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2014年北京市丰台区高三二模数学(理)试题Word版带解析


丰台区 2014 年高三年级第二学期统一练习(二) 数学(理科)
2014.5

第一部分(选择题
选出符合题目要求的一项。

共 40 分)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中, (1)若复数 (m ? 1) ? (m ? 2) i( m ?R)

是纯虚数,则实数 m 等于 (A)0 (B)1 (C)2 (D)1 或 2

解析:复数 (m ? 1) ? (m ? 2) i( m ?R)是纯虚数,m=1,所以答案 B 考点:推理与证明、数系的扩充与复数------复数-----复数的概念和向量表示

答案:B (2) 已知数列 {an } 是等差数列,且 a3 ? a9 ? 4 ,那么数列 {an } 的前 11 项和等于 (A)22 (B)24 (C)44 (D)48

解析: a3 ? a9 ? 4, a6 ? 2, S11 ? 考点:数列----等差数列 答案:A

(a1 ? a11 ) ?11 ? 11a6 ? 22 2

? ?x ? ? (3)直线 l1 : x ? y ? 2 2 ? 0 与直线 l2 : ? ?y ? ? ?
是 (A)1 (B) 2

2 t, 2 (t 为参数)的交点到原点 O 的距离 2 t 2

(C)2

(D)2 2

解析: l2 : x ? y ? 0, l1, l2 交点坐标 ( 2, 2) ,所以交点到原点的距离为 2.
考点:解析几何-------直线--------------距离 答案:2

(4)将函数 f ( x) ? log2 (2 x) 的图象向左平移 1 个单位长度,那么所得图象的函 数解析式为

(A) y ? log2 (2 x ? 1) (C) y ? log2 ( x ? 1) ? 1

(B) y ? log2 (2 x ? 1) (D) y ? log2 ( x ? 1) ? 1

解析:函数平移左加右减, f ( x) ? log2 (2x) ? log2 2 ? log2 x ? log2 x ?1,所以答 案为 C. 考点:函数与导数-----基本初等函数与应用-------对数与对数函数 答案:C (5)已知 y ? sin(? ? x) ? cos 2 x ,则 y 的最小值和最大值分别为
9 (A) ? , 2 8

(B)-2,

9 8

3 (C) ? , 2 4

(D)-2,

3 4

解析:

y ? sin(? ? x) ? cos 2 x ? ? sin x ? (1 ? 2sin 2 x) ? 2sin 2 x ? sin x ?1

9 sin x ? ? ?1,1? , ymin ? ? , ymax ? 2 ,所以答案 A. 8
考点:三角函数----------三角函数------------三角函数综合 答案:A

(6)设 m,n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面.则下列命题中正确的 是 (A)m⊥ ? ,n ? ? ,m⊥n ? ? ⊥ ? (B) ? ⊥ ? , ? ∩ ? =m,n⊥m ? n⊥ ? (C) ? ⊥ ? ,m⊥ ? ,n∥ ? ? m⊥n (D) ? ∥ ? ,m⊥ ? ,n∥ ? ? m⊥n

解析:A 可以推出两个面相交,不一定垂直 以平行或垂直。答案 C

B 直线 n 可以在面 ? 内,D 两直线可

考点:立体几何————--点线面的位置关系的判定------点线面的位置关系 答案: (7) 已知抛物线 C: y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,过点 F 倾斜角为 60° 的直线 l 与抛物线 C
在第一、四象限分别交于 A、B 两点,则

| AF | 的值等于 | BF |

(A)2

(B)3

(C)4

(D)5

解 析 : 设 直 线

AB

的 方 程

y ? 3 x( ?

p 2

) ,









p ? 3 3p p ? y ? 3( x ? ) 2 , x2 ? 2 3 x ? 5 px ? p 2 ? 0 ? x1 ? ? 4 2 6 ? y 2 ? 2 px 所以答案 B ? P P 2 p AF AF ? x1 ? ? 2 p, BF ? x2 ? ? ? ?3 2 2 3 BF

考点:解析几何-----圆锥曲线-----抛物线 答案:B (8)定义在 R 上的函数 f ( x ) 和 g ( x ) 的导函数分别为 f '( x) , g '( x) ,则下面结论正 确的是 ①若 f '( x ) ? g '( x ) ,则函数 f ( x ) 的图象在函数 g ( x ) 的图象上方; ②若函数 f '( x ) 与 g '( x) 的图象关于直线 x ? a 对称,则函数 f ( x ) 与 g ( x ) 的图象 关于点( a ,0)对称; ③函数 f ( x) ? f (a ? x) ,则 f ' ( x) ? ? f ' (a ? x) ; ④若 f '( x) 是增函数,则 f ( (A)①②
x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? . 2 2 (B)①②③ (C)③④

(D)②③④

解析:① f '( x ) ? g '( x ) , F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 单调递增,不一定有函数 f ( x ) 的图像 在函数 g ( x ) 的图像上方

( ② 若 函 数 f' x
f ' ( x?)

) 与 g '( x) 的 图 像 关 于 直 线 x ? a 对 称 , 有
f ?x (? ) g ? (a 2 ? x ) f? x (

g '? (a 2 ? x )

f2 ( x )x )函 ? g 数(a ? ? 与)

0

g ( x ) 的图像关于点( a ,0)对称;所以②正确。
③ f ( x) ? f (a ? x) 两边求导得 f ( x) ? f (a ? x) ,所以正确。

④ f '( x) 是增函数, 函数图像满足上图,所以④正确。 所以答案 D 考点:函数与导数-----导数-----导数综合 答案:D

第二部分(非选择题

共 110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (9) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? 3n ?1 , 那么该数列的通项公式为 an =_______.
? Sn ? 3n ? 1 2 2 ? ? an ? 3n ? 3n ?1 ? ? 3n (n ? 2); n ? 1, a1 ? 2 ? an ? ? 3n 解析: ? n ?1 3 3 ? ? Sn ?1 ? 3 ? 1

(10)已知一个样本容量为 100 的样本 数据的频率分布直方图如图所示, 那么样本数据落在[40,60)内的样本 的频数为 ____ ;
0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 频率 组距

估计总体的众数为_________. 解 析 : [40,60 ) 内 的 样 本 频 数 :
100 ? (0.005 ? 0.01) ?10 ? 15 ;

40

50

60

70

80

90

100

样本数据

(11)已知圆 C: (x+1)2+(y-3)2=9 上的两点 P,Q 关于直线 x+my+4=0 对称,那 么 m=_________. 解析: 圆上两点关于直线对称, 直线一定过圆的圆心, 所以 ?1 ? 3m ? 4 ? 0 ? m ? ?1 (12)将 6 位志愿者分配到甲、已、丙 3 个志愿者工作站,每个工作站 2 人,由于

志愿者特长不同,A 不能去甲工作站,B 只能去丙工作站,则不同的分配方 法共有__________种.
1 1 2 2 解析:当 A 去乙工作站时, C4 C3 ? 12 ,当 A 去丙工作站时, C4 C2 ? 6 ,所以一共有 18

种方法。

? ? ? (13)已知向量 a ? (1, ?2) ,M 是平面区域 ? x ? y ? 1 ? 0 内的动点,O 是坐标原点, ?2 x ? y ? 4 ? 0 ?

x ? 0, y ? 0

? ???? ? 则 a ? OM 的最小值是

.

? ???? ? 解析:做出平面区域,求解交点坐标, a ? OM 的最小值是-3

(14)数列 {an } 的首项为 1,其余各项为 1 或 2,且在第 k 个 1 和第 k ? 1 个 1 之间有
2k ? 1 个 2,即数列 {an } 为:1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1,…,

记数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,则 S20 ? __ 解 析 :

; S2014 ___


构 成

S20 ? (1 ? 3 ? 5 ? 7) ? 2 ? 4 ? 36 ; 数 列 由 即 : 1 , 2

1, 2, a1 ? 2;1, 2, 2, 2, a ? 2 4;1, 2, 2, 2, 2, 2, a ? 6 3??? an ? 2n (2 ? 2n)n ? 2014 ? n ? 44 2 44 ? 44 ? 34 ? 2014 ? 2014项中有45个1,1989个2,所以 a1 , a , a 2 ?? 3 an的和记为Tn ?Tn ? S2014 =45 ?1+1989 ? 2=4023
三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明, 演算步骤或证明 过程。 (15) (本小题满分 13 分) 已 知 △ ABC 中 , ∠ A, ∠ B, ∠ C 的 对 边 长 分 别 为 a, b, c , 且

a 2 ? b2 ? ab ? 3 , C ? 60o .
(Ⅰ)求 c 的值; (Ⅱ)求 a ? b 的取值范围. (16) (本小题满分 13 分) 某超市进行促销活动,规定消费者消费每满 100 元可抽奖一次.抽奖规则:从 装有三种只有颜色不同的球的袋中随机摸出一球,记下颜色后放回,依颜色

分为一、二、三等奖,一等奖奖金 15 元,二等奖奖金 10 元,三等奖奖金 5 元.活动以来,中奖结果统计如图所示:

消费者甲购买了 238 元的商品,准备参加抽奖.以频率作为概率,解答下列各 题. (Ⅰ)求甲恰有一次获得一等奖的概率; (Ⅱ)求甲获得 20 元奖金的概率; (Ⅲ)记甲获得奖金金额为 X,求 X 的分布列及期望 EX. (17) (本小题满分 14 分) 如图 1, 在直角梯形 ABCD 中, AD∥BC, AD=AB= 2 , ∠BAD=90o, ∠BCD=45o, E 为对角线 BD 的中点.现将△ABD 沿 BD 折起到△PBD 的位 置, 使平面 PBD ⊥平面 BCD,如图 2. (Ⅰ)求证直线 PE⊥平面 BCD; (Ⅱ)求异面直线 BD 和 PC 所成角的余弦值; (Ⅲ) 已知空间存在一点 Q 到点 P,B,C,D 的距离相等, 写出这个距离的值 (不 用说明理由).
A E E B 图1 C B 图2 C D P D

(18) (本小题满分 13 分)

1 已知函数 f ( x) ? xe x ? a( x 2 ? x) (e=2.718---). 2

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 的极值; (Ⅱ)求函数在区间[-1,1]上的最小值. (19) (本小题满分 13 分) 已知椭圆 E:

x2 y2 ? ? 1 与直线 l : y ? kx ? m 交于 A,B 两点,O 为坐标原点. 8 4

(Ⅰ)若直线 l 椭圆的左焦点,且 k=1,求△ABC 的面积; (Ⅱ)若 OA ? OB ,且直线 l 与圆 O: x 2 ? y 2 ? r 2 相切,求圆 O 的半径 r 的 值. (20) (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) 的定义域为 D,若它的值域是 D 的子集,则称 f ( x) 在 D 上封 闭. (Ⅰ)试判断 f ( x) ? 2x , g ( x) ? log2 x 是否在 ?1, ?? ? 上封闭; (Ⅱ)设 f1 ( x) ? f ( x) , f n ( x) ? f ( f n?1 ( x))(n ? N*, n ? 2) , 若 f n ( x) ( n ? N* )的 定义域均为 D, 求证:f n ( x) 在 D 上封闭的充分必要条件是 f1 ( x) 在 D 上封闭; (Ⅲ)若 a ? 0 ,求证: h( x) ? 域为 ?0, a ? 时 a 的值.
2 ? x sin x ? x cos x ? 在 ?0, a? 上封闭,并指出值 2

丰台区 2014 年高三年级第二学期统一考试(二) 数学(理科)答案
一、选择题: BACCADBC 二、填空题: (9) 2 ? 3n ?1 (12)18 三、解答题: (15) (10)15(3 分) ;75(2 分) (13)-3 (11)-1

2014.5

(14)36(2 分) ;3983(3 分)

解: (Ⅰ)∵ c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C = a 2 ? b2 ? ab =3 ∴ c ? 3. (Ⅱ)∵ ∴
a b c ? ? sin A sin B sin C

--------------------------------- 5 分

a 3 ? ? 2 , a ? 2 sin A , sin A sin 600 b 3 ? ? 2 , b ? 2 sin B . sin B sin 600



a ? b ? 2(sin A ? sin B)
? 2 3sin( A ? 300 ) .

∵ ∴ ∴ ∴

00 ? A ? 1200 ,

A ? 300 ? (300 ,1500 ) ,
1 sin( A ? 300 ) ? ( ,1] , 2
a ? b ? ( 3,2 3] .
--------------------------13 分

(16)解:由题意得:抽奖一次获得一等奖的概率为

50 1 ? , 500 10 100 1 350 7 ? ,获得三等奖的概率为 ? 获得二等奖的概率为 . 500 5 500 10

(I)设甲恰有一次获得一等奖的概率为 P1 ,则
1 1 9 P ?( 1 ? ) ? . 1 ?2 ? 10 10 50

所以甲恰有一次获得一等奖的概率为

9 . 50

-----------------5 分

(II)设甲获得 20 元奖金的概率为 P2 ,则
P2 ? 2 ? 1 7 1 1 9 ? ? ? ? 10 10 5 5 50 9 . 50

所以甲获得 20 元奖金的概率为 (III)X 可取 10,15,20,25,30

--------------8 分

7 7 49 ? ? 10 10 100 1 7 28 P( X ? 1 5 ? ? ? ) 2 ? 5 10 100 1 7 1 1 18 P( X ? 2 0 ? ? ? ? ? ) 2 ? 10 10 5 5 100 1 1 4 P( X ? 2 5 ? ? ? ) 2 ? 10 5 100 P( X ? 1 0 ? )
1 1 1 ? ? 10 10 100 所以 X 的分布列为 P( X ? 3 0 ? )

15 20 25 28 18 4 P 100 100 100 49 28 18 4 1 ? EX ? 10 ? ? 15 ? ? 20 ? ? 25 ? ? 30 ? ? 14 . 100 100 100 100 100 (17) (Ⅰ)证明: ∵ ∴ ∵ E 为 BD 的中点, PE⊥BD, 平面 PBD⊥平面 BCD, 且平面 PBD?平面 BCD=BD,

X

10 49 100

30 1 100 ----------13 分

PE?平面 PBD, ∵ 直线 PE⊥平面 BCD. -----------5 分

z P D E x B 图2 C y

(Ⅱ)解:如图所示,建立空间直角坐标系 E-xyz, 依题意得 E(0,0,0),B(1,0,0),C(-1,2,0),D(-1,0,0) ,P(0,0,1). ??? ? ??? ? 所以 BD ? (?2,0,0) , PC ? (?1, 2, ?1) , 设直线 BD 和 PC 所成角为 θ, ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? | BD ?PC | 6 ? ??? ? ? 则 cos? ?| cos ? BD, PC ?|? ??? . | BD || PC | 6 所以直线 BD 和 PC 所成角的余弦值为 (Ⅲ)答:这个距离为 2 . (18)解: (Ⅰ)当时 a=1 处 f ' ( x) ? ( x ? 1)(e x ?1) . 当 x 变化时, f ' ( x) , f ( x ) 的变化情况如下表:

6 . 6

------------11 分 -----------------14 分

x
f ' ( x)
f ( x)

(??, ?1)

?
?

?1 0

(?1, 0) ? ?

0 0

(0, ??)

?
?

极大

极小

所以 x ? ?1 时 f ( x ) 取得极大值 f ( ?1) ? ? 所以 x ? 0 时 f ( x ) 取得极小值 f (0) ? 0 .

1 1 ? ; e 2

--------------------- 5 分

(Ⅱ) f ' ( x) ? ( x ? 1)(e x ? a) .

1 时,在区间 [?1,1] , f ' ( x) ? 0 所以 f ( x ) 在 [?1,1] 上单调递增, e 1 a 所以 x ? ?1 时 f ( x ) 取得最小值 f ( ?1) ? ? ? . e 2 1 ②当 ? a ? e 时,在区间 [?1, ln a] , f ' ( x) ? 0 所以 f ( x ) 在 [?1, ln a] 上单调递减, e
①当 a ? 在区间 [ln a,1] , f ' ( x) ? 0 所以 f ( x ) 在 [ln a,1] 上单调递增, 所以 x ? ln a 时 f ( x ) 取得最小值 f (ln a ) ? ?

1 a ln 2 a . 2

③当 a ? e 时,在区间 [?1,1] , f ' ( x) ? 0 所以 f ( x ) 在 [?1,1] 上单调递减, 所以 x ? 1 时 f ( x ) 取得最小值 f (1) ? e ? 综上所述,当 a ?

3a . 2

1 1 a 1 时, f ( x ) 在[-1,1]上的最小值是 ? ? ;当 ? a ? 1 时, f ( x ) 在[-1,1] e e 2 e 1 3a 上的最小值是 ? a ln 2 a ;当 a ? e 时, f ( x ) 在[-1,1]上的最小值是 f (1) ? e ? .--13 分 2 2 (19)解: (Ⅰ)椭圆 E 的左焦点为(-2,0) ,所以直线 l 为:y=x+2.

? y ? x ? 2, ? 2 ?x y2 ? 1, ? ? 4 ?8

8 2 解得 A(? , ? ), B(0, 2) , 3 3 1 8 8 ?2? ? . 2 3 3

所以 S?AOB ? (Ⅱ)

-----------------5 分

? y ? kx ? m, ? 2 消去 y 并整理得: (2k 2 ? 1) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 8 ? 0 . ?x y2 ? 1, ? ? 4 ?8

? ? 16k 2m2 ? 4(2k 2 ? 1)(2m2 ? 8)
? 64k 2 ? 8m2 ? 32 ? 0 .

设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )

?4km ? x1 ? x2 ? 2 , ? ? 2k ? 1 所以 ? 2 ? x x ? 2m ? 8 , 1 2 ? 2k 2 ? 1 ?
所以 y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ,

? k 2 x1x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2
? m2 ? 8k 2 . 2k 2 ? 1

因为 OA ? OB 所以 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即 3m2 ? 8k 2 ? 8 ,此时 ? ? 由题意 r ?
m k ?1
2

128k 2 ? 32 ? 0. 3

?

m 3 2 m 8

?

2 6 . 3

(20) 解: (Ⅰ) f ( x) ? 2x 在 ?1, ?? ? 上封闭; g ( x) ? log2 x 在 ?1, ?? ? 上不封闭.------2 分 (Ⅱ)充分性:①当 n ? 1 时, f1 ( x) 在 D 上封闭,命题成立; ②假设 n ? k 时命题成立,即 fk ( x) 在 D 上封闭, 那么当 n ? k ? 1 时, fk ?1 ( x) ? f ( fk ( x)) , 任取 x ? D ,因为 fk ( x) 在 D 上封闭,所以 fk ( x) ? D ,所以 f ( fk ( x)) ? D , 即 fk ?1 ( x) ? D ,所以 f k ?1 ( x) 在 D 上封闭. 所以 n ? k ? 1 时命题成立. 综合①②命题成立. 必要性: (反证法)假设 f1 ( x) 在 D 上不封闭,即存在 x0 ? D 使得 f1 ( x0 ) ? D . 那么此时 f2 ( x0 ) ? f ( f ( x0 )) 无意义,这与 f n ( x)(n ? N *) 的定义域均为 D 矛盾,所以假设不成立,命题得证. (3)因为 h( x) ?
? 2 ? 2 2 x sin x ? x cos x ? ? x ? sin x ? cos x ? ? ? 2 ? 2 2 ? ?

--------10 分

? ? ? ? x sin( x ? 4 ) (k? ? x ? k? ? 2 ), ? ?? (k ? Z ) ? ? ? x sin( x ? ) (k? ? ? x ? k? ? ? ), ? 4 2 ?

所以任取 x ? ?0, a? , 0 ? h( x ) ? x ? a 所以 h( x) 的值域为 ?0, a ? 的子集,即 h( x) 在 ?0, a ? 上封闭.

当值域为 ?0, a ? 时,有 h(a) ? a ? a , 所以 sin(a ? ) ? 1(k? ? a ? k? ? ) 或 sin(a ? ) ? 1(k? ? ? a ? k? ? ? ) 4 2 4 2 所以 a ?

?

?

?

?

?
4

?

k? ,k ?Z . 2

-------14 分


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