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三角函数是中学数学重要内容


三角函数是高中数学教学内容的一个重要部分,此内容既有先前函数知识的延伸,又有三角知识的扩展,无论 是教师的教,还是学生的学,都有难度。不同的数学教材对三角函数的概念有不同的描述和要求,有的使用终 边定义法,有的使用单位圆定义法,这种差异已经在教师中产生一些争论,那么这种差异会对学生的学习产生 什么影响呢,是我们需要研究的问题。基于以上现实,本文主要阐述的研究问题是:(1)学生是怎

样理解三角 函数的,学生能否运用他们对三角函数的理解来解释三角函数的性质;(2)用单位圆定义三角函数,是否更有 助于学生对三角函数的理解;(3)学生对三角函数的理解与历史上数学家对三角函数的理解是否具有历史相 似性;(4)学生在解决三角函数问题时会出现哪些类型的错误。本研究分别以浙江台州中学和青浦高级中学 的高一和高三学生共 238 人为样本,采用测试法和访谈法进行调查研究。研究发现:(1)学生普遍不理解三角 函数的概念,不清楚三角函数的对应关系,但是学生能够利用三角函数的图像解决一些简单问题,得到三角函 数的某些性质。(2)单位圆定义法更有助于学生对三角函数概念的理解。(3)学生对三角函数概念的认识与历 史上数学家对此的认识不具有历史相似性。 (4)学生对三角函数概念理解方面的错误归纳为八个类型,对三角 函数性质理解方面的错误归纳为八个类型,对三角函数线理解的错误主要有四个类型。 (5)不同学校和年级的 学生对三角函数概念的理解差异明显。

摘要 三角函数是高中数学教学内容的一个重要部分,此内容既有先前函数知识的 延伸,又有三角知识的扩展,无论是教师的教,还是学生的学,都有难度。不同 的数学教材对三角函数的概念有不同的描述和要求,有的使用终边定义法,有的 使用单位圆定义法,这种差异已经在教师中产生一些争论,那么这种差异会对学 生的学习产生什么影响呢,是我们需要研究的问题。 基于以上现实,本文主要阐述的研究问题是:(1)学生是怎样理解三角函数 的,学生能否运用他们对三角函数的理解来解释三角函数的性质;(2)用单位圆 定义三角函数,是否更有助于学生对三角函数的理解;(3)学生对三角函数的理 解与历史上数学家对三角函数的理解是否具有历史相似性;(4)学生在解决三角 函数问题时会出现哪些类型的错误。 三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与 一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的,其定 义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中。本文叙述了任意角的概念、任意角的三 角函数概念以及同角三角函数的基本关系式、正弦和余弦的诱导公式 三角函数是中学数学重要内容之一.但是由于内容繁杂,公式多且性质灵活,在解题中如何把 握好 变换的方向,有目的地进行三角恒等变换是学好三角的关键.解题时稍有不慎,就会忽视题中 的隐含条 件导致错解.本文列举几种常见的情况,以提高学生分析问题和解决问题的能力. 本研究分别以浙江台州中学和青浦高级中学的高一和高三学生共 238 人为 样本,采用测试法和访谈法进行调查研究。 研究发现: (1)学生普遍不理解三角函数的概念,不清楚三角函数的对应关系,但是学 生能够利用三角函数的图像解决一些简单问题,得到三角函数的某些性质。 (2)单位圆定义法更有助于学生对三角函数概念的理解。 (3)学生对三角函数概念的认识与历史上数学家对此的认识不具有历史相 似性。 (4)学生对三角函数概念理解方面的错误归纳为八个类型,对三角函数性质 理解方面的错误归纳为八个类型,对三角函数线理解的错误主要有四个类型。 (5)不同学校和年级的学生对三角函数概念的理解差异明显。

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角函数线对学生的影响是比较深入的,学生不容易忘记。而且随着时间的推移, 学生能够把单位圆和三角函数看作一个整体,提到单位圆就能想到三角函数,提 到三角函数就能想到单位圆,学生应用单位圆的程度更高。在学习三角函数的过 程中,引入“单位圆定义法” ,充分重视三角函数线的教学,对学生理解三角函 数有更好的促进作用。 虽然台州中学学生与青浦高级中学学生相比,应用单位圆及三角函数线的比 解题过程中用单位圆解决问题的能力还是有一定的 局限性。不得不承认,学生对单位圆及三角函数线的掌握还是有一定的难度的, 正如访谈中有些教师所担心的,学生要想把单位圆及三角函数线学好是需要花很 多时间和精力的。但是,从测试效果看,为了学生更好地理解三角函数,在单位 圆和三角函数线这里多花些时间和精力是值得的,可以起到事半功倍的作用。 5.1.3 学生对三角备数的认识不兵有厉史相似性 在现实教学环境下,学生虽然知道三角函数线,但是学生并不认为三角函数 是线。无论是在“单位圆定义法”还是在“终边定义法”的教学方式下,绝大多 数学生认为三角函数是比值,不是线段。甚至有学生感觉这个问题有错误, “三 角函数怎么会是线段呢?从来没有这种说法嘛!” 可见,学生对三角函数的认识与历史上数学家对三角函数的认识不具有历史 相似性。 5.1.4 学生在解决三活击救问翅时出现的错误类型 学生在解决三角函数的相关问题时,会出现很多类型的错误,归纳如下: 学生在三角函数概念的理解上主要有八类错误: (l)三角函数表达式错误; (2)三角函数的自变量和因变量颠倒; (3)用余弦定理、同角的平方关系等公式代替三角函数的定义; (4)对角的认识有局限; (5)把正弦和余弦函数混淆; (6)忽略三角比的符号; (7)混淆了终边定义法和单位圆定义法; (8)记错了终边定义法的公式。 学生在三角函数性质的理解上主要有八类错误: (l)对性质尤其是单调性认识不清; (2)死记硬背的机械记忆,不辨别条件的变化; (3)不清楚弧度的意义; 64 性; (5)将正弦、余弦、正切函数的周期混淆一记错; (6)解决正切函数时,漏解情况突出; (7)不能准确画出三角函数的图像; (8)记不住特殊角的三角比的值。 学生在三角函数线的理解上主要有四类错误: (l)对三角函数线的方向判断模糊;(2)对三角函数线的认识有局限;(3)不 会恰当的应用三角函数线来解决问题;(4)不能准确判断三角函数线的位置。 5.1.5 不同学枚及年毅的学生对三角西获机杏的理解有显著性差井 台州中学学生和青浦高中学生总得分的平均值存在显著性差异。台州中学

学生对三角函数概念的理解比青浦高级中学学生更好。 台州中学的高一学生和高三学生总得分的平均值存在显著性差异。台州高 三学生的学习情况明显好于高一学生。 5.2 教学启示 5.2.1 教学过程中应注重初高中三角西数机含之间的关系 对于三角函数概念的教学,首先要明确函数的对应关系,强调三角函数既有 函数的共性,又有三角函数的特性。让学生理解并明确三角函数的自变量与函数_ 的对应关系。在讲三角函数时,教师要注意到三角函数本身是函数,就可以从函 数的几个维度去考虑,比如定义域、值域、单调性、奇偶性、最值等。虽然它有 那么多特别的地方,但它始终是可以从函数的角度去分析的。其次,三角函数具 有其他函数所没有的特点:周期性。教师如何让学生对周期性有充分的认识,还 要回到任意角的概念、单位圆、任意角的三角比等方面,使学生真正明白三角函 数与众不同。此外,要做好讲三角函数的准备工作,在此之前的弧度制要讲透, 让学生明确弧度的意义,为三角函数的教学扫除障碍。 学生对三角函数的认识多半停留在初中阶段,很多学生习惯在直角三角形中 考虑问题,这对三角函数的学习有很大的负迁移的作用,教师在教学过程中,要 65 5.1 研究结论 根据前面的统计和分析,我们得到如下结论。 5.1.1 学生香连不理解三角备毅棍含 从学生对余弦函数的认识可以看出,学生普遍不理解三角函数的概念。学生 不清楚三角函数的对应关系,搞不清楚自变量和函数。学生对角的理解有困难, 对角度制和弧度制的理解不准确,从而导致学生对三角函数自变量的理解的偏 差。 从初中到高中,学生学过的三角函数概念有三种:锐角三角函数、 “单位圆 定义法”“终边定义法” 、 。这三个概念之间的关系,有的学生搞不懂,把他们混 为一谈。当提到三角函数的概念时,学生脑海中会跳出哪种概念呢?有的学生对 初中的概念印象深刻,有的学生只一记住了“单位圆定义法” ,还有的学生会把三 种定义全都准确写出来等等。对于很多学生来说,这三种概念是独立的,不知道 他们之间的内在关系,至于一个概念会有三种说法,学生们就更搞不清楚了。 由于三角函数包括正弦、余弦等六个函数,各有不同的解析式、性质和图像, 而其他函数只有一种形式,三角函数是学生所学函数中最特别的,所以学生搞不 清楚这六个函数之间的关系。此外,三角部分还有解三角形的内容,所以很多学 生把三角部分所学内容混为一谈,比如:有学生认为余弦定理是余弦函数;翎玄 函数的对应关系是正弦函数等。学生只知道学过很多三角的相关内容,却不知道 其中的联系和区别。 学生对正切函数的理解最薄弱,学生对正弦、余弦函数的理解明显好于对正 切函数的理解,在第 9 题(l)的测试中,238 个被试中只有 4 人作对,可见学生对 正切函数的理解存在很大的问题。 学生在学习三角函数时受到诸多因素的影响,学习上存在很大困难。(l)对 角度制、弧度制的理解有困难,无论在表述还是书写上都存在错误。(2)对三角 角形只适合于锐角三角函数的相关问题的解决,而 高中阶段所研究的角是任意角,要用任意角的三角函数来解决相关问题。此外, 二者的起源各不相同,初中锐角三角函数源于解三角形和三角的相关计算,任意

角的三角函数是由于研究圆周运动的需要而产生的。台州中学学生在说明三角函 数值是比值的理由时,有 34 人是利用直角三角形来说明的,占 39.08%。这个比 例很高,教学中务必要把既往知识与现学知识的关系处理好,搞清楚他们之间的 区别和联系,尽量避免概念原型负迁移的影响。 三角函数章节内容很多,涉及到多方面的内容,但是贯穿始终的应该是三角 函数的概念和性质。教学中要抓住三角函数的概念,教师讲透,学生学透,在整 个内容的学习过程中不断提到、用到三角函数的概念,使学生巩固对其的理解和 应用。比如在讲诱导公式时,可以再次巩固三角函数的定义,用定义来推导证明 诱导公式。 另外,台州中学高三学生对三角函数的概念、单位圆及三角函数线的理解和 应用都要好于高一学生,这说明学生对三角函数这一复杂内容的理解不是一墩而 就的,经过一段时间的沉淀和内化,学生对复杂问题的理解更深刻。所以,在教 学中教师也要宽容一些,允许学生出现错误,给学生一些吸收、比较、内化的时 间,让学生把知识慢慢理顺、慢慢掌握。 5.2.2 教学中引入“单位国定义法” ,重视单位团及三角番数残的教学 通过研究发现, “单位圆定义法”更有助于学生对三角函数的理解。教学中, 可以用“单位圆定义法”作为三角函数的定义。高中所学的三角函数是在任意角 的前提下研究的,三角函数有了显著的周期性的特征,与圆周运动有着密切的关 系。比如,正弦、余弦函数就是一组起源于圆周运动、密切配合着的的周期函数, 它们是解析几何学和周期函数的分析学中最为基本和重要的函数,而正弦、余弦 函数的基本性质就是圆的对称性的几何性质的直接反映。所以,任意角的三角函 数是圆的函数,那么从单位圆中定义三角函数就顺理成章了。初中锐角三角函数 主要还是在三角形和三角的相关计算中体现出来。 数的根本区别。 学内容的混淆, 那么,在单位圆中定义三角函数, 这也是高中与初中所学三角函 也可以避免学生对两个阶段所 避免三角函数概念原型对现学内容的负迁移的影响。 中的学习一直围绕单位圆,无论是诱导公式还是三 角函数的图像性质,都可以通过单位圆和三角函数线来解释和解决。这样,学生 对这一内容的学习就非常顺利。有的高中教材中,是用“终边定义法”给出任意 角的三角比的,但是在后面还是要提到单位圆,还是要说三角函数线,教学过程 中就感到很突兀,衔接有困难。那么,干脆从一开始就用单位圆,一直延续到最 后,这样就很自然了。 事实表明, “单位圆定义法”有助于学生对三角函数的概念和性质的理解, 而且学生学会了不容易忘记,这不是死一记硬背的东西。虽然在三角函数线的教学 过程中会有难度,但是在此多花一两节课的时间是值得的,这会使后续学习更轻 松、更容易。 5.2.3 将三角备数发展的厉史触入教学过程中 三角函数的发展历经漫长的岁月,从生活实际中来,在观天的学问中逐渐发 展、成熟。刚开始的三角函数是在三角形中研究的,随着天文学的发展,数学家 们逐渐意识到角的更大发展空间,渐渐地,数学家们开始在圆中研究三角,这也 是为什么会有单位圆的出现,有圆函数的说法。而现如今,教师和学生多半都不

知道为什么要有单位圆、要有三角函数线,这主要是数学历史知识的缺失。所以, 在教学中,教师有必要加入一点三角函数的历史发展过程,让学生了解一些。在 高中所讲的三角函数与初中的三角函数不一样了,为什么会有这样的不同,我们 可以在三角函数的历史中找到答案,这不仅可以使学生对数学有科学的认识,更 有助于学生对两个阶段学习的区别,而且也使得“单位圆定义法”的来源更清晰。 学生就不会感觉到单位圆来得那么突兀、那么奇怪了。 5.3 不足之处 本研究通过学生测试卷、教师和学生访谈对高中生对三角函数的理解进行了 调查,研究了单位圆以及三角函数线的引入是否更有助于学生对三角函数的理 解,同时也探讨了学生在学习三角函数概念时的困难及产生这些困难的原因。 由于时间较仓促,加之本人水平有限,本研究还存在以下不足之处: (功对学生和教师的访谈还不是很深入,导致得出的有些结论可能比较片 面。(2)由于本人英文水平有限,查阅的外文资料不太多,对国外在这方面的研 究了解不深。(3)学生对三角函数理解错误的原因分析中,存在理论依据不完全 不充分的问题。(4)由于目前上海中专生的数学基础普遍较差,所以正式测试中 没有对中专生进行测试,只对高中生作了测试,这可能导致研究结论的片面。 另外,由于条件限制,本研究的样本容量比较小。如果能再大一些,涉及的 学校和地区更广些,所获得的数据更能说明问题;由于高中生的学习任务非常繁 重,没有做更加深入的访谈,在访谈中某些学生的表达能力有限,没有更多的时 间进行沟通和交流,否则能够获得更加丰富的数据。 对于以上的不足之处,笔者在今后的教学工作中一定会再收集这方面的资 料,进一步完善本调查的研究,得出更加全面的结论。同时通过这次研究,笔者 更加深刻地理解到教育研究是教育变革自身的要求,是新世纪教育工作者必备的 素质,通过教育研究,能更好地服务于教学工作。


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