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1992年全国高中数学联赛试卷


1992 年全国高中数学联赛试卷
第一试 一.选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1. 对于每个自然数 n,抛物线 y

? (n +n)x ?(2n+1)x+1 与 x 轴交于 A ,B 两点,以|A B |表示该两
2 2

n

n

n n

点的距

离,则|A1B1|+|A2B2|+?+|A1992B1992|的值是(

)

y
1 ?1 O ?1 1 x

1991 1992 (A)
2. 曲线的方程是( (A)(x+

1992 (B) 1993
) )(y+

1991 1993 (C)

1993 1992 (D)

已知如图的曲线是以原点为圆心, 1 为半径的圆的一部分, 则这一

1 ? y2

1 ? x2

)=0 (B)(x?

1 ? y2
)=0
4

)(y?

1 ? x2

)=0

(C)(x+

1 ? y2

)(y?

1 ? x2

)=0 (D)(x?

1 ? y2

)(y+

1 ? x2

3. 设四面体四个面的面积分别为 S1,S2,S3,S4,它们的最大值为 S,记 足( (A)2< )

?=

(? Si )
i ?1

/S,则

? 一定满

? ≤4

(B)3<

? <4

(C)2.5<

? ≤4.5

(D)3.5<

? <5.5

4. 在△ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别记为 a, b, c(b?1), 且 的根,则△ABC( ) (A)是等腰三角形,但不是直角三角形 (C)是等腰直角三角形

C , sin B A sin A 都是方程 log b x =log (4x?4)
b

(B)是直角三角形,但不是等腰三角形

(D)不是等腰三角形,也不是直角三角形
2 2

5. 设复数 z1,z2 在复平面上对应的点分别为 A,B,且|z1|=4,4z1 ?2z1z2+z2 =0,O 为坐标原点,则△

OAB 的面积为(
(A)8

) (B)4

3

3

(C)6

3

(D)12

3

6. 设 f(x)是定义在实数集 R 上的函数, 且满足下列关系 f(10+x) 则 f(x)是 (A)偶函数,又是周期函数 (C)奇函数,又是周期函数 二.填空题(每小题 5 分共 30 分)

? f(10?x),f(20?x) ? ?f(20+x),

(B)偶函数,但不是周期函数 (D)奇函数,但不是周期函数

1. 设 x,y,z 是实数,3x,4y,5z 成等比数列,且 2. 在区间[0,?]中,三角方程 cos7x

1,1,1 x z x y z 成等差数列,则 z ? x

的值是______.

? cos5x 的解的个数是______.

3. 从正方体的棱和各个面上的对角线中选出 k 条,使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线, 则 k 的最大值是_____.

4.

z2 z 设 z ,z 都是复数,且|z |=3,|z |=5|z +z |=7,则 arg( 1
1 2 1 2 1 2 2 3

) 的值是______. 都有 anan+1an+2?1,又 anan

3

5. 设数列 a1,a2,?,an,? 满足 a1
+1

? a ? 1,a ? 2,且对任何自然数 n,
__.

an+2an+3

? a +a
n

n+1

+an+2+an+3,则 a1+a2+?+a100 的值是__

6. 函数 f(x)=

x4 ? 3x2 ? 6x ? 13 ? x4 ? x2 ? 1 的最大值是_____.
80

16 ? ? 1 ? 17 k k ?1 三、(20 分)求证: .
四、(20 分)设 l,m 是两条异面直线,在 l 上有 A,B,C 三点,且 AB=BC,过 A,B,C 分别作 m 的垂线 AD,

BE,CF,垂足依次是 D,E,F,已知 AD=

7 15 ,BE= 2 CF= 10 ,求 l 与 m 的距离.

x n ?1 ? x ? n ?1 1 ?1 x ? x 五、(20 分)设 n 是自然数,fn(x) ? (x?0, ? 1),令 y=x+ x
1.求证:fn+1(x)=yfn(x)?fn-1(x),(n>1) 2.用数学归纳法证明:

.

fn(x)=

1 n?2 i n ? 2i ? y n ? Cn ? ? ? (?1)i Cn ? ? ? (?1) 2 , (i ? 1,2,?, n , n为偶数) ?1 y ?i y ? 2 n ?1 n ?1 ? n 1 n?2 i i n ? 2i n ? 1 , n为奇数) 2 2 ? ?1 , (i ? 1,2, ? , ? y ? Cn ?1 y ? ? ? (?1) Cn ?i y ? ? ? (?1) Cn2 2

n


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