nbhkdz.com冰点文库

河北省唐山一中2013-2014学年高一下学期期中考试理科数学试卷(带解析)


河北省唐山一中 2013-2014 学年高一下学期期中考试理科数学试 卷(带解析)

1. ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a , b , c .若 B =2 A , a =1, b =2,则这 样的三角形有( ) A.只有一个 B.有两个 C.不存在 D.无数个 【答案】C 【解析】

a b 1 2 ? ? ,即

, sin A sin B sin A 2sin A cos A 解得 cos A ? 1 。因为角 A 为三角形内角, cos A ? 1 不成立,所以假设不成立。即此三角形
试题分析:假设此三角形存在,由正弦定理可得 不存在。故 C 正确。 考点:正弦定理。 2.不等式 ( x ? 5)(6 ? x) ? 6 ? x 的解集是( A. (5, ??) 【答案】C 【解析】 试题分析:将原不等式等价于 ? B. (6, ??) ) C. ? D. (??,5)

(6, ??)

?6 ? x ? 0 ?6 ? x ? 0 ? x ? 6 ? x ? 6 ? x ? ? 。故 C 或? 或? ?? ?x ? 6 ?x ? 6 ?x ? 5 ? 1 ?x ? 5 ? 1

正确。 考点:一元二次不等式。 3.若某程序框图如图所示,则输出的 p 的值是 (

)

A.30 【答案】A

B.28

C.21

D.55

1

【解析】 试 题 分 析 : 根 据 框 图 的 循 环 结 构 , 依 次 n ? 1 ? 1 ? 2, p ? 1 ? 22 ? 5 ;

n ? 2 ? 1 ? 3, p ? 5 ? 32 ? 14 ; n ? 3 ? 1 ? 4, p ? 14 ? 42 ? 30 。跳出循环输出 p ? 30 。
考点:算法程序框图。 4.设等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 S5 ? 10 , S10 ? 30 ,则 S15 ? ( A.60 【答案】B 【解析】 B.70 C.90 D.40 )

试 题 分 析 : 根 据 等 比 数 列 的 性 质 可 知 S5 , S10 ? S5 , S15 ? S10 仍 成 等 比 数 列 , 故

(S10 ? S5 )2 ? S5 (S15 ? S10 ) ,即 ? 30 ? 10 ? ? 10 ? S15 ? 30 ? ,解得 S15 ? 70 。故 B 正确。法
2

二: 还可由已知 S5 ? 10 ,S10 ? 30 , 可得关于首项 a1 和公比 q 的二元一次方程组, 求首项 a1 和公比 q ,再根据等比数列的前 n 项和公式求 S15 。故 B 正确。 考点:1 等比数列的性质;2 等比数列的前 n 项和公式。 5. 设 =(1,1), =(3,1),O 为坐标原点,动点 P(x,y)满足 0≤ ( ) D. ? · ≤1,0≤ · ≤1,

则 z ? ?2 x ? y 的最大值是 A.0 【答案】A 【解析】 B.1 C.

1 2

1 2

试题分析: OP ? ? x, y? , OP ? OM ? x ? y , OP ? ON ? 3x ? y ,即 ? 出可行域如图

?0 ? x ? y ? 1 ,画 ?0 ? 3x ? y ? 1

2

平移目标函数线 y ? ?2 x ,使之经过可行域当过 O ? 0,0? 时纵截距最小此时 z 最大为 0。故 A 正确。 考点:1 向量数量积;2 线性规划问题。 6.在正项等比数列 ?an ? 中,已知 a3 ? a5 ? 12 ,则 a1 ? a7 的最小值为 A. 4 2 【答案】D 【解析】 试 题 分 析 : 由 等 比 数 列 的 性 质 可 知 a3a5 ? a1a7 ? 12 , 因 为 an ? 0 所 以 B. 2 3 C. 2 2 D. 4 3 ( )

a1 ? a7 ?2

a1 ? a7 ? 12 ? 2 3 时取 " ? " 。故 D 正确。 a1 a7?2 1 2 ? 4,当且仅当 3

考点:1 等比数列的性质;2 基本不等式。 7. ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a , b , c ,若三边的长为连续的三个正整数, 且 A > B > C ,9 b =10 a cos C ,则 sin A ∶sin B ∶sin C 为( ) A.4∶3∶2 B.5∶6∶7 C.5∶4∶3 D.6∶5∶4 【答案】D 【解析】 试 题 分 析 : 由 题 意 可 知

a ? b ? 1, c ? b ? 1







cos C ?

a2 ? b2 ? c2 (b ? 1)2 ? b2 ? (b ? 1)2 b ? 4 。 因 为 9b ? 10a cos C , 所 以 ? ? 2ab 2 ? b ? 1? b 2b ? 2
b?4 2 ,整理可得 b ? 4b ? 5 ? 0 ,解得 b ? ?1 (舍)或 b ? 5 。所以三别 2b ? 2

9b ? 10(b ? 1) ?

分别为 a ? 6, b ? 5, c ? 4 。由正弦定理可得 sin A : sin B : sin C ? a : b : c ? 6 : 5 : 4 。故 D 正 确。 考点:1 余弦定理;2 正弦定理。 8. 等差数列 ?an ? ,?bn ? 的前 n 项和分别为 Sn ,Tn , 若 A.无解 【答案】C 【解析】 试 B.6 C.2

S n 2n ? 4 = , 则 an = bn 时 n = ( Tn 3n ? 1



D.无数多个













? 2n ? 1?? a1 ? a2 n?1 ? 2 ? 2n ? 1? ? 4 2n ? 1 an 2an a1 ? a2 n ?1 S 2 ? ? ? ? 2 n ?1 ? ? ,所以当 bn 2bn b1 ? b2 n ?1 ? 2n ? 1?? b1 ? b2 n ?1 ? T2 n ?1 3 ? 2n ? 1? ? 1 3n ? 1 2
3

an ? bn 时,

an 2n ? 1 ? ? 1 ,解得 n ? 2 。故 C 正确。 bn 3n ? 1

考点:1 等差中项;2 等差数列的前 n 项和。

?x ? 1 ? 9.已知 a ? 0 , x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ,若 z ? 2 x ? y 的最小值为 0 ,则 a ?( ) ? y ? a ( x ? 3) ?
A.

1 4

B. 1

C.

1 2

D. 2

【答案】B 【解析】 试题分析:线性约束条件表示的可行域中三条直线的交点分别为 ?1,2? , ?3,0? , ?1, ?2a ? ,对 应的 z 分别为 z ? 2 ?1 ? 2 ? 4, z ? 2 ? 3 ? 0 ? 6, z ? 2 ?1 ? ? ?2a ? ? 2 ? 2a 。 分析可知三个点

?1,2? , ?3,0? , ?1, ?2a? 中一个使得 z ? 2 x ? y 取得最大值,一个使 z ? 2 x ? y 取得最小值。
因为 z ? 2 x ? y 的最小值为 0 ,则只能 2 ? 2a ? 0 ,此时 a ? 1 。故 B 正确。 考点:线性规划问题。 10.若数列{ an }的前 n 项和 Sn ? n2 ? 3n ? 90 ,则 A. 18 【答案】D 【解析】 试 题 分 析 : 因 为 B. ?2 C. 2 D. ?

a4 ? a5 ? a6 的值为 a1 ? a2 ? a3

(

)

1 2

a1 ? a2 ? a3 ? S3 ? 32 ? 3? 3 ? 90 ? ?72
, 所

, 以

a4 ? a5 ? a6 ? S6 ? S3 ? (62 ? 3? 6 ? 90) ? (32 ? 3? 3 ? 90) ? 36
a4 ? a5 ? a6 36 1 ? ? ? 。故 D 正确。 a1 ? a2 ? a3 ?72 2
考点: an 与 Sn 间的关系。

11.已知 ?ABC 的三条边的边长分别为 4 米、5 米、6 米,将三边都截掉 x 米后,剩余的部 分组成一个钝角三角形,则 x 的取值范围是( ) A.0 ? x ? 5 B.1 ? x ? 5 C.1 ? x ? 3 D.1 ? x ? 4 【答案】C 【解析】 试题分析:新三角形的三边分别为 4 ? x,5 ? x, 6 ? x ,其中边长为 6 ? x 的边对的角最大记

4

为角 C ,所以角 C 为钝角。所以

? ? x ? 4 ? x ? ? ? 5? x? ? ? 6 coC s ? 2 ? 4? x ?? 5 ? x?
2 2

2

?

0 ,即

?4 ? x?

2

?? 5 ?x?

2

x ?? 6 ? ?

2

? 0 , 整 理 可 得 x2 ? 6 x ? 5 ? 0 , 解 得 1 ? x ? 5 。 因 为

4 ? x , 5? x , 6 ? x均 为 三 角 形 的 三 边 长 , 且 最 短 边 长 为 4 ? x , 最 长 边 长 为 6 ? x 所 以

? ?4 ? x ? 0 ? x ? 3 ,综上可得 1 ? x ? 3 。故 C 正确。 ? 4 ? x ? 5 ? x ? 6 ? x ? ? ? ? ? ?
考点:1 余弦定理;2 三角形中边与角的关系及三边间的关系。 12.下列各函数中,最小值为 2 的是 ( ). A.y=x+

1 x

B.y=sin x+

1 ? ?? ,x∈ ? 0, ? sin x ? 2?

C.y=

x2 ? 3 x ?2
2

D.y= x ? 1 +

1 x ?1

【答案】D 【解析】 试题分析: (1)函数 y ? x ?

1 1 1 :当 x ? 0 时, y ? x ? ? 2 ,当且仅当 x ? 即 x ? 1 时取 x x x 1 1 ?x ? 0 , "?"; ? 2, 当 x ? 0 时, 此时 ? y ? (? x) ? 即 y ? ?2 , 当且仅当 x ? 即 x ? ?1 ?x x 1 ? ?? ,x ? ? 0, ? : sin x ? 2?

时取 " ? " 。 综上可得 y ? ?2 或 y ? 2 。 故 A 不正确。 (2) 函数 y ? sin x ?

因为 x ? ? 0,

? ?

??

1 1 ? ,所以 y ? sin x ? sin x ? 2 当且仅当 sin x ? sin x 即 ? ,所以 sin x ? ? 0,1 2?

sin x ? 1 时 取 " ? " 。 因 为 sin x ? ? 0,1? 即 sin x ? 1 , 所 以 不 能 取 " ? " 。 综 上 可 知
y ? sin x ? 1 x2 ? 3 1 ? 2 。故 B 不正确。 (3) y ? ? x2 ? 2 ? ? 2 ,当且仅 sin x x2 ? 2 x2 ? 2

当 x2 ? 2 ?

1 x ?2
2

2 2 即 x ? ?1 时取 " ? " 。因为 x ? ?1 不成立所以不能取到 " ? " 。故 C

不正确。 (4) y ?

x ?1 ?

1 ? 2 ,当且仅当 x ? 1 ? x ?1

1 即 x ? 2 时取 " ? " 。所以 x ?1

D 正确。 考点:基本不等式。

5

13.已知 ?ABC 的三边分别为 a , b , c ,且 a =1, B =45°, S?ABC =2,则 ?ABC 的外接 圆的面积为 【答案】 【解析】 试 题 分 析 : S?ABC ? .

25? 2

1 1 2 ac sin B ? ?1? c ? sin 45 ? c?2 ,所以 c?4 2 。所以 2 2 4

2 2 2 b2 ? a 2 ? c 2 ? 2 a c o s B? 1 ? 4 2 ? 2? 1? 4 2 ? 2

?

?

,所以 ? 2 5 b ? 5 。设 ?ABC 外

接圆半径为 R ,由正弦定理可得
2

b 5 2 ? 2 R ,解得 R ? 。则此三角形外接圆的面积为 sin B 2

?5 2 ? 25? S ? ? R ? ? ?? ? 2 ? ? ? 2 。 ? ?
2

考点:1 三角形面积公式;2 余弦定理;3 正弦定理求外接圆半径。 14.若 an =2 n +λ
2

n +3(其中 λ 为实常数), n ∈N*,且数列{ an }为单调递增数列,则实

数 λ 的取值范围为________. 【答案】 (?6, ??) 【解析】 试题分析: an?1 ? an ? ?2 ? n ? 1? ? ? ? n ? 1? ? 3? ? 2n ? ? n ? 3 ? 4n ? 2 ? ? ,因为数列
2

?

?

?

2

?

* { an }为单调递增数列,所以 4n ? 2 ? ? ? 0 恒成立,即 n ? N 时 ? ? ?4n ? 2 恒成立。因为

? ?4n ? 2?max ? ?4 ?1? 2 ? ?6 ,所以 ? ? ?6 。
考点:递增数列的定义。 15.若两个正实数 x,y 满足 是 【答案】 (??,9) 【解析】 试 题 分 析 : 因 为 .

2 1 + =1,并且 2x+y>m 恒成立,则实数 m 的取值范围 x y

2 1 ? ?1 x y



x ? 0, y ? 0







6

2x 2 y ?2 1? 2x 2 y 2x 2 y 即 ? 2x ? y ? ? 2x ? y ? ? ? ? ? 5 ? ? ? 5? 2 ? ?9 ,当且仅当 y x y x y x ?x y?
x ? y ? 3 时取 " ? " 。即 2 x ? y ? 9 恒成立。要使 2x+y>m 恒成立,则 m ? 9 。
考点:基本不等式。 16.已知{ an }是等差数列, d 为其公差, Sn 是其前 n 项和,若只有 S4 是{ Sn }中的最小项, 则可得出的结论中正确的是 ① d >0 ② a4 ? 0 ③ a5 ? 0 . ④ S7 ? 0 ⑤ S8 ? 0

【答案】①②③④ 【解析】 试 题 分 析 : Sn ? na1 ?

n ? n ? 1? d , 因 为 只 有 S4 是 { Sn } 中 的 最 小 项 , 所 以 2

? ? ? ? ? ?3 . 5 ? ? ? ?

d ?0 2 d a1 ? 2 ? d ?2 ? 2

d ?0 ? 。 因 为 a4 ? a1 ?3 d , a 4 , d所以 ?? 5 ? a 1? ?4d ? a ? 0 ? 1 ?? 3 d 4.5

?d ? a1 ? 3d ? 0,0 ? a1 ? 4d ? d
S7 ? 7a1 ?





a4 ? 0, a5 ? 0



7?6 8? 7 d ? 7 ? a1 ? 3d ? ? 7a4 ? 0 。 S8 ? 8a1 ? d ? 4 ? 2a1 ? 7 d ? , 由 2 2

?4d ? a1 ? ?3d 可得 ?d ? 2a1 ? 7d ? d ,即 ?d ? S8 ? d 所以

S8 的符号正、负、0 均有可能.综上可得结论正确的有①②③④。
考点:1 等差的通项公式;2 等差的前 n 项和公式。 17.已知 a , b , c 分别为 ?ABC 三个内角 A , B , C 的对边, (1)求角 A ; (2)若 a = 2 3 , ?ABC 的面积为 3 ,求 ?ABC 的周长. 【答案】(1) 【解析】 试题分析: (1) 根据正弦定理

c = 3 a sin C ? c cos A .

2? ;(2) 4 ? 2 3 3 a b c ? ? 可将 c ? 3a sin C ? c cos A变形为 sin A sin B sin C

sinC ? 3 sinA sin C ? sin C cos A。因为角 A 三角形的内角,所以 sin C ? 0 ,可将上式
7

变形为 3 sin A ? cos A ? 1 。用化一公式即两角和差公式的逆用将上式左边化简可得

1 ? ? ,根据整体角 A ? 的范围可得 A ? 的值,即可得角 A 的值。 (2)由三 6 2 6 6 1 角形面积 S ? bc sin A ? 3 可得 bc ? 4 。再结合余弦定理可得 b ? c 的值,解方程组可得 2 sin( A ? )?
b, c 的值,从而可得三角形的周长。
解(1)由 c = 3

?

a sin C ? c cos A 及正弦定理得

3 sin A sin C +cos A sin C -sin C =0,
由 sin C ? 0 ,所以 sin( A ? 又 0< A <π ,? 故A=

?
6

)?

?
6

? A+

2? . 3

π 7? ? 6 6

1 , 2

4分 5分 6分

(2)△ABC 的面积 S ?
2 2

1 bc sin A ? 3 ,故 bc ? 4 . 2
2

8

由余弦定理知 a = b + c -2 b 代入 a = 2 3 , b

c cos A ,得 a2 ? bc ? (b ? c)2

c =4 解 得 b ? c ? 4 , 故 三 角 形 周 长 为 4 ? 2 3 . ( 解 出 b , c 的 值 亦

可)――12 考点:1 正弦定理;2 三角形面积公式;3 余弦定理。 18.已知数列{ an }中, a1 ? 2 , an?1 ? 2an ? n ? 1,(n ? N ? ) , (1)求证数列{ an

?n }为等比数列.

(2)判断 265 是否是数列{ an }中的项,若是,指出是第几项,并求出该项以前所有项的和(不 含 265),若不是,说明理由. 【答案】(1) 详见解析;(2) 265 是数列 ?an ? 中的第 9 项。 【解析】 试题分析:(1) 根据等比数列的定义证明

an ?1 ? (n ? 1) 为常数即可。(2)由(1)可得数列 an ? n

?an ? n? 的通项公式,从而可得 an ,解 an ? 265 ,解得 n 若为正整数,说明 265 是 ?an ? 中
的项;否则不是数列 ?an ? 中的项。 (1)证明由 an?1 ? 2an ? n ? 1,(n ? N ? ) 知
8

an?1 ? ? n ?1? ? 2an ? n ?1? ? n ?1? ? 2 ? an ? n?
a1 ? 1 ? 0 ? an ? n ? 0 ?
an?1 ? (n ? 1) ?2 an ? n
6分 8分

? { an ?n }是以 1 为首项,以 2 为公比的等比数列.
(2).由(1)知 an ? n ? 2n?1 ,? an ? 2n?1 ? n . 265 是数列 ?an ? 中的第 9 项.(原因是 数项,又

?an ? 是递增数列,265 是奇数,它只能为 ?an ? 中的奇
12 分

2 256 ? 265 ? 512 ? 猜想是第 9 项,经验证符合猜想,不写原因不扣分) 9 分

? S8 ? ?1 ? 2 ?

? 8 ? ? ? 20 ? 21 ?

? 27 ? ? 291

考点:1 等比数列的定义;2 等比数列的通项公式。 19. 火车站 A 北偏东 30 方向的 C 处有一电视塔,火车站正东方向的 B 处有一小汽车,测得

BC 距离为 31 km ,该小汽车从 B 处以 60 公里每小时的速度前往火车站,20 分钟后到达 D 处, 测得离电视塔 21 km ,问小汽车到火车站还需多长时间?
【答案】15 分钟。 【解析】 试 题 分 析 : 分 析 已 知 可 知 ?A ? 60 , BC ? 31km, CD ? 21km , 计 算 可 得

20 ? 20km 。在 ?CDB 中用余弦定理可得 cos ?CDB 的值,根据诱导公式可得 60 cos ?CDA , 根据同角三角函数关系式可得 sin ?CDA 的值 (三角形中角的正弦值恒为正) 。 BD ? 60 ?
用诱导公式可将 sin ?ACD 转化为 sin(?A ? ?CDA) 用两角和差公式展开可求其值。根据 正弦定理可得 AD 的值,再根据时间等于路程除以速度可得所需时间。

解由条件 ?A ? 60 ,设 ?ACD ? ? , ?CDB ? ? ,

CD 2 ? BD 2 ? BC 2 1 ?? 在 ?BCD 中,由余弦定理得 cos ? ? 2CD ? BD 7

4分

? sin ? ? 1 ? cos 2 ? ?

4 3 . 7

9

? sin ? ? sin(? ? 60 ) ? sin ? cos60 ? cos ? sin 60 =
在 ?ADC 中,由正弦定理,得 AD ?

5 3 . 14
10 分

8分

CD ? sin ? ? 15 ( km ) sin A

?

15 ? 60 ? 15 (分钟) 60

答到火车站还需 15 分钟. 12 分 考点:1 诱导公式、同角三角函数关系式、两角和差公式;2 正弦定理;3 余弦定理。 20. 某企业生产 A,B 两种产品,生产每吨产品所需的劳动力和煤、电耗如下表:

已知生产每吨 A 产品的利润是 5 万元,生产每吨 B 产品的利润是 10 万元,现因条件限制, 该企业仅有劳动力 300 个,煤 360 t,并且供电局只能供电 200 kW,试问该企业生产 A,B 两种产品各多少吨,才能获得最大利润? 【答案】A,B 两种产品各生产 20、24 吨时,利润最大为 340 万元. 【解析】 试题分析:设生产 A,B 两种产品各为 x,y 吨,利润为 z 万元。根据已知条件可以得出关于 x, y 间的不等式组即线性约束条件 (注意: 根据实际意义 x, y 均应大于等于 0) , 再用 x, y 表 示出 z 即目标函数。画出线性约束条件表示的可行域,再画出目标函数线将其平移使其经过 可行域,当目标函数线的纵截距最大时 z 也最大。 解 设生产 A, B 两种产品各为 x, y 吨,利润为 z 万元,则

?3 x ? 10 y ? 300 ? 9 x ? 4 y ? 360 ? ? ? 4 x ? 5 y ? 200 ?x?0 ? ? ? y?0



z ? 5 x ? 10 y

作 出 可 行 域 ( 如 图 ) , 作 出 在 一 组 平 行 直 线 5 x ? 10 y ? t ( t 为 参 数 ) , 此 直 线 经 过

10

M ? 20,24? ,故 z
的最优解为 ? 20, 24? , z 的最大值为 5 ? 20 ? 10 ? 24 ? 340 (万元). 考点:线性规划。 21. 设数列{ an }是等差数列,数列{ bn }的前 n 项和 Sn 满足 Sn ? 1 ? bn , (n ? N ? ) , 且 a2 ? 1 ?

1 1 , a5 ? ? 1 。 b1 b3

(1)求数列{ an }和{ bn }的通项公式: (2)设 Tn 为数列{ an . bn }的前 n 项和,求 Tn . 【答案】 (1) bn ? 【解析】 试题分析: (1)根据公式 n ? 2 时, bn ? Sn ? Sn?1 可推导出 可知数列 ?bn ? 是公比为

1 2n ? 3 ; an ? 2n ? 1(2) Tn ? 3 ? n 2 2n

bn 1 ? ,根据等比数列的定义 bn ?1 2

1 的等比数列,由等比数列的通项公式 bn ? b1qn?1 可求 bn 。从而可 2

得 a2 , a5 的值。由 a2 , a5 的值可得公差 d ,从而可得首项 a1 。根据等差数列的通项公式 (2)用错位相减法求数列的和 Tn :先将 Tn 的式子列出,然后左 an ? a1 ? ? n ?1? d 可得 an 。 右两边同乘以等比数列 ?bn ? 的公比

1 ,并将等式右边空出一个位置,然后将两个式子相减, 2

用等比数列的前 n 项和公式整理计算,可得 Tn 。 解(1)由 Sn ? 1 ? bn (1)

知当 n =1 时, b1 ? 1 ? b1 , ? b1 ? 当 n ? 2 时, Sn?1 ? 1 ? bn?1 (1) ? (2)得 2bn ? bn?1 ,

1 . 2

(2)

b1 ? 0

? bn?1 ? 0
1 1 为首项以 为公比的等比数列, 2 2
4分

?

bn 1 ? bn ?1 2
1 2n

( n ? 2) ? {bn } 是以

? bn ?

? b3 ?

1 8

? a2 ? 3, a5 ? 9

? 3d ? a5 ? a2 ? 6 ? d ? 2
11

故 a1 ? 1,? an ? 1 ? 2(n ?1) ? 2n ?1 . (2)

6分

2n ? 1 . 7 2n 1 3 5 2n ? 1 ① ? Tn ? ? 2 ? 3 ? ? n 2 2 2 2 1 1 3 5 2n ? 3 2n ? 1 Tn ? ? 3? 4? ? ? n ?1 ② 2 2 2 2 2 2n 2 1 1 1 1 1 2n ? 1 ① ? ②得 Tn ? ? 2( 2 ? 3 ? ? n ) ? n ?1 2 2 2 2 2 2 3 2n ? 3 = ? n ?1 . 11 分 2 2 2n ? 3 . 12 分 ? Tn ? 3 ? 2n

an . bn =

考点:1 公式法求通项公式;2 错位相减法求数列的和。 22. 已知函数 f(x)= x ? (1) 当 a=

a ,x∈ ?1, ? ? ? , a ? 0 . x

1 时,求函数 f(x)的最小值; 2

(2) 若函数 f ( x ) 的最小值为 4,求实数 a 【答案】(1)

3 (2) 4 2

【解析】 试题分析:(1)分析可知不能用基本不等式求最值,故只能用单调性法求最值。用单调性的 定 义 判 断 其 单 调 性 : 令 1 ? x1 ? x2 , 然 后 两 函 数 值 f ? x1 ? , f ? x2 ? 作 差 比 较 大 小 , 若

f ? x1 ? ? f ? x2 ? 则说明函数 f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增;若 f ? x1 ? ? f ? x2 ? 则说明函数
(2)若使用基本不等式求最值时, 当且仅当 x ? f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递减。

a 即x? a时 x

取" ? " 。 当 a ? ?1, ?? ? 即 0 ? a ? 1 时不能使用基本不等式, 由 (1) 可知此时函数 f ? x ? 在 由单调性求最小值; 当 x ??1, ??? 上是单调递增函数, 等式求最小值。 解(1) a=

a ? ?1, ?? ? 即 a ? 1 时可用基本不

1 1 时, f ? x ? ? x ? 2 2x

, x ??1, ?? ?

1分

令x?

1 2 ( x ? 0) ,得 x ? ? [1, ??) ? 不能用不等式求最值. 2x 2

设 1 ? x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? (

1 1 ? ) 2 x2 2 x1

12

= ( x1 ? x2 )(1 ?

1 )?0 2 x1 x2
5分 6分

? 函数 f ? x ? 在 x ??1, ??? 上是单调递增函数. ? f min ( x) ? f (1) ?
3 2 a ,得 x ? a ? 1, x

(注:用不等式做一律不给分) 当 0 ? a ? 1 时,令 x ?

a ?[1, ??)

? 类似于(1)可知函数 f ? x ? 在 x ??1, ??? 上是单调递增函数.

? fmin ( x) ? f (1) ? 1 ? a ? 4 ,得 a ? 3 与 0 ? a ? 1 不符(舍)
当 a ? 1 时, a ? 1 , ? 由不等式知 x ? 当x?

8

a ?2 a x

a ,即 x ? a 时, fmin ( x) ? 2 a ? 4 , x 解得 a ? 4
综上所述:函数 f ( x ) 的最小值为 4 时, a ? 4 . 考点:1 基本不等式;2 函数单调性的定义。 12 分

13


河北唐山一中2014-2015学年高一上学期期中考试数学试卷(解析版)

河北唐山一中2014-2015学年高一学期期中考试数学试卷(解析版)_数学_高中教育_教育专区。河北唐山一中 2014-2015 学年高一学期期中考试数学试卷 (解 析版)一、...

河北省唐山一中2013-2014学年高一下学期期中考试文科数学试卷(带解析)

河北省唐山一中2013-2014学年高一下学期期中考试文科数学试卷(带解析)_数学_高中教育_教育专区。河北省唐山一中 2013-2014 学年高一下学期期中考试文科数学试 卷(带...

河北省唐山一中2014-2015学年高一下学期期中考试数学(理)试题Word版含答案

河北省唐山一中2014-2015学年高一下学期期中考试数学(理)试题Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。唐山一中 2014-2015 学年第二学期期中考试高一理科数学 1. 直...

河北省唐山一中2013-2014学年下学期高一年级期中考试数学试卷(理科) 有答案

河北省唐山一中2013-2014学年下学期高一年级期中考试数学试卷(理科) 有答案_高一数学_数学_高中教育_教育专区。word文件 后有答案河北...

河北省唐山一中2013-2014学年高一下学期期中考试数学理试题

河北省唐山一中 2013-2014 学年高一下学期期中考试数学理 试题 说明: 1.考试时间 120 分钟,满分 150 分。2.将卷Ⅰ 答案用 2B 铅笔涂在答题卡上,卷Ⅱ 用...

河北省唐山一中2013-2014学年高一下学期期中考试数学理试题 Word版含答案

河北省唐山一中 2013-2014 学年高一下学期期中考试数学理 试题 说明: 1.考试时间 120 分钟,满分 150 分。2.将卷Ⅰ 答案用 2B 铅笔涂在答题卡上,卷Ⅱ 用...

河北省唐山一中2013-2014学年高一下学期期中考试数学文试题

河北省唐山一中2013-2014学年高一下学期期中考试数学文试题_数学_高中教育_教育专区。河北省唐山一中 2013-2014 学年高一下学期期中考试数学文 试题 说明:1.考试时...

河北省唐山一中2013-2014学年下学期高一年级期中考试数学试卷(文科) 有答案

河北省唐山一中2013-2014学年下学期高一年级期中考试数学试卷(文科) 有答案_高一数学_数学_高中教育_教育专区。word文件 后有答案河北...

河北省唐山一中2015-2016学年高一数学下学期期中试题 理

河北省唐山一中2015-2016学年高一数学下学期期中试题 理_数学_高中教育_教育专区。唐山一中 2015—2016 学年度第二学期期中考试 高一年级(理科) 数学试卷 说明:1....