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2014届高考数学一轮复习课件:第三章第3课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式(新人教A版)

时间:2013-08-20


第3课时

两角和与差的正弦、

余弦和正切公式

2014高考导航
考纲展示 备考指南 1.会用向量的数量积推导出两 1.利用两角和与差的 角差的余弦公式. 正弦、余弦、正切公 2.能利用两角差的余弦公式导 式进行三角函数式的 出两角差的正弦、正切公式. 化简、求值是高考中 3.能利用两角差的余弦公式导 常考点. 出两角和的正弦、余弦、正切 2.公式逆用、变形应 用是高考热点. 公式,进而导出二倍角的正弦、 余弦、正切公式,并了解它们 3.题型以选择题、解 的内在联系. 答题为主.

本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

名 师 讲 坛 精 彩 呈 现

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯实双基
基础梳理
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 cosαcosβ-sinαsinβ (1)cos(α+β)=______________________,

cosαcosβ+sinαsinβ cos(α-β)=_______________________;
sinαcosβ+cosαsinβ (2)sin(α+β)=______________________, sin αcos β-cos αsin β sin(α-β)=___________________________;

tan α +tan β 1-tan α tan β (3)tan(α+β)=____________________, tan α -tan β 1+tan α tan β tan(α-β)=_____________________.
π (α,β ,α +β ,α -β 均不等于 kπ + ,k∈Z) 2 tan(α+β)(1-tanαtanβ) 其变形为:tan α +tan β =________________________, tan(α-β)(1+tanαtanβ) tan α -tan β =_______________________________. 2.二倍角的正弦、余弦和正切公式 2sinαcosα (1)sin 2α =___________________; 2cos2α 2sin2α cos2α-sin2α (2)cos 2α =______________=________-1=1-______; 2tan α kπ π π 2 (3)tan 2α =_________ (α≠ + 且 α≠kπ + , k∈Z). 1-tan α 2 4 2

课前热身
?π+θ?=1,则 sin 2θ=( 1.(2011· 高考辽宁卷)设 sin 4 ? ? 3
7 A.- 9 1 C. 9 1 B.- 9 7 D. 9 )

?π+θ ?= 2(sin θ+cos θ)=1,将上式两边 解析:选 A.sin 4 ? ? 2 3
1 1 7 平方,得 (1+sin 2θ)= ,∴sin 2θ=- . 2 9 9

π 4 2.已知 x∈(- ,0),cos x= ,则 tan 2x=( ) 2 5 7 7 A. B.- 24 24 24 24 C. D.- 7 7 3 sin x 2 解析: D.依题意得 sin x=- 1-cos x=- , x= 选 tan 5 cos x
3 2×?- ? 4 3 2tan x 24 =- ,所以 tan 2x= = =- ,故选 D. 4 32 7 1-tan2x 1-?- ? 4

cos 2α 2 3.若 =- ,则 cos α+sin α=( π? 2 ?α- sin ? 4? 7 A.- 2 1 C. 2 1 B.- 2 7 D. 2

)

解析:选 C.由已知条件 1 则 cos α+sin α= . 2

cos2α-sin2α 2 2 sin α- cos α 2 2

2 =- , 2

4.化简:sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=________. 解析:原式=sin(α+β-β)=sin α. 答案:sin α
1 π α 5. cos α= , 若 其中 α∈(- , 则 sin 的值是________. 0), 2 2 2

1-cos α 1 解析:sin = = . 2 2 4 α ? π ?,∴sinα=-1. 又 ∈ -4,0 2 ? ? 2 2


1 答案:- 2

考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 三角函数公式的直接应用 陕西宝鸡模拟)设 α,β 均为锐角,且 cos(α 例1 (1)(2013· +β)=sin(α-β),则 tan α 的值为( ) A.2 B. 3 3 C.1 D. 3 5 π (2)(2013· 济南市调研)已知 α 为锐角, α= , tan( + cos 则 5 4 2α)=( ) 1 A.-3 B.- 7 4 C.- D.-7 3

【解析】 (1)由已知得 cos αcos β-sin αsin β=sin αcos β -cos αsin β, 所以 cos α(cos β+sin β)=sin α(cos β+sin β). 因为 β 为锐角,所以 sin β+cos β≠0,所以 sin α=cos α, 即 tan α=1,故选 C. 2×2 2 5 (2)依题意得,sin α= ,故 tan α=2,tan 2α= =- 5 1-4 4 1- 3 4 π 1 ,所以 tan( +2α)= =- . 3 4 4 7 1+ 3

【答案】

(1)C

(2)B

【规律小结】

两角和与差的三角函数公式可看作是诱导

公式的推广,可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数,
在使用两角和与差的三角函数公式时,特别要注意角与角 之间的关系,完成统一角和角与角转换的目的.

跟踪训练 π 1 π 1.已知 α∈(0, ),tan α= ,求 tan 2α 和 sin(2α+ )的值. 2 2 3 1 2× 2 2tan α 4 解:tan 2α= = . 2 = 12 3 1-tan α 1-? ? 2 π ∵α∈(0, ),2α∈(0,π), 2 4 tan 2α= >0, 3 π 4 3 ∴2α∈(0, ),∴sin 2α= ,cos 2α= , 2 5 5 π π π ∴sin(2α+ )=sin 2α· +cos 2α· cos sin 3 3 3 4 1 3 3 4+3 3 = × + × = . 5 2 5 2 10

考点 2 三角函数公式的逆用与变形应用 ?π+x?的最大值为( 例2 (1)函数 f(x)= 3sin x+cos ?3 ? A.2 B. 3 1 C.1 D. 2 1 4 2 2cos x-2cos x+ 2 (2)化简: =________. π ? 2 ?π 2tan?4 -x sin 4 +x? ? ? ? ? π π 【解析】 (1)f(x)= 3sin x+cos · x-sin sin x cos 3 3 1 3 ?x+π ?. = cos x+ sin x=sin 2 2 ? 6? ∴f(x)max=1.

)

1 ?4cos4x-4cos2x+1? 2 (2)原式= ?π-x ? sin 4 ? ? 2 ?π ? 2× · cos 4 -x π ? ? ? -x? cos 4 ? ? ?2cos2 x-1?2 cos22x = = π π ? -x? cos? -x? 2sin?π-2x? 4sin 4 ? ? ?4 ? ?2 ? cos22x 1 = = cos 2x. 2cos 2x 2
【答案】 (1)C 1 (2) cos 2x 2

【规律小结】

运用两角和与差的三角函数公式时,不

但要熟练、准确,而且要熟悉公式的逆用及变形,如 tan α+tan β=tan(α+β)· (1-tan αtan β)和二倍角的余弦 公式的多种变形等. 应熟悉公式的逆用和变形应用,公式的正用是常见的,

但逆用和变形应用则往往容易被忽视,公式的逆用和变
形应用更能开拓思路,培养从正向思维向逆向思维转化 的能力,只有熟悉了公式的逆用和变形应用后,才能真

正掌握公式的应用.

跟踪训练 3π 2. (1)若 α+β= , 则(1-tan α)(1-tan β)的值是________; 4 ? 1 -tan 5° =________. ? (2)sin 10°tan 5° ? ?

tan α+tan β 3π 解析:(1)-1=tan =tan(α+β)= , 4 1-tan αtan β ∴tan αtan β-1=tan α+tan β. ∴1-tan α-tan β+tan αtan β=2, 即(1-tan α)(1-tan β)=2.

?cos 5° sin 5° ? - (2)sin 10° sin 5° cos 5° ? ?
cos25° -sin25° =sin 10° · sin 5° 5° cos cos 10° =sin 10° · . 1 sin 10° 2 =2cos 10° .

答案:(1)2

(2)2cos 10°

考点 3

角的变换

π ?α+π ? 例3 (1)已知 tan(α+β)=2, ?β- ?=1, tan 5 ? 4 ? 4 那么 tan? 4 ? 等于( ) 13 13 A. B. 18 22 3 1 C. D. 22 6 π π (2)(2011· 高考浙江卷)若 0<α< ,- <β<0, 2 2 ?π+α?=1,cos?π-β ?= 3,则 cos?α+β ?=( cos 4 ) ?4 2 ? 3 ? 2? ? ? 3 3 3 A. B.- 3 3 5 3 6 C. D.- 9 9

【解析】

π ?β-π ?, (1)因为 α+ =(α+β)- 4 ? 4?

?α+π ?=tan??α+β?-?β- π ? ? 所以 tan ? 4? ? ? 4?? ?β-π ? tan?α+β?-tan ? 4? 3 = = . π ? 22 1+tan?α+β?tan?β-4 ? ?

π π π 3π (2)∵0<α< ,∴ <α+ < . 2 4 4 4 ?π+α ?=1,∴sin?π+α ?=2 2. ∵cos 4 ? ? 3 ?4 ? 3 π π π β π ∵- <β<0,∴ < - < . 2 4 4 2 2 ?π-β ?= 3,∴sin?π-β ?= 6. ∵cos?4 2 ? ?4 2 ? 3 3 ?α+β ?=cos??π+α?-?π -β? ? ∴cos? 2? ??4 ? ?4 2? ? ?π+α ?cos?π-β ?+sin?π+α?sin?π-β ? =cos 4 ? ? ?4 2 ? ?4 ? ?4 2 ? 1 3 2 2 6 5 3 = × + × = . 3 3 3 3 9

【答案】

(1)C

(2)C

【思维升华】 (1)当“已知角”有两个时,“所求角”一 般表示为两个“已知角”的和或差的形式. (2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与 “已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求 角”变成“已知角”. (3)常见的配角技巧: α α=2·;α=(α+β)-β; 2 1 1 α=β-(β-α);α= [(α+β)+(α-β)];β= [(α+β)-(α- 2 2 π π ?π β)]; +α= - 4-α?. 4 2 ? ?

跟踪训练 3.(2013· 东北三校联考)设 α、β 都是锐角,且 cos α= 3 sin(α+β)= ,则 cos β=( 5 2 5 A. 25 2 5 2 5 C. 或 25 5 ) 2 5 B. 5 5 5 D. 或 5 25 5 , 5

2 5 解析:选 A.依题意得 sin α= 1-cos2α= ,cos(α+β) 5 4 2 =± 1-sin ?α+β?=± . 5 又 α、 均为锐角, β 因此 0<α<α+β<π, α>cos(α+β), cos 4 5 4 4 注意到 > >- ,所以 cos(α+β)=- . 5 5 5 5 cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α= 4 5 3 2 5 2 5 - × + × = ,故选 A. 5 5 5 5 25

方法感悟
1.三角函数式的化简是指综合利用诱导公式、同角基本关 系式、两角和与差的三角函数公式及二倍角公式,将较复 杂的三角函数式进行化简. 化简的方法主要有异角化同角、 复角化单角、异次化同次、切函数化弦函数等,化简的结 果必须是最简形式. 2.三角函数的求值问题要始终围绕“角”做文章,角与角 的联系,特殊角的相互转换,角的分解,角的合并等,都 在求值的过程中起重要的作用. 例如常见的几种角的变换: α=(α+β)-β=(α-β)+β,2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+ α β)-(α-β),α=2× 等. 2

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难题易解


破解三角函数求值问题

?α+π ?=4, (2012· 高考江苏卷)设 α 为锐角,若 cos ? 6? 5

?2α+ π ?的值为________. 则 sin 12? ?

抓信息 破难点

?α+π ?=4求 sin α 与 cos α 的值时,不易求解. (1)由 cos ? 6? 5 ?α+π ?和?2α+ π ?关系不明朗, ?2α+ π ? (2) 需仔细观察, 即 6? ? 12? 12? ? ? ?α+π ?-π. =2 ? 6? 4

?α+π ?= 4, 【解析】 ∵α 为锐角且 cos ? 6? 5 ?α+π ?=3. ∴sin ? 6? 5 ?α+π ?=24,cos 2?α+π ?= 7 , ∴sin 2 ? 6 ? 25 ? 6 ? 25 ?2α+ π ?=sin?2?α+π ?-π ? ∴sin 12? ? ? ? 6 ? 4? ?2?α+π ? ?· π-cos?2?α+π ? ?· π =sin ? ? 6 ? ? cos4 ? ? 6 ? ? sin 4
= 24 2 7 2 17 2 × - × = . 25 2 25 2 50
17 2 50

【答案】

【方法提炼】

解决条件求值的问题时,要充分利用条

件,其解题技巧主要体现在角的拆分变换,其中包括: 已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与 其倍角的变换、两角与其和差角的变换.

跟踪训练 π 2 3 7π 4. 已知 cos(α+ )-sin α= , sin(α- )的值是( 则 6 3 6 2 3 A.- 3 2 C.- 3 2 3 B. 3 2 D. 3 )

π 2 3 解析:选 D.由 cos(α+ )-sin α= , 6 3 得 3 3 2 3 cos α- sin α= , 2 2 3

3 1 2 即-( sin α- cos α)= , 2 2 3 π 2 即 sin(α- )=- . 6 3 7π π 所以 sin(α- )=sin(α- -π) 6 6 π 2 =-sin(α- )= ,故选 D. 6 3

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