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高中数学文科第一轮复习课件63


1.会作两个有关联变量数据的散点图,会 利用散点图认识变量间的相关关系. 2.了解最小二乘法的思想,能根据给出的 线性回归方程系数公式建立线性回归方程. 3.了解独立性检验的基本思想、方法,能 利用2 ? 2列联表进行独立性检验分析判断. 4.了解回归的基本思想、方法,会进行简 单的回归分析.

1.对变量x,y有观测数据( xi,yi )(i ? 1,

2,3, ?, n),所得的散点图如下,其中具有负相关关 系的是 ?

?

解析:由散点分布状况可知C、D具有相关关 系,其中C是正相关,D是负相关,故选D.

2.下列说法不正确的是 ?

?

A.相关关系的两个变量不具备因果关系 B.散点图能直观反映观测数据的相关程度 C.回归直线最能表示线性相关的两个变量之 间的关系 D.任何一组数据都存在相应的回归直线方程

解析:只有线性相关的观测数据才存在回归 直线方程,可知应选D.

3.统计某种实验中两个量x,y的观测数据,得 到下面一个2 ? 2的列联表:
y1 x1 a y2 21 合计 73

x2
合计

2 b

25 46

27 100

则表示a的值为

,b ? a ? 2 ?

  .

解析:a ? 73 ? 21 ? 52,b ? a ? 2 ? 54. 易错点:不理解2 ? 2列联表的构建方法而计 算错误.

4.经过对K 2的统计量的研究,得到若干个临 界值,当K ? 4.238时,我们认为事件A与B中
2

的把握认为A与B有关.

解析:由于K ? 3.841时,则有95%的把握认
2

为事件A与B有关,而题设K 2 ? 4.238 ? 3.841, 因此,有95%的把握认为A与B有关系.

5.某化工厂为预测产品的回收率y,需要对它 和原料的有效成分含量x之间的相关关系进行 研究.现有8对观测数据( xi,yi )(i ? 1, 2,3, ?,, 8)
2 利用计算器得计算得? xi ? 52, y ? 228 , x ? i ? i i ?1 i ?1 i ?1 8 8 8

? 478, ? xi yi ? 1849,则其线性回归方程为 
i ?1

8

.

1 8 解析:由题设, x ? ? xi ? 6.5, 8 i ?1 1 8 y ? ? yi ? 28.5, 8 i ?1 从而b ?

? x y ? 8x y
i ?1 8 i i

8

?x
i ?1

2 i

? 8x

2

367 ? ? 2.62, 140

a ? y ? bx ? 11.47, 则线性回归方程为 y ? 2.62x ? 11.47.

易错点:虽然回归方程系数公式不要求记忆, 但 x, y的意义及计算易错.

1.两个变量间的相关关系 如果两个变量之间确实存在关系,但又没有 函数关系所具有的确定性,它们的关系带有 随机性,则称这两个变量具有① __________ . 有相关关系的两个变量,若一个变量的值由小 到大时,另一个变量的值也是由小到大,这种 相关称为② _________ ;反之,一个变量的值 由小到大,另一个变量的值由大到小,这种相 关称为③ __________ .

2.散点图 在平面直角坐标系中描点,得到关于两个变 量的一组数据的图形,这样的图形叫做④ __ ________ . 如果散点图中,相应于具有相关关系的两个变 量所有观察值的数据点,分布在一条直线附近, 则称这两个变量具有⑤ ______________ ,这条 直线叫做⑥ ______________ ,方程为 y ? bx ? a,

其中b ?

? ( x ? x)( y ? y) ? x y ? nx y
i ?1 i i

n

n

xi ? x

?

i ?1 n

i

i

?x
i ?1

2 i

? nx

2

,

a ? y ? bx. 3.最小二乘法 使残差平方和Q ? ? ? yi ? bxi ? a ? 为最小的方
2 i ?1 n

法,叫做⑦ ______________ . 

4.线性回归模型

?1? 样本的相关系数r ?

? x y ? nx y
i ?1 i i 2 2 ( x ? x ) ( y ? y ) ? i ? i i ?1 i ?1 n n

n

当r ? 0时,表示两个变量正相关,当r ? 0时, 表示两个变量负相关, r 越近于1,表明两个 变量的线性相关性越强: r 越近于0,表明两 个变量之间几乎不存在线性相关关系.

? 2 ? 线性回归模型y ? bx ? a ? e(e为随机误差). ? 3? 总体偏差平方和 ? ? ( yi ? y i )
i ?1 n 2 i ?1 n 2

, 残差ei ? yi

? y i , 残差平方和 ? ? ( yi ? y i ) , 回归平方和 ? ⑧ ________________________________ .

5.列联表(即列出两个分类变量的频率表)

其中n为样本容量.

6.利用随机变量K 2 进行判断检验
2 n ? ad ? bc ? K2 ? . ? a ? b ?? a ? c ??b ? d ?? c ? d ?

参考数据:

先假设两个分类变量x与y无关系,若K 2的值 较大,则拒绝假设,只要K ? 2.706,就认为
2

x与y有关系. 利用K 2来确定在多大程度可以认为“两个分类 变量有关系”的方法称为独立性检验.

要点指南:①相关关系;②正相关;③负相 关;④散点图;⑤线性相关关系;⑥回归直 线;⑦最小二乘法;⑧总偏差平方和 ? 残差 平方和

例1:下是水稻产量与施化肥量的一组观测 数据:

利用散点图分析施化肥量与水稻产量是否具 有相关关系?若具有相关关系,是一种怎样 的相关关系?

解析:观察数据对应的散点图如下图.

由散点图可知施化肥量与水稻产量具有正 相关关系. 评析:散点图是直观判断两个量是否具有相 关关系的常用方法.

素材1: ?1? 下列说法正确的是 ? D? A.任何两个变量都具有相关关系 B.球的体积与该球的半径具有相关关系 C.农作物产量与施化肥量之间是一种确定 性关系 D.一个学生的数学成绩与物理成绩是一种 非确定性关系

? 2 ? 汽车的重量和汽车消耗1升汽油所行驶的 路程成负相关,这说明 ? A ?
A.汽车越重,每消耗1升汽油所行驶的路程 越短 B.汽车越轻,每消耗1升汽油所行驶的路程 越短 C.汽车越重,消耗的汽油越多 D.汽车越轻,消耗的汽油越多

例2:下表提供了某厂节能降耗技术改造后生 产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生 产能耗y (吨)标准煤的几组对照数据.
x y 3 2.5 4 3 5 4 6 4.5

?1? 请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出
y关于x的线性回归方程 y ? a ? bx.  

? 2 ?已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90 吨标准煤,试根据 ?1? 求出的线性回归方程,预
测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多 少吨标准煤?

解析: y ? 3.5, ?1?因为x ? 4.5, 所以b ?

? x y ? 4x y
i ?1 4 i i

4

?x
i ?1

2 i

? 4x

2

? 0.7, a ? y ? b x ? 0.35,

所以 y ? 0.35 ? 0.7 x.

? 2 ?因为90 ? (0.35 ? 0.7 ?100) ? 19.65 (吨),
所以生产能耗比技改前节省了19.65吨标准煤.

评析:回归分析在生产和生活中的应用是依 据已知的统计数据判定是否具有相关关系, 如果具有较强的相关关系,则由回归方程可 预测未来.

素材2:假设关于某设备的使用年限x和所支 出的维修费y (万元),有如下的统计资料:
使用年限x 2 3 3.8 4 5.5 5 6.5 6 7.0

维修费用y 2.2

若由资料可知,y和x呈线性相关关系,试求:

?1? 线性回归方程; ? 2 ? 求残差平方和; ? 3? 求相关指数R 2; ? 4 ? 估计使用年限为10年时,维修费用是多少?

解析: ?1?由已知数据制成下表:

112.3 ? 5 ? 4 ? 5 于是有b ? ? 1.23, a ? y ? bx ? 5 90 ? 5 ? 42 ?1.23 ? 4 ? 0.08, 所以 y ? 1.23 x ? 0.08.

? 2 ?由公式 y1 ? 1.23 ? 2 ? 0.08 ? 2.54,
y 2 ? 1.23 ? 3 ? 0.08 ? 3.77, y 3 ? 1.23 ? 4 ? 0.08 ? 5, y 4 ? 1.23 ? 5 ? 0.08 ? 6.23, y 5 ? 1.23 ? ? , 所以e1 ? 2.2 ? 2.54 ? ?0.34, e 2 ? 3.8 ? 3.77 ? 0.03, e3 ? 5.5 ? 5 ? 0.5, e 4 ? 6.5 ? 6.23 ? 0.27, e5 ? 7.0 ? 7.46 ? ?0.46.

所以残差平方和为 ? ?0.34 ? ? 0.032 ? 0.52 ? 0.27 2
2

? ? ?0.46 ? ? 0.651.
2

0.651 ? 3? R ? 1 ? 2 2 2 2 2 ??2.8? ? ??1.2 ? ? 0.5 ? 1.5 ? 2.0 ? 0.9587.
2

? 4 ?回归直线方程为 y ? 1.23x ? 0.08,当x ? 10时,
y ? 1.23 ?10 ? 0.08 ? 12.38(万元), 即估计使用10年时维修费用是12.38万元.

例3:为了比较注射A,B两种药物后产生的皮 肤疱疹的面积,选200只家兔做试验,将这200 只家兔随机地分成两组,每组100只,其中一 组注射药物A,另一组注射药物B.下表1和表2分 别是注射药物A和药物B后的试验结果(疱疹面 积单位:mm ):
2

?1? 完成下面频率分布直方图,并比较注射
两种药物后疱疹面积的中位数大小;

? 2? 完成下面2 ? 2列联表,并回答能否有99.9%
的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药 物B后的疱疹面积有差异”.

n? ad ? bc ? 附:K ? ? a ? b??c ? d ?? a ? c ??b ? d ?
2 2

解析: ?1? 如图所示.

可以看出注射药物A后的疱疹面积的中位数 在65至70之间,而注射药物B后的疱疹面积 的中位数在70至75之间,所以注射药物A后 疱疹面积的中位数小于注射药物B后疱疹面 积的中位数.

? 2? 表3.

2 200 ?? 70 ? 65 ? 35 ? 30 ? K2 ? ? 24.56. 100 ?100 ?105 ? 95 由于K 2 ? 10.828,所以有99.9%的把握认为 注

射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹 面积有差异”.

素材3:在对人群的休闲方式的一次调查中, 共调查了124人,其中女性70人,女性中有 43人主要的休闲方式是看电视,另外27人主 要的休闲方式是运动;男性中21人主要的休 闲方式是看电视,其余男性的主要休闲方式 是运动.

?1? 根据以上数据建立一个2 ? 2列联表; ? 2 ? 判断性别与休闲方式是否有关系,并说明
理由.

分析:是否有关系取决于K 2的大小.

解析: ?1? 2 ? 2列联表为
看电视 女 男 合计 43 21 64 运动 27 33 60 总计 70 54 124

2 n ? ad ? bc ? 2   2 K ? ? ? ? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ??b ? d ?

124 ? ? 43 ? 33 ? 27 ? 21?2 ? ? 6.2. 70 ? 54 ? 64 ? 60 设H1:性别与不同运动方式有关系. 假设H 0:性别与不同的运动方式没有关系, 在H 0的前提下,K 2应该很小, 而P( K 2 ? 5.024) ? 0.025. 所以有97.5%的把握认为性别与不同的运动 方式之间有关系.

备选例题:下面是两个变量间的一组数据:
x y 1.0 19.0 4.0 44.0 6.0 40.0 10.0 52.0 14.0 53.0

?1? 在同一直角坐标系中画出散点图、直线 y ?
60 x 24 ? 2.5 x和曲线 y ? ; 2? x ? 2 ?比较所画直线与曲线,哪一条更能表现这组 数据之间的关系?

? 3? 分别计算用直线方程与曲线方程得到在5个x
点处的预测值与实际预测之间的误差,比较两 个误差绝对值之和的大小.

解析: ?1? 所求作图形如下:

60 x 比直线 y ? 24 ? 2 ? 从图形上看,曲线 y ? 2? x ?2.5 x更能表现这组数据间的关系.

? 3? 用直线 y ? 24 ? 2.5 x近似数据时,误差绝对
60 x 值的和为27.5,用曲线 y ? 时,误差绝对 2? x 值的和为12.5,比前者小得多.

评析:由散点图可比较直观地看出更能表现 所给数据的关系的曲线,再通过比较误差绝 对值之和的大小,则显得更有说服力.

1.计算回归直线方程中的参数a、 b时应分层 进行,避免因计算错误而产生误差. 2.求线性回归方程之前,应对数据进行线 性相关分析. 3.回归分析的关键是根据散点图选择函数 模型,用相关系数判定哪种模型更好. 4.独立性检验不能用比例余数来判定,a、 b、c、d 成比例扩大,K 2的值是不同的,正确 列出2 ? 2列联表是解题的关键步骤.

5.只要求了解独立性检验、回归分析的基 本思想和方法及初步应用,对于其理论基 础不作要求.

例题:为调查某地区老年人是否需要志愿者 提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区调 查了500位老年人,调查结果如下:

?1? 估计该地区老年人中需要志愿者提供帮助
的老年人的比例;

? 2 ? 能否有99%的把握认为该地区的老年人是
否需要志愿者提供帮助与性别有关? 附:

2 n ? ad ? nc ? K2 ? ? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ??b ? d ?

错解: ?1? 依题意,需要帮助的老年人的比例 40 30 的估计值为 ? ? 36.1%. 160 270 ? 2 ?由于调查的500人中,男性老年人需要帮 1 助的比例为 ,大于女性老年人需要帮助的 4 1 比例 ,可知需要志愿者帮助与性别有关系, 9 2 500 ? ? 40 ? 270 ? 30 ? 160 ? 且K 2 ? ? 9.967. 70 ? 300 ? 200 ? 430 而P( K 2 ? 6.635) ? 0.01,故只有1%的把握认为 需要帮助与性别有关.

错解分析: ?1? 题意理解错误,所求的比例估 计值是全体调查人员的比例,而非男、女两 类人员的比例,且所求比例也不是男、女的 比例和.
2 2 对照数据 P ( K ? 6.635) ? 0.010是没有关系 ? ?

的概率,而非有关系的概率.

正解: ?1? 调查的500位老年人中有70位需要志 愿者提供帮助,因此该地区的老年人中,需 70 要帮助的老年人的比例的估计值为 ? 14%. 500 2 500 ? ? 40 ? 270 ? 30 ? 160 ? ? 9.967. ? 2? K 2 ? 200 ? 300 ? 70 ? 430 由于P ( K 2 ? 6.635) ? 0.01,所以有99%的把握 认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关.


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