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2016导数及其应用讲义

时间:2016-01-26


导数及其应用
一、导数的几何意义: 函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数 f ' ( x0 ) 即是曲线 y ? f ( x) 上在点 x0 的切线的斜率。 解题绝招: 一点三等式 一点:切点。有则直接用,无则假设有。 三等式:切点即满足切线方程,也满足曲线方程,切点处的导数就是切线方程的斜率 1.函数 y ? f ( x) 的图像在点 M (1, f (1)) 处的切线方程是 y ?

1 x ? 2 , f (1) ? f / (1) = 2

2. 已知直线 y ? x ? a 与曲线 y ? ln x 相切,求 a 的的值.

3.已知函数 f ( x) ?

x , g ( x) ? a ln x(a ? R) ,它们有交点且交点处有相同的切线,

求 a 的值及交点处的切线方程。

4. 已知抛物线 C1 : y ? x

2

和 C2 : y ? ? x ? 4 x ? 4 ,求 C1 与 C 2 公切线方程。
2

2 5. 点 P 是曲线 y ? x ? ln x 上任一点,则点 P 到直线 y ? x ? 2 的距离的最小值是

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二、函数的单调性与导数: 一般地,设函数 y ? f ?x ? 在某个区间可导,如果 f ' ?x? ? 0 ,则 f ?x ? 为增函数; 如果 f ' ?x? ? 0 ,则 f ?x ? 为减函数。 1.(09 安徽) 已知函数 f ( x) ? x ? 2 ? 1 ? a ln x, a ? 0 ,
x

(1)讨论 f ( x ) 的单调性; (2)设 a ? 3 ,求 f ( x ) 在区间[ 1, e 2 ]上值域。

2.(10 安徽)设 f ( x ) = sin x ? cos x ? x ? 1 , 0 ? x ? 2? ,求 f ( x ) 的单调区间与极值

3.(12 山东)已知 f ( x) ?

ln x ? k (k 为常数), ex

曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与 x 轴平行. (1)求 k 的值; (2)求 f ( x) 的单调区间; (3)设 g ( x) ? xf ?( x) ,其中 f ?( x) 为 f ( x) 的导函数.证明:对任意 x ? 0, g ( x) ? 1 ? e?2 。 4.(11 安徽) 设 f ( x) ? (1)当 a ?

ex ,其中 a 为正实数。 1 ? ax 2

4 时,求 f ( x ) 的极值点; (2)若 f ( x ) 为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围。 3
3 2

5. (08 全国Ⅰ)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? x ? 1 , a ? R . (1)讨论函数 f ( x ) 的单调区间;
2 1 ? 内是减函数,求 a 的取值范围。 (2)设函数 f ( x ) 在区间 ? ? ? ?? , ? 3 3?
3 2 6.(2009 浙江)已知函数 f ( x) ? x ? (1 ? a) x ? a(a ? 2) x ? b (a, b ? R) .

(1)若函数 f ( x ) 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是 ?3 ,求 a , b 的值; (2)若函数 f ( x ) 在区间 (?1,1) 上不单调 ,求 a 的取值范围。 ...
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三、函数的极值与导数:
当 函数 f ( x) 在 x= x 0 处连续时, ①如果在 x 0 附近的左侧 f ( x) >0, 右侧 f ( x) <0, 此时 x 0 是函数 f ( x) 的极大值点, f ( x 0 ) 是极大值; ②如果在 x 0 附近的左侧 f ( x) <0, 右侧 f ( x) >0, 此时 x 0 是函数 f ( x) 的极小值点, f ( x 0 ) 是极小值。
' ' ' '

1.(08 安徽)设函数 f ( x) ?

a 3 3 2 x ? x ? (a ? 1) x ? 1 ,其中 a 为实数。 3 2

(1)已知函数 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,求 a 的值; (2)已知不等式 f ( x) ? x ? x ? a ? 1 对任意 a ? (0, ??) 都成立,求实数 x 的取值范围。
' 2

2.已知 f ( x) ? x ? 3ax ?1, a ? 0 。
3

(1)求 f ( x ) 的单调区间; (2)若 f ( x ) 在 x ? ?1 处取得极值,直线 y ? m 与 y ? f ( x) 的图象有三个不同的交点, 求 m 的取值范围。

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四、函数的最值与导数: 一般地,在区间 ?a, b? 上连续的函数 f ( x) 在 ?a, b? 上必有最大值与最小值。 ①求函数 f ( x) 在 ?a, b ? 内的极值; ②求函数 f ( x) 在区间端点的值 f ?a ? 、 f ?b ? ; ③将函数 f ( x) 的各极值与 f ?a ? 、 f ?b ? 比较,其中最大的是最大值,其中最小的是最小值 1. (12 福建)已知函数 f ( x) ? ax sin x ? (1)求函数 f ( x ) 的解析式;

? ?3 3 ? (a ? R ), 且在 [0, ] 上的最大值为 。 2 2 2

2.(15 新课标 II)已知函数 f ( x) ? ln x ? a(1 ? x) (1)讨论 f ( x) 的单调性。 (2)当 f ( x) 有最大值,且最大值大于 2a ? 2 ,求 a 的范围。

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