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3.1.1 空间向量及其加减运算


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3.1.1 空间向量及其加减运算 2014.10.14
1.下列命题正确的有( (1)若|a|=|b|,则 a=b; → =DC → 是四边形 ABCD 是平行四边形的 (2)若 A,B,C,D 是不共线的四点,则AB 充要条件; (3)若 a=b,b=c,则 a=c; ?|a|=|b|, (4)向量 a,b 相等的充要条件是? ?a∥b

; (5)|a|=|b|是向量 a=b 的必要不充分条件; → =CD → 的充要条件是 A 与 C 重合,B 与 D 重合. (6)AB A.1 个 B.2 个 C .3 个 D.4 个 ) )

2.设 A,B,C 是空间任意三点,下列结论错误的是( → +BC → =AC → A.AB → -AC → =CB → C.AB → +BC → +CA → =0 B.AB → =-BA → D.AB

→ ,BC → ,CD → ,AD → ,则下列结论正确的是( 3.已知空间向量AB → =BC → +CD → A.AB → =AB → +BC → +DC → C.AD → -DC → +BC → =AD → B.AB → =BD → -DC → D.BC

)

→ → 4. 在平行六面体 ABCD—A′B′C′D′中, 与向量AA ′相等的向量(不含AA ′) 的个数是( A.1 个 ) B.2 个 C .3 个 D.4 个

→ → 5. 在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中, M 为 AC 与 BD 的交点, 若A1B1=a, A1D1 → → =b,A 1A=c,则下列向量中与B1M相等的向量是( 1 1 A.-2a+2b+c 1 1 C.2a-2b+c 1 1 B.2a+2b+c 1 1 D.-2a-2b+c )

6.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,下列各式中

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→ → → (1)(AB+BC)+CC1 → +BB → )+B→ (3)(AB 1 1C1

→ → → (2)(AA1+A1D1)+D1C1 → +A→ → (4)(AA 1 1B1)+B1C1. ) C.3 个 D.4 个

→ 的共有( 运算的结果为向量AC 1 A.1 个 B.2 个

→ =a,CB → =b,CC → =c,则A → 7.在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若CA 1 1B=________. → +OB → +OC → =0,那 8.已知 O 是△ABC 所在平面内一点,D 为 BC 边中点且 2OA → =________. 么AO 9.如图所示的是平行六面体 ABCD—A′B′C′D′,化简下 列各式. → +BB → → →; (1)AB ′-D′ A′+D→ ′D-BC → → +AD → -AA → (2)AC ′-AC ′. 10.如图所示,在四边形 ABCD 中, E,F 分别为 AD,BC 的中点, → =1(AB → +DC → ). 求证EF 2

3.1.2 空间向量的数乘运算
→ ,b=CA → ,c=AB → ,a+b+c=0,则AM →为 1.设 M 是△ABC 的重心,记 a=BC b-c A. 2 c-b B. 2 b-c C. 3 c-b D. 3

2.如图所示,已知 A,B,C 三点不共线,P 为一定点,O 为平面 ABC 外任一 → 的为( 点,则下列能表示向量OP → → → A.OA+2AB+2AC → +3AB → -2AC → C.OA )

→ → → B.OA-3AB-2AC → +2AB → -3AC → D.OA

3.当|a|=|b|≠0,且 a、b 不共线时,a+b 与 a-b 的关系是( A.共面 ) B.不共面 C.共线 D.无法确定

4.对空间任一点 O 和不共线三点 A、B、C,能得到 P、A、B、C 四点共面的是

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(

) → =1OA → +1OB → +1OC → B.OP 3 3 3 D.以上皆错

→ =OA → +OB → +OC → A.OP → =-OA → +1OB → +1OC → C.OP 2 2

5.已知正方体 ABCD-A′B′C′D′ ,点 E 是 A′C′的中点,点 F 是 AE 的 1 → 等于( 三等分点,且 AF=2EF,则AF 1→ 1 → → A.AA ′+2AB +2AD 1 → 1→ 1 → C.2AA ′+6AB +6AD )

1 → 1→ 1 → B.2AA ′+2AB +2AD 1 → 1→ 1 → D.3AA ′+6AB +6AD

→ =a,OB → =b,OC → =c, 点 M 在 OA 上, 6.如图所示,空间四边形 OABC 中,OA → =2MA → ,N 为 BC 中点,则MN → 等于( 且OM 1 2 1 A.2a-3b+2c 1 1 2 C.2a+2 b-3c 2 1 1 B.-3 a+2b+2c 2 2 1 D.3a+3b-2c )

7.已知 i,j,k 是三个不共面向量,已知 1 向量 a=2i-j+k,b=5i-2j-k,则 4a-3b=________. 8.如图所示,已知矩形 ABCD,P 为平面 ABCD 外一点, 且 PA⊥平面 ABCD,M、N 分别为 PC、PD 上的点,且 → =xAB → +yAD → PM∶MC=2∶1,N 为 PD 中点,则满足MN → 的实数 x=________,y=________,z=________. +zAP

9. 如图, 长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, M 为 DD1 的中点, N 在 AC 上, 且 AN∶NC → → → =2∶1,求证:A 1N与A1B、A1M共面. 10.已知三个向量 a,b,c 不共面,并且 p=a+b-c, q=2a-3b-5c,r=-7a+18b+22c, 向量 p,q,r 是否共面?

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3.1.3 空间向量的数量积运算
1.如图,空间四边形的各边和对角线长均相等,E 是 BC 的中点,那么( →· → <AE →· → A.AE BC CD →· → =AE →· → B.AE BC CD →· → >AE →· → C.AE BC CD →· → 与AE →· → 不能比较大小 D.AE BC CD 2.已知 PA⊥平面 ABC,垂足为 A,∠ABC=120° , PA=AB=BC=6,则 PC 等于( A.6 2 C.12 B.6 D.144 ) )

3.已知 a、b、c 是两两垂直的单位向量,则 |a-2b+3c| =( A.14 C.4 ) B. 14 D.2

π → ,BC → 〉等 4.空间四边形 OABC 中,OB=OC,∠AOB=∠AOC=3,则 cos〈OA 于( 1 A. 2 1 C.-2 ) B. 2 2

D.0 )

5. 在空间四边形 ABCD 中, AB、 AC、 AD 两两垂直, 则下列结论不成立的是( → +AC → +AD → |=|AB → +AC → -AD →| A.|AB → +AC → +AD → |2=|AB → |2+|AC → |2+|AD → |2 B.|AB

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→ → → → C.(AB+AD+AC)· BC=0 →· → =AC →· → =AD →· → D.AB CD BD BC →· → =0,AC →· → =0,AB →· → 6.设 A、B、C、D 是空间不共面的四点,且满足AB AC AD AD =0,则△BCD 是( A.钝角三角形 C.直角三角形 ) B.锐角三角形 D.不确定

2 7.已知|a|=2 2,|b|= 2 ,a· b=- 2,则〈a,b〉=________. →· → =________. 8.已知在空间四边形 OABC 中,OA⊥BC,OB⊥AC,则AB OC 9.对于任意空间四边形,证明它的一组对边中点的连线段与另一组对边可平行 于同一平面. 10.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,求异面直线 A1B 与 AC1 所成的角.

3.1.4

空间向量的正交分解及其坐标表示
)

1.以下四个命题中正确的是(

A.空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示 B.若{a,b,c}为空间向量的一组基底,则 a,b,c 全不是零向量 →· → =0 C.△ABC 为直角三角形的充要条件是AB AC D.任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底 2.给出下列命题: ①若{a,b,c}可以作为空间的一个基底,d 与 c 共线,d≠0,则{a,b,d}也可 作为空间的基底;②已知向量 a∥b,则 a,b 与任何向量都不能构成空间的一个 → ,BM → ,BN → 不能构成空间的一个基底, 基底;③A,B,M,N 是空间四点,若BA

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那么 A,B,M,N 共面;④已知向量组{a,b,c}是空间的一个基底,若 m=a +c,则{a,b,m}也是空间的一个基底.其中正确命题的个数是( A.1 C.3 B.2 D.4 )

3.已知向量{a,b,c}是空间的一个基底,p=a+b,q=a-b,一定可以与向量 p,q 构成空间的另一个基底的是( A.a C.c B.b D.无法确定 )

4.给出下列两个命题: ①如果向量 a,b 与任何向量不能构成空间的一个基底,那么 a,b 的关系是不共 线; → ,OB → ,OC → 不构成空间的一个基底,那 ②O,A,B,C 为空间四点,且向量OA 么点 O,A,B,C 一定共面. 其中正确的命题是( A.仅① C.①② )

B.仅② D.都不正确

5.设 O-ABC 是四面体,G1 是△ABC 的重心,G 是 OG1 上的一点,且 → =xOA → +yOB → +zOC → ,则(x,y,z)为( OG=3GG1,若OG ?1 1 1? A.?4,4,4? ? ? ?1 1 1? C.?3,3,3? ? ? ?3 3 3? B.?4,4,4? ? ? ?2 2 2? D.?3,3,3? ? ? ) )

6.对于空间的四个向量 a,b,c,d 最多能构成的基底个数是( A.1 C.3 B.2 D.4

7.已知向量 p 在基底{a,b,c}下的坐标为(2,1,-1),则 p 在基底 {a+b, a-b, c}下的坐标为________, 在基底{2a, b, -c}下的坐标为________. 8.三棱锥 P-ABC 中,∠ABC 为直角,PB⊥平面 ABC,AB=BC=PB=1,M →, →, → }为基底, → 的坐标为________. 为 PC 的中点, N 为 AC 中点, 以{BA BC BP 则MN 9.如图,正方体 ABCD-A′B′C′D′中,点 E 是上底 面

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A′B′C′D′的中心,求下列各式中的 x、y、z 的值: → → +yAB → +zAA → (1)BD ′=xAD ′. → =xAD → +yAB → + zAA →. (2)AE 10.已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面,M、N 分别是 →、 AB、PC 的中点,并且 PA=AD=1.选取恰当的基底求向量MN → 的坐标. DC

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