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山东省实验中学2017届高三一诊断试题数学(理)


山东省实验中学 2017 届高三第一次诊断性考试

数学(理科)试题
2016.9 说明:试题分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,第 I 卷为第 1 页至第 2 页,第 II 卷为第 3 页至第 5 页.试题答案请用 2B 铅笔或 0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上。书 写在试题上的答案无效.考试时间 120 分钟.

/>
第I卷

(共 50 分)
2

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题只有一个选项 符合题意) ...... 1.已知集合 A ? x ? Z x ? 1 ? 3 , B ? x x ? 2 x ? 3 ? 0 ,则 A ? CR B ? A.

?

?

?

?

? ?2,1?

B. ?1, 4 ?

C.

?2,3?

D.

??1,0?

2.记复数 z 的共轭复数为 z ,若 z ?1 ? i ? ? 2i ,则复数 z 的虚部为 A.i B.1 C. ?i D. ?1

3.函数 y ? sin ? 3 x ? A.向左平移

? ?

??

? 的图象可由函数 y ? sin 3x 的图象 4?

? 个单位长度而得到 12 ? C.向左平移 个单位长度而得到 4

? 个单位长度而得到 12 ? D. 向右平移 个单位长度而得到 4
B. 向右平移

4.高三学生体检,某班级随机抽取 5 名女学生的身高 x(厘米)和体重 y(公斤)的数据如 下表:

根据上表可得回归直线方程为 ? y ? 0.92x ? a ,则 a ? A. ?96.8 B.96.8 C. ?104.4 D.104.4

5. 如图给出的是计算

1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ? 的值的 2 4 6 4030 4032

程序框图,其中判断框内应填入的是 A. i ? 4030 B. i ? 4030 C. i ? 4032 D. i ? 4032 6.现有三本相同的语文书和一本数学书,分发给三个学生, 每个学生至少分得一本,问这样的分法有( )种 A.36 B.9 C.18 D.15 7.下列说法正确的是

1 ? 1 ”是“ a ? 1 ”的必要不充分条件 a B.“ p ? q 为真命题”是“ p ? q 为真命题”的必要不充分条
A.若 a ? R ,则“ 件 C.若命题 p “ ,则 ? p 是真命题 : ?x ? R,sin x ? cos x ? 2”
2 D.命题“ ?x0 ? R, x0 ? 2x0 ? 3 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x ? 2x ? 3 ? 0
2

8.已知一个四棱锥的三视图及有关数据如图所示,则 该几何体的体积为 A. 2 3 B.

3

C.

4 3 3

D.

2 3 3

9. 已 知 直 线

l1 : x ? 2 y ?1 ? 0 , 直 线

l2 : ax ? by ? 1 ? 0 ,其中 a, b ??1, 2,3, 4,5,6? .则直线

l1与l2 的交点位于第一象限的概率为
A.

1 6

B.

1 4

C.

1 3

D.

1 2

10. 已 知 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 f ? x ? 满 足 f ? 4 ? x ? ? f? ?x , 且 x ? ? ?1, 3 ? 时,

?x ? , ?1x ? 3 ?1 ? c o s ,则 g ? x ? ? f ? x ? ? lg x 的零点个数是 f ? x? ? ? 2 ? x 2 , ? 1? x ? 1 , ?
A.9 B.10 C.18 D.20

第 II 卷(非选择题
11.已知函数 f ? x ? ? ? 12.由直线 x ? ?

共 100 分)

二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分)

?log 2 x, x ? 0 ?3 , x ? 0
x

? ? 1 ?? ,则f ? f ? ? ? ? __________. ? ? 4 ??

?
3

,x ?
9

?
3

, y ? 0 与曲线 y ? cos x 所围成的封闭图形的面积为________.

1 ? ? 3 13.二项式 ? x ? ? 展开式中, x 项的系数为__________. 2x ? ?
?x ? 0 y ?1 ? 则z ? 14.已知不等式组 ? x ? y ? 0 , 的最大值为_________. x ?1 ?4 x ? 3 y ? 12 ?
15.过双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右焦点 F 作渐近线的垂线,设垂足为 P(P 为第一 a 2 b2

象限的点) ,延长 FP 交抛物线 y2 ? 2 px ? p ? 0? 于点 Q,其中该双曲线与抛物线有一个共同 的焦点,若 OP ?

??? ?

? ???? 1 ??? OF ? OQ , 则双曲线的离心率的平方为________. 2

?

?

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 16.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A,B,C 的对边, (I)求角 B; (II)求边长 b 的最小值.

cos C 2a ? c ? , 且a ? c ? 2 . cos B b

17. (本小题满分 12 分) 在研究寨卡病毒(Zika virus)某种疫苗的过程中,为了研究小白鼠连续接种该种疫苗后出现 Z 症状的情况,做接种试验.试验设计每天接种一次,连续接种 3 天为一个接种周期.已知小 白鼠接种后当天出现 Z 症状的概率为

1 ,假设每次接种后当天是否出现 Z 症状与上次接种 4

无关. (I)若出现 Z 症状即停止试验,求试验至多持续一个接种周期的概率; (II)若在一个接种周期内出现 2 次或 3 次 Z 症状,则这个接种周期结束后终止试验,试验 至多持续 3 个周期.设接种试验持续的接种周期为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望.

18. (本小题满分 12 分)

已知等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,公比 q ? 0, S2 ? 2a2 ? 2, S3 ? a4 ? 2 . (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)设 bn ?

n ,求?bn ? 的前 n 项和 Tn an

19. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面是边长为 1 的正方形, PA ? 底面 ABCD,E、F 分别为 AB、 PC 的中点. (I)求证:EF//平面 PAD; (II)若 PA ? 2 ,试问在线段 EF 上是否存在点 Q,使得二面角 Q-AP-D 的余弦值为

5 ?若存在,确定点 Q 的位置;若不存在,请说明理由. 5

20. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的右焦点 F(1,0) ,过点 F 且与坐标轴不垂直的直线 a 2 b2

与椭圆交于 P,Q 两点,当直线 PQ 经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为 60°. (I)用椭圆 C 的方程; (II)设 O 为坐标原点,线段 OF 上是否存在点 T ? t ,0 ? ,使得 OP ? TP ? PQ ? TQ ?若存在, 求出实数 t 的取值范围;若不存在,说明理由.

??? ? ???

??? ? ??? ?

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? ln ? x ?1? ? k ? x ?1? ?1? k ? R? . (I)求函数 f ? x ? 的单调区间; (II)若 f ? x ? ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围;

(III)证明:

ln 2 ln 3 lnn n ? n ? 1? ? ? ??? ? ? ? N ? N?且n ? 2 ? . 3 4 n ?1 4

山东省实验中学 2017 届高三第一次诊断性考试

数学(理科)参考答案
一、选择题(本题包括 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1-10 DDAAC BA CAC

2016.9

二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.

1 9

12. 3

13.

21 2

14.3

15.

5 ?1 2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 16. (本小题满分 12 分)

cos C 2sin A ? sin C ? , sin B 解: (I)由已知 cos B 即 cos C sin B ? ? 2sin A ? sin C ? cos B,

sin ? B ? C ? ? 2sin A cos B,
sin A ? 2sin A cos B,
???????????????????4 分

△ ABC 中, sin A ? 0 ,故 cos B ? (Ⅱ)由(I) B ?

1 ? ,B ? . 2 3

???????????6分

? , 3
????????????9 分 ??????????????10 分 ??????????????11 分

2 2 2 2 2 因此 b ? a ? c ? 2ac cos B ? a ? c ? ac
2 由已知 b ? ? a ? c ? ? 3ac ? 4 ? 3ac 2

? a?c? ? 4 ? 3? ? ? 4 ?3 ?1 ? 2 ?
故 b 的最小值为1. 17. (本小题满分 12 分)

2

?????????????????????12分

(Ⅰ)试验至多持续一个接种周期的概 P ? ? ? ? ? 1=

1 4

3 1 4 4

3 3 1 1 3 9 37 5分 ? ? ? ? 4 4 4 4 16 64 64 ?

(Ⅱ)随机变量 ? ? 1, 2,3, 设事件 C 为“在一个接种周期内出现 2 次或 3 次 Z 症状” ,则

1 3 5 3 1 3 P (? ? 1) ? P(C ) ? C32 ( ) 2 ? ? C3 ( ) ? , 4 4 4 32 5 5 135 P (? ? 2) ? [1 ? P (C )] ? P(C ) ? (1 ? ) ? ? , 32 32 1024 729 P (? ? 3) ? [1 ? P (C )] ? [1 ? P(C )] ? 1 ? ,??9分 1024

所以 ? 的分布列为:

?

1

2

3

P

5 32

135 1024

729 1024

.................................................... 10 分

? 的数学期望 E? ? 1?
18. (本题满分 12 分)

5 135 729 2617 ? 2? ? 3? ? .??12分 32 1024 1024 1024

(1)由已知 S2 ? 2a2 ? 2 ① , S3 ? a4 ? 2 ②, ①-②得 a3 ? a4 ? 2a2 即 q2 ? q ? 2 ? 0 ????????2 分 又 ? q ? 0? q ? 2 ????????3 分 ? S2 ? 2a2 ? 2,?a1 ? a2 ? 2a2 ? 2?a1 ? a1q ? 2a1q ? 2? a1 ? 2 ?????5 分

? an ? 2n n (2)由(1)知 bn ? n ?????7 分 2 1 2 3 n ?1 n Tn ? ? 2 ? 3 ? ......? n ?1 ? n 2 2 2 2 2

????????6 分

1 1 2 3 n ?1 n Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ......? n ? n ?1 .................9 分 2 2 2 2 2 2

错位相减 1 1 1 1 1 1 n Tn ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ......? n ? n ?1 ............11 分 2 2 2 2 2 2 2
Tn ? 2 ? n?2 .....................12 分 2n

19. (本小题满分 12 分) 证明: (Ⅰ)取 PD 中点 M,连接 MF、MA,

1 DC , ?? 2 1 正方形 ABCD 中 E 为 AB 中点,∴ AE / / DC ,∴ AE / / MF , ?? ?? 2
在△PCD 中,F 为 PC 的中点,∴ MF / / 故四边形 EFMA 为平行四边形,∴EF∥AM, 又∵EF?平面 PAD,AM?平面 PAD, ∴EF∥平面 PAD; ????4 分

(Ⅱ)结论:满足条件的 Q 存在,是 EF 中点.理由如下: 如图:以点 A 为坐标原点建立空间直角坐标系,

则 P(0,0,2) ,B(0,1,0) ,C(1,1,0) ,E(0, 由题易知平面 PAD 的法向量为 n =(0,1,0) , 假设存在 Q 满足条件:设 EQ ? ? EF , ∵ EF ? ( , 0,1) ,∴ Q ? (

1 1 1 ,0) ,F( , ,1) ,??5 分 2 2 2
????6 分 ????7 分

?

??? ?

??? ?

??? ?

1 2

? 1

???? ? 1 , , ? ) , AQ ? ( , , ? ) ,λ ∈, 2 2 2 2

设平面 PAQ 的法向量为 ? ? ( x, y, z) ,

? ? ?

1 ?? ? ? ? ? x ? y ? ?z ? 0 由?2 ,可得 ? ? (1, ??,0) , 2 ? z?0 ? ?? ? ?? ? m?n ?? ∴ cos ? m, n ?? ?? ? ? , | m || n | 1? ? 2
由已知:

????9 分

????10 分

?? 1? ?
2

?

1 5 ,解得: ? ? , 2 5

????11 分 ????12 分

所以满足条件的 Q 存在,是 EF 中点.

20. (本题满分 13 分) 解: (1)由题意知 c ? 1 ,又

b ? tan 60? ? 3 ,所以 b2 ? 3 , c

?????2 分

a 2 ? b2 ? c 2 ? 4 ,所以椭圆的方程为:

x2 y 2 ? ?1 ; 4 3

?????4 分

x2 y 2 ? ? 1 ,得: (2)设直线 PQ 的方程为: y ? k ( x ? 1), (k ? 0) ,代入 4 3

(3 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0 ,设 P( x1, y1 ), Q( x2 , y2 ) ,线段 PQ 的中点为 R( x0 , y0 ) ,
x1 ? x2 4k 2 3k ? , y0 ? k ( x0 ? 1) ? ? , 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2 ??? ? ??? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ??? 由 QP ? TP ? PQ ? TQ 得: PQ ? (TQ ? TP) ? PQ ? (2TR ) ? 0 , 所以直线 TR 为直线 PQ 的垂直平分线,
则 x0 ? 直线 TR 的方程为: y ? ?????7 分

3k 1 4k 2 ? ? ( x ? ) , ?????9 分 3 ? 4k 2 k 3 ? 4k 2 k2 1 ? 令 y ? 0 得: T 点的横坐标 t ? , ?????10 分 2 3 3 ? 4k ?4 k2 3 1 因为 k 2 ? (0, ??) , 所以 2 ? 4 ? (4, ??) ,所以 t ? (0, ) . ?????12 分 k 4 ??? ? ??? ??? ? ??? ? 1 所以线段 OF 上存在点 T (t , 0) 使得 QP ? TP ? PQ ? TQ ,其中 t ? (0, ) . ?????13 分 4
21.(本小题满分 14 分) (I)∵f(x)=ln(x﹣1)﹣k(x﹣1)+1,(x>1) ∴f′(x)= ﹣k,

????1 分 ????2 分

当 k≤0 时,f′(x)>0 恒成立,故函数在(1,+∞)为增函数, 当 k>0 时,令 f′(x)=0,得 x= 当 f′(x)<0,即 1<x< 当 f′(x)>0,即 x> 时,函数为减函数, 时,函数为增函数,

????4 分

综上所述,当 k≤0 时,函数 f(x)在(1,+∞)为增函数, 当 k>0 时,函数 f(x)在(1, )为减函数,在( ,+∞)为增函数.

(Ⅱ)由(1)知,当 k≤0 时,f′(x)>0 函数 f(x)在定义域内单调递增,f(x)≤0 不恒 成立, 当 k>0 时,函数 f(x)在(1, 当 x= 时,f(x)取最大值,f( )为减函数,在( )=ln ≤0

????6 分
,+∞)为增函数.

????8 分 ????10 分

∴k≥1,即实数 k 的取值范围为[1,+∞) (Ⅲ)由(2)知 k=1 时,f(x)≤0 恒成立,即 ln(x﹣1)<x﹣2 ∴ <1﹣ ,

????11 分
< =



ln n = n ?1

=

????12 分 ????13 分

取 x=3,4,5…n,n+1 累加得 ∴ +…+ < + + +…+ =

,(n∈N,n>1).??14 分


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