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高中数学课时训练(人教版必修二)第四章 4.2 4.2.1 直线与圆的位置关系

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数学· 必修 2(人教 A 版)

4.2

直线、圆的位置关系
直线与圆的位置关系

4.2.1

基 础 达 标 1.若 PQ 是圆 x2+y2=9 的弦,PQ 的中点是(1,2),则直线 PQ 的 方程是( ) B.x+2y-5=0 D.2x-y=0

A.x+2y

-3=0 C.2x-y+4=0

解析:结合圆的几何性质知直线 PQ 过点 A(1,2),且和直线 OA 垂 1 直,故其方程为:y-2=- (x-1),整理得 x+2y-5=0. 2 答案:B

2.过点(0,1)的直线与圆 x2+y2=4 相交于 A,B 两点,则|AB|的最 小值为( A.2 ) B.2 3 C.3 D.2 5

解析:当圆心到直线距离最大时,弦长最短,易知当圆心与定点 G(0,1)的连线与直线 AB 垂直时,圆心到直线 AB 的距离取得最大值, 即 d=|OG|=1, 此时弦长最短, 即 故选 B. 答案:B |AB| ≥ R2-d2= 4-1?|AB|≥2 3, 2

3.圆 x2+y2-4x=0 在点 P(1, 3)处的切线方程是( A.x+ 3y-2=0 B.x+ 3y-4=0 C.x- 3y+4=0 D.x- 3y+2=0

)

解析:圆心为 C(2,0),则直线 CP 的斜率为 与直线 CP 垂直,故切线斜率为 (x-1)即 x- 3y+2=0. 答案:D

3-0 =- 3,又切线 1-2

3 3 ,由点斜式得切线方程:y- 3= 3 3

4.(2013· 山东卷)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1 的两条切线,切点 分别为 A,B,则直线 AB 的方程为( A.2x+y-3=0 C.4x-y-3=0 )

B.2x-y-3=0 D.4x+y-3=0

答案:A

5.直线 x-2y-3=0 与圆(x-2)2+(y+3)2=9 交于 E,F 两点, 则△EOF(O 是原点)的面积为( 3 A. 2 B. 3 4 ) C.2 5 D. 6 5 5

答案:D

6. (2014· 广州一模)圆(x-1)2+(y-2)2=1 关于直线 y=x 对称的圆 的方程为( )

A.(x-2)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y-2)2=1 C.(x+2)2+(y-1)2=1 D.(x-1)2+(y+2)2=1

答案:A

y 7.若实数 x,y 满足(x-2)2+y2=3,那么x的最大值为( 1 A. 2 B. 3 3 C. 3 2 D. 3

)

解析:方程(x-2)2+y2=3 的曲线是以 A(2,0)为圆心,以 3为半径 y 的圆,实数 x, y 是圆上的点 P(x,y)的坐标,而x是直线 OP 的斜率, 由下图可知当点 P 在第一象限且 OP 为圆的切线时,k 最大.

??x-2? +y =3, 由 ?y ?x=k,

2

2

得(1+k2)x2+1-4x=0,

Δ=12-4k2=0,有 k=± 3. y ∴k 最大即x最大为 3.故选 D. 答案:D

8.直线 y=x+b 与曲线 y= 1-x2有两个公共点,则 b 的取值范 围是________. 解析:曲线为 x2+y2=1(y≥0),表示单位圆的上半圆,由数形结 合法,知 1≤b< 2.

答案:1≤b< 2

9.已知圆 C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线 l:(2m+1)x+(m+1)y

-7m-4=0(m∈R).

(1)求证:直线 l 恒过定点;

解析:直线 l 的方程可化为 (2x+y-7)m+x+y-4=0. ∵m∈R,
? ? ?2x+y-7=0, ?x=3, ? ∴ 解得? ? ? ?x+y-4=0, ?y=1.

∴直线 l 恒过定点 A(3,1).

(2)判断直线 l 与圆 C 的位置关系;

解析:圆心 C(1,2),|AC|= ?3-1?2+?1-2?2= 5<5, ∴点 A 在圆 C 内. 从而直线 l 与圆 C 相交(无论 m 为何实数).

(3)当 m=0 时,求直线 l 被圆 C 截得的弦长.

解析:当 m=0 时,直线 l 的方程为 x+y-4=0, 圆心 C(1,2)到它的距离为 d= |1+2-4| 1 = . 2 12+12

∴此时直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2 r2-d2=2 1 25- =7 2. 2


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