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辽宁省沈阳市东北育才学校2015-2016学年高一上学期第一次统一作业数学试题


2015.9.7 一.选择题: (本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) D1.已知集合 S ? {( x, y) | x ? y ? 2}, T ? {( x, y) | x ? y ? 4}, 那么集合 S ? T = A. {3, ?1} B. (3, ?1) C. x ? 3, y ? ?1 D. {(3,

?1)}

东北育才高中部高一年级第一次统一作业

A2. 已知 A ? B ? R, x ? A, y ? B, f : x ? y ? ax ? b 是从 A 到 B 的映射, 若 1 和 8 的原象分 别是 3 和 10,则 5 在 f 下的象是

A .3

B .4

C .5

D .6

B3.给出四个命题: ①函数是其定义域到值域的映射; ② f ( x) ? 有 A.1 个

x ? 3 ? 2 ? x 是函数;③函数 y ? 2 x( x ? N )

的图象是一条直线;④函数 f ( x) ? 1 ? x ? 1 ? x 与 y ? 1 ? x 2 的定义域相同.其中真命题 B.2 个 C.3 个 D.4 个

A4.已知 f ( x) ? 2 ? log3 x( x ? [1,3]) ,则函数 y ? [ f ( x)]2 ? f ( x 2 ) 的值域 A. [6,

C5.已知函数 f ( x) ? x 2 ? 1 的定义域为 ?a, b? (a ? b) ,值域为 ?1, 5? ,则在平面直角坐标系内, 点 ( a, b) 的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为 A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
2 2

37 ] 4

B. [6,13]

C. [6,12]

D. [6,18]

B6.设函数 f ( x)满足af (2x ? 3) ? bf (3 ? 2x) ? 2x, 且a ? b , 则f ( x) ?

x 3 3x 1 3 x ? ? ? C. D. a ?b a ?b a ?b a ?b a ?b a ?b 2 2 B7.若定义域为 [2a ? 1, a ? 1]的函数f ( x) ? ax ? bx ? 2a ? b 是偶函数,则点 ( a, b) 的轨迹
A. B. 是 A.一个点 B.两个点 C.线段 D.直线

x a?b

D8.已知 f ( x) ? ?
y 2 1 O

?x ? 1 ?x ? 1
2

x ? [?1,0) x ? [0,1]
y 2 1

,则下列函数的图象错误 的是 ..
y 2 1 y 2 1

1

2

x

-1 O

1

x

-1 O

1

x -1 O

1

x

9.设 S是整数集 Z的非空子集 ? , b ? S , 有ab ?( S︱ , 则称 关于数的乘法是封闭的 . 若T , V是Z A. f (x-1)的图象 B.,f如果 (-x )a 的图象 C.f x︱S ) 的图象 D. ︱f (x)︱的图象 的两个不相交的非空子 集, T ? V ? Z .且?a, b, c ? T , 有abc? T , ?x, y, z ? V , 有xyz ? V . 则下列结论恒成立的是: A. T , V中至少有一个关于乘法 是封闭 C. T ,V中有且只有一个关于乘 法是封闭 B.T ,V中至多有一个关于乘法 是封闭 D.T ,V中每一个关于乘法是封 闭

答案:A B10.已知函数 f ( x) 的定义域为 D ,若对任意 x1 , x2 ? D ,当 x1 ? x2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 则称函数 f ( x) 在 D 上为非减函数.设函数 f ( x) 在 [0,1] 上为非减函数,且满足以下三个 条件:① f (0) ? 0 ;② f ( ) ? A. 1

x 3 3 B. 2

1 1 1 f ( x) ;③ f (1 ? x) ? 2 ? f ( x) .则 f ( ) ? f ( ) ? 2 3 8 5 C. 2 D. 2

B11.对于实数 x ,符号 ?x ? 表示不超过 x 的最大整数,例如 ?? ? ? 3, ?? 1.08? ? ?2 ,定义函数

f ( x) ? x ? ?x? ,给定下列命题 ①函数 f ( x) 的最大值为 1;②函数 f ( x) 的最小值为 0; 1 ③函数 G ( x) ? f ( x) ? 有无数个零点;④函数 f ( x) 是增函数.其中正确的个数为 2

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 B12.某学校要招开学生代表大会,规定各班每 10 人推选一名代表,当各班人数除以 10 的余 数大于 时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取 ..6 . 整函数 y=[x]([x]表示不大于 x 的最大整数)可以表示为 (A)y=[

x ] 10

(B)y=[

x?3 ] 10

(C)y=[

x?4 ] 10

(D)y=[

x?5 ] 10

二、填空题: (本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13.已知 f ( x) ? x5 ? ax3 ? bx ? 8 ,且 f (?2) ? 10 ,则 f (2) 等于 14.关于 x 的方程 (k ? 2)x2 ?(3k+6)x+6k=0 有两个负根,则 k 的取值范围是

?26

2 ?k ?0 5 15.若 y ? ? log2 ( x2 ? ax ? a) 在区间 (??,1 ? 3) 上是增函数,则 a 的取值范围是 ?

[2 ? 2 3, 2] 16.若 x, y ? R , x ? y ? xy ? 3 则 x ? y 的最小值是__________.2
?

三、解答题: (本题共 2 小题,共 20 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )
?x 2 2 17.设集合 A ? {x 1 / 32 ? 2 ? 4} , B ? x x ? 3mx ? 2m ? m ? 1 ? 0 .

?

?

(1)当 x ? Z 时,求 A 的非空真子集的个数; (2)若 B= ? ,求 m 的取值范围; (3)若 A ? B ,求 m 的取值范围. 解:化简集合 A= x ? 2 ? x ? 5 ,集合 B 可写为 B ? x ( x ? m ? 1)(x ? 2m ? 1) ? 0 (1)? x ? Z ,? A ? ?? 2,?1,0,1,2,3,4,5?,即 A 中含有 8 个元素,? A 的非空真子集数为

?

?

?

?

28 ? 2 ? 254(个).
(1)显然只有当 m-1=2m+1 即 m=--2 时,B= ? . (2)当 B= ? 即 m=-2 时, B ? ? ? A ; 当 B ? ? 即 m ? ?2 时 (ⅰ)当 m<-2 时,B=(2m+1,m-1),要 B ? A 只要 ?

?2m ? 1 ? ?2 3 ? ? ? m ? 6 ,所以 m 的值不存在; 2 ? m ?1 ? 5

(ⅱ)当 m>-2 时,B=(m-1,2m+1),要 B ? A 只要 ?

?m ? 1 ? ?2 ? ?1 ? m ? 2 . ?2m ? 1 ? 5

综合,知 m 的取值范围是:m=-2 或 ? 1 ? m ? 2. 18.函数 f(x)的定义域为 D={x|x≠0},且满足对于任意 x1、x2∈D,有 f(x1·x2)=f(x1)+f(x2). (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性并证明; (3)如果 f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且 f(x)在(0,+∞)上是增函数,求 x 的取值范围. (1)解:令 x1=x2=1,有 f(1×1)=f(1)+f(1) ,解得 f(1)=0. (2)证明:令 x1=x2=-1,有 f[ (-1)×(-1) ]=f(-1)+f(-1).解得 f(-1)=0. 令 x1=-1,x2=x,有 f(-x)=f(-1)+f(x) ,∴f(-x)=f(x).∴f(x)为偶函数. (3)解:f(4×4)=f(4)+f(4)=2,f(16×4)=f(16)+f(4)=3. ∴f(3x+1)+f(2x-6)≤3 即 f[ (3x+1) (2x-6) ]≤f(64).(*) ∵f(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴(*)等价于不等式组

?(3x ? 1)( 2 x ? 6) ? 0, ? ?(3x ? 1)( 2 x ? 6) ? 64 ?(3x ? 1)( 2 x ? 6) ? 0, 或? ?? (3x ? 1)( 2 x ? 6) ? 64,

1 ? x ? 3或x ? ? , ? 1 ? ?? ? x ? 3, ? 3 或? 或? 3 ? ?? 7 ? x ? 5 ?x ? R . ? 3 ?

7 1 1 ≤x<- 或- <x<3. 3 3 3 7 1 1 ∴x 的取值范围为{x|- ≤x<- 或- <x<3 或 3<x≤5}. 3 3 3
∴3<x≤5 或-

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