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第16届全国中学生物理竞赛预赛试卷及答案


第十六届全国中学生物理竞赛预赛试卷 一、(10 分) 1、到 1998 年底为止,获得诺贝尔物理奖的华人共有 人,他们的姓名是:

。 2、1998 年 6 月 3 日,美国发射的航天飞机“发现者”号搭载了一台 α 磁谱仪,其中一个关键部件是 由中国科学院电工研究所设计制造的直径 1200mm、高 800mm、中心磁感强度为 0.1340T 的永久磁体。用这

个 α 磁谱仪期望探测到宇宙窨可能存在的 。 3、到 1998 年底为止,人类到达过的地球以外的星球有 ,由地球上发射的探测器到达过的地球 以外的星球有 。 二、(15 分)一质量为 M 的平顶小车,以速度 V0 沿水平的光滑轨道作匀速直线运动。现将一质量为 m 的 小物块无初速地放置在车顶前缘。已知物块和车顶之间的滑动摩擦系数为 μ 。 1、若要求物块不会从车顶后缘掉下,则该车顶最少要多长? 2、若车顶长度符合1问中的要求。整个过程中摩擦力共做多少功?

三、(15分)如图16-1所示,两个截面相同的圆柱形容器,右边容器高为H,上端封闭,左边容器 上端是一个可以在容器内无摩擦滑动的活塞。两容器由装有阀门的极细管道相连难受 ,容器、活塞和细 管都是绝热的。开始时,阀门关闭,左边容器中装有热力学温度为T0的单原子理想气体,平衡是活塞到 容器底的距离为H,右边容器内为真空。现将阀门缓慢打开,活塞便缓慢下降,直至系统达到平衡,求此 时左边容器中活塞的高度和缸内气体的温度。 提示:一摩尔单原子理想气体的内能为(3/2)RT,其中R为摩尔气体常量,T为气体的热力学 温度。

四、 (20分)位于竖直平面内的矩形平面导线框 abcd,ab 长为 l1,是水平的,bc 长 l2,线框的质量为 m, 电阻为R,其下方有一匀强磁场区域,该区域的上、下边界 pp'和 QQ'均与 ab 平行,两边界间的距离为H, H>l2,磁场 的磁感强度为B,方向与线框平面垂直,如图16-2所示,令线框的 dc 边从离磁场区域上边线框的 dc 边进入磁场以后,ab 边到达边界 pp'之前的某一时刻线框的速度已达到这一阶段的最大什。问从线框开始 下落到 dc 边刚刚到达磁场区域下边界 QQ'的过程中,磁场作用于线框的安培力作的总功为多少?

五、(15分)一平凸透镜焦距为 f,其平面上镀了银,现在其凸面一侧距它 2f 处,垂直于主轴放置一高 为H的物,其下端透镜的主轴上(如图16-3)。 1、用作图法画出物经镀银透镜所成的像,并标明该像是虚、是实。 2、用计算法求出此像的位置和大小。

六、(15分)如图16-4所示,电阴R1=R2=1KΩ ,电动势 ε =6V,两个相同的二极管D串 联在电路中,二极管D的 ID-ID 特性曲线如图 16-5 所示,试求: 1、通过二极管 D 的电流。 2、电阻 R1 消耗的功率。

七、(15 分)将一根长为 100 多厘米的均匀弦线,沿水平的 x 轴放置,拉紧并使两端固定,现对离固定的 右端 25cm 处(取该处为原点 O,如图 16-6 所示)的弦上一点施加一个沿垂直于弦线方向(即 y 轴方向) 的扰动,其位移随时间的变化规律如图 16-7 所示。该扰动将沿弦线传播而形成波(孤立的脉冲波),已 知该波在弦线中的传播速度为 2.5cm/s,且波在传播和反射过程中都没有能量损失。 1、试在图 16-6 中准确地画出自 O 点沿弦向右传播的波在 t=2.5s 时的波形图。 2、该波向右传播到固定点时将发生反射,反射波向左传播,反射点总是固定不动的,这可看成向右 传播的波和向左传播的波相叠加,使反射点的位移始终为零。由此观点出发,试在图 16-6 中准确地画出 t=12.5s 时的波形图。 3、在图 16-6 中准确地画出 t=10.5s 时的波形图。

八、(15 分)1997 年 8 月 26 日在日本举行的国际天文学大会上,德国 Max Planck 学会的一个研究组宣 布了他们的研究成果:银河系的中心可能存在一个大黑洞,他们的根据是用口径为 3.5m 的天文望远镜对 猎户座中位于银河系中心附近的星体进行近六年的观测所得的数据。他们发现,距离银河系中心约 60 亿 公里的星体正以 2000km/s 的速度围绕银河系中心旋转。根据上面的数据,试在经典力学的范围内(见提 示 2),通过计算确认如果银河系中心确实存在黑洞的活,其最大半径是多少。(引力常数 -20 3 -1 -2 G=6.67*10 km .kg .s ) 提示:1、黑洞是一种密度极大的天体,其表面的引力是如此之强,以至于包括光在内的所有物质都 逃脱不了其引力作用。 2、计算中可以采用拉普拉斯经典黑洞模型,在这种模型中,在黑洞表面上的所有物质,即使用权初 速度等于光速 c 也逃脱不了其引力的作用。

九、(20 分)一个大容器中装有互不相容的两种液体,它们密度分别为 ρ 1 和 ρ 2(ρ 1<ρ 2).现让一长为 L\ 密度为(ρ 1+ρ 2)/2 的均匀木棍,竖直地放在上面的液体内,其下端离两液体分界面的距离为 3L/4,由静止开 始下落.试计算木棍到达最低处所需的时间.假定由于木棍运动而产生的液体阻力可以忽略不计,且两液体 都足够深,保证木棍始终都在液体内部运动,既未露出液面,也未与容器底相碰.

第十六届全国中学生物理竞赛预赛题参考解答
一、参考解答 1. 五,杨振宁、李政道、丁肇中、朱棣文、崔琦 2. 反物质 3. 月球,月球、火星

二、参考解答 1. 物块放到小车上以后,由于摩擦力的作用,当以地面为参考系时,物块将从静止开始加速运动,而 小车将做减速运动,若物块到达小车顶后缘时的速度恰好等于小车此时的速度,则物块就刚好不脱落。令 v 表示此时的速度,在这个过程中,若以物块和小车为系统,因为水平方向未受外力,所以此方向上动量 守恒,即

Mv0 ? (m ? M )v

(1)

从能量来看,在上述过程中,物块动能的增量等于摩擦力对物块所做的功,即

1 2 mv ? ? mgs1 2
其中 s1 为物块移动的距离。小车动能的增量等于摩擦力对小车所做的功,即

(2)

1 2 1 2 Mv ? mv0 ? ?? mgs2 2 2
其中 s 2 为小车移动的距离。用 l 表示车顶的最小长度,则

(3)

l ? s2 ? s1
由以上四式,可解得

(4)

l?

2 Mv0 2? g (m ? M ) 2 Mv0 。 2? g (m ? M )

(5)

即车顶的长度至少应为 l ?

2.由功能关系可知,摩擦力所做的功等于系统动量的增量,即

1 1 2 W ? (m ? M )v2 ? Mv0 2 2
由(1)、(6)式可得
2 mMv0 2(m ? M )

(6)

W ??

(7)

三、参考解答 设容器的截面积为 A ,封闭在容器中的气体为? 摩尔,阀门打开前,气体的压强为 p0 。由理想气体状

态方程有

p0 AH ? ? RT0

(1)

打开阀门后,气体通过细管进入右边容器,活塞缓慢向下移动,气体作用于活塞的压强仍为 p0 。活塞 对气体的压强也是 p0 。设达到平衡时活塞的高度为 x ,气体的温度为 T ,则有

p0 ( H ? x) A ? ? RT
根据热力学第一定律,活塞对气体所做的功等于气体内能的增量,即

(2)

3 p0 (H ? x) A ? ? R(T ? T0 ) 2
由(1)、(2)、(3)式解得

(3)

2 x? H 5 7 T ? T0 5

(4) (5)

四、参考解答 设线框的 dc 边刚到达磁场区域上边界 PP ' 时的速度为 v1 ,则有

1 2 mv1 ? mgh 2

(1)

dc 边进入磁场后,按题意线框虽然受安培力阻力作用,但依然加速下落.设 dc 边下落到离 PP ' 的距
离为 ?h1 时,速度达到最大值,以 v0 表示这个最大速度,这时线框中的感应电动势为

E ? Bl1v0
线框中的电流

I?

E Bl1v0 ? R R
(2)

作用于线框的安培力为

B 2l12 v0 R 速度达到最大的条件是安培力 F ? mg F ? Bl1I ?
由此得

v0 ?

mgR B 2 l12

(3)

在 dc 边向下运动距离 ?h1 的过程中,重力做功 WG ? mg ?h1 ,安培力做功 WF ,由动能定理得

1 2 1 2 WG ? WF ? mv0 ? mv1 2 2
将(1)、(3)式代入得安培力做的功

WF ? ?mg ?h1 ?

m3 g 2 R 2 ? mgh 2 B 4l14

(4)

线框速度达到 v0 后,做匀速运动.当 dc 边匀速向下运动的距离为 ?h2 ? l2 ? ?h1 时, ab 边到达磁场的 边界 PP ' ,整个线框进入磁场.在线框 dc 边向下移动 ?h2 的过程中,重力做功 WG ? ,安培力做功 WF ? ,但 线框速度未变化,由动能定理

WG? ? WF ? ? 0 WF ? ? ?WG? ? ?mg ?h2 ? ?mg (l2 ? ?h1 )
做的功也为零,线框只在重力作用下做加速运动。 所以,整个过程中安培力做的总功 (5)

整个线框进入磁场后,直至 dc 边到达磁场区的下边界 QQ ' ,作用于整个线框的安培力为零,安培力

W ? WF ? WF ? ? ?mg (l2 ? h) ?
〔编注:此题命题有不严密之处。由微分方程

m3 g 2 R 2 2 B 4l14

(6)

mg ?
的解

B 2l12 v dv ?m R dt
B2l 2

B 2l 2v - 1 ?t mg ? 1 ? l mR R
可知,只有当 t ?? 时, v 才能趋向极限速度 v0 ?

mgR (即线框下落无穷长的距离,速度才能趋向 v0 )。 B 2 l12

原题说 ab 边未进入磁场即达到最大速度是不确切的。〕

五、参考解答 1. 用作图法求得物 AP ,的像 A' P ' 及所用各条光线的光路如图预解16-5所示。 说明:平凸薄透镜平面上镀银后构成一个由会 聚透镜 L 和与它密接的平面镜 M 的组合 LM ,如图 预解16-5所示.图中 O 为 L 的光心, AOF ' 为主轴, F 和 F ' 为 L 的两个焦点, AP 为物,作图时利用了 下列三条特征光线: (1)由 P 射向 O 的入射光线,它通过 O 后方 向不变,沿原方向射向平面镜 M ,然后被 M 反射, 反射光线与主轴的夹角等于入射角,均为 ? 。反射 线射入透镜时通过光心 O ,故由透镜射出时方向与

上述反射线相同,即图中的 OP ' . (2)由 P 发出已通过 L 左方焦点 F 的入射光线 PFR ,它经过 L 折射后的出射线与主轴平行,垂直射 向平面镜 M , 然后被 M 反射, 反射光线平行于 L 的主轴, 并向左射入 L , L 折射后的出射线通过焦点 F , 经 即为图中的 RFP . (3)由 P 发出的平行于主轴的入射光线 PQ ,它经过 L 折射后的出射线将射向 L 的焦点 F ' ,即沿图 中的 QF ' 方向射向平面镜, 然后被 M 反射, 反射线指向与 F ' 对称的 F 点, 即沿 QF 方向。 此反射线经 L 折 射后的出射线可用下法画出:通过 O 作平行于 QF 的辅助线 S ' OS , S ' OS 通过光心,其方向保持不变,与 焦面相交于 T 点, 由于入射平行光线经透镜后相交于焦面上的同一点, QF 经 L 折射后的出射线也通过 T 故 QT 即为 QF 经 L 折射后的出射光线。 点,图中的 上列三条出射光线的交点 P' 即为 LM 组合所成的 P 点的像,对应的 A' 即 A 的像点.由图可判明,像 A' P ' 是倒立实像,只要采取此三条光线中任意两条即可得 A' P ' ,即为正确的解答。 2. 按陆续成像计算物 AP 经 LM 组合所成像的伙置、大小。 物 AP 经透镜 L 成的像为第一像,取 u1 ? 2 f ,由成像公式可得像距 v1 ? 2 f ,即像在平向镜后距离 2 f 处,像的大小 H ' 与原物相同, H ' ? H 。 第一像作为物经反射镜 M 成的像为第二像。第一像在反射镜 M 后 2 f 处,对 M 来说是虚物,成实像 于 M 前 2 f 处。像的大小 H ?? 也与原物相同, H ?? ? H ? ? H 。 第二像作为物, 而经透镜 L 而成的像为第三像, 这时因为光线由 L 右方入射,且物(第二像)位于 L 左 方,故为虚物,取物 u3 ? ?2 f ,由透镜公式

1 1 1 ? ? 可得像距 u3 v3 f

v3 ?

fu3 2 ? f ?0 u3 ? f 3

上 述 结 果 表 明 , 第 三 像, 即 本 题 所 求 的 像 的 位置 在 透 镜 左 方 距 离

2 f 处 ,像 的 大 小 H ??? 可 由 3

H ??? v3 1 ? ? 求得,即 H ?? u3 3

1 1 H ??? ? H ?? ? H 3 3
像高为物高的 。

1 3

六、参考解答 解法一: 设二极管 D 两端的管压为 U D ,流过二极管的电流为 I D 。则有

? 2U ? 2U D ? E ? ? I D ? D ? R1 R2 ? ?
代入数据解得 U D 与 I D 的关系为

(1)

UD ? (1.5 ? 0.25I D ?103 ) V

(2)

这是一在图预解16-6中横轴上截距为1.5,纵轴上截距为 6、斜率为-4的直线方程(称为二极管的负 载线)因管压 U D 与流过二极管电流 I D 还受二极管 D 的 I D ~ U D 特性曲线的限制,因而二极管就工作在负 载线与 I D ~ U D 特性曲线的相交点 P 上(如图预解16-6).由此得二极管两端的管压和电流分别为

UD ? 1 V ,
电阻 R1 上的电压

I D ? 2 mA

(3)

U1 ? E ? 2UD ? 4 V
其功率

P? 1
解法二:

U12 ? 16 mW R1

(4)

设两个二极管用一个等效二极管 D? 代替,当流过等效二极管的电流为 I D? 时,等效二极管的管压为

U D? ? 2U D 。
即有

U D? ? E ? ( I D? ?
代入数据解得 U D? 与 I D? 的关系为

U D? ) R1 R2

(1?)

U D? ? (3 ? 0.5I D? ?103 ) V

(2?)

这是一在横轴上截距为3、纵轴上截距为6、斜率为-2的负载线方程,二极管 D? 的 I D? ? U D? 特性曲线 只要将图预解16-6的横坐标增大1倍即可.用作图法,求出负载线与管 D? 的特性曲线相交的 P 点得

U D? ? 2 V ,
电阻 R1 上的电压

I D? ? 2 mA

(3?)

U1 ? E ? U D? ? 4 V
其功率

P? 1

U12 ? 16 mW R1

(4?)

七、参考解答 t ? 10.5 s 和 t ? 12.5 s 的波形如图预解16-7-1所示。

其中10.5 s 时的波形,如果没有固定点应如 AB 所示,以固定点 D 对称作出反射波 B ' C ' ,再和 AC 合 成,形成了 AED (图预解16-7-2)。12.5 s 的波形,如果没有固定点应如 AB 所示,以固定点对称作出 反射波 A' B ' (图预解16-7-3).

八、参考解答 首先求出一定质量的引力源成为黑洞应满足的条件.按照黑洞的定义,包括以光速运动的光子也不能 脱离黑洞的吸引,即不能逃离黑洞的表面.而拉普拉斯经典黑洞模型则把光看做是以光速 c 运动的某种粒 子.我们知道,物体在引力作用下的势能是负的,物体恰能逃离引力作用,表示物体运动到无限远的过程 中,其动能恰好全部用于克服引力做功.物体在无限远处时,动能和势能都等于零.这意味着该物体处在 引力源表面处时,其动能与势能之和亦等于零.物体不能逃离引力作用,表示该物体尚未到达无限远处, 其动能已全部用于克服引力做功,但引力势能仍是负的.这意味着它在引力源表面处时,其动能与势能之 和小于零.若某引力源的质量为 M ,半径为 rB ,质量为 m 的粒子在引力源表面的速度等于光速,但它仍 不能逃离引力作用,则按牛顿力学的观点应有下列关系:

1 2 Mm mc ? G ?0 2 rB


(1)

rB ?

2GM c2

(2)

这就是说,对于质量为 M 的引力源,只有其半径 rB (叫做黑洞的引力半径)小于

2GM 时才会在其 c2

表面产生足够强的引力,使得包括光在内的所有物质都不能脱离其引力作用.对光而言,人们将无法通过 光学测量看到它,这就是把它叫做黑洞的原因. 现在再来根据观测数据确定存在于银河系中心的大黑洞的半径.设位于银河系中心的引力源的质量为 M ,绕银河系中心旋转的星体的质量为 m ,该星体做圆周运动时,有下列关系:

m

v2 mM ?G 2 r r



M ?

rv 2 G

(3)

r 为轨道半径.若该引力源为黑洞,则其质量分布球的半径应满足(2)式,即 2G v 2 r v2r rB ? 2 ?2 2 (4) c G c
根据观测数据, v ? 2 ?103 km/s=2 ?106 m/s , r ? 60 ?108 km=6 ?1012 m ,而 c ? 3 ?108 m/s ,把这些数据 代入(4)式,得

rB ? 5.3 ?108 m=5.3 ?105 km

(5)

这说明,对质量由(3)式决定的引力源来说,半径小于 5.3 ?105 km 时才是黑洞,大于这个数值则不 是黑洞.所以如果银河系中心存在黑洞的话,该黑洞的半径小于 5.3 ?105 km .

九、参考解答 1.用 S 表示木棍的横截面积,从静止开始到其下端到达两液体交界面为止,在这过程中,木棍受向 下的重力 ( ?1 ? ?2 ) ? LSg 和向上的浮力 ?1LSg 。由牛顿第二定律可知,其下落的加速度

1 2

a1 ?

? 2 ? ?1 g ?1 ? ? 2

(1)

用 t1 表示所需的时间,则

3 1 2 L ? a1t1 4 2
由此解得

(2)

t1 ?

3L( ?1 ? ?2 ) 2( ?2 ? ?1 ) g

(3)

2.木棍下端开始进入下面液体后,用 L' 表示木棍在上面液体中的长度,这时木棍所受重力不变,仍 为 ( ?1 ? ?2 ) ? LSg ,但浮力变为 ?1L?Sg ? ?2 ( L ? L?)Sg .当 L ? L' 时,浮力小于重力;当 L ' ? 0 时,浮力 大于重力,可见有一个合力为零的平衡位置.用 L0? 表示在此平衡位置时,木棍在上面液体中的长度,则 此时有

1 2

1 ( ?1 ? ?2 ) ? LSg ? ?1L0?Sg ? ?2 (L ? L0? )Sg 2
由此可得

(4)

L0? ?

L 2

(5)

即木棍的中点处于两液体交界处时,木棍处于平衡状态,取一坐标系,其原点位于交界面上,竖直方向为 z 轴,向上为正,则当木棍中点的坐标 z ? 0 时,木棍所受合力为零.当中点坐标为 z 时,所受合力为

? ?1 1 ? ?1 ? ? ? ( ?1 ? ?2 ) ? LSg ? ? ?1 ? L ? z ? Sg ? ?2 ? L ? z ? Sg ? ? ?( ?2 ? ?1 )Sgz ? ?kz 2 ? ?2 ? ? ? ?2
式中

k ? ( ?2 ? ?1 )Sg

(6)

这时木棍的运动方程为

1 ?kz ? ( ?1 ? ?2 ) LSaz 2
az 为沿 z 方向加速度
az ? ?2 ( ? 2 ? ?1 ) gz ? ?? 2 z ( ?1 ? ? 2 ) L
(7)

?2 ? 2

( ? 2 ? ?1 ) g ( ?1 ? ? 2 ) L

由此可知为简谐振动,其周期

T?

2?

?

? 2?

( ?1 ? ?2 ) L 2( ?2 ? ?1 ) g

(8)

为了求同时在两种液体中运动的时间,先求振动的振幅 A .木棍下端刚进入下面液体时,其速度

v ? a1t1
由机械能守恒可知

(9)

1 ?1 1 1 ? ( ?1 ? ? 2 ) SL ? v 2 ? kz 2 ? kA2 2 ?2 2 2 ? ?
式中 z ?

(10)

1 L 为此时木棍中心距坐标原点的距离,由(1)、(3)、(9)式可求得 v ,再将 v 和(6)式中 2

的 k 代人(10)式得 (11) 由此可知, 从木棍下端开始进入下面液体到棍中心到达坐标原点所走 的距离是振幅的一半, 从参考圆 (如图预解16-9) 上可知, 对应的 ? 为30?, 对应的时间为 T /12 。因此木棍从下端开始进入下面液体到上端进入下面 液体所用的时间,即棍中心从 z ?

A? L

L L 到 z ? ? 所用的时间为 2 2
(12)

t2 ? 2

T ? ( ?1 ? ?2 ) L ? 12 3 2( ?2 ? ?1 ) g

3.从木棍全部浸入下面液体开始,受力情况的分析和1中类似,只是浮力大于重力,所以做匀减速运 动,加速度的数值与 a1 一样,其过程和1中情况相反地对称,所用时间

t3 ? t1
4.总时间为

(13)

t ? t1 ? t2 ? t3 ?

6 6 ? 2? 6

( ?1 ? ?2 ) L ( ?2 ? ?1 ) g

(14)


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