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福建省厦门市2015届高三第一学期质量检测数学理试卷


福建省厦门市 2015 届高三第一学期质量检测 数学理试卷
一、选择题 1、设集合 A ? x ? x ? 2 ? 0 ,B ? ? x y ?

?

?

? ?

1 ? ?,则A ? B ? ( 3-x ?

) .

A.?x x ? ?2?



B.?x x ? 3?

C. x x ? ?2或x ? 3
1 ,则?p是 ( 2
1 2

?

?

D.?x ? 2 ? x ? 3?

2、已知命题 p:?x 0 ? R,sinx 0 ?

) .

A.?x0 ? R, sin x0 ? C.?x ? R, sin x ? 1 2

1 2

B.?x0 ? R, sin x0 ? D.?x ? R, sin x ? 1 2

(m, 1 ), b ? m 2 , 2 ,若存在? ? R, 使得a ? ? b ? 0,则m ? ( 3、已知向量 a ?
A.0 B.2
2

?

?

) .

C.0 或 2

D.0 或-2 ) .

4、曲线 y ? 3x 与直线 x ? 1,x ? 2 及 x 轴所围成的封闭图形的面积等于( A.1 B.3 C.7 D.8 ) .

5、函数 y ? 2cos 2 ?

?x ? ? ? ? -1? x ? R ? 的图象的一条对称轴经过点( ?2 3?

? ? ? A.? ? ,0 ? ? 6 ?

?? ? B.? ,0 ? ?6 ?

? ? ? C.? ? ,0 ? ? 3 ?

?? ? D.? ,0 ? ?3 ?
) .

6、已知l , m表示两条不同的直线,?表示平面,下列说法正确的是 (

A.若l ? , m ? , 则l ? m C.若l m, m ? ? , 则l ?

B.若l ? m, m ? ? , 则l ? ?

D.若l ? , m ? , 则l m
2

a3 和 a9 是关于方程 x ? 16 x ? c ? 0 ? c ? 64 ? 的两根, 7、等差数列 ?an ? 中, 则该数列的前 11 项和 S11 (
A.58 B.88 C.143 D.176

).

8. 在直角坐标系中,函数 f ( x) ? sin x ?

1 的图像可能是( x

) .

9.椭圆 E:

x2 y2 ? ? 1 的右焦点为 F,直线 y ? x ? m 与椭圆 E 交于 A,B 两点。若△EAB 周长的最大值是 8,则 m a2 3
).

的值等于 (

A.0

B. 1

C.

3

D. 2
).

x3 x5 x 2 n ?1 n ?1 ? ? ... ? (?1) , ( x ? [0,1], n ? N * ) ,则 ( 10.设函数 f n ( x) ? x ? 3! 5! (2n ? 1)!
A. f 2 ( x) ? sin x ? f 3 ( x) B. f 3 ( x) ? sin x ? f 2 ( x) C. sin x ? f 2 ( x) ? f 3 ( x)

D. f 2 ( x) ? f 3 ( x) ? sin x

二、填空题:本大题 5 小题,每小题 4 分,共 20 分。把答案填在答题卡相应位置。 (一)必做题:共四题,每小题 4 分,满分 16 分。 16.11.已知 sin ? ? 2 cos ? , 则 tan(? ?

?
4

)=

.

12.三棱柱的三视图如图所示,则该棱柱的体积等于

.

13.已知双曲线 C: 于

x2 y2 ? 2 ? 1(a>0,b>0) 的渐近线与 圆 E : ( x ? 5) 2 ? y 2 ? 9 相切,则双曲线 C 的离心率等 2 a b

.

14.已知数列 {an } 中, a1 ? 3, an ?1 ? an ? 3b n (b>0)n ? N * , ①当 b=1 时, S 7 =12; ②存在 ? ? R ,数列 {an ? ?bn } 成等比数列; ③当 b ? (1,??) 时,数列 {a2 n } 是递增数列; ④当 b ? (1,0) 时数列 {an } 是递增数列 以上命题为真命题的是 .(写出所有真命题对应的序号) 。

(二)选做题:本题设有三个选考题,请考生任选两题作答,并在答题卡的相应位置填写答案,如果多做,则按 所做的前两题记分,满分 8 分。 15(1) (选修 4-2:矩阵与变换)已知矩阵 A ? ?

? x? ? 2 ?1? ?1 ? 0 ? ? , 且A ? ? ? ? ? ,则 x+y= ?1 1 ? ? 3? ? y ?

.

(2)(选修 4-4: 坐标系与参数方程)在直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 若直线 L 的极坐标方程为 ? cos ? ? 1 ,圆 C 的参数方程为; ? 距离等于 .
*

? x ? 2 ? 2 cos ? (?为参数) ,则圆心 C 到直线 L 的 ? y ? 2 sin ?

17.(选修 4-5:不等式选讲)已知 x, y ? R 且x ? 2 y ? 2, 则 x ? 1 ? 2 y ? 1 的最大值等于 三、解答题:本大题共 5 小题,共 66 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin(?x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ?

.

?

? ? 1? ) 的图像经过点 ? 0, ? ,且相邻两条对称轴的距离为 . 2 2 ? 2?

(1)求函数 f ( x) 的解析式及其单调递增区间; ( 2 ) 在 ?ABC 中 , a, b, c 分 别 是 角 A, B, C 的 对 边 , 若

A 1 f ( ) ? cos A ? ,且 bc ? 1 , b ? c ? 3 ,求 a 的值. 2 2

17. (本小题满分 12 分)如图,菱形 ABCD 的边长为 2 ,对角线交于点 O , DE ? 平面ABCD . (1)求证: AC ? BE
0



(2)若 ?ADC ? 120 , DE ? 2 , BE 上一点 F 满足 OF // DE ,求直线 AF 与平面 BCE 所成角的正弦值 .

18. (本小题满分 12 分) 如图,梯形 OABC 中, OA ? OC ? 2 AB ? 1, OC // AB, ?AOC ? 设 OM ? ? OA, ON ? ? OC (? ? 0, ? ? 0), OG ? (1)当 ? ?

?
3



1 (OM ? ON ) . 2

1 1 , ? ? 时,点 O, G, B 是否共线,请说明理由; 2 4
3 ,求 OG 的最小值. 16

(2)若 ?OMN 的面积为

90?(单位:克) 27?(单 19、某营养学家建议:高中生每天的蛋白质摄入量控制在 ?60, ,脂肪的摄入量控制在 ?18,
位:克).某学校食堂提供的伙食以食物 A 和食物 B 为主,1 千克食物 A 含蛋白质 60 克,含脂肪 9 克,售价 20 元;1 千克食物 B 含蛋白质 30 克,含脂肪 27 克,售价 15 元. (I)如果某学生只吃食物 A,他的伙食是否符合营养学家的建议,并说明理由; (II)为了话费最低且符合营养学家的建议,学生需要每天同时食用食物 A 和食物 B 各多少千克?

20、已知抛物线 E:y 2 ? 4 x ,点 F ?a,0 ? ,直线 l : x ? ? a ?a ? 0 ? . (I) P 为直线上的点, R 是线段 PF 与 y 轴的交点,且点 Q 满足 RQ ? FP , PQ ? l ,当 a ? 1 时,试问 点 Q 是否在抛物线 E 上,并说明理由 (II)过点 F 的直线交抛物线 E 于 A, B 两点,直线 OA, OB 分别与直线交于 M , N 两点 ?O为坐标原点? , 求证:以 MN 为直径的圆恒过定点,并求出定点坐标.

21、设函数 f ? x ? ? ax n ? ln x ? 1 n ? N * , n ? 2, a ? 1 (I)若 a ? 2, n ? 2 ,求函数 f ? x ? 的极值; (II)若函数 f ? x ? 存在两个零点 x1 , x2 ,
⑴求 a 的取值范围; ⑵求证: x1 x2 ? e
2 ?2 n

?

?

(e 为自然对数的底数)


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