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运动学基础讲义


写在竞赛课堂之前
亚里士多德开启了理性分析世界的物理学的第一篇章,虽然,他的篇章中多数内容都是错误的 。例如,他认为自然界应该有四种基本“元素”:风,火,土,水组成,例如他认为重的东西下落 的快,例如,他认为地球是静止不动的等等。后来,历史逐渐纠正了这些错误。但是不得不否认, 亚里士多德的分析问题的一些基本思想:分析问题的基本构成,分析事物间的联系,抽象物理量等 等都为

后人的工作打下了良好的基础。 伽利略是个热爱实验的好童鞋,他用假想的逻辑性很强的实验,验证了并不是重的东西就下落 的快;他亲自设计实验,设计建造计时器,研究了困扰世人几个世纪的落体问题,给出了匀加速运 动的公式。这些工作都透露着物理的理性之光:严密的逻辑推理和尽量精确的实验验证。 突然有一天,伽利略童鞋挂了,同一天,牛顿牛童鞋出生了。然而,他写的书《自然哲学的数 学原理》的发表,远远要比他的出生更为重要。因为,他第一次以用占据当时数学制高点的微积分 ,解释了当时的物理学前沿:天体运动。在他的严密的逻辑推理+数学推演下,人眼所能见到的一切 ,似乎都有了可计算的答案。就连牛顿自己所相信的“上帝”似乎都不再具备存在的价值。 就在一切都按照牛顿给出的“三大定律”和“万有引力定律”所构建的完美机械世界中运行的 时候,一个在欧洲的专利局小职员,对这个世界的一个基本性质提出了质疑:爱因斯坦发表文章, 质疑时间的绝对性,并且以另一种他认为是绝对的东西作为基本原理,开辟了另一片物理世界的天 空。在爱因斯坦的理论框架中,牛顿的理论仅仅是速度很小的一种粗略的近似。 后来,前仆后继的各种人又相继的给出了更多对于我们能见到的,看不到的,感受得到的,感 受不到的万事万物的运行机制的解释。他们运用着理性之光,通过分析总结,假设,实验,修正, 再实验验证的方式不断的重塑着人类对于一切的认识。这群人,就是物理学家。 Physics is what physicists do. 物理解决的是“一切”问题,物理学家想要的是“一切”的答案。例如:我们从哪里来?我们 是由什么构成的?时间是什么?我们能“穿越”么?…… 物理学家不满足于数学家给出的“这个东西是可算的,我们证明了”的答案。物理学家也不会 纠结于工程师们纠结的“如何能精确的连续打出99999个直径为1.00mm的孔”。 物理学家希望能够给人类的智慧贡献更多:经济,心理,金融,工程,医学,甚至看似对立的 宗教…… 踏入高中物理竞赛课堂之前,童鞋们所经历的“物理”神马的,都只是真正的理性训练之前的 “浮云”。在这里,你将面对的是真正的高端的启迪智慧的物理学。在这里,你将收获的将不仅仅 是知识,题目,答案,分数。你们将接过之前所有物理学家们奋斗传来的理性的火炬,并用它照亮 人类的未来。

--孙鹏

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物理研究的第一个最基本的问题就是运动,我们本讲的主要目的就是学会用严密的数学语言描 述运动,并且依据运动本身的特有性质:例如矢量特性,相对性等处理一些实际问题。 并且引入一个物理竞赛的基本方法:微元法(微积分的爸爸)。

板块一

运动的描述

<教师备案>这部分涉及一些高考难度的运动学基础知识,和描述运动的量的矢量性: 物体的位置随时间的变化,成为机械运动. 研究机械运动内在规律的科学,叫做动力学.运动学时研究物体运动状态及其变化的描述,而不管 这种变化的原因. 为了能够更好的研究物体的运动状态,我们需要定义位置,速度,加速度等等的物理量.运动随 时间的变化可以通过运动学方程来研究. 一. 概念与方法 任何物体都有一定的大小和形状,为使问题简化,我们可以采用抽象的方法:若物体的大小和 形状在所研究的现象中不起作用或所起作用可以忽略不计,我们就可以把物体看作一个没有大小和 形状、具有同等质量的点,称为质点。质点突出了“物体具有质量”和“物体占有位置”这两个根 本性质。 质点是一个理想模型。在物理学中常常用理想模型来代替实际的研究对象,这样抽象的目的是 简化问题和便于作较为精确的描述。质点只是一例,以后还要用到光滑斜面、理想气体、点电荷等 理想模型,要注意理解和学会这种科学的研究方法。 在下列情况下,一个实际物体都可视为质点: ① 在所研究的问题中,大小、形状和内部结构可以不计的物体; ②、物体平动时,任一点的运动状态都相同。所以,在研究的问题中,大小可以不计的平动物 体;③、若一个物体既有平动又有转动,而在所研究的问题中,转动可以不计,该物体也可视 为质点。 若研究地球绕太阳公转时,地球可视为质点;而研究地球上重力加速度随纬度的变化时,地球 则不可视为质点。又如研究一根弹簧的形变,弹簧即使很短也不可视为质点;物质的分子和原子都 很小,但在研究其内部的振动和转动时,视为质点就没有意义了。 有了质点我们还不能直接定义机械运动,为了正确的确定物体位置及其变化,必须事先选取另外 一个假定为不动的物体作为参照才有意义.这个选来作为参照的物体叫做参照物.为了定量的描述 物体的运动,还需要在参照系上建立坐标系,来描绘空间中的位置,(有时再加上时间).作为研 究物体运动时所参照的物体(批次不做相对运动的物体群),称为参考系.

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坐标系实质上是由实物构成的参考系的一个数学的抽象.最常用的坐标系就是直角坐标系 ;有时候也是用极坐标系 用坐标表示就可以得到图像. 位移和路程 运动物体的位置发生变化,用位移来描述,位移这个物理量常用 s 或 x 有时也用 ?x 。位移可这 样定义: 位移=末位置—初位置。可表示为: S ? Rt ? R0 (式中S是位移, R0 , Rt 为初时刻和末时刻的位置矢量)。 位移S这个物理量既有大小又有方向,且合成与分解符合平行四边形定则,具有这种性质的物理 量在物理学上叫做矢量。运动质点在一段时间内位移的大小就是从初位置到到末位置间的距离,其 方向规定为:总是从初位置到指向末位置。 注意: ① 若质点沿直线从A点运动到B点,则位移S就是末位置B点的坐标减去初位置A点的坐标如右 图所示。

②、若质点在 oxy 平面内或 oxyz 空间内,从A点运动到B点,则这段时间内的位移S可用 oxy 或

oxyz 坐标系中初位置和末位置坐标 R1 、 R2 表示,如左下图所示。

运动质点在一段时间内所经过的轨迹的长度叫做路程。在上述沿直线运动(不往复)的情况下 ,位移的大小等于路程。可通过右上图体会一下位移与路程的区别与联系。 时刻和时间 时刻指某一瞬时,是与某一状态相对应的物理量。如第n秒初、第n秒末,并不是同一时刻;而 第(n—1)秒末与第n秒初,第n秒末与第(n+1)秒初则是同一时刻。 时间指两时刻的间隔,是与是与某一过程相对应的物理量。注意第n秒内与前n秒内不是同一段 时间。 速度 ① 平均速度 在变速直线运动中,各时刻物体运动的快慢不同,可用平均速度粗略描述一段时间内运动的快慢和 方向。在一段时间内 t 内,质点的位移为S,则位移S(或 Δr )与时间 t (或 ?t )的比值,叫做平均

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速度: v ?

S ?S 或v ? ;平均速度的方向与位移的方向相同。由于作变速直线运动的物体,在各 t ?t

段路程上或各段时间内的平均速度一般来说是不相同的。故一提到平均速度必须明确是哪段位移上 或哪一段时间内的平均速度。 ② 瞬时速度(又称即时速度) 要精确地如实地描述质点在任一时刻地邻近时间内变速直线运动的快慢,应该把 ?t 取得很短, ?t 越短,越接近客观的真实情况,但 ?t 又不能等于零,因为没有时间间隔就没有位移,就谈不上 运动的快慢了,实际上可以把 ?t 趋近于零,在这极短时间中,运动的变化很微小,实际上可以把质 点看作匀速直线运动,在这种情况下,平均速度可以充分地描述该时刻 t 附近质点地运动情况。 我们把 ?t 趋近于零,平均速度 ΔS 所趋近的极限值,叫做运动质点在 t 时刻的瞬时速度。用数学
Δt

式可表示为:
v = lim
Δt →0

ΔS , Δt

它具体表示 t 时刻附近无限小的一段时间内的平均速度,其值只随 t 而变,是精确地描述运动快 慢程度的物理量。以后提到的速度总是指瞬时速度而言。平均速度、瞬时速度都是矢量。 描述质点的运动,有时也采用一个叫“速率”的物理量;速率是标量,等于运动质点所经过的 路程与经过该路程所用时间的比值,若质点在 t 时间内沿曲线运动,通过的路程S(即曲线的长度) ,则S与 t 的比值叫在时间 t 内质点的平均速率,可表示为

v=

S 。 t

例如在某一时间内,质点沿闭合曲线环形一周,显然质点的位移等于零,平均速度也为零,而 质点的平均速率是不等于零的。所以平均速度的大小与平均速率不能等同看待。当质点沿直线单一 方向运动时平均速度的大小等于平均速率。而瞬时速率就是瞬时速度的大小,而不考虑方向。 加速度 在变速直线运动中,速度改变的快慢一般是不同的,为了研究速度随时间而改变的特征,有必 要引入加速度这个概念:速度的变化量和所用时间的比值叫做加速度。 仿前面定义速度的方法,若运动物体在 t o 时刻的速度为 v o (初速度),在 t 时刻的速度为 vt (末 速度),那么在 ?t ? t ? t o 这段时间里,速度的变化量(也叫速度的增量)是

?v ? vt ? vo ,
?v 与 ?t 的比值称为这段时间内的平均加速度,可表示为: ?v a? , ?t
平均加速度只能粗略描述速度改变的快慢程度。跟平均速度引导到瞬时速度的过程相似,选取 很短的一段时间 ?t ,当 ?t 趋近于零时,平均加速度的极限值,叫做运动质点在 t 时刻的瞬时加速度 。用数学式可表示为:
a ? lim
?t ?0

?v 。 ?t

若质点做匀速直线运动,它的加速度大小和方向恒定不变,则平均加速度就是瞬时加速度,通常

t o =0,时间 ?t ? t ? t o
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可用末时刻 t 表示,则加速度定义式为:

a?

vt ? v0 ?v , ? t t

(注意这不是加速度的决定因素,根据牛顿第二定律可知,一个质点的加速度是由它受到的合 外力和它的质量共同决定,牛顿第二定律的表达式所表示的是加速度的决定式即:

a?

?F ) m

对匀变速运动,加速度的方向总是跟速度变化量的方向一致。 加速度的大小和方向跟速度的大小和方向没有必然联系。速度与加速度的关系,不少同学有错 误认识,复习过程中应予以纠正。 ①、加速度不是速度,也不是速度变化量,而是速度对时间的变化率,所以速度大,速度变化 大,加速度都不一定大。 ②、加速度也不是速度大小的增加。一个质点即使有加速度,其速度大小随时间可能增大,也 可能减小,还可能不变。(两矢量同向,反向、垂直) 二. 矢量和标量 只有大小没有方向的量叫做标量. 通常手写矢量用 矢量的运算: 1. 加减法:平行四边形法则 坐标系中:把对应的坐标相加减 2. 矢量的数乘: 坐标系中: 根据矢量运算方法: 分别可以把位移,速度,加速度向着各个方向投影,用其分量描述。例如我们的速度就可以定 义为: (带箭头的字母来表示).矢量的大小用“绝对值”来表示: .

v = lim (
Δt →0

Δx Δy Δz ?+ ?+ ?) x y z Δt Δt Δt

? ? y 其中 x

? 代表三个方向上的单位矢量,是无单位的量。引入单位矢量是因为总的速度不等于各个方向速度 z
大小直接相加,而必须用勾股定理计算合成的速度。 加速度的坐标定义法也一样,这里展开了。 三. 物理的图像 物理量之间的关系可以用函数来表达,这些函数关系也可以通过他们的图像来理解.比如 图, 图,等等.研究这些图像时候要注意横纵坐标的意义,不同图线的物理意义,图线中包围 的面积的意义等等. 矢量的分析也可以通过作图来理解,注意矢量的方向,大小.

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【例1】 一质点做直线运动,前一半位移的运动速度恒为 半位移的速度大小不变,求该速度大小. ,整段运动的平均速度为 ,设其后一

【例2】 一个运动员参加400米跑决赛,他的成绩是 .问,他在整个过程中的平均速度是多少?

平均速率是多少?他在跑到50米的时候的瞬时速度大概是多少?

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【例3】 时间图象,质点在前 内的位移和路程各是多少?在前

如图是一质点的速度—— 内的位移和路程各是多少?

【例4】 一个质点运动的

图象如图所示,则相对应的

图象是(



【例5】两辆完全相同的汽车,沿水平直路一前一后匀速行驶,速度为v0,若前车突然以恒定的加速 度刹车,在它刚停住时,后车以前车刹车时的加速度开始刹车。已知前车在刹车过程中所 行的距离为s,若要保证两辆车在上述情况中不相碰,则两车在做匀速行驶时保持的距离至 少为:A.s B.2s C.3s D.4s

【例6】A、B两汽车站相距60千米,从A站每间隔10分钟有一辆汽车匀速开向B站,车速大小为60千 米每小时。若在A站正有汽车开出时,在B站有一辆汽车以同样大小的速度开向A站,问: ① 为了在途中遇到从A站开出的车最多,B站的车至少应在A站第一辆车开出后多久出发? ② 在途中,从B站开出的车最多能遇到几辆从A站开出的车?

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【例7】 一只锅牛从地面开始沿竖起电杆上爬,它上坡爬的速度v与它离地面的高度h之间满足的关 系是 ,其中常数 , .求它上爬 所用的时间(提示:

把这个函数画成一个图像,并保证图像里的面积是时间)

板块二

微元法分析物理问题

<教师备案>介绍微元法的基本思想 微元法: 为了分析清楚物理量之间的关系,尤其是定量的关系,往往采用微元法.也就是分析,经历了 一段极小的时间 ,改变了一个小长度 ,或者一个小角度 之后,有什么变化.利用几何的知 识,就可以解决问题了. 微元法的好处是把曲线变成直线,非线性变成线性,非理想模型变成理想模型,把线性的变量 变成常量.这个也是微积分的一个基本思想. 知识补充: 1. 累加求和: 我们用符号 来表示累加求和,用法如下:

其中 可以理解成是一个变量,只能整数的从 变到 常用的一些结论如下:

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平方和有个巧妙的带有故事的证明: 老村长想要嫁女儿,但是希望女婿聪明,于是立石碑,三角形,上面写着“如果能把石碑上的 数字之和求出,就可以娶本村最漂亮的,也就是村长的女儿为妻” 一个牧童15~16岁的小帅哥只会放羊,也想娶老婆,放羊的时候就看着石碑,想算,但是看了几 天都不懂。没吃东西,算不出来,很生气就踢石碑,石碑转了一下,他似乎发现了什么,又踢,石 碑又转。他饿的严重,看到三次石碑的影子重合……于是他把三次看到的在同一个位置上的数字加 起来,发现都是 ,一共有 个位置,所以他就算出了最后的答案。

2. 无穷大和无穷小 物理中经常会遇到这两个概念。字面上大家可以理解这两个概念,但是大家有没有想过这些问题: (1)无穷大与无穷大可以比较大小么? (2)无穷小和无穷小可以比较大小么? (3)都“无穷小”了,我们是否可以“忽略”呢? 无穷大和无穷小的阶数: 当两个无穷大的数的比值也是无穷大的话,显然分子上那个无穷大就更“大”一些。 当两个无穷小乘积之后,得到的数字也显然更加“小”一些。 因此我们可以规定 是一个一般的数字,当 , 当 就是3阶无穷小…… ,则 就是无穷大, 可以理解为2阶无穷大, 就是3阶无穷大…… 时, 就是无穷小, 可以理解为2阶无穷小

在高中物理中,通常2阶无穷小,就可以相对于一般常数忽略。有时,我们对结果要求不高,1阶 就可以忽略。 最粗略的讲,就好比甲有100万元,乙有1块钱,那么可以认为乙“没有钱”。 思考:相对于2阶无穷大,一个普通常数,可以忽略么?

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【例8】 两根筷子 ⑴ 当 ⑵ 当 ⑶ 当



如图放置,它们与水平线夹角分别为 匀带以 匀速以 , 向右 , 水平向右移动时,交点 水平向左移动时,交点 的交点 而是



,它们交点为

.问:

不动, 不动, 向左

的速度大小如何,方向如何? 的速度大小如何方向如何?

速度大小如何方向如何? , ,结果半会怎样?)

(思考:如果不是

【例9】 一路灯距地面的高度为 ,身高为 的人以速度 匀速行走,如图所示.
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⑴ 试证明人的头顶的影子做匀速运动. ⑵ 求人影的长度随时间的变化率. ⑶ 如果人是在太阳下面行走,他的头顶的影子如何运动.

【例10】 一只锅牛从地面开始沿竖起电杆上爬,它上坡爬的速度v与它离地面的高度h之间满足的关 系是 ,其中常数 , .求它上爬 所用的时间.

【例11】 一个半径为 的环(环心为 )立在水平面上,另一个同样大小的环(环心为 )以速

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度 从前一环的旁边经过.试求当两环环心相距为

时,两环上部的交点



运动速度.两环均很薄,可以认为两环是在同一平面内,第二个环是紧贴着第一个环擦过 去的.

1. 如图所示,岸高为 ,人用绳经滑轮拉船靠岸,若当绳与水平方向夹角为 该位置船的速率为多大? . 时,收绳速率为 ,则

2.一只兔子向着相距为S的大白菜走去。若它每秒所走的距离,总是从嘴到白菜剩余距离的一半。试 分析兔子是否可以吃到大白菜?兔子平均速度的极限值是多少?

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小故事 灰常牛B的亚里士多德
亚里士多德(前384— 前322年),古希腊斯吉塔拉人,世界古代史上最伟大的哲学家、科学家和教育家之一。是柏拉图的 学生,亚历山大的老师。公元前335年,他在雅典办了一所叫吕克昂的学校,被称为逍遥学派。马克思 曾称亚里士多德是古希腊哲学家中最博学的人物,恩格斯称他是古代的黑格尔。 他如此牛B,以至于几乎所有的科学都发端与他。亚里士多德一生勤奋治学,从事的学术研究涉 及到逻辑学、修辞学、物理学、生物学、教育学、心理学、政治学、经济学、美学、博物学等,写 下了大量的著作,他的著作是古代的百科全书,据说有四百到一千部,主要有《工具论》、《形而 上学》、《物理学》、《伦理学》、《政治学》、《诗学》等。他的思想对人类产生了深远的影响 。他创立了形式逻辑学,丰富和发展了哲学的各个分支学科,对科学等作出了巨大的贡献。 他不但喜欢分析事物,还喜欢和别人辩论。他会用理性的眼光去研究,质疑一切。提出一个命 题,证明,正确了。他会追问:为神马?也许你回答,因为某某定理,他会再追问:为神马?你也 许会说从公理可以推出来,他还会问:为神马?你也许回答:因为逻辑……他还会再追问:你你认 为逻辑是神马?……他什么事情都要刨根问底的。如果你身边有这样的人,建议他学哲学。 以上这样说并不代表哲学比物理在认知世界上更本质,只不过物理和哲学对待人类疑问的态度 和方法不同而已。哲学家会急迫的要求自己去用一句话描述万物,而且他就会真的这样做。而物理 学家虽然也渴望这样,不过物理的描述必须数学的量化,而且必须预言新的现象。所以虽然很多物 理学家虽然都会认为逻辑是大脑中的一种特殊的量子态,但是他不会去花时间研究,他会为后人去 研究这个问题打下踏踏实实可信可传承的基础。

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为了保证竞赛班学习的质量,请同学们花1分钟填写下面内容:
学习效果反馈: 代课教师: 通过今天学习,你觉得: 1. 本讲讲义内容设置: A. 太难太多,吃不透 B. 难度稍大,个别问题需要下去继续思考 C. 稍易,较轻松 D. 太容易,来点给力的 2. 本节课老师讲解你明白了: A .40%以下 B .40%到80% C .80%以上但不全懂 D .自以为都懂了 3.有什么东西希望老师下节课再复习一下么?(可填题号,知识点,或者填无)

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