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福建省春季高考高职单招数学模拟试题(十二)及答案


福建省春季高考高职单招数学模拟试题(十二)
班级: 姓名: 座号: 一.选择题:本大题共14小题,每小题5分,满分70分. 1.已知集合 A ? {?1, 0,1} ,则( A. 1 ? i ? A
2

成绩:

) C. 1 ? i ? A
3

B. 1 ? i ? A

r />D. 1 ? i ? A
4

2.已知命题 P:“ ?x ? R, x2 ? 2 x ? 3 ? 0 ”,则命题 P 的否定为( A. ?x ? R, x2 ? 2 x ? 3 ? 0 C. ?x ? R, x2 ? 2 x ? 3 ? 0



B. ?x ? R, x2 ? 2x ? 3 ? 0 D. ?x ? R, x2 ? 2x ? 3 ? 0

3.已知 m, n 是两条不同直线, ? , ? , ? 是三个不同平面,下列命题中正确的是( ) A. 若? ? ? , ? ? ? , 则?‖ ? C. 若m‖? , n‖? , 则m‖ n B. 若m ? ? , n ? ? , 则m‖ n D. 若m‖? , m ‖ ? , 则?‖ ?

4.已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时 f ( x) ? 3x ? m ( m 为常数) ,则函数 f ( x ) 的大致图象 为( )

5.已知倾斜角为 ? 的直线 l 与直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 平行,则 tan 2? 的值为( ) A.

D

E

4 5

B.

3 4

C.

4 3

D.

2 3

C

F

6.已知双曲线

x2 ? y 2 ? 1的一个焦点为 (2, 0) ,则它的离心率为( ) 2 a
B.

B

A

第 7 题图 A.

2 3 3

6 3

C.

3 2

D.2
2 2

7.如图,已知 ABCDEF 是边长为 1 的正六边形,则 BA ? ( BC ? AF ) 的值为( ) A. ?1 A. 3? B.1 B. 4? C. 6? C.

3
D. 10?

D.0 )

2 主视图

侧视图

8.某几何体的三视图及尺寸如图示,则该几何体的表面积为( 9.已知向量 a ? ( x ? z,1), b ? (2, y ? z) ,且 a ? b ,若变量 x,y
-1-

第 8 题图

俯视图

? x ? ?1 ? 满足约束条件 ? y ? x ,则 z 的最大值为 ( ?3 x ? 2 y ? 5 ?
A.1 B.2 C.3

)

D.4

10.若复数 z ? (x2 ? 1) ? (x ? 1)i 为纯虚数,则实数 x 的值为( ) A. ?1 B. 0 C. 1 D. ?1 或 1

11. 函数 f ( x) ? ln( x 2 ? 1) 的图象大致是 ( )

A.

B.

C.

D. ) D. (4,5)

12. 已知 f ( x) ? 2 x2 ? 2x ,则在下列区间中, f ( x) ? 0 有实数解的是( A. (-3,-2) B. (-1,0) C. (2,3)

13. 已知 tan ? ?

1 1 , tan(? ? ? ) ? 则 tan ? ? ( ) 4 3
B. ?

A.

7 11

11 7

C. ?

1 13

D.

1 13
0

14. 我国潜艇外出执行任务,在向正东方向航行,测得某国的雷达站在潜艇的东偏北 30 方向的 100 海里 处,已知该国的雷达扫描半径为 70 海里,若我国潜艇不改变航向,则行驶多少路程后会暴露目标? ( ) A、50 海里 B、 10 3(5 ? 2 2 ) 海里 C、 20 6 海里
频率/组距

D、 50 3 海里

二.填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.

1 15.函数 f ( x) ? 的定义域 lg( x ? 1)

160/3

120/3

为 . 100/3 16.近年来,随着以煤炭为主的能源 80/3 消耗大幅攀升、机动车保有量急 60/3 第 12 题图 剧增加,我国许多大城市灰霾现 40/3 24 小时平均浓度 象频发,造成灰霾天气的“元凶” 20/3 (毫克/立方米) pm2.5(毫克/ 立方米) 之一是空气中的 pm2.5(直径小 0 0.065 0.070 0.075 0.0800.0850.0900.0950.1000.105 于等于 2.5 微米的颗粒物).右图是某市某月(按 30 天计)根据对“pm2.5” 24 小时平均浓度值测试 的结果画成的频率分布直方图,若规定空气中“pm2.5”24 小时平均浓度值不超过 0.075 毫克/立方米 为达标,那么该市当月有 天“pm2.5”含量不达标. 17.在△ABC 中,已知 A ? 60 , b ? 4, c ? 5, 则 sin B = . .

18. 某程序框图如下图所示,该程序运行后输出的 S 的值为
-2-

开始

三.解答题:本大题共 6 小题,满分 60 分. 19. (本小题满分 8 分) 已知数列 ?an ? 是公比 q ? 1 的等比数列,且 a1 ? a2 ? 40 , a1a2 ? 256, 又 bn ? log2 an .求数列{ bn }的通项公式;

S=1,i=1

i≤4 是 S=S+2i i = i+1



输出S

结束

20. (本小题满分 8 分) 已知函数 f ( x) ? sin(? ? x) ? cos x,( x ? R) . (1) 求函数 f ( x) 的最小正周期; (2) 求函数 f ( x) 的最大值和最小值; (3) 若 f (? ) ? ,? ? (0, ) ,求 sin ? ? cos ? 的值.

1 4

?

2

-3-

21. (本小题满分 10 分) 某产品按行业生产标准分成 8 个等级,等级系数 ξ 依次为 1, 2,…,8 ,其中 ξ ? 5 为标准 A ,ξ ? 3 为标 准 B ,产品的等级系数越大表明产品的质量越好,已知某厂执行标准 B 生产该产品,且该厂的产品都符 合相应的执行标准. 从该厂生产的产品中随机抽取 30 件,相应的等级系数组成一个样本,数据如下: 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7 该行业规定产品的等级系数 ξ ? 7 的为一等品,等级系数 5 ? ξ ? 7 的为二等品,等级系数 3 ? ξ ? 5 的 为三等品. (1)试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率; (2)从样本的一等品中随机抽取 2 件,求所抽得 2 件产品等级系数都是 8 的概率.

22. (本小题满分 10 分) 如图①边长为 1 的正方形 ABCD 中,点 E、F 分别为 AB、BC 的中点,将△ BEF 剪去,将△ AED、△ DCF 分 别沿 DE、DF 折起,使 A、C 两点重合于点 P 得一三棱锥如图②示. (1)求证: PD ? EF ; (2)求三棱锥 P ? DEF 的体积;
D

P

F

E

① 第 22 题图



-4-

23. (本小题满分 12 分) 已知直线 l : y ? x ? m , m ? R . (1)若以点 M ? 2, ?1? 为圆心的圆与直线 l 相切与点 P ,且点 P 在 x 轴上,求该圆的方程; (2)若直线 l 关于 x 轴对称的直线 l ? 与抛物线 C : x ?
2

1 y 相切,求直线 l 的方程和抛物线 C 的方程. m

24. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? 2 .( a ? R ). (1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的极值; (2)若对 ?x ? R ,有 f '( x ) ?| x | ?

4 成立,求实数 a 的取值范围. 3

-5-

福建省春季高考高职单招数学模拟试题(十二) 参考答案及评分说明
一.选择题:B C B B C ADBCA
2

ABCB

解析:1.∵ A ? {?1, 0,1} , 1 ? i ? 0 ? A ,故选 B. 4.由该函数的图象过原点且关于原点对称可排除 A、C,由 f ( x ) 在 [0, ??) 为增函数,可排除 D,故选 B. 5.依题意知: tan ? ?

1 2 tan ? 4 ? ,选 C. ,从而 tan 2? ? 2 2 1 ? tan ? 3

y

6.由 c ? 2, b ? 1 ? a2 ? 3 ? e ?

c 2 2 3 ,选 A. ? ? a 3 3
y=x (1,1) x o x=-1 3x+2y-5=0 y=-2x

7. BA ? ( BC ? AF ) = BA ? ( BC ? CD) ? BA ? BD =0,选 D. 8. 由三视图知,该几何体为圆锥,其底面的半径为 r ? 1, 高 h ? 2 2 , 母线 l ? r 2 ? h2 ? 3 , 故 S表 ? ? rl ? ? r ? 4? ,故选 B.
2

9.∵ a ? b ∴ 2( x ? z ) ? y ? z ? 0 ? z ? 2 x ? y ,点 ( x, y ) 的可行域如图示, 当直线 z ? 2 x ? y 过点(1,1)时,Z 取得最大值, zmax ? 2 ? 1 ? 3 ,选 C.

1 1 ? tan ? ? tan(? ? ? ) 4 3 ? ? 1 ,选 C. 13. tan ? ? tan[? ? (? ? ? )] ? ? 1 ? tan ? tan(? ? ? ) 1 ? 1 13 12
二.填空题:15. {x | x ? 1且x ? 2} (或 {x |1 ? x ? 2或x ? 2} ;16. 27; 17.

2 7 . 7

15.由 ?

? x ?1 ? 0 ? x ? 1且x ? 2 . ? x ?1 ? 1
80 100 160 120 60 20 ? ? ? ? ? ) ? 0.005 ? 30 ? 27 (天); 3 3 3 3 3 3

16.该市当月“pm2.5”含量不达标有 ( 17. a ?

4 2 ? 5 2 ? 2 ? 4 ? 5 cos600 ? 21, sin B ?

bc sin A 2 2 7 ? ? ac 7 7

18.31 三.解题题: 19.解: (1)解法 1:∵ a1 ? a2 ? 40 , a1a2 ? 256, 且 q ? 1 解得 ?

? a1 ? 8 ---------------4 分 ? a2 ? 32

-6-

∴q ?

a2 ?4 a1

∴ an ? a1qn?1 ? 8 ? 4n?1 ? 22n?1 ---------------------------------6 分

∴ bn ? log2 an = log2 22n?1 ? 2n ? 1 -------------------------------------------8 分 【解法 2:由 a1 ? a2 ? 40 , a1a2 ? 256, 且 q ? 1 得?

? a1 ? 8 ? a2 ? 32

∴q ?

a2 ? 4 ---------------------------------------------------4 分 a1

? log ∴ bn?1 ? bn ? l o g 2 a ? n 1 2 a? n

a ?1 l o2ng ? an

l2 ? o g ---------------------------4 2, 5分

又 b1 ? log2 a1 ? log2 8 ? 3, -------------------------------------------------------6 分 ∴ ?bn ? 是以 3 为首项,2 为公差的等差数列,----------------------------------------7 分 ∴ bn ? 3 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ? 1 ;----------------------------------------------------8 分 20.解: (1)∵ f ( x) ? sin x ? cos x ? 2 sin( x ? ), x ? R ------------------------------2 分 ∴函数 f ( x) 的最小正周期 T ? 2? --------------------------------------3 分 (2)函数 f ( x) 的最大值和最小值分别为 2, ? 2 .----------------------------------5 分 (3)由 f (? ) ?

?

4

1 1 得 sin ? ? cos? ? 4 4 1 ∴ (sin ? ? cos? )2 ? ,------------------------------------------------------6 分 16 1 15 1 ? sin 2? ? ,sin 2? ? ----------------------------------------------------7 分 16 16 15 31 ∴ (sin ? ? cos? )2 ? 1 ? sin 2? ? 1 ? ? ---------------------------------------9 分 16 16
∵ ? ? (0, ) ,∴ sin ? ? cos ? ? 0

?

2

31 .------------------------------------------------------12 分 4 21.解: (1)由样本数据知,30 件产品中等级系数 ξ ? 7 有 6 件,即一等品有 6 件,二等品有 9 件,三等 品有 15 件-----------------------------------------------------------3 分
∴ sin ? ? cos ? ? ∴样本中一等品的频率为 二等品的频率为

6 ? 0.2 ,故估计该厂生产的产品的一等品率为 0.2 ;-------4 分 30

9 ? 0.3 ,故估计该厂生产的产品的二等品率为 0.3 ;---------------5 分 30 15 ? 0.5 ,故估计该厂生产的产品的三等品的频率为 0.5 .-----------6 分 三等品的频率为 30
(2)样本中一等品有 6 件,其中等级系数为 7 的有 3 件,等级系数为 8 的也有 3 件,--7 分
-7-

记等级系数为 7 的 3 件产品分别为 C1 、 C2 、 C3 ,等级系数为 8 的 3 件产品分别为 P 1、P 2 、P 3 .则从样本 的一等品中随机抽取 2 件的所有可能为:

(C1, C2 ),(C1, C3 ),(C2 , C3 ), ( P 1, P 3 ),( P 2, P 3 ) , (C1 , P 1 ),(C1 , P 2 ),(C1 , P 3 ),(C2 , P 1 ), (C2 , P 1, P 2 ), ( P 2 ),(C2 , P 3) , (C3 , P 1 ),(C3 , P 2 ), (C3 , P 3 ) .共 15 种,-------------------------------10 分
记从“一等品中随机抽取 2 件,2 件等级系数都是 8”为事件 A, 则 A 包含的基本事件有 ( P 1, P 3 ),( P 2, P 3 ) 共 3 种,-------------------------11 分 1, P 2 ), ( P 故所求的概率 P ( A) ?

3 1 ? .-------------------------------------------------12 分 15 5

22. (1)证明:依题意知图①折前 AD ? AE , CD ? CF ,-------------------------------1 分 F ,-------------------------------------------------------2 PD ∴ P D? P ,E P? 分 ? P ∵PE PF ∴ PD ? 平面 PEF -----------------------------------4 分 又∵ EF ? 平面 PEF ∴ P D? E F ----------------------------------------5 分

(2)解法 1:依题意知图①中 AE=CF= 在△BEF 中 EF ?

1 1 ∴PE= PF= , 2 2

D

2BE ?

2 ,-----6 分 2
P

在 ?PEF 中, PE 2 ? PF 2 ? EF 2 ∴ S ?PEF ?

? PE ? PF
E

F

1 1 1 1 1 ? PE ? PF ? ? ? ? -------------------8 分 2 2 2 2 8 1 1 1 1 ∴ VP ? DEF ? VD ? PEF ? S ?PEF ? PD ? ? ? 1 ? .-----10 分 3 3 8 24 1 1 【(2)解法 2:依题意知图①中 AE=CF= ∴PE= PF= , 2 2
在△BEF 中 EF ?

D

2BE ?

2 ,-----------------------6 分 2
2 -------------7 分 4

P
M

F

取 EF 的中点 M,连结 PM 则 PM ? EF , ∴ PM ? PE 2 ? EM 2 ? ∴ S?PEF ?

E

1 1 2 2 1 EF ? PM ? ? ? ? ---------------8 分 2 2 2 4 8
1 1 1 1 S ?PEF ? PD ? ? ? 1 ? .------------------------------10 分】 3 3 8 24
y

∴ VP ? DEF ? VD ? PEF ?

23.解(1)解法 1.依题意得点 P 的坐标为 (?m,0) .-------1 分 ∵以点 M ? 2, ?1? 为圆心的圆与直线 l 相切与点 P , ∴ MP ? l . k MP ? kl ?

P 0 M

x

0 ? (?1) ?1 ? ?1 ,解得 m ? ?1 .----3 分 ?m ? 2
-8-

∴点 P 的坐标为 ?1,0 ? . 设所求圆的半径 r ,则 r 2 ?| PM |2 ? 1 ? 1 ? 2 ,------------------------------------5 分
2 ∴所求圆的方程为 ? x ? 2 ? ? ( y ? 1) ? 2 .--------------------------------------6 分 2 2 2 【解法 2.设所求圆的方程为 ? x ? 2 ? ? ( y ? 1) ? r ,--------------------------------1 分 2

依题意知点 P 的坐标为 (?m,0) .----------------------------------------------2 分 ∵以点 M ? 2, ?1? 为圆心的圆与直线 l 相切于点 P ? ?m,0? ,

?(2 ? m) 2 ? 12 ? r 2 , ? ? ? m ? ?1, ∴ ? 2 ?1? m 解得 ? -------------------------------------------5 分 ? r. ? ? r ? 2. ? 2 ?
2 ∴所求的圆的方程为 ? x ? 2 ? ? ( y ? 1) ? 2 .------------------------------------6 分】 2

(2)解法 1.将直线方程 y ? x ? m 中的 y 换成 ? y , 可得直线 l ? 的方程为 y ? ? x ? m .--------------------------------------------7 分

? 2 1 ? x ? y, 2 由? 得 mx ? x ? m ? 0 , (m ? 0) -----------------------------------9 分 m ? ? y ? ? x ? m.
Δ ? 1 ? 4m2 ,--------------------------------------------------------------10 分
∵直线 l ? 与抛物线 C : x ?
2

1 y 相切 m

1 .----------------------------------------------------12 分 2 1 1 2 当 m ? 时,直线 l 的方程为 y ? x ? ,抛物线 C 的方程为 x ? 2 y ,-------------13 分 2 2 1 1 2 当 m ? ? 时,直线 l 的方程为 y ? x ? ,抛物线 C 的方程为 x ? ?2 y .----------14 分 2 2
∴ ? ? 0 ,解得 m ? ? 【解法 2.将直线方程 y ? x ? m 中的 y 换成 ? y ,可得直线 l ? 的方程为 y ? ? x ? m .-----7 分 设直线 l ? 与抛物线 C : x ?
2

1 y 相切的切点为 ? x0 , y0 ? ,---------------------------8 分 m

由 y ? mx 得 y? ? 2mx ,则 2mx0 ? ?1 ---①-----------------------------------10 分
2

2 .---------③ y0 ? ? x0 ? m ------② y0 ? mx0

①②③联立得

1 1 1 1 ? ? m ? m2 ? ? m ? ? ,----------------------------12 分 4m 2m 4 2
-9-

当m ?

1 1 时,直线 l 的方程为 y ? x ? ,抛物线 C 的方程为 x2 ? 2 y ,-------------13 分 2 2 1 1 当 m ? ? 时,直线 l 的方程为 y ? x ? ,抛物线 C 的方程为 x2 ? ?2 y .----------14 分】 2 2

24.解: (1)当 a ? 1 时, f ( x) ? x3 ? x2 ? x ? 2
2 f ' (x ) ? 3 x ? 2 x? = ( 1x ? 1)(3x ? 1) ,------------------------------------------2 分

令 f '( x) ? 0 ,解得 x1 ? ? , x2 ? 1. 当 f '( x) ? 0 时,得 x ? 1 或 x ? ? ; 当 f '( x) ? 0 时,得 ?

1 3

1 3

1 ? x ? 1. 3

当 x 变化时, f '( x) , f ( x ) 的变化情况如下表:

x
f '( x)

1 (??, ? ) 3

?

1 3

+
单调递增

0
极大

1 ( ? ,1) 3 ?
单调递减

1

(1, ??)

0
极小

+
单调递增

f ( x)
1 3

-------------------------------------------------------------------------------4 分 ∴当 x ? ? 时,函数 f ( x ) 有极大值, f ( x)极大 =f ( ? ) ? 2

1 3

5 , -----------------------5 分 27

当 x ? 1 时函数 f ( x ) 有极小值, f ( x)极小 ? f (1) ? 1 ---------------------------------6 分
2 (2)∵ f '( x) ? 3x ? 2ax ?1 ,∴对 ?x ? R , f '( x ) ?| x | ?

4 成立, 3

4 对 ?x ? R 成立,--------------------------------------7 分 3 1 2 ①当 x ? 0 时,有 3 x ? (2a ? 1) x ? ? 0 , 3 1 即 2a ? 1 ? 3 x ? ,对 ?x ? (0, ??) 恒成立,----------------------------------9 分 3x
即 3 x ? 2ax ? 1 ?| x | ?
2

∵ 3x ?

1 1 1 ? 2 3x ? ? 2 ,当且仅当 x ? 时等号成立, 3 3x 3x

1 ------------------------------------------------------11 分 2 1 2 ②当 x ? 0 时,有 3 x ? (1 ? 2a) x ? ? 0 , 3
∴ 2a ? 1 ? 2 ? a ? 即 1 ? 2a ? 3 | x | ?

1 ,对 ?x ? (??, 0) 恒成立, 3| x |
- 10 -

∵ 3| x | ?

1 1 1 ? 2 3| x | ? ? 2 ,当且仅当 x ? ? 时等号成立, 3 3| x | 3| x | 1 ----------------------------------------------------13 分 2 1 1 , ] .-------------------------------------------14 分 2 2

∴ 1 ? 2a ? 2 ? a ? ? ③当 x ? 0 时, a ? R

综上得实数 a 的取值范围为 [?

- 11 -


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