?? ? ? x1 ? ? ? ? F ? x2 ? ? F ? x1 ? ? ? ? 2 ? ??? ?. ? ? ? ? ? ?
178.回归直线方程
n n ? xi ? x ?? yi ? y ? ? xi yi ? nx y ?? ? ?b ? i ?1 n ? i ?1n ? ? a ? bx ,其中 ? 2 . y ? ? xi ? x ? ? xi 2 ? nx 2 ? i ?1 i ?1 ? ?a ? y ? bx

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n

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179.相关系数 : r ?

? ? x ? x ?? y ? y ?
i ?1 i i

? (x ? x ) ? ( y ? y)
2 i ?1 i i ?1 i

n

n

?
2

? ? x ? x ?? y ? y ?
i ?1 i i

n

.
n 2 2 2 i ?1

(? xi ? nx )(? yi ? ny )
2 i ?1

n

|r|≤1,且|r|越接近于 1,相关程度越大;|r|越接近于 0,相关程度越小. 180.特殊数列的极限

?0 ? (1) lim q ? ?1 n ?? ?不存在 ?
n

| q |? 1 q ?1 | q |? 1或q ? ?1
.

?0 ? ak n k ? ak ?1n k ?1 ? ? ? a0 ? at (2) lim ?? n ?? b n t ? b n t ?1 ? ? ? b t t ?1 0 ? bk ?不存在 ?
(3) S ? lim

(k ? t ) (k ? t ) . (k ? t )

a1 n ?1 ( S 无穷等比数列 a1q ? ( | q |? 1 )的和). 1? q 1? q 181. 函数的极限定理: lim f ( x) ? a ? lim? f ( x) ? lim? f ( x) ? a .
n ??
x ? x0

a1 1 ? q n

?

??

?

x ? x0

x ? x0

182.函数的夹逼性定理 如果函数 f(x),g(x),h(x)在点 x0 的附近满足: (1) g ( x) ? f ( x) ? h( x) ;(2) lim g ( x) ? a, lim h( x) ? a (常数),
x ? x0 x ? x0

则 lim f ( x) ? a .(本定理对于单侧极限和 x ? ? 的情况仍然成立.)
x ? x0

183.几个常用极限 (1) lim

1 1 1 ? 0 , lim a n ? 0 ( | a |? 1 )(2) lim x ? x0 , lim ? . ; n ?? n ?? n x ? x0 x ? x0 x x0 sin x ? 1? ? 1; (2) lim ?1 ? ? ? e (e=2.718281845?). x ?0 x ?? x ? x?
x ? x0

184.两个重要的极限
x

(1) lim

185.函数极限的四则运算法则 若 lim f ( x) ? a , lim g ( x ) ? b ,则
x ? x0

(1) lim ? f ? x ? ? g ? x ? ? ? a ? b ;(2) lim ? f ? x ? ? g ? x ? ? ? a ? b ; (3) lim ? ? ? ?
x ? x0 x ? x0

x ? x0

f ? x? a ? ?b ? 0? . g ? x? b

186.数列极限的四则运算法则 若 lim an ? a, lim bn ? b ,则
n ?? n ??

(1) lim ? an ? bn ? ? a ? b ;(2) lim ? an ? bn ? ? a ? b ;(3) lim
n ?? n ??

an a ? ?b ? 0? n ?? b b n
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(4) lim ? c ? an ? ? lim c ? lim an ? c ? a ( c 是常数).
n ?? n ?? n ??

187. f (x ) 在 x0 处的导数(或变化率或微商)

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim . ?x ? 0 ?x ?x ?s s (t ? ?t ) ? s (t ) ? lim 188.瞬时速度: ? ? s?(t ) ? lim . ?t ?0 ?t ?t ? 0 ?t ?v v(t ? ?t ) ? v(t ) ? lim 189.瞬时加速度: a ? v?(t ) ? lim . ?t ? 0 ?t ?t ? 0 ?t dy df ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ? ? lim ? lim 190. f (x) 在 ( a, b) 的导数: f ?( x) ? y ? ? . ?x ?0 ?x ?x ?0 dx dx ?x 191. 函数 y ? f (x) 在点 x0 处的导数的几何意义 函数 y ? f (x) 在点 x0 处的导数是曲线 y ? f (x) 在 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率 f ?( x0 ) , f ?( x0 ) ? y?
x ? x0

? lim

?x ?0

相应的切线方程是 y ? y0 ? f ?( x0 )(x ? x0 ) . 192.几种常见函数的导数
n?1 (1) C ? ? 0 (C 为常数).(2) ( x n )? ? nx (n ? Q) .(3) (sin x)? ? cos x .

(4) (cosx)? ? ? sin x .

(5) (ln x )? ?

1 1 ; (log a x)? ? log a e . x x

(6) (e x )? ? e x ; (a x )? ? a x ln a . 193.导数的运算法则 (1) (u ? v)' ? u ' ? v' .(2) (uv)' ? u 'v ? uv' .(3) ( ) ?
'

u v

u 'v ? uv ' (v ? 0) . v2

194.复合函数的求导法则 设函数 u ? ? ( x) 在点 x 处有导数 u x? ? ? ?( x ) ,函数 y ? f (u ) 在点 x 处的对应点 U 处有导数

? x yu? ? f ?(u ) , 则 复 合 函 数 y ? f (? ( x)) 在 点 x 处 有 导 数 , 且 y? ? yu ? u? , 或 写 作 x f x?(? ( x)) ? f ?(u)??( x) .
195.常用的近似计算公式(当 x 充分小时)

1 n 1 1 x ; 1 ? x ? 1 ? x ;(2) (1 ? x)? ? 1 ? ? x(? ? R) ; ?1? x; 2 n 1? x x (3) e ? 1 ? x ;(4) ln (1 ? x) ? x ;(5) sin x ? x ( x 为弧度) ; (6) tan x ? x ( x 为弧度) ;(7) arctan x ? x ( x 为弧度) 196.判别 f ( x0 ) 是极大(小)值的方法
(1) 1 ? x ? 1 ? 当函数 f (x ) 在点 x0 处连续时, (1)如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x0 ) 是极大值; (2)如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x0 ) 是极小值.
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197.复数的相等: a ? bi ? c ? di ? a ? c, b ? d .( a, b, c, d ? R ) 198.复数 z ? a ? bi 的模(或绝对值) | z | = | a ? bi | = a 2 ? b2 . 199.复数的四则运算法则 (1) (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ; (2) (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ; (3) (a ? bi)(c ? di) ? (ac ? bd ) ? (bc ? ad )i ; (4) (a ? bi ) ? (c ? di ) ?

ac ? bd bc ? ad ? i(c ? di ? 0) . c2 ? d 2 c2 ? d 2

200.复数的乘法的运算律 对于任何 z1 , z2 , z3 ? C ,有 交换律: z1 ? z2 ? z2 ? z1 . 结合律: ( z1 ? z2 ) ? z3 ? z1 ? ( z2 ? z3 ) . 分配律: z1 ? ( z2 ? z3 ) ? z1 ? z2 ? z1 ? z3 . 201.复平面上的两点间的距离公式

d ?| z1 ? z2 |? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ( z1 ? x1 ? y1i , z2 ? x2 ? y2i ).
202.向量的垂直 非零复数 z1 ? a ? bi , z2 ? c ? di 对应的向量分别是 OZ1 , OZ2 ,则

???? ?

???? ?

???? ???? ? ? z OZ1 ? OZ2 ? z1 ? z2 的实部为零 ? 2 为纯虚数 ? | z1 ? z2 |2 ?| z1 |2 ? | z2 |2 z1

? | z1 ? z2 |2 ?| z1 |2 ? | z2 |2 ? | z1 ? z2 |?| z1 ? z2 | ? ac ? bd ? 0 ? z1 ? ?iz2
(λ 为非零实数). 203.实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 ,
2

?b ? b2 ? 4ac ①若 ? ? b ? 4ac ? 0 ,则 x1,2 ? ; 2a b 2 ②若 ? ? b ? 4ac ? 0 ,则 x1 ? x2 ? ? ; 2a 2 ③若 ? ? b ? 4ac ? 0 ,它在实数集 R 内没有实数根;在复数集 C 内有且仅有两个共轭复数
2

?b ? ?(b2 ? 4ac)i 2 (b ? 4ac ? 0) . 2a 204.三角形的内角平分线性质:在 ?ABC 中, ? A 的平分线交边 BD BA ? BC 于 D,则 。 DC AC
根x?

A

B

D

C

(三角形的外角平分线也有同样的性质) 205. 数学归纳法是一种用于证明与自然数 n 有关的命题的正确性的证明方法. 用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤:
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(1)证明:当 n 取第一个值 n0 结论正确; (2)假设当 n=k(k∈N*,且 k≥n0)时结论正确,证明当 n=k+1 时结论也正确. 由(1),(2)可知,命题对于从 n0 开始的所有正整数 n 都正确 206.有理不等式解集的端点,恰好就是其对应的“零点” (就是对应方程的解和使分母为零 的值).
王新敞
奎屯 新疆

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