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7.5.1正弦函数的图像与性质


引入:
在研究三角函数的图象和性质时,我们 通常采用弧度制来度量角,用x表示自变量,

用y表示函数。
我们采用弧度制来度量角时,一个角就 是一个实数(弧度数)

引入:
1. 正弦函数是以角(实数)为自变量的函数 .

y ? sin x, x ? R

2. 常

用的函数画图的方法: 列表描点法 ? ? ? ? y =sinx 过点 ( ,sin ),( ,sin ) 6 6 3 3 ? 3 而 sin ? ? 0.866, 不便于描点 3 2 故介绍另一种画法:几何法(即利用三角函 数线画图)

回顾:
1、正弦线
设任意角 ? 的终边与单位 圆交于点P,过点p做x轴 的垂线,垂足M,称向量 MP为角 ? 的正弦线

P(a, b ) r O
? h

M A

函数 2、

y ? sin x, x ? ?0,2? ?图象的几何作法
作法: (1) 将圆12等分, 再把x轴上从0到2π 这一段12等分 (2) 作正弦线
1P 1
?
6

y

/ p1

(3) 平移 (4) 连线
?
?
2

o1

M -1 1

A

o
-1 -

? 6

3

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

x

-

-

-

-

3.正弦函数y=sinx,x∈R的图 象

叫做正弦曲线

y
1-

? 6?
-

? 4?
-

? 2?
-

o-1

2?
-

4?
-

6?
-

x

因为终边相同的角的三角函数值相同,所以y=sinx的图象在……, ?? 4? ,?2? ? , ?? 2? ,0?, ?0,2? ?, ?2? ,4? ?, …与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同

-

y ?sin x, x ?[0,2?]

y ? sin x, x ? R

4.五点作图法
y
1-

图象的最高点 ( 与x轴的交点
?
6

?
2

,1)

(0,0) (? ,0) (2? ,0)
-1

o
-1 -

?

?
2

3

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

x

简图作法 (1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标) (2) 描点(定出五个关键点) (3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)

五点 :

?0 , 0?

-

图象的最低点

? ( 32 ,?1)

?? ? ? , 1? ?2 ?

??

, 0?

? 3? ? , ? 1? ? ? 2 ?

?2?

, 0?

例1.画出y=1+sinx , x∈[0, ]的简图
解:(1)

x
sinx
1 ? sinx

0 0
1

π 2

π
0

3π 2

1

-1

2? 0
1

2

1

0

y

.
π 2

1.
o -1

y ? 1 ? sinx, x ?[0,2π]

.

.

?

. 3π
2

2?

x

y ? sinx, x ?[0,2π]

例2.作出 y= -sinx, x? [0, 2? ]
解:(2)

的图象。
3π 2

x
y=sinx
y

0
0

π 2

π
0

2?
0

1

-1

y=-sinx 0
1

-1

0

1

0

. 0
-1

? 2

.

. ?

y= -sinx, x? [0,2? .]
3? 2

2?

.

x

y ? sinx, x ?[0,2π]

1.用五点法画出y=sinx+2, x∈[0, ]的简图

. . 2
1 o -1
π 2

y=sinx+2, x∈[0, ]

y

.

.
?
3π 2

2?

x

y ? sinx, x ?[0,2π]

2.用五点法画出y=sinx-1, x∈[0, ]的简图

2 y
1 o -1.
y ? sinx, x ?[0,2π]

. π
2

?

.

3π 2

.

2?

x

y=sinx-1, x∈[0, ]

.

3. 作 出 下 列 函 数 的 图 象 y ? 3 si n x x ? [0 , 2? ]
x 0

?

sinx
3Sinx

0

2 1
3

?
0
0

3? 2

2?
0
0

-1
-3

y

3? o

0

? 1? ?
?
2

?

3? 2

2?

y ? sinx, x ? [0,2?]

一、正弦函数 y=sinx 的性质

y
1

y ?1
?
2

? 2?

??

?

?
2

O

?1

?

3? 2

2?

3?

4?
y ? ?1

x

(1)定义域

实数集R

? 2 k? 1 2 当x=________________ 时, ymax ? _____
(2)值域
2 当x=________________ 时, ?

?

?

? 2 k?

ymin ? _____ ?1

值域是:

?? 1, 1?

(3)周期性 sin(x+2kπ)=sin x, (k∈Z),
周期函数:f(x+T)=f(x) 最小正周期:所有周期中最小的正数

周期是2k?( , k ? Z,k ? 0)

周期函数

1.周期函数的定义
对于函数f(x),如果存在一个非零常数T, 使得当x取定义域内的每一个值时, 都有f(x +T)=f(x), 那么函数f(x)就叫做周 期函数,非零常数T就叫做这个函数的周期. 对于一个周期函数来说,如果在它的所有周 期中存在一个最小的正数,那么这个最小的 正数就叫做这个函数的最小正周期

(4)正弦函数的单调性

y
1

-3?

5? ? 2

-2?

3? ? 2

-?

?

?
2

o
-1

?
2

?

3? 2

2?

5? 2

x
3?
7? 2

4?

x
sinx

?

?
2



0 0



? 2



? 0



3? 2

-1

1

-1

y=sinx (x?R) ? ? ?? ? ? ? ? 2 k ? , ? 2 k ? , k ? Z 其值从-1增至1 ? 增区间为 [ , ] ? ? 2 ? 22 ?
?? 减区间为 [ ? ?2

2 ? 3 ? 3 ? , ] k? ?, k ? Z 其值从 1减至-1 ?22k? , 2 ?2 ? 2 ?

(5)正弦函数的奇偶性
y
1

y ?1
?
2

? 2?

??

?

?
2

O

?1

?

3? 2

2?

3?

4?
y ? ?1

x

sin(-x)= - sinx (x?R)

y=sinx (x?R)是奇函数

图象关于原点对称

y=sinx (x?R) 图象关于原点对称

y
1 -3?
? 5? 2

-2?

?

3? 2

-?

?

?
2

o
-1

?
2

?

3? 2

2?

5? 2

x
3?
7? 2

4?

y=sinx

二、正弦函数性质的简单应用

例1

比较下列各组正弦值的大小:

1) sin( ? )与 sin( ? ) 8 10
解: 1)因为

?

?

5 7 2) sin ?与 sin ? 8 8

分析: 利用正弦函数的不同区间上的单调性进行比较。
? ? ? ?? ?? ?0 2 8 10 ? ? ?? 并且f(x)=sinx在?? , ? 上是增函数,所以 ? 2 2?
?

sin( ?
2)因为

?

?

7 ? ? ? ?? 2 8 8

8 5?

) ? sin( ?

?

10

)

并且f(x)=sinx在 [

?

5 7 sin ? ? sin ? 8 8

2

, ? ]上是减函数,所以

练习、不求值,比较下列各对正弦值的大小:

(1) sin( ?

?
18

)与 sin( ?

?
10

(2)sin )

2? 3? 与 sin 3 4

? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? , 且y=sinx在 ?? , ? 上是增函数, (1) 2 10 18 2 ? 2 2?
解:

? ? ? ? sin( ? ) ? sin ? ? ? 18 ? 10 ?

?

(2)

? 2? 3? 3? ? ? ? ? , 2 3 4 2 2? 3? ? sin ? sin 3 4

? ? 3? ? 且y=sinx在 ? , 上是减函数, ? ?2 2 ?

例2 求函数y=2+sinx的最大值、最小值和周期,并 求这个函数取最大值、最小值的x值的集合。
解: y max ? 2 ? ?sin x ?max ? 2 ? 1 ? 3
以后我们说到 三角函数的周期, 一般指的都是 最小正周期

ymin ? 2 ? ? sin x ? min ? 2 ? (?1) ? 1
周期 T ? 2?

使y=2+sinx取得最大值的x的集合是: ? ? ? x x ? ? 2 k ? , k ? Z ? ?
? 2 ?

使y=2+sinx取得最小值的x的集合是:
? ? ? x x ? ? ? 2 k ? , k ? Z ? ? 2 ? ?

求函数

f ( x) ? sin( 2 x ?

?
6

) 在x取何值时到达

最大值?在x取何值是到达最小值?

? 关键点:把 2 x ? 看作一个整体。 6
解:
6 2 当 x ? ? ? k? ( k ? z ) 时, f ( x) ? sin( 2 x ? ? ) 6 6
f ( x) ? sin( 2 x ?

?
6

) 在 2x ?

?

?

?

? 2k? 处到达最大值1。即,

达到最大值1。

? ? f ( x) ? sin( 2 x ? ) 在 2 x ? ? ? ? 2k? 处达到最小值-1。即, 6 6 2 ? ? x ? ? ? k ? ( k ? z ) 当 时, f ( x) ? sin( 2 x ? ) 达到最小值-1。 3 6

?

三、巩固练习

1、比较下列各组正弦值的大小:

4 5 (1) sin ?与 sin ? 7 7

2 2 (2) sin( ? ? )与 sin( ? ? ) 5 7

2、求下列函数在x取何值时到最大值?在x取何值是到达 最小值?

1 ? (1) f ( x) ? sin( x ? ); 2 3

(2) g ( x) ? 5 sin( 3 x ? ) 2

?

四、课堂小结 :正弦函数的性质

定义域
值 域 奇偶性

R
[-1,1] 奇

周期性

T=2k?

最小正周期 : 2?

当 x ? [ 2 k? ?
单调性

?
2

2 ? 3? 当 x ? [ 2 k ?+ , 2 k ? ? ] 减 2 2

,2k? ?

?

] 增

最值

ymax ? 1

y min ? -1

作业
书34页 2;3; 书40页6.(1)(3);7.(1);9.(1)


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