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【世纪金榜】2016届高三文科数学总复习课件:5.2等差数列及其前n项和


第二节

等差数列及其前n项和

【知识梳理】

1.必会知识

教材回扣

填一填

(1)等差数列的概念: 同一个常数 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于___________, 公差 一般 那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数

列的_____,
*) a -a =d(n∈N n+1 n 用字母d表示;定义的表达式为:_______________.

(2)等差中项:

a?b 如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a,b的等差中项,且A=____. 2

(3)等差数列的通项公式: a1+(n-1)d 若等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则其通项公式为an=_________.

(4)等差数列的前n项和公式: 已知条件 a1,an,n a1,d,n 前n项和公式
n(a1 ? a n ) S n= 2

Sn= na1 ?

n(n ? 1) d 2

2.必备结论教材提炼

记一记

*). (n-m)d (1)通项公式的推广:an=am+_______(n,m∈N

(2)等差数列的性质:

ak+al=am+an ①若{an}是等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则__________;
ak+al=2am k+l=2m?________(k, l,m∈N*).

②若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}(n∈N*)是等差数列.
③Sm,S2m,S3m分别为{an}的前m项,前2m项,前3m项的和,则Sm,S2m-Sm, S3m-S2m 成等差数列. ______

④两个等差数列{an},{bn}的前n项和Sn,Tn之间的关系为

a n S2n ?1 ? . bn T2n ?1

充分 条件. ⑤数列{an}的前n项和Sn=An2+Bn(A≠0)是{an}成等差数列的_____ 递增 数列,且当a1<0时前n项和Sn有最 (3)等差数列的增减性:d>0时为_____ 递减 数列,且当a1>0时前n项和Sn有最大值. 小值.d<0时为_____

3.必用技法

核心总结

看一看

(1)常用方法:整体代入法、待定系数法,等差数列的判定方法,求等差 数列前n项和的最大(小)值的方法等. (2)数学思想:函数与方程、分类讨论、化归与转化.

【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判

(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个 数列是等差数列.( )

(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2. ( (3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.( ) )

(4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.

(
(5)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.( )

)

【解析】(1)错误.若这些常数都相等,则这个数列是等差数列;若这些 常数不全相等,这个数列就不是等差数列. (2)正确.如果数列{an}为等差数列,根据定义an+2-an+1=an+1-an,即 2an+1=an+an+2;反之,若对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2,则an+2-

an+1=an+1-an=an-an-1=…=a2-a1,根据定义数列{an}为等差数列.
(3)正确.当d>0时为递增数列;d=0时为常数列;d<0时为递减数列.

(4)错误.根据等差数列的通项公式,an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),只有当
d≠0时,等差数列的通项公式才是n的一次函数,否则不是.

(5)错误.根据等差数列的前n项和公式 Sn ? na1 ? n(n ? 1) d ? d n 2 ?
d (a1 ? )n, 显然只有公差d≠0时才是关于n的常数项为0的二次函数, 2 2 2

否则不是(甚至也不是n的一次函数,即a1=d=0时). 答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×

2.教材改编

链接教材

练一练

(1)(必修5P38例1(1)改编)已知等差数列-5,-2,1,…,则该数列的第 20项为 .

【解析】依题意得,该等差数列的首项为-5,公差为3, 所以a20=-5+19×3=52,故第20项为52. 答案:52

(2)(必修5P46T5改编)在100以内的正整数中有

个能被6整除

的数.
【解析】由题意知,能被6整除的数构成一个等差数列{an}, 则a1=6,d=6,得an=6+(n-1)6=6n. 由an=6n≤100,即n≤ 16 4 ? 16 2 ,
6 3

则在100以内有16个能被6整除的数. 答案:16

3.真题小试

感悟考题

试一试 )

(1)(2014·重庆高考)在等差数列an中,a1=2,a3+a5=10,则a7=( A.5 B.8 C.10 D.14

【解析】选B.因为a1+a7=a3+a5,所以a7=(a3+a5)-a1=10-2=8.

(2)(2014·辽宁高考)设等差数列{an}的公差为d,若数列 {2a a }为
1 n

递减数列,则(
A.d<0

)
B.d>0

C.a1d<0

D.a1d>0

【解析】选C.由数列 {2a a } 为递减数列,得 2a a ? 2a a , 又由指数函数
1 n
1 n 1 n ?1

性质得a1an-1>a1an. 由等差数列的公差为d知,an-an-1=d, 所以a1an-1>a1an?a1an-a1an-1<0?a1(an-an-1)<0?a1d<0.

(3)(2015·温州模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a6+a10为一 个确定的常数,则下列各数中也可以为确定常数的是 ( )

A.S6

B.S11

C.S12

D.S13

【解析】选B.根据题意,a2+a6+a10=(a2+a10)+a6=2a6+a6=3a6为一个确定

的常数,即a6为确定常数,而S11= 11? a1 ? a11 ? 11? 2a 6
所以S11也为确定常数.
2 ? 2

? 11a 6 ,

(4)(2014·江西高考)在等差数列{an}中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,
当且仅当n=8时Sn取得最大值,则d的取值范围为 .

【解析】由题意得a8>0且a9<0,所以7+7d>0且7+8d<0,
7 解得-1<d<- . 8 答案: ( ?1, ? 7 ) 8

考点1

等差数列的基本运算

【典例1】(1)(2015·唐山模拟)已知等差数列{an}的前n项和为 Sn,a4=15,S5=55,则数列{an}的公差d是 ( A. 1
4

) D.-3

B.4

C.-4

(2)在等差数列{an}中,a1=1,a3=-3. ①求数列{an}的通项公式; ②若数列{an}的前k项和Sk=-35,求k的值.

【解题提示】(1)利用等差数列的前n项和公式及通项公式,联立解方 程组,消去a1,解得d. (2)①先求出基本量a1和d,再利用通项公式求解;②利用前n项和公式 解方程即可.

?a1 ? 3d ? 15, 【规范解答】(1)选B.由已知得 ? ? 5? 4 5a ? d ? 55, 1 ? 2 a1 ? 3d ? 15,消去a ,解得d=4. ? 即? 1 ? a ? 2d ? 11, ? 1

【一题多解】解答本题,你知道几种解法? 解答本题,还可用下面的解法: 选B.因为{an}是等差数列, 则 S5=
5 ? a1 ? a 5 ? 2

=55,

因此a1+a5=22, 从而2a3=22,即a3=11, 又已知a4=15,所以公差d=a4-a3=15-11=4,故选B.

(2)①设等差数列{an}的公差为d, 则an=a1+(n-1)d. 由a1=1,a3=-3可得1+2d=-3, 解得d=-2. 从而an=1+(n-1)×(-2)=3-2n.

②由①可知an=3-2n, 所以Sn= n[1 ? ? 3 ? 2n ?] =2n-n2.
2

进而由Sk=-35可得2k-k2=-35, 即k2-2k-35=0, 解得k=7或k=-5. 又k∈N*,故k=7为所求.

【互动探究】若例题(1)中的已知条件不变,求通项an.

【解析】由本例(1)可知d=4,从而再解出a1=11-2d=3,
所以an=3+(n-1)×4=4n-1.

【规律方法】 1.等差数列运算问题的通性通法 (1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项

公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.
(2)等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,

知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想.

2.等差数列设项技巧 若奇数个数成等差数列且和为定值时,可设中间三项为a-d,a,a+d;若 偶数个数成等差数列且和为定值时,可设中间两项为a-d,a+d,其余各 项再依据等差数列的定义进行对称设元.

【变式训练】(2014·浙江高考)已知等差数列{an}的公差d>0,设{an} 的前n项和为Sn,a1=1,S2·S3=36. (1)求d及Sn.

(2)求m,k(m,k∈N*)的值,使得am+am+1+am+2+…+am+k=65.

【解析】(1)由题意知,(2a1+d)(3a1+3d)=36, 解得d=2或d=-5(舍去). 所以 Sn ? na1 ? n(n-1) d ? n ? n ? n-1? ? n 2 .
2

(2)由(1)知,am+am+1+am+2+…+am+k=(2m+k-1)(k+1), 所以(2m+k-1)(k+1)=65,

由m,k∈N*知,2m+k-1>k+1>1,故
1 ? 13, ?2m ? k- ? m ? 5, 所以 ? ? k ? 1 ? 5, ? ? k ? 4.

【加固训练】1.(2013·新课标全国卷Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和 为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=( A.3 B.4 C.5 ) D.6

【解析】选C.方法一:由已知得,am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,因为
数列{an}为等差数列,所以d=am+1-am=1,又因为 Sm ?
m ? a1 ? a m ? 2 ? 0,

所以m(a1+2)=0,因为m≠0,所以a1=-2,又am=a1+(m-1)d=2,解得m=5. 方法二:因为Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,所以am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm= 3,所以公差d=am+1-am=1,由 Sn ? na1 ? n(n ? 1) d ? na1 ? n(n ? 1) ,
m(m ? 1) ? ma ? ? 0, ① ? ? 1 2 得? ?(m ? 1)a ? (m ? 1)(m ? 2) ? ?2. ② 1 ? 2 ? 由①得 a1 ? 1 ? m , 代入②可得m=5. 2
2 2

方法三:因为数列{an}为等差数列,且前n项和为Sn,
所以数列 {Sn } 也为等差数列.
n

所以

Sm ?1 Sm ?1 2Sm ?2 3 ? ? ,即 ? ? 0, m ?1 m ?1 m m ?1 m ?1

解得m=5.经检验为原方程的解.故选C.

2.数列{an}满足an+1+an=4n-3(n∈N*).

(1)若{an}是等差数列,求其通项公式.
(2)若{an}满足a1=2,Sn为{an}的前n项和,求S2n+1.

【解析】(1)因为an+1+an=4n-3,

所以an+2+an+1=4n+1,
两式相减得an+2-an=4.

因为{an}是等差数列,
设公差为d,所以d=2.

又因为a1+a2=1,即a1+a1+d=1,
所以 a1 ? ? 1 , 所以 a n ? 2n ? .
2 5 2

(2)因为a1=2,a1+a2=1,所以a2=-1.

又因为an+2-an=4,
所以该数列的奇数项与偶数项分别成等差数列 ,公差均为4, 所以a2n-1=4n-2,a2n=4n-5. 所以S2n+1=(a1+a3+…+a2n+1)+(a2+a4+…+a2n)
? ? n ? 1? ? 2 ?

? n ? 1? n ? 4 ? n ?
2

? ?1? ?

n ? n ? 1? 2

? 4 ? 4n 2 ? n ? 2.

考点2

等差数列的判定与证明

【典例2】(1)(2015·防城港模拟)若{an}是公差为1的等差数列,则 {a2n-1+2a2n}是 ( A.公差为3的等差数列 B.公差为4的等差数列 C.公差为6的等差数列 D.公差为9的等差数列 )

(2)(2015·太原模拟)已知数列{an}中, a1 ? 3 ,a n ? 2 ? 1 (n≥2,n∈N *),

数列{bn}满足bn=

1 (n∈N*). an ?1

5

a n ?1

①求证:数列{bn}是等差数列;

②求数列{an}中的最大项和最小项,并说明理由.

【解题提示】(1)构造新数列{cn},使得cn=a2n-1+2a2n,根据cn+1-cn是否
对任意正整数n都等于同一个常数作出判断.

(2)①证明bn+1-bn=常数;②根据①的结论,求得{bn}的通项公式,再求
得{an}的通项公式,结合单调性求解.

【规范解答】(1)选C.设{an}的公差为d,则d=1.设cn=a2n-1+2a2n,则
cn+1=a2n+1+2a2n+2,所以cn+1-cn=a2n+1+2a2n+2-a2n-1-2a2n=6d=6,故选C.

1 *), (2)①因为an= 2 ? = (n∈N n a ?1 a n ?1 n 1 1 1 1 b ? b ? ? ? ? 所以 n ?1 n a ? 1 a ? 1 1 n ?1 n (2 ? ) ? 1 a n ? 1 an an 1 ? ? ? 1. a n ?1 a n ?1 1

(n≥2,n∈N*),b

又 b1 ? 1 ? ? 5 , 所以数列{bn}是以 ? 5 为首项,以1为公差的等差数列.
2

a1 ? 1

2

②由①知bn=n- 7 ,
2

则 a n= 1 ? 1 ? 1 ?
bn

2 . 2n ? 7

设f(x)= 1 ?

2 , 2x ? 7 7 2 2

则f(x)在区间 ( ??, ) 和 ( 7 , ??) 上为减函数, 所以当n=3时,an取得最小值-1, 当n=4时,an取得最大值3.

【规律方法】等差数列的四个判定方法 (1)定义法:证明对任意正整数n都有an+1-an等于同一个常数. (2)等差中项法:证明对任意正整数n都有2an+1=an+an+2后,可递推得出 an+2-an+1=an+1-an=an-an-1=an-1-an-2=…=a2-a1,根据定义得出数列{an}为 等差数列.

(3)通项公式法:得出an=pn+q后,得an+1-an=p对任意正整数n恒成立,根
据定义判定数列{an}为等差数列.

(4)前n项和公式法:得出Sn=An2+Bn后,根据Sn,an的关系,得出an,再使

用定义法证明数列{an}为等差数列.
提醒:等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法,而对于通项公 式和前n项和公式的方法主要适合在选择题或填空题中简单判断.

【变式训练】(2015·昆明模拟)已知数列{an}的各项均为正数,前n项 和为Sn,且满足2Sn=an2+n-4(n∈N*). (1)求证:数列{an}为等差数列. (2)求数列{an}的通项公式.

【解析】(1)当n=1时,有2a1=a12+1-4,

即a12-2a1-3=0,解得a1=3(a1=-1舍去).
当n≥2时,有2Sn-1=an-12+n-5,又2Sn=an2+n-4, 两式相减得2an=an2-an-12+1, 即an2-2an+1=an-12, 也就是(an-1)2=an-12, 因此an-1=an-1或an-1=-an-1.

若an-1=-an-1,则an+an-1=1, 而a1=3,所以a2=-2, 这与数列{an}的各项均为正数相矛盾, 所以an-1=an-1,即an-an-1=1, 因此数列{an}为等差数列.

(2)由(1)知a1=3,d=1,
所以数列{an}的通项公式an=3+(n-1)×1=n+2,

即an=n+2.

【加固训练】已知等差数列的前三项依次为a,4,3a,前n项和为Sn, 且Sk=110. (1)求a及k的值. (2)设数列{bn}的通项bn= Sn ,证明数列{bn}是等差数列,并求其前n
n

项和Tn.

【解析】(1)设该等差数列为{an},
则a1=a,a2=4,a3=3a, 由已知有a+3a=8, 得a1=a=2,公差d=4-2=2, 所以 Sk ? ka1 ? k(k ? 1) d ? 2k ? k(k ? 1) ? 2 ? k 2 ? k.
2 2

由Sk=110,得k2+k-110=0, 解得k=10或k=-11(舍去), 故a=2,k=10.

(2)由(1)得 Sn ? n(2 ? 2n) ? n ? n ? 1? ,
2

则 b n ? Sn ? n ? 1,
n

故bn+1-bn=(n+2)-(n+1)=1,
即数列{bn}是首项为2,公差为1的等差数列,

所以 Tn ? n(2 ? n ? 1) ? n(n ? 3) .
2 2

考点3

等差数列性质的应用
知·考情

对等差数列性质的考查几乎每年都有涉及,有时以选择题、填空
题出现,难度中等偏下,有时在解答题中出现,常与求通项an及前n项和 Sn结合命题,题目难度中等.

明·角度 命题角度1:根据等差数列的性质求基本量 【典例3】(2015·贵阳模拟)已知递减的等差数列{an}满足a12=a92, 则a 5= A.-1 ( ) B.0 C.-1或0 D.4或5

【解题提示】判断出等差数列的单调性,再根据性质求解.

【规范解答】选B.由题意可知a12-a92=0,
即(a1+a9)(a1-a9)=0,

又{an}为递减的等差数列,
所以a1>a9,得a1+a9=0,

所以a5=0,故选B.

命题角度2:根据等差数列的性质求前n项和的最值 【典例4】(2015·乌鲁木齐模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn,已 知a3=12,S12>0,S13<0. (1)求公差d的取值范围.

(2)S1,S2,…,S12中哪一个值最大?并说明理由.
【解题提示】(1)由S12>0,S13<0可得出关于a1与d的不等式,结合a3=12

可求d的范围.
(2)由S12>0,S13<0,确定出正负变化的相邻的两项,从而确定最值.

【规范解答】(1)因为S12>0,S13<0,
12 ? 11 ? 12a ? d ? 0, 1 ? ?2a1 ? 11d ? 0, 2 所以 ? 即 ? ? ?a1 ? 6d ? 0. ?13a ? 13 ? 12 d ? 0, 1 ? 2 ?

又a3=a1+2d=12, 所以解得 ?
24 ? d ? ?3. 7

(2)由题意及等差数列的性质可得
12(a1 ? a12 ) ? S ? ? 6 ? a 6 ? a 7 ? ? 0, 12 ? ? 2 所以a7<0,a6>0. ? ?S ? 13(a1 ? a13 ) ? 13a ? 0. 13 7 ? 2 ?

所以在数列{an}中,前6项为正,从第7项起,以后各项为负,
故S6最大.

【一题多解】解答本题,你知道几种解法?

解答本题还有以下解法.
n(n ? 1) d (n=1,2,3,…,12). 2 所以 Sn ? n ?12 ? 2d ? ? n(n ? 1) d 2 2 = d [n ? ( 5 ? 12 )]2 ? (5d ? 24) . 2 2 d 8d 5 12 13 因为 ? 24 ? d ? ?3, 所以 6 ? ? ? , 2 d 2 7 Sn ? na1 ?

所以当n=6时,Sn有最大值,所以S1,S2,…,S12中值最大的为S6.

悟·技法 求等差数列的前n项和Sn最大(小)值的常用方法 1.邻项变号法:(1)当a1>0,d<0时,满足 ? 得最大值为Sm.
?a m ? 0, (2)当a1<0,d>0时,满足 ? 的项数m使得Sn取得最小值为Sm. ?a m ?1 ? 0 ?a m ? 0, 的项数m使得Sn取 ?a m?1 ? 0

2.函数法:利用等差数列的前n项和 Sn ? na1 ? n(n ? 1) d ? d n 2 ? (a1 ? d )n
2 2 2

(d≠0), Sn可看成关于n的二次函数式且常数项为0,借助二次函数的 图象或配方法解决最值问题,注意n∈N*.

通·一类
13? 1.(2015·重庆模拟)已知等差数列{an}的前13项之和为 ,则 4

tan(a6+a7+a8)等于 ( A. 3
3

) C.1 D.-1
4

B. 3

【解析】选D.因为等差数列{an}的前13项之和为 13? =13a7, 所以a7= ? , 则tan(a6+a7+a8)=tan(3a7)=tan 3? =-1,选D.
4 4

2.(2015·银川模拟)已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99, Sn是{an}前n项和,则使得Sn达到最大值的n是 A.21 B.20 C.19 D.18 ( )

【解析】选B.由a1+d+a3+d+a5+d=105+3d,

则a2+a4+a6=105+3d=99,
得d=-2,a1=39,所以an=41-2n,

由an=41-2n>0,得n< 41 ,
2

所以使得Sn达到最大值的n是20.

3.(2015·大连模拟)由正数组成的等差数列{an}和{bn}的前n项和分
别为Sn和Tn,且
S a n 2n ? 1 ? ,则 5 = T5 bn 3n ? 1
2

.

【解析】由S5= 5 ? a1 ? a 5 ? ? 5a 3 ,
T5 ? 5 ? b1 ? b5 ? 2 ? 5b3 ,



S5 a 3 2 ? 3 ? 1 5 ? ? ? . T5 b3 3 ? 3 ? 1 8
8

答案: 5

4.(2015·西安模拟)在等差数列{an}中,公差d>0,前n项和为Sn,a2a3=45, a1+a5=18. (1)求数列{an}的通项公式.

(2)令bn=

Sn (n∈N*),是否存在一个非零常数c,使数列{bn}也为等差 n?c

数列?若存在,求出c的值;若不存在,请说明理由.

【解析】(1)由题设,知{an}是等差数列,且公差d>0,
?a 2a 3 ? 45, (a1 ? d)(a1 ? 2d) ? 45, 得 ? ? ?a1 ? a 5 ? 18, ?a1 ? (a1 ? 4d) ? 18. a1 ? 1, 解得 ? ? ?d ? 4,

则由 ?

所以an=4n-3(n∈N*).

(2)方法一:由(1)知 Sn ?

n ?1 ? 4n ? 3? 2

? 2n 2 ? n,

所以 b n ? Sn ? 2n ? n ,
2

n?c n?c 所以 b1 ? 1 , b 2 ? 6 , b3 ? 15 (c ? 0). 1? c 2?c 3?c 令2b2=b1+b3,解得c=- 1 . 2 2 1 2n ?n 当c=- 时,bn= ? 2n, 1 2 n? 2

当n≥2时,bn-bn-1=2.
2

故当c=- 1 时,数列{bn}为等差数列.

n ?1 ? 4n ? 3? 1 2n(n ? ) 2 2 , 方法二:由 b n ? Sn ? ? n?c n?c n?c 1 因为c≠0,所以可令c=- ,得到bn=2n. 2

因为bn+1-bn=2(n+1)-2n=2(n∈N*), 所以数列{bn}是公差为2的等差数列. 即存在一个非零常数c=- 1 ,使数列{bn}也为等差数列.
2

巧思妙解7

巧用等差数列的性质求前n项和

【典例】(2015·日照模拟)等差数列{an}的前m项和为30,前3m项和为 90,则它的前2m项和为 .

【常规解法】记等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d, 由已知得 ?
?Sm ? 30, ?S3m ? 90,

根据等差数列的前n项和公式得
m(m ? 1) ? ma ? d ? 30 ①, ? ? 1 2 ? ?3ma ? 3m(3m ? 1) d ? 90 ②, 1 ? 2 ? 由①可得 a1 ? 60 ? m(m ? 1)d ③, 2m 3 60 ? m(m ? 1)d] 3m(3m ? 1)d 把③代入②得 [ ? ? 90, 2 2

化简得d=0,

再由③得 a1 ?
所以 S2m

30 , m 30 2m ? 2m ? 1? ? 2m ? ? ? 0 ? 60. m 2

答案:60

【巧妙解法一】 由Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列, 可得2(S2m-Sm)=Sm+S3m-S2m,

即 S2m ? 3Sm ? S3m ? 3 ? 30 ? 90 ? 60.
3 3

答案:60

【巧妙解法二】由 Sn ? na1 ? n(n ? 1) d,

得 Sn ? a1 ? ? n ? 1? ? d ,
n

2

所以 { n } 是以a1为首项,
d 为公差的等差数列, 2 从而 Sm , S2m , S3m 成等差数列, m 2m 3m 所以 Sm ? S3m ? 2 ? S2m , 所以 S2m ? S3m ? Sm ? 30 ? 30 ? 60. 3 m 3m 2m

S n

2

答案:60

【方法指导】

1.熟练掌握等差数列性质的实质
等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n项和公式等基 础知识的推广与变形,熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、 快捷地解决许多等差数列问题.

2.应用等差数列的性质解答问题的关键 寻找项数之间的关系,但要注意性质运用的条件,如若m+n=p+q,则

am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*),需要当序号之和相等、项数相同时才成立,
再比如只有当等差数列{an}的前n项和Sn中的n为奇数时,才有Sn=na中

成立.

【类题试解】在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和 S11=( A.58 ) B.88 C.143 D.176

【常规解法】选B.设等差数列{an}的公差为d,由题意可得 a1+3d+a1+7d=16,所以a1=8-5d, 所以 S11 ? 11a1 ? 11?10 d ? 11?8 ? 5d ? ? 55d ? 88 ? 55d ? 55d ? 88.
2

【巧妙解法】选B.在等差数列{an}中,已知a4+a8=16, 所以a1+a11=a4+a8=16, 所以 S11 ? 11? a1 ? a11 ? ? 88.
2


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