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江西省上饶市上饶中学2014届高三数学上学期第三次月考试题(理科潜能班)


上饶中学 2013-2014 学年高三上学期第三次月考 数学试卷(理科潜能班)
考试时间:120 分钟 总分:150 分

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。把选项涂在答题卷相应的位置) 1、设全集 U=R,A= {x | 2 阴影部分表示的集合为 A. {x | x

? 1} C. {x | 0 ? x ? 1} 2、如果复数
x ( x ?2)

? 1}, B ? {x | y ? ln(1 ? x)},则右图中




B. {x |1 ? x ? 2} D. {x | x ? 1} )

(m 2 ? i) 是实数,则实数 m ? ( 1? mi
B.

A. ?1

1

C.

? 2

D. 2 )

3、设 l , m 是两条不同的直线, ? 是一个平面,则下列命题正确的是( A.若 l ? m , m ? ? ,则 l ? ? C.若 l //? , m ? ? ,则 l //m 4、函数 A. B. B.若 l ? ? , l //m ,则 m ? ? D.若 l //? , m//? ,则 l //m 图象的一个对称轴方程是( C. D.x=π



5、设 S n 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和, 2a3 ? a4 ? 0 ,则 A.2 B.3 C.4 D.5

S3 ( a1



6、已知一个几何体的三视图如图所示(单位:cm), 那么这 个几何体的侧 面积是( . A. (1+ 2)cm2 C. (4 + 2)cm2 ) B. (3+ 2)cm2 D. (5 + 2)cm2

? x ? 0, ?2 x ? y ? 0, ? 7 、“ m ? 3 ”是“关于 x, y 的不等式组 ? 表示的平面区域为三角形”的 x ? y ? 1 ? 0, ? ? ?x ? y ? m ? 0

-1-

(

) A.充分不必要条件 C. 充要条件 8、若 a ? b ? 0 ,则代数式 a ?
2

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

1 的最小值为( b ( a ? b)
C. 4
x

) D. 5 )

A.2

B.3

??????????????????装???????订??????????????线?????????????????

?1? 9、已知函数 f ? x ? ? log3 ? x ? 1? ? ? ? 有两个零点 x1 , x2 ,则( ? 3?
A. x1 x2 ? 1 B. x1 x2 ? x1 ? x2 C. x1 x2 ? x1 ? x2 10、对于函数 y ? f ( x) ,部分 x 与 y 的对应关系如下表: 1 2 3 4 5 6 7 8 x

D. x1 x2 ? x1 ? x2 9 6

y

7

4

5

8

1

3

5

2

数列 {xn } 满足 x1 ? 2 ,且对任意 n ? N* ,点 ( xn , xn ?1 ) 都在函数 y ? f ( x) 的图象上,则

考场号

x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? ? ? x2012 ? x2013 的值为(
A.9394 B.9380

) C.9396 D.9400

二、填空题 (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡的相应位置.) ??? ? ??? ? ???? 11、已知矩形 ABCD 中, AB = 2 , AD = 1 ,E、F 分别是 BC、CD 的中点,则 ( AE + AF ) ?AC 等于 .
2 2

12、已知命题 p:? x∈[1,2],x ﹣a≥0;命题 q:? x∈R,x +2ax+2﹣a=0,若命题“p 且 q”是真命题,则实数 a 的取值范围为 13、函数 f ( x ) ? sin( x ? .

?

班级

3 4? ? 5? , 0) 对称;③函数 f ( x) 在区间 [ , ] 内是增函数,其中正确的结论序 ②图象 C 关于点 ( 3 3 6
号是 14、数列
2

) 的图象为 C ,有如下结论:①图象 C 关于直线 x ?

姓名

5? 对称; 6

.(写出所有正确结论的序号)

1 1 1 1 , 2 , 2 , 2 ,? 前 n 项的和等于 1 ? 2 2 ? 4 3 ?6 4 ?8

。 .

1 15、已知函数 f(x)=alog2x+blog3x+2,且 f( )=4,则 f(2010)的值为 2010 上饶中学 2013-2014 学年高三上学期第三次月考 数学答题卷(理科潜能班)

座 位 号 一、选择题 (每小题 5 分,共 50 分)。 题号 答案 二、填空题(每题 5 分,共 25 分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

学校

-2-

11、 13、 14、

12、 15、

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 16、 (本小题共 12 分)已知函数 f ( x) ?

3 ?x 1 sin ? x ? sin 2 ? ( ? ? 0 )的最小正周期 2 2 2

为 ? .(1)求 ? 的值及函数 f ( x) 的单调递增区间; (2)当 x ? [0, ] 时,求函数 f ( x) 的取值范围.

? 2

17、 (本小题共 12 分) 如图,四边形 ABCD 为矩形,BC⊥平面 ABE,F 为 CE 上的点,且 BF⊥平面 ACE. (1)求证:AE⊥BE; (2)设点 M 为线段 AB 的中点,点 N 为线段 CE 的中点.求证:MN∥平面 DAE.

-3-

18、 (本小题共 12 分) 设{an}是公比大于 1 的等比数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和. 已知 S3=7,且 a1+3,3a2,a3+4 构成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=lna3n+1,n=1,2,?,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

19、 (本小题共 12 分) 若数列 ?bn ? :对于 n ? N ,都有 bn? 2 ? bn ? d (常数) ,则称数列 ?bn ? 是公差为 d 的
?

4n ? 1,当n为奇数时; 准等差数列.如:若 cn ? ? 则?cn ? 是公差为 8 的准等差数列. ? ?4n ? 9,当n为偶数时.

(1)设数列 ?an ? 满足: a1 ? a ,对于 n ? N ,都有 an ? an?1 ? 2n .求证:?an ? 为准等差
?

数列,并求其通项公式: (2)设(I)中的数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,试研究:是否存在实数 a ,使得数列 S n 有 连续的两项都等于 50.若存在,请求出 a 的值;若不存在,请说明理由.

-4-

20、 (本小题共 13 分) 已知长方形 ABCD,AB ? 2 2, BC ? 坐标系 xOy .

3 . 以 AB 的中点 O 为原点建立如图所示的平面直角 3

(I)求以 A,B 为焦点,且过 C,D 两点的椭圆 P 的标准方程; (II)已知定点 E(—1,0) ,直线 y ? kx ? t 与椭圆 P 交于 M、N 相异两点,证明:对作 意的 t ? 0 ,都存在实数 k,使得以线段 MN 为直径的圆过 E 点.

21、 (本小题共 14 分) 已知函数 f ( x) ? m ln x ? (m ?1) x (m ? R) . (1)讨论 f ( x) 的单调性; (2)若 f ( x) 存在最大值 M ,且 M ? 0 ,求 m 的取值范围.

-5-

上饶中学 2013-2014 学年高三上学期第三次月考 数学参考答案(理科潜能班) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分) 题号 答案 1 B 2 B 3 B 4 A 5 B 6 C 7 A 8 C 9 D 10 A

二、填空题(本大题共 5 小题,每小 5 分)

(11)

15 2

12. a≤﹣2 或 a=1

13. ①②③ 15. 0

14.

3 2n ? 3 ? 4 2( n ? 1)(n ? 2)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16.解: (1) f ( x) ?

3 1 ? cos ? x 1 sin ? x ? ? 2 2 2

?

3 1 sin ? x ? cos ? x 2 2
?????????????3 分 ??????????5 分

? ? sin(? x ? ) . 6
因为 f ( x) 最小正周期为 ? ,所以 ? ? 2 . 所以 f ( x) ? sin(2 x ? ) .

? 6

? ? ? ? ? ? 2 x ? ? 2k ? ? , k ? Z ,得 k ? ? ? x ? k ? ? . 3 6 2 6 2 ? ? 所以函数 f ( x) 的单调递增区间为[ k ? ? , k ? ? ], k ? Z . ??????7 分 3 6
由 2k ? ?
-6-

(2)因为 x ? [0, ] ,所以 2 x ? 所以 ?

? 2

? ? 7? ?[ , ] , 6 6 6

?????????????9 分

1 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 . ???????????????11 分 2 6 ? 1 所以函数 f ( x) 在 [0, ] 上的取值范围是[ ? ,1 ]. ???????????12 分 2 2
17.证明:(1)因为 BC⊥平面 ABE,AE? 平面 ABE, 所以 AE⊥BC, ??????2 分 又 BF⊥平面 ACE,AE? 平面 ACE, 所以 AE⊥BF, ??????4 分 又 BF∩BC=B,所以 AE⊥平面 BCE, 又 BE? 平面 BCE,所以 AE⊥BE. ??????6 分 (2)取 DE 的中点 P,连结 PA,PN,因为点 N 为线段 CE 1 中点.所以 PN∥DC,且 PN= DC, ??????8 分 2



1 又四边形 ABCD 是矩形,点 M 为线段 AB 的中点,所以 AM∥DC,且 AM= DC, 2 所以 PN∥AM,且 PN=AM,故四边形 AMNP 是平行四边形,所以 MN∥AP,????10 分 而 AP? 平面 DAE,MN?平面 DAE,所以 MN∥平面 DAE. ??????12 分

?a1 ? a 2 ? a 3 ? 7 ? 18.(1)设数列{an}的公比为 q(q>1), 由已知,得 ? ? a ? 3? ? ? a ? 4 ? , 1 3 ? 3a 2 ? ? 2
?a1 ?1 ? q ? q 2 ? ? 7 ?a 1 ? a 2 ? a 3 ? 7 ? 即? , 也即 ? , ??????2 分 2 a 1 ? 6q ? q ? ? 7 ?a1 ? 6a 2 ? a 3 ? ?7 ? ? ? 1?

?a ? 4 ?a 1 ? 1 ? 1 解得 ? 或? 1 (舍去), ?q ? 2 ?q ? ? 2
故数列{an}的通项公式为 an=2 . (2)由(1)得 a3n+1=2 ,
3n n-1

??????4 分

??????6 分
3n

∴bn=lna3n+1=ln2 =3nln2,

????8 分

又 bn+1-bn=3ln2, ∴{bn}是以 b1=3ln2 为首项,以 3ln2 为公差的等差数列 ????10 分 ∴Tn=b1+b2+?+bn=

n ? b1 ? b n ? n ? 3ln2 ? 3nln2 ? 3n ? n ? 1? ln2 ? ? , 2 2 2
??????12 分
?

即 Tn=

3n ? n ? 1? ln2. 2

19.解析:(1) ? an ? an?1 ? 2n ( n ? N )① 所以, ?an ? 为公差为 2 的准等差数列. ②-①得 an?2 ? an ? 2 ( n ? N ) .
?

an?1 ? an?2 ? 2(n ? 1) ②
????3 分

-7-

当 n 为偶数时, a n ? 2 ? a ? ?

?n ? ? 1? ? 2 ? n ? a , 当 n 为奇数时, ?2 ?

? n ?1 ? n ? a ?1 ( , n为奇数) ???6 分 an ? a ? ? ? 1? ? 2 ? n ? a ? 1 ;? an ? ? ? 2 ? ? ?n ? a,  (n为偶数)
n?n ? n?n ? ? ? 1? ? ? 1? n 2?2 ? n 2?2 ? 1 (2)当 n 为偶数时, S n ? a ? ? ? 2 ? ?2 ? a ? ? ? ? 2 ? n2 ; 2 2 2 2 2 n ?1? n ?1 ? n ?1? n ?1 ? ? 1? ? 1? ? ? n ?1 2 ? 2 ? ? 2 ? ?2 ? a ? ? n ? 1 ? 2 ? 2 ??2 当 n 为奇数时, S n ? a ? ? 2 2 2 2

1 2 1 n ?a? . ????9 分 2 2 1 2 当 k 为偶数时, S k ? k ? 50 ,得 k ? 10 . 2 1 2 1 由题意,有 S 9 ? ? 9 ? a ? ? 50 ? a ? 10 ; 2 2 1 1 2 或 S11 ? ? 11 ? a ? ? 50 ? a ? ?10 . 2 2 当 a ? 10 时, S9 , S10 两项等于 50; 当 a ? ?10 时, S10 , S11 两项等于 50; 所以, a ? ?10 . ????12 分 ?
20.解析: (1)由题意可得点 A,B,C 的坐标分别为 (? 2, 0) , ( 2, 0) , ( 2, 设椭圆的标准方程是

3 ) 3

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0), 则 2a ? AC ? BC ? 2 3 ? 2,? a ? 3 . a 2 b2
????????5 分

x2 ?b ? a ? c ? 1 .∴椭圆的标准方程是 ? y 2 ? 1 . 3
2 2 2

2 2 2 (2)将 y ? kx ? t 代入椭圆方程,得 (1 ? 3k ) x ? 6ktx ? 3t ? 3 ? 0 ,由直线与椭圆有两个

交点,所以 ? ? (6kt) 2 ? 12(1 ? 3k 2 )(t 2 ? 1) ? 0 ,解得 k 2 ?

t 2 ?1 . 3
2

3(t ? 1) 设 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x 2 ? ? 6kt 2 , x1 ? x 2 ? ,????8 分 1 ? 3k 2 1 ? 3k
因为以 MN 为直径的圆过 E 点,所以 EM ? EN ? 0 ,即 ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? y1 y2 ? 0 , 而 y1 y2 ? (kx1 ? t )(kx2 ? t ) = k x1 x2 ? tk ( x1 ? x2 ) ? t ,所以
2 2

???? ? ????

2t 2 ? 1 3(t 2 ? 1) 6kt 2 k ? ,解得 . ??????11 分 (k ? 1) ? (tk ? 1) ? t ?1 ? 0 3t 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2
2

如果 k ?
2

t 2 ?1 对任意的 t ? 0 都成立,则存在 k ,使得以线段 MN 为直径的圆过 E 点. 3
-8-

t 2 ?1 2t 2 ? 1 2 t 2 ? 1 (t 2 ? 1) 2 ? t 2 2 k ? ,即 . ( ) ? ? ?0 3 3t 3 9t 2
所以,对任意的 t ? 0 ,都存在 k ,使得以线段 MN 为直径的圆过 E 点.???13 分 21.解: (1)函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) ,

m (m ? 1) x ? m . ???????2 分 ? m ?1 ? x x m 当 m ≤ 0 时,由 x ? 0 知 f ?( x) ? ? m ? 1 ? 0 恒成立, x f ?( x) ?
此时 f ( x) 在区间 (0, ??) 上单调递减. ???????4 分 当 m ≥ 1 时,由 x ? 0 知 f ?( x ) ?

m ? m ? 1 ? 0 恒成立, x
???????6 分

此时 f ( x) 在区间 (0, ??) 上单调递增. 当 0 ? m ? 1 时,由 f ?( x) ? 0 ,得 x ?

m m ,由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? , 1? m 1? m m m ) 内单调递增,在区间 ( , ??) 内单调递减.?8 分 此时 f ( x) 在区间 (0, 1? m 1? m
(2)由(Ⅱ)知函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) , 当 m ≤ 0 或 m ≥ 1 时, f ( x) 在区间 (0, ??) 上单调,此时函数 f ( x) 无最大值.?10 分 当 0 ? m ? 1 时, f ( x) 在区间 (0,

m m ) 内单调递增,在区间 ( , ??) 内单调递减, 1? m 1? m

所以当 0 ? m ? 1 时函数 f ( x) 有最大值.

m m ) ? m ln ? m . ???????12 分 1? m 1? m m e ? m ? 0 ,解之得 m ? 因为 M ? 0 ,所以有 m ln . ????13 分 1? m 1? e e ,1) . 所以 m 的取值范围是 ( ??????14 分 1? e
最大值 M ? f ( 注:不同解法请教师参照评标酌情给分.

-9-


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