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第一部分专题三第1讲专题强化精练提能


1.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S2=4,S4=20,则该数列的公差 d=( ) A.2 B.3 C.6 D.7 解析:选 B.S2=2a1+d=4,S4=4a1+6d=20,解得 d=3. 2.(2015· 江西省质量监测)已知数列{an}满足 a1=15,且 3an+1=3an-2.若 ak·ak+1<0, 则正整数 k=( ) A.21 B.22

C.23 D.24 2 47 2 解析:选 C.3an+1=3an-2?an+1=an- ?{an}是等差数列,则 an= - n.因为 ak+ 3 3 3 2 ? 45 47 ?47 2 ?? ,所以 k=23,故选 C. 1·ak<0,所以 3 -3k 15-3k <0,所以 <k< ? ?? ? 2 2 3.(2015· 洛阳市统考)设等比数列{an}的公比为 q,则“0<q<1”是“{an}是递减数列”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 - - 解析:选 D.an+1-an=a1qn-a1qn 1=a1qn 1(q-1),而 a1 的正负性未定,故无法判断数 列{an}的单调性,因此“0<q<1”是“{an}是递减数列”的既不充分也不必要条件. 4.(2015· 高考福建卷)若 a,b 是函数 f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且 a,b,-2 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 p+q 的值 等于( ) A.6 B.7 C.8 D.9 ? a ? +b=p>0, 解析:选 D.不妨设 a>b,由题意得? 所以 a>0,b>0, ?ab=q>0, ? 则 a,-2,b 成等比数列,a,b,-2 成等差数列, 2 ? ? ?ab=(-2) , ?a=4, 所以? 所以? 所以 p=5,q=4,所以 p+q=9. ?a-2=2b, ?b=1, ? ? 5.(2015· 洛阳市双基测试)数列{an}满足 an-an+1=an·an+1(n∈N*),数列{bn}满足 bn= 1 ,且 b1+b2+?+b9=90,则 b4·b6( ) an A.最大值为 99 B.为定值 99 C.最大值为 100 D.最大值为 200 1 1 解析: 选 B.将 an-an+1=anan+1 两边同时除以 anan+1, 可得 - =1, 即 bn+1-bn=1, a an+1 n 9(b1+b9) 所以{bn}是公差为 d=1 的等差数列,其前 9 项和为 =90,所以 b1+b9=20,将 2 b9=b1+8d=b1+8,代入得 b1=6,所以 b4=9,b6=11,所以 b4b6=99,故选 B. 6.已知数列{an},则有( ) 2 n * A.若 an=4 ,n∈N ,则{an}为等比数列 * B.若 an·an+2=a2 n+1,n∈N ,则{an}为等比数列 m+n C.若 am·an=2 ,m,n∈N*,则{an}为等比数列 D.若 an·an+3=an+1·an+2,n∈N*,则{an}为等比数列 n * 解析:选 C.若 a1=-2,a2=4,a3=8,满足 a2 n=4 ,n∈N ,但{an}不是等比数列,故

* A 错;若 an=0,满足 an·an+2=a2 n+1,n∈N ,但{an}不是等比数列,故 B 错;若 an=0, + * 满足 an·an+3=an+1·an+2,n∈N ,但{an}不是等比数列,故 D 错;若 am·an=2m n,m,n + + am·an+1 an+1 2m n 1 ∈N*,则有 = = m+n =2,则{an}是等比数列. an am·an 2 7.(2015· 高考全国卷Ⅰ)在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn 为{an}的前 n 项和.若 Sn =126,则 n=________. 解析:因为 a1=2,an+1=2an, 所以数列{an}是首项为 2,公比为 2 的等比数列. 2(1-2n) 又因为 Sn=126,所以 =126,所以 n=6. 1-2 答案:6 8.(2015· 太原市模拟)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=-1,Sn=2an+n(n∈N*),则 an=________. 解析:因为 Sn=2an+n,① 所以 Sn+1=2an+1+n+1,② ②-①,可得 an+1=2an-1,即 an+1-1=2(an-1),又因为 a1=-1,所以数列{an-1} 是以-2 为首项,2 为公比的等比数列, - 所以 an-1=(-2)· 2n 1=-2n,所以 an=1-2n. 答案:1-2n 9.(2014· 高考广东卷)若等比数列{an}的各项均为正数,且 a10a11+a9a12=2e5,则 ln a1 +ln a2+?+ln a20=________. 解析:因为 a10a11+a9a12=2a10a11=2e5,所以 a10a11=e5. 所以 ln a1+ln a2+?+ln a20=ln(a1a2?a20)=ln[(a1a20)· (a2a19)· ?· (a10a11)]=ln(a10a11)10= 10ln(a10a11)=10ln e5=50ln e=50. 答案:50 10.已知 f(x)是定义在 R 上不恒为零的函数,对于任意的 x,y∈R,都有 f(xy)=xf(y)+ yf(x)成立. 数列{an}满足 an=f(2n)(n∈N*), 且 a1=2, 则数列{an}的通项公式为 an=________. an an-1 - - - 解析:令 x=2,y=2n 1,则 f(xy)=f(2n)=2f(2n 1)+2n 1f(2),即 an=2an-1+2n, n= n-1 2 2 ?an? an +1,所以数列?2n?是首项为 1,公差为 1 的等差数列,由此可得 n=1+(n-1)×1=n,即 2 ? ? an=n· 2n. 答案:n· 2n 11.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,其中 a1=3,S5-S2=27. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 Sn,2 2(an+1+1),Sn+2 成等比数列,求正整数 n 的值. 解:(1)设等差数列{an}的公差为 d, 则 S5-S2=3a1+9d=27, 又 a1=3,则 d=2,故 an=2n+1. (2)由(1)可得 Sn=n2+2n, 又 Sn·Sn+2=8(an+1+1)2, 即 n(n+2)2(n+4)=8(2n+4)2, 化简得 n2+4n-32=0, 解得 n=4 或 n=-8(舍),所以 n 的值为 4. π 12.已知 α 为锐角,且 tan α = 2-1,函数 f(x)=2x· tan 2α +sin?2α + ?,数列{an} 4? ? 的首项 a1=1,an+1=f(an). (1)求函数 f(x)的表达式; (2)求数列{an}的通项公式.

2tan α 2( 2-1) 解:(1)tan 2α= = =1, 2 1-tan α 1-( 2-1)2 π 因为 α 是锐角,所以 2α= , 4 π 所以 sin?2α+ ?=1,所以 f(x)=2x+1. 4? ? (2)因为 a1=1,an+1=f(an),所以 an+1=2an+1, an+1+1 所以 an+1+1=2(an+1), =2(常数), an+1 所以{an+1}是首项为 a1+1=2,公比 q=2 的等比数列, 所以 an=2n-1. 13.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sn=3an+2n. (1)求证:数列{an-2}是等比数列; ? an ? (2)求数列?2×3n?的前 n 项和 Tn. ? ? 解:(1)证明:由 Sn=3an+2n, 得 Sn+1=3an+1+2(n+1), 以上两式相减得 an+1=3an+1-3an+2, 3 即 an+1= an-1, 2 3 所以 an+1-2= (an-2). 2 又因为 S1=a1=3a1+2, 所以 a1=-1,a1-2=-3. 3 故数列{an-2}是以-3 为首项, 为公比的等比数列. 2 n-1 3? (2)由(1)得 an-2=-3×? ?2? , 3?n-1 所以 an=2-3×? ?2? . an 1 1 所以 = n- n, 2×3n 3 2 1 1 1? 1 1- n? ?1- n? 3? 3 ? 2? 2 ? 1 1 1 所以 Tn= - = n- - . 1 1 2 2×3n 2 1- 1- 3 2 14.(2015· 日照模拟)若数列{bn}对于 n∈N*,都有 bn+2-bn=d(常数),则称数列{bn}是 ?4n-1,n为奇数, ? 公差为 d 的准等差数列,如数列{cn},若 cn=? 则数列{cn}是公差为 8 的准 ? ?4n-9,n为偶数, 等差数列.设数列{an}满足 a1=a,对于 n∈N*,都有 an+an+1=2n. (1)求证:{an}为准等差数列; (2)求{an}的通项公式及前 20 项和 S20. 解:(1)证明:因为 an+1+an=2n,① 所以 an+2+an+1=2n+2.② 由②-①得 an+2-an=2(n∈N*), 所以{an}是公差为 2 的准等差数列. (2)已知 a1=a,an+1+an=2n(n∈N*), 所以 a1+a2=2,即 a2=2-a. 所以由(1)可知 a1,a3,a5,?,成以 a 为首项,2 为公差的等差数列,a2,a4,a6,?, 成以 2-a 为首项,2 为公差的等差数列.

n ? 所以当 n 为偶数时,an=2-a+? ?2-1?×2=n-a, 当 n 为奇数时,an=a+? n+1 ? ? 2 -1?×2=n+a-1, ?n+a-1,n为奇数, ? 所以 an=? ? ?n-a,n为偶数. S20=a1+a2+?+a19+a20 =(a1+a2)+(a3+a4)+?+(a19+a20) (1+19)×10 =2×1+2×3+?+2×19=2× =200. 2


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