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圆的标准方程(优质课)

时间:2015-01-16


圆的标准方程
东安天成学校高一年级组

问题提出 1.在平面直角坐标系中,两点确定一条 直线,一点和倾斜角也确定一条直线, 那么在什么条件下可以确定一个圆呢? 2.直线可以用一个方程表示,圆也可 以用一个方程来表示吗?怎样建立圆 的方程是我们需要探究的问题.

探究一:圆的标准方程

思考1:圆可以看成是平

面上的一条曲线, 在平面几何中,圆是怎样定义的? 如何用集合语言描述以点A为圆心,r 为半径的圆? M
r

圆上点的集合

A

P={M||MA|=r}. 平面上到一个定点的距离等于定长的 点的集合叫做圆.

思考2:确定一个圆最基本的要素是什么? 圆心和半径 思考3:设圆心坐标为A(a,b),圆半径 为r,M(x,y)为圆上任意一点,根据圆 的定义x,y应满足什么关系?
P = { M | |MA| = r }
y
r A(a,b) o x M(x,y)

( x ? a ) ? ( y ? b) ? r
2 2

(x-a)2+(y-b)2=r2

思考4:对于以点A(a,b)为圆心,r为半径的
圆,由上可知,若点M(x,y)在圆上,则点M的 坐标满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2 ;反之,若点 M(x,y)的坐标适合方程(x-a)2+(y-b)2=r2 , 那么点M一定在这个圆上吗?
y M

r
A o

x

我们把方程 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 称为以 A(a,b)圆心,r为半径长的 圆的标准方程
2 2 2

思考5:那么确定圆的标准方程需要几个 独立条件?

思考6:以原点为圆心,1为半径的圆称为 单位圆,那么单位圆的方程是什么?

x2+y2=1

随堂练习
1、圆心为 A(2,?3) ,半径长等于5的圆的方程为( B ) A (x – 2 )2+(y – 3 )2=25 B (x – 2 )2+(y + 3 )2=25 C (x – 2 )2+(y + 3 )2=5 D (x + 2 )2+(y – 3 )2=5 2、圆 (x-2)2+ y2=2的圆心C的坐标及半径r分别为( D) A C(2,0) r = 2 B C( – 2,0) r = 2 C C(0,2) r = 2 D C( 2 , 0 ) r= 2 3、已知 M (5,?7) 和圆 (x – 2 )2+(y + 3 )2=25 ,则点M在 ( B ) A 圆内 B 圆上 C 圆外 D 无法确定

探究二:点与圆的位置关系 思考7:在平面几何中,初中学过:点与 圆有哪几种位置关系? 思考8:在初中平面几何中,如何确定点 与圆的位置关系?
A O OA<r O OA=r A O A

OA>r

思考9:在直角坐标系中,已知点M(x0,y0) 2 2 2 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r ,如何判断点 和圆C: M在圆外、圆上、圆内?
(x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外;

(x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上;
(x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内.

思考题: 集合{(x,y)|(x-a)2+(y-b)2≤r2} 表示的图形是什么?
y r A o x

探究三:圆的标准方程的应用
例1 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, -2),且 圆心C在直线上l:x -y +1=0,求圆心为C的圆的标 y 准方程.
A(1,1)

O

x
D B(2,-2)

弦AB的垂直 平分线

l

'

C

l : x ? y ?1 ? 0
圆心C:两条直线的交点
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半径CA:圆心到圆上一点
11

解:因为A(1, 1)和B(2, -2),所以线段AB的中点D的坐标
直线AB的斜率:

k AB ?

因此线段AB的垂直平分线 ' 的方程是

l

? 2 ?1 ? ?3 2 ?1


3 1 ( ,? ), 2 2

?x ? 3 y ? 3 ? 0 ? ?x ? y ? 1 ? 0 所以圆心C的坐标是 (?3,?2)
解方程组 圆心为C的圆的半径长

1 1 3 y ? ? (x ? ) 2 3 2

x ? 3y ? 3 ? 0


? x ? ?3, ? ? y ? ?2.

r ?| AC |? (1 ? 3) 2 ? (1 ? 2) 2 ? 5

所以,圆心为C的圆的标准方程是

( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 25
2 2
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例2 ?ABC 的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,-3), C(2, -8),求它的外接圆的方程.

y
A(5,1) O C E C(2,-8)

D

x
B(7,-3)

圆心:两条弦的中垂线的交点
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半径:圆心到圆上一点
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?ABC 的三个顶点的坐标分别A(5,1)、B(7,-3)、 例2 : C(2,-8),求它的外接圆的方程.

解:设所求圆的方程是 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2
因为A(5,1), B(7,-3),C(2, -8) 都在圆上,所以 它们的坐标都满足方程(1).于是 2 2 2 ?(5 ? a) ? (1 ? b) ? r ?a?2 ? ? 2 2 2 ?(7 ? a) ? (?3 ? b) ? r ? ?b ? ?3 ?(2 ? a) 2 ? (?8 ? b) 2 ? r 2 ? r ?5 ? ? 所求圆的方程为

1)

?x ? 2?2 ? ? y ? 3?2 ? 25
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待定系数法
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课时小结

(1)圆的标准方程的结构特点. (2)点与圆的位置关系的判定. (3)求圆的标准方程的方法: ①待定系数法;②几何法.

能力提升

1。 方程 ?x ? a? ? ? y ? b? ? r 2 2 2 ?x ? a ? ? ? y ? b ? ? r 2 2 ?x ? a ? ? ? y ? b ? ? r 都一定是圆的方程吗?
2 2 2

2。方程

与 y ? 4 ? ( x ? 1)2

表示的曲线分别是什么?

课时作业

P120:练习: 1,3. P124:习题4.1 A组:2,3,4.


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