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2015年北京市朝阳区高三一模数学(文)试题及答案


北京市朝阳区高三年级第一次综合练习

数学试卷(文史类)
2015.4 (考试时间 120 分钟 满分 150 分)

本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分

第一部分(选择题 共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四

个选项中,选出符合题目要求的一项. (1)已知全集 U ? {a, b, c, d },集合 A ? {a, b}, B ? {b, c} ,则 ? U (A A. {b} B. {d } C. {a, c, d}

B) 等于

D. {a, b, c}

(2)已知命题 p : ?x ? R , sin x ? 1 ,则 A. ?p : ?x ? R , sin x ? 1 C. ?p : ?x0 ? R , sin x0 ? 1 B. ?p : ?x ? R , sin x ? 1 D. ?p : ?x0 ? R , sin x0 ? 1

(3)若抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点与双曲线 x2 ? y 2 ? 2 的右焦点重合,则 p 的值为 A. 2 B. 2 C. 4 D. 2 2 开始

(4)如图所示的程序框图表示的算法功能是 A.计算 S ? 1? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 的值 B.计算 S ? 1? 2 ? 3 ? 4 ? 5 的值 C.计算 S ? 1? 2 ? 3 ? 4 的值 D.计算 S ? 1? 3 ? 5 ? 7 的值 (5)已知 x1 ? log 1 2 , x2 ? 2
3 ? 1 2

S ? 1, t ? 2

t ? t ?1
1 3

, x3 满足 ( ) x3 ? log3 x3 ,则

S ? S ?t

A. x1 ? x2 ? x3 B. x1 ? x3 ? x2 C. x2 ? x1 ? x3 D. x3 ? x1 ? x2

S ? 100 ?
否 输出 S


Sh i

结束 第(4)题图 是

π π (6)函数 f ( x) ? 2sin( x ? )cos( x ? ) 图象的一条对称轴方程 6 6
1

A. x ?

π 6

B.

x?

π 3

C. x ?

5π 12

D. x ?

2π 3

? 2 x ? y ? 0, ? (7)已知实数 x , y 满足 ? 2 x ? y ? 0, 其中 t ? 0 .若 z ? 3x ? y 的最大值为 5,则 z 的最小值为 ?0 ? y ? t , ?
A.

5 2

B. 1

C. 0

D. ? 1

(8)已知边长为 3 的正方形 ABCD 与正方形 CDEF 所在的平面互相垂直,M 为线段 CD 上的动点(不含端点) , 过 M 作 MH //DE 交 CE 于 H ,作 MG //AD 交 BD 于 G ,连结 GH .设 CM ? x (0 ? x ? 3) ,则下面四个图 象中大致描绘了三棱锥 C ? GHM 的体积 y 与变量 x 变化关系的是
y
y

O

3x

O

3x

A
y

B
y

O

3x

O

3x

C

D

第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上. (9) i 为虚数单位,计算

1? i = 1? i



2

b 满足 a ? b ? 1 , (10) 已知平面向量 a , a 与 b 的夹角为 60 ? ,



a ? (a ? b) ?


1 正视图 1 侧视图

(11)圆 C : ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 8 与 y 轴相交于 A, B 两点,则 对的圆心角的大小为 .

弦 AB 所

(12)一个四棱锥的三视图如图所示,其中侧视图为正三角形, 的体积是 ,四棱锥侧面中最大侧面的面积是
俯视图

则该四棱锥 .

第(12)题图 (13)稿酬所得以个人每次取得的收入,定额或定率减除规定费用 后的余额为 应纳税所得额,每次收入不超过 4000 元,定额减除费用 800 元;每次收 入在 4000 元以上的,定率减除 20%的费用.适用 20%的比例税率,并按规定对应纳税额减征 30%,计算公式为: (1)每次收入不超过 4000 元的:应纳税额=(每次收入额-800)×20%×(1-30%) (2)每次收入在 4000 元以上的:应纳税额=每次收入额×(1-20%)×20%×(1-30%). 已知某人出版一份书稿,共纳税 280 元,这个人应得稿费(扣税前 )为 元. ... (14)记 x 2 ? x1 为区间 [ x1 , x2 ] 的长度.已知函数 y ? 2 , x ? ? ?2, a? ( a ? 0 ),其值域为 ?m, n? ,则区间 ?m, n? 的
x

长度的最小值是



三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. (15) (本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中, A ?

π 6 , cos B ? , BC ? 6 . 3 3

(Ⅰ)求 AC 的长; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积.

(16) (本小题满分 13 分) 某次考试结束后,为了解甲、乙两所学校学生的数学考试情况,随机抽取甲、乙两校各 10 名学生的考试成绩, 得茎叶图如图所示(部分数据不清晰) :
甲校 乙校 9 8 7 6 5 0 0 3 5 1 * 5 2 6 8

(Ⅰ )请根据茎叶图判断哪个学校的数学成绩平均水 平较高(直接写出结果) ; (Ⅱ )若在抽到的这 20 名学生中,分别从甲、乙两校
3

3 6 * 2 2

2 1 * 6 8

随机各抽取 1 名成绩不低于 90 分的学生,求抽到的学生中, 甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率.

(17) (本小题满分 14 分) 如图,在三棱柱 ABC ? 线段 AC 的中点. (Ⅰ)求证: BD ⊥平面 ACC1 A1 ; (Ⅱ)求证:直线 AB1 ∥平面 BC1 D ; (Ⅲ)设 M 为线段 BC1 上任意一点,在 D 存在点 E ,使 CE ? DM ,并说明理由.

C1

A1 B1C1 中,各个侧面均是边长为 2 的

A1

B1

正方形, D 为

C

BC1 D 内的平面区域(包
A

D

括边界)是否 B

(18) (本小题满分 13 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? 4 , an?1 ? Sn , n ? N .
?

(Ⅰ )写出 a2 , a3 , a4 的值; (Ⅱ )求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ )已知等差数列 ?bn ? 中,有 b2 ? a2 , b3 ? a3 ,求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 Tn .

(19) (本小题满分 14 分)

x2 y 2 6 .过焦点 F2 的直 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的两个焦点分别为 F1 (?2,0), F2 (2,0) ,离心率为 2 a b 3 线 l (斜率不为 0)与椭圆 C 交于 A, B 两点,线段 AB 的中点为 D ,O 为坐标原点,直线 OD 交椭圆于 M , N 两点.
已知椭圆 C : (Ⅰ )求椭圆 C 的方程; (Ⅱ )当四边形 MF1 NF2 为矩形时,求直线 l 的方程. (20) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? )e , a ? R .
x

a x

(Ⅰ )当 a ? 0 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ )当 a ? ?1 时,求证: f ( x ) 在 (0, ??) 上为增函数;
4

(Ⅲ )若 f ( x ) 在区间 (0,1) 上有且只有一个极值点,求 a 的取值范围.

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数学试卷答案(文史类)
2015.4 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 题号 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) B D C B A C D A 答案 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上. 题号 (9) (10) (11) (12) (13) (14) 答案

i

3 2

90 ?

3 6

7 4

2800

3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. (15) (本小题满分 13 分) (Ⅰ)因为 cos B ?

6 B ? (0, ?) , ,又 sin 2 B ? cos2 B ? 1 , 3 3 所以 sin B ? . 3 AC BC ? 由正弦定理得, . sin B sin A

5

AC 6 ? . 3 3 3 2 所以 AC ? 4 . (Ⅱ)在 ?ABC 中, sin C ? sin( B ? 60 )
所以

??? 6 分

? sin B cos 60 ? cos B sin 60

1 3 ? sin B ? cos B 2 2
=

1 3 3 6 ? + ? 2 3 2 3 3+3 2 . 6
3+3 2 = 2 3+6 2 . 6
??13 分

= 所以 S ?ABC ?

1 1 AC ? BC sin C = ? 4 ? 6 ? 2 2

(16) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)从茎叶图可以看出,乙校 10 名学生的考试成绩的平均分高于甲校 10 名学生的考试成绩平均分,故乙校 的数学成绩整体水平较高. ??? 4 分 (Ⅱ)设事件 M :分别从甲、乙两校随机各抽取 1 名成绩不低于 90 分的同学,抽到的学生中,甲校学生成绩高 于乙校学生成绩. 由茎叶图可知,甲校成绩不低于 90 分的同学有 2 人,从小到大依次记为 A 1, A 2 ;乙校成绩不低于 90 分的 同学有 5 人,从小到大依次记为 B1 , B2 , B3 , B4 , B5 . 其中 A 1 = 92, A 2 = 93, B 1 = 90, B2 = 91, B3 = 95, B4 = 96, B5 = 98. 分 别 从 甲 、 乙 两 校 各 随 机 抽 取 1 名 成 绩 不 低 于 90 分 的 同 学 共 有

A1B1 , A1B2 , A1B3 , A1B4 , A1B5 , A2 B1 , A2 B2 , A2 B3 , A2 B4 , A2 B5 这 10 种可能.
其中满足“抽到的学生中,甲校学生成绩高于乙校学生成绩”共有 A 1B 1, A 1B2 , A2 B 1, A 2 B2 这 4 种可能. 所以 P ( M ) ?

4 2 ? . 10 5 2 . 5
??? 13 分 C1 A1
6

即分别从甲、乙两校随机各抽取 1 名成绩不低于 90 分的同学,抽到的学生中,甲校学生成绩高于乙校学生 成绩的概率为

(17) (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)证明:因为三棱柱的侧面是正方形, B1 O C A D B

所以 CC1 ^ BC , CC1 ^ AC , BC I AC = C . 所以 CC1 ^ 底面 ABC . 因为 BD ? 底面 ABC ,所以 CC1 ^ BD . 由已知可得,底面 ABC 为正三角形. 因为 D 是 AC 中点,所以 BD ^ AC . 因为 AC ? CC1

C ,所以 BD ^ 平面 ACC1 A1 .

??? 5 分

(Ⅱ)证明:如图,连接 B1C 交 BC1 于点 O ,连接 OD . 显然点 O 为 B1C 的中点. 因为 D 是 AC 中点, 所以 AB1 // OD . 又因为 OD ? 平面 BC1 D , AB1 ? 平面 BC1 D , 所以直线 (Ⅲ)在 D

AB1 // 平面 BC1D .

??? 10 分

BC1 D 内的平面区域(包括边界)存在一点 E ,使 CE ? DM .

此时点 E 是在线段 C1D 上. 证明如下: 过 C 作 CE ? C1D 交线段 C1D 于 E , 由 (Ⅰ) 可知 BD ^ 平面 ACC1 A1 , 而 CE ? 平面 ACC1 A1 , 所以 BD ^ CE . 又 CE ? C1D ,BD I C1D = D , 所以 CE ^ 平面 BC1 D . 又 DM ? 平面 BC1D ,所以 CE ? DM . ??? 14 分 E (18) (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:因为 a1 ? 4 , an?1 ? Sn , 所以 a2 ? S1 ? a1 ? 4 , a3 ? S2 ? a1 ? a2 ? 4 ? 4 ? 8 , A D C B A1 M C1 B1

a4 ? S3 ? a1 ? a2 ? a3 ? 4 ? 4 ? 8 ? 16 .
(Ⅱ )当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n?1 ? 2n ? 2n . 又当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 4 .

??? 3 分

? 4, n ? 1, n ?2 , n ? 2. (Ⅲ )依题意, b2 ? a2 ? 4 , b3 ? a3 ? 8 .
所以 an ? ? 则由 ?

??? 6 分

?b1 ? d ? 4 得, b1 ? 0 , d ? 4 ,则 bn ? 4(n ? 1) . ?b1 ? 2d ? 8
0, n ? 1, ? n?2 ?(n ? 1)2 , n ? 2.
n?2

所以 an ? bn ? ?

所以 an ? bn ? (n ?1)2

(n ? N*) .
7

因为 Tn = a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? a4b4 ? ... ? an?1bn?1 ? anbn

? 0 ? 1? 24 ? 2 ? 25 ? 3 ? 26 ? ... ? (n ? 2) ? 2n?1 ? (n ?1) ? 2n?2 , 所以 2Tn ? 1? 25 ? 2 ? 26 ? 3? 27 ? ... ? (n ? 2) ? 2n?2 ? (n ?1) ? 2n?3 .
所以 ?Tn ? 24 ? 25 ? 26 ? 27 ? ... ? 2n?2 ? (n ?1) ? 2n?3

24 (1 ? 2n?1 ) ? (n ? 1) ? 2n?3 ? ?16 ? (n ? 2) ? 2n?3 . 1? 2 所以 Tn ? 16 ? (n ? 2) ? 2n?3 . ?
(19) (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由题意可得

??? 13 分

?c ? 2, ? 6 ?c , 解得 a ? 6 , b ? 2 . ? ? a 3 ? 2 ?a ? b2 ? c 2 , ? x2 y 2 ? ? 1. 故椭圆的方程为 ??? 5 分 6 2 B( x2 , y2 ) , M ( x3 , y3 ) ,N (? x3 , ? y3 ) , (Ⅱ) 由题意可知直线 l 斜率存在, 设其方程为 y ? k ( x ? 2) , 点 A( x1 , y1 ) ,

? x2 y 2 ? 1, ? ? 2 2 2 2 由? 6 得 (1 ? 3k ) x ?12k x ? 12k ? 6 ? 0 , 2 ? y ? k ( x ? 2), ?
所以 x1 ? x2 ?

?4 k , 1 ? 3k 2 6k 2 ?2k , ). 所以 AB 中点 D( 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 因此直线 OD 方程为 x ? 3ky ? 0 (k ? 0) .
因为 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 4) ?

12k 2 . 1 ? 3k 2

? x ? 3ky ? 0, 2 ? 2 由 ? x2 y 2 解得 y3 ? , x3 ? ?3ky3 . 1 ? 3k 2 ? 1, ? ? ?6 2 因为四边形 MF1 NF2 为矩形,所以 F2 M ? F2 N ? 0 ,
即 ( x3 ? 2, y3 ) ? (? x3 ? 2, ? y3 ) ? 0 . 所以 4 ? x3 ? y3 ? 0 .
2 2

2(9k 2 ? 1) ? 0. 1 ? 3k 2 3 3 ( x ? 2) . 解得 k ? ? .故直线 l 的方程为 y ? ? 3 3
所以 4 ? (20) (本小题满分 13 分)

??? 14 分

8

解:函数 f ( x ) 定义域为 {x x ? 0}, f ?( x) ?

x3 ? x 2 ? ax ? a x e . x2 (Ⅰ)当 a ? 0 时, f ( x) ? x ? e x , f ?( x) ? ( x ? 1)e x . 所以 f (1) ? e, f ?(1) ? 2e . 所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程是 y ? e ? 2e( x ? 1) , 即 2ex ? y ? e = 0 . ??? 3 分 x3 ? x 2 ? x ? 1 x e . x2 3 2 设 g ( x) ? x ? x ? x ? 1 ,则 g ?( x) ? 3x2 ? 2 x ?1 ? (3x ?1)( x ? 1) . 1 1 令 g ?( x) ? (3x ? 1)( x ? 1) ? 0 得, x ? 或 x ? ?1 ,注意到 x ? 0 ,所以 x ? . 3 3 1 令 g ?( x) ? (3x ? 1)( x ? 1) ? 0 得,注意到 x ? 0 ,得 0 ? x ? . 3 1 1 所以函数 g ( x) 在 (0, ) 上是减函数,在 ( , ??) 上是增函数. 3 3 1 1 22 ? 0. 所以函数 g ( x) 在 x ? 时取得最小值,且 g ( ) ? 3 3 27 所以 g ( x) 在 (0, ??) 上恒大于零.

(Ⅱ) 当 a ? ?1 时, f ?( x) ?

x3 ? x 2 ? x ? 1 x e ? 0 恒成立. x2 所以当 a ? ?1 时,函数 f ( x ) 在 ? 0, ??? 上为增函数.
于是,当 x ? (0, ??) , f ?( x) ? (Ⅱ)问另一方法提示:当 a ? ?1 时, f ?( x) ?
3 2

??? 7 分

x ? x ? x ?1 x e . x2 3 2 由于 x ? x ? x ? 1 ? 0 在 ? 0, ??? 上成立,即可证明函数 f ( x ) 在 ? 0, ??? 上为增函数.
x

x3 ? x 2 ? ax ? a ). x2 3 2 2 设 h( x) ? x ? x ? ax ? a , h?( x) ? 3x ? 2 x ? a .
(Ⅲ) (Ⅱ) f ?( x) ? e ( (1) 当 a ? 0 时, h?( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立, 即函数 h( x) 在 (0, ??) 上为增函数.

h(1) ? 2 ? 0 , 而 h(0) ? ?a ? 0 , 则函数 h( x) 在区间 ? 0,1? 上有且只有一个零点 x0 , 使 f ?( x) ? 0 0

,且在 (0, x0 ) 上,

f? ( x) < 0 ,在 (x0 ,1) 上, f ? ( x) > 0 ,故 x0 为函数 f ( x) 在区间 ? 0,1? 上唯一的极小值点;
(2) 当 a ? 0 时, 当 x?

? 0,1? 时,h?( x) ? 3x2 ? 2x ? 0 成立,函数 h( x) 在区间 ? 0,1? 上为增函数,又此时 h(0) ? 0 , 所以函数 h( x) ? 0 在区间 ? 0,1? 恒成立,即 f ? ( x) > 0 , 故函数 f ( x ) 在区间 ? 0,1? 为单调递增函数,所以 f ( x ) 在区间 ? 0,1? 上无极值;
3 2 3 2

(3)当 a ? 0 时, h( x) ? x ? x ? ax ? a ? x ? x ? a( x ?1) . 当 x ? ? 0,1? 时,总有 h( x) ? 0 成立,即 f ?( x) ? 0 成立,故函数 f ( x ) 在区间 ? 0,1? 上为单调递增函数,所以

f ( x) 在区间 ? 0,1? 上无极值. 综上所述 a ? 0 .

??? 13 分

9

10


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