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均值不等式基本解题技巧

时间:2015-05-27


基本不等式求最值常用技巧(一正,二定,三相等) 例 1:求下列函数的值域 1 1 2 (1)y=3x + 2 (2)y=x+ 2x x

技巧一:凑项 例 1:(1) y

? 2x ?

1 ,x ?3。 x ?3

(2)已知 a ? b ? c ,求 w ?

a?c a?c ? 的最小值. a?b b?c

技巧二: 分离 求y?

技巧三:换元再分离 求y?

e ?5 的最小值 ex
2x

x 2 ? 7 x ? 10 ( x ? ?1) 的值域。 x ?1

技巧四:遇等号取不到的情况,应结合函数 f ( x) ? x ? 求函数 y ?

a 的单调性。 x

x2 ? 5 x2 ? 4

的值域。

条件求最值 技巧五:直接使用基本不等式拉近问题与条件关系 x+3y-2=0, 则 3 +27 +1 的最小值为 若 log 4 x ? log 4 y ? 2 ,求
x y

. x,y,z∈R , x-2y+3z=0, 则 的最小值为____.



y2 xz

1 1 ? 的最小值.并求 x,y 的值 x y

技巧六:整体代换(化 1 思想): 已知 x ? 0, y ? 0 ,且

1 9 ? ? 1 ,求 x ? y 的最小值。 x y 1 4 9 ? ? 的最小值. x y z

已知正数 x, y , z 满足 x ? y ? z ? 1 ,求

技巧七:利用基本不等式进行放缩再解不等式 已知 a,b 为正实数,2b+ab+a=30,求函数 y=ab 的最大值.

已知 a>0,b>0,ab-(a+b)=1,求 a+b 的最小值。


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