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广东省广州市2013届高三毕业班综合测试(二)数学理试题(WORD解析版)


2013 年广东省广州市高考数学二模试卷(理科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1. 分) (5 (2013?广州二模)对于任意向量 、 、 ,下列命题中正确的是( A. | ? |=| || | B. | + |=| |+丨 丨 C. ( ? ) = )

D

. 2 ( ? ) ? =| |

考点: 平面向量数量积的运算;向量加减混合运算及其几何意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据向量数量积运算公式可判断 A、D 的正确性; 根据向量加法的运算法则判断 B 是否正确; 根据向量的数乘运算是向量,来判断 C 是否正确. 解答: 解:∵ =| || |cos ,∴| |≤| || |,∴A 错误; 根据向量加法的平行四边形法则,| + |≤| |+| |,只有当 , 同向时取“=”,∴B 错误; ∵( ∵ ) 是向量,其方向与向量 相同, ( =| || |cos0= ,∴D 正确. )与向量 的方向相同,∴C 错误;

故选 D 点评: 本题考查向量的数量积运算公式及向量运算的几何意义. 2. 分) (5 (2013?广州二模)直线 y=kx+1 与圆 x +y ﹣2y=0 的位置关系是( A.相交 B.相切 C.相离
2 2

) D.取决于 k 的值

考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 根据圆的方程,先求出圆的圆心和半径,求出圆心到直线 y=kx+1 的距离,再和半径作比较,可得 直线与圆的位置关系. 解答: 解:圆 x2+y2﹣2y=0 即 x2+(y﹣1)2=1,表示以(0,1)为圆心,半径等于 1 的圆. 圆心到直线 y=kx+1 的距离为 =0,故圆心(0,1)在直线上,故直线和圆相交,

故选 A. 点评: 本题主要考查求圆的标准方程的特征,直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式,属于中档题. 3. 分) (5 (2013?广州二模)若 1﹣i(i 是虚数单位)是关于 x 的方程 x +2px+q=0(p、q∈R)的一个解, 则 p+q=( ) A.﹣3 B.﹣1 C.1 D.3 考点: 复数相等的充要条件.
2

专题: 计算题. 分析: 利用实系数一元二次方程“虚根成对原理”及根与系数的关系即可得出. 解答: 解:∵1﹣i(i 是虚数单位)是关于 x 的方程 x2+2px+q=0(p、q∈R)的一个解, ∴1+i 是此方程的另一个解. 根据根与系数的关系可得 ,解得 ,

∴p+q=﹣1+2=1. 故选 C. 点评: 熟练掌握实系数一元二次方程“虚根成对原理”及根与系数的关系是解题的关键. 4. 分) (5 (2013?广州二模) 已知函数 y=f x) ( 的图象如图 l 所示, 则其导函数 y=f' (x) 的图象可能是 ( )

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的单调性与导数的关系. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 根据原函数图象的单调性及极值点的情况,得到导函数的零点个数及导函数的正负取值,由此即可 得到导函数的图象的大致形状. 解答: 解:由函数 f(x)的图象看出,在 y 轴左侧,函数有两个极值点,且先增后减再增,在 y 轴右侧函 数无极值点,且是减函数,根据函数的导函数的符号和原函数单调性间的关系可知,导函数在 y 轴 右侧应有两个零点,且导函数值是先正后负再正,在 y 轴右侧无零点,且导函数值恒负,由此可以 断定导函数的图象是 A 的形状. 故选 A. 点评: 本题考查了函数的单调性与导函数的关系,考查原函数的极值点与导函数零点的关系,需要注意的 是,极值点处的导数等于 0,导数为 0 的点不一定是极值点,是基础题. 5. 分) (5 (2013?广州二模)若函数 ω 的最小值为( A.1 ) B.2 C.4 D.8 的一个对称中心是 ,则

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由题意可得 cos(ω× + )=0,故有 ω× + =kπ+ 值.

,k∈z,再由 ω 为正整数可得 ω 的最小

解答:

解:∵函数 ∴cos(ω× + )=0,∴ω× + =kπ+

的一个对称中心是 ,k∈z,即 ω=6k+2,k∈z.



再由 ω 为正整数可得 ω 的最小值为 2, 故选 B. 点评: 本题主要考查由函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,属于中档题. 6. 分) (5 (2013?广州二模)一个圆锥的正(主)视图及其尺寸如图 2 所示.若一个平 行于圆锥底面的平 面将此圆锥截成体积之比为 l:7 的上、下两部分,则截面的面积为.

A.

B.π

C.

D.4π

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 几何体中,体积比是相似比的立方,面积比是相似比的平方,直接求解即可. 解答: 解:设小锥体的底面半径为 r,大锥体的底面半径为 3,利用一个锥体被平行于底面的截面所截得 的小锥体与原锥体体积之比等于相似比的立方, = ,

所以 r= , 截面的面积为 = .

故选 C. 点评: 本题是基础题, 考查几何体的体积比与相似比的关系, 常用此法简化解题过程, 同学注意掌握应用. 7. 分) (5 (2013?广州二模)某辆汽车购买时的费用是 15 万元,每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约 为 1.5 万 元.年维修保养费用第一年 3000 元,以后逐年递增 3000 元,则这辆汽车报废的最佳年 限(即 使用多少年的年平均费用最少)是( ) A.8 年 B.1O 年 C.12 年 D.15 年 考点: 数列的应用. 专题: 应用题;等差数列与等比数列. 分析: 设这辆汽车报废的最佳年限 n 年,第 n 年的费用为 an,依题意,可求得前 n 年的总费用 Sn 及年平 均费用 ,利用基本不等式即可求得这辆汽车报废的最佳年限.

解答: 解:设这辆汽车报废的最佳年限 n 年,第 n 年的费用为 an,则

an=1.5+0.3n, 前 n 年的总费用为: Sn=15+1.5n+ + =0.15n +1.65n+15.
2

年平均费用:

=0.15n+

+1.65≥2

+1.65=2

+1.65=4.65

当且仅当 0.15n=

即 n=10 时,年平均费

取得最小值.

所以则这辆汽车报废的最佳年限 10 年. 故选 B. 点评: 本题考查数列的应用,求得前 n 年的总费用 Sn 及年平均费用 中档题. 8. 分) (5 (2013?广州二模)记实数 x1,x2,…,xn 中的最大数为 max{x1,x2,…,xn},最小数为 min{x1, 2 x2,…,xn}则 max{min{x+1,x ﹣x+1,﹣x+6}}=( ) A. B.1 C.3 D. 是关键,考查分析运算能力,属于

考点: 函数的最值及其几何意义. 专题: 计算题;新定义. 2 分析: 在同一坐标系中作出三个函数 y=x+1,y=x ﹣x+1 与 y=﹣x+6 的图象,依题意,即可求得 max{min{x+1,x ﹣x+1,﹣x+6}}. 2 解答: 解:在同一坐标系中作出三个函数 y=x+1,y=x ﹣x+1 与 y=﹣x+6 的图象如图: 由图可知,min{x+1,x ﹣x+1,﹣x+6}为射线 AM,抛物线 显然,在 C 点时,y=min{x+1,x ﹣x+1,﹣x+6}取得最大值. 解方程组 得,C( , ) ,
2 2 2

,线段 BC,与射线 CT 的组合体,

∴max{min{x+1,x ﹣x+1,﹣x+6}}= . 故答案为 . 故选 D

2

点评: 本题考查函数的最值及其几何意义,在同一坐标系中作出三个函数 y=x+1,y=x ﹣x+1 与 y=﹣x+6 的图象是关键,也是难点,属于中档题. 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 9. 分) (5 (2013?广州二模)某商场销售甲、乙、丙三种不同型号的钢笔,甲、乙、丙三种型号钢笔数量 之比依次为 2:3:4.现用分层抽样的方法抽出一个容量为 n 的样本,其中甲型钢笔有 12 支,则此样本 容量 n= 54 . 考点: 分层抽样方法. 专题: 计算题. 分析: 由题意可得 n? 解答: 解:由 n?

2

=12,解方程求得 n 的值,即为所求. =12,求得 n=54,

故答案为 54. 点评: 本题主要考查分层抽样的定义和方法, 利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本 数之比,属于基础题.

10. 分) (5 (2013?广州二模)已知 α 为锐角,且

,则 sinα=



考点: 两角和与差的余弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由 α 为锐角求出 α+ 的范围,利用同角三角函数间的基本关系求出 sin(α+

)的值,所求式子

中的角变形后,利用两角和与差的正弦函数公式化简,将各自的值代入计算即可求出值. 解答: 解:∵α 为锐角,∴α+ ∵cos(α+ ∴sin(α+ )= , )= = , ∈( , ) ,

则 sinα=sin[(α+ 故答案为:

)﹣

]=sin(α+

)cos

﹣cos(α+

)sin

= ×

﹣ ×

=



点评: 此题考查了两角和与差的余弦函数公式,熟练掌握公式是解本题的关键. 11. 分) (5 (2013?广州二模)用 0,1,2,3,4,5 这六个数字,可以组成 216 个没有重复数字且能被 5 整除的五位数(结果用数值表示) . 考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 计算题. 分析: 可对有 0 与无 0 分类讨论,再利用分步乘法计数原理即可求得答案. 解答: 解:∵用 0,1,2,3,4,5 这六个数字,可以组成没有重复数字且能被 5 整除的五位数, ∴①当有 0 时, 0 排在个位, 若 可从 1, 3, 5 这 5 个数字中选 4 个排在其他四个位置, 2, 4, 有 种方法, 若 0 不排在个位,它又不能排在万位,故有三个位置可排,有 3,4 中选三个在在其他三个位置自由排列,有 所以共有 ? =72 种方法; =24 种方法; 种方法, 种方法,个位必排 5,再从 1,2, =120

②若没有 0,则 5 必排在个位,1,2,3,4,在其他四个位置自由排列,有

综合①②得,共有 120+72+24=216 种方法; 故答案为:216. 点评: 本题考查排列、组合及简单计数问题,对有 0 与无 0 分类讨论是关键,也可以按末位是 0 还是 5 分 类,突出分类讨论思想的考查,属于中档题. 12. 分) (5 (2013?广州二模)已知函数 f(x)=x ﹣2x,点集 M={(x,y)|f(x)+f(y)≤2},N={(x, y)|f(x)﹣f(y)≥0},则 M∩N 所构成平面区域的面积为 2π . 考点: 二元一次不等式(组)与平面区域. 专题: 计算题. 分析: 先分析 M,N 所表示的平面区域,并在平面直角坐标系中用图形表示出来,最后结合平面几何的知 识解决问题 解答: 解:因为 f(x)=x2﹣2x,f(y)=y2﹣2y, 2 2 2 2 则 f(x)+f(y)=x +y ﹣2x﹣2y,f(x)﹣f(y)=x ﹣y ﹣2x+2y, 2 2 ∴M={(x,y)|(x﹣1) +(y﹣1) ≤4}, N={(x,y)||y﹣1|≤|x﹣1|}. 故集合 M∩N 所表示的平面区域为两个扇形, 其面积为圆面积的一半,即为 故答案为:2π =2π.
2

点评: 求限制条件(一般用不等式组来表示)所表示平面区域的面积,一般分为如下步骤:①化简不等式 ②分析不等式表示的平面区域③画出草图分析可行域④结合平面几何知识求出面积. 13. 分) (5 (2013?广州二模)数列{an}的项是由 l 或 2 构成,且首项为 1,在第 k 个 l 和第 k+1 个 l 之间有 2k﹣1 个 2,即数列{an} 为:1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1,…,记数列 {an}的前 n 项和为 Sn,则 S20= 36 ; S2013= 3981 . 考点: 数列的求和. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 由 f(k)=2k﹣1,可确定数列为 1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1…,分组:第 k 个 1 与 其后面的 k 个 2 组成第 k 组,其组内元素个数记为 bk,则 bk=2k,确定所要求解的和中 2 与 1 的项 数即可求解 解答: 解:设 f(k)=2k﹣1,则数列为 1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1… ∴前 20 项中共有 16 个 24 个 1 s20=1×4+2×16=36 记第 k 个 1 与其后面的 k 个 2 组成第 k 组,其组内元素个数记为 bk,则 bk=2k b1+b2+…+bn=2+4+…+2n=n(n+1)<2013, 而 46×45=2080<2011,47×46=2162>2013 故 n=45 即前 2011 项中有 45 个 1 以及 1968 个 2,所以 S2013=45+1968×2=3981 故答案为:36,3981 点评: 本题主要考查了数列的求和公式的应用,解题的关键是结合已知确定数列的项的特点. 14. 分) (5 (2013?广州二模) (几何证明选讲选做题) 在△ BC 中,D 是边 AC 的中点,点 E 在线段 BD 上,且满足 BE= BD,延长 AE 交 BC 于点 F,则 值为 . 的

考点: 平行线分线段成比例定理. 专题: 计算题. 分析: 利用平行线分线段成比例定理即可得出 解答: 解:如图所示,



,再利用已知条件即可得出.

过点 B 作 BM∥AC 交 BF 的延长线于点 M. 则 = ,∴ = = .

故答案为 .

点评: 正确作出辅助线和熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键. 15. (2013?广州二模) (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中,已知点 A(1, ) ,点 P 是曲线 ρsin θ=4cosθ 上任意一点,设点 P 到直线 ρcosθ+1=0 的距 .
2

离为 d,则丨 PA 丨+d 的最小值为

考点: 点的极坐标和直角坐标的互化;直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 先利用直角坐标与极坐标间的关系,将点 A 的极坐标、直线及曲线的极坐标方程化成直角坐标或 方程,再利用直角坐标方程的形式,由抛物线的定义可得丨 PA 丨+d=|PF|+|PA|≥|AF|,当 A,P,F 三点共线时,其和最小,再求出|AF|的值即可. 解答: 解:点 A(1, )的直角坐标为 A(0,1) , 曲线曲线 ρsin θ=4cosθ 的普通方程为 y =4x,是抛物线. 直线 ρcosθ+1=0 的直角坐标方程为 x+1=0,是准线. 由抛物线定义,点 P 到抛物线准线的距离等于它到焦点 A(0,1)的距离, 所以当 A,P,F 三点共线时,其和最小, 最小为|AF|= , 故答案为: .
2 2

点评: 本小题主要考查点的极坐标和直角坐标的互化、抛物线的简单性质,解题的关键是抛物线的定义解 题.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (12 分) (2013?广州二模)某单位有 A、B、C 三个工作点,需要建立一个公共无线网络发射点 0,使 得发射点到 三个工作点的距离相等. 已知这三个工作点之间的距离分别为 AB=80m, BC=70m, CA=50m. 假 定 A、B、C、O 四点在同一平面内. (1)求∠BAC 的大小; (2)求点 O 到直线 BC 的距离. 考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)△ ABC 中,由余弦定理求得 cosA 的值,即可求得 A 的值. (2)过点 O 作 OD⊥BC,D 为垂足,则 OD 即为所求.由 O 为△ ABC 的外心,可得∠BOC=120°, 故∠BOD=60°, 且 D 为 BC 的中点,BD=35.在 Rt△ BOD 中,根据 tan∠BOD=tan60°= ,求得 OD 的值.

解答: 解: (1)△ ABC 中,由于 AB=80m,BC=70m,CA=50m,由余弦定理可得 cosA= = = ,故有 A=60°,即∠BAC=60°.

(2)过点 O 作 OD⊥BC,D 为垂足,则 O 到直线 BC 的距离即为 OD. 由于点 O 到、AB、C 三点的距离相等,故 O 为△ ABC 的外心. 由∠BAC=60°可得∠BOC=120°,故∠BOD=60°,且 D 为 BC 的中点,BD=35. Rt△ BOD 中,tan∠BOD=tan60°= 即 O 到直线 BC 的距离 = = ,解得 OD= .

点评: 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用,直角三角形中的边角关系,属于中档题. 17. (12 分) (2013?广州二模)已知正方形 ABCD 的边长为 2,E、F、G、H 分别是边 AB、BC、CD、DA 的中点. (1)在正方形 ABCD 内部随机取一点 P,求满足|PH|< 的概率; (2)从 A、B、C、D、E、F、G、H 这八个点中,随机选取两个点,记这两个点之间的 距离为 ξ,求随 机变量 ξ 的分布列与数学期望 Eξ. 考点: 离散型随机变量及其分布列;几何概型;离散型随机变量的期望与方差. 专题: 概率与统计. 分析: (1)根据几何概型的概率计算公式,分别求出正方形的面积和满足|PH|

的正方形内部的点 P

的集合”的面积即可得出; (2)从 A、B、C、D、E、F、G、H 这八个点中,随机选取两个点,共可得到 线段的长度 ξ 的所有可能取值分别为 典概型的概率计算公式即可得出. 解答: 解: (1)如图所示,正方形的面积 S 正方形 ABCD=2×2=4. 设“满足|PH| 的正方形内部的点 P 的集合”为事件 M, = . 则 S(M)=S△ DGH+S△ AEH+S 扇形 EGH= 线段.这些

,找出相应长度的线段条数,利用古

∴P(M)= 故满足|PH|<

=

. . 线段. 的由 4 条:EF、 的由 2 条 AC、

的概率为

(2)从 A、B、C、D、E、F、G、H 这八个点中,随机选取两个点,共可得到 其中长度等于 1 的有 8 条:AE、EB、BF、FC、CG、GD、DH、HA;长度等于 FG、GH、HE;长度等于 2 的有 6 条:AB、BC、CD、DA、EG、 FH;长度等于 的有 8 条,AF、AG、BG、BH、CE、CH、DE、DF;长度等于 BD. ∴ξ 的所有可能的取值为 1, ,2, , . 则P (ξ=1) = = , (ξ= P ) = ,(ξ=2) P = , (ξ= P ) = = , (ξ= P

) =

=



随机变量 ξ 的分布列为 .

Eξ=

=

点评: 本题考查了利用古典概型的概率计算公式求几何概率及其分布列和数学期望, 正确求出试验的全部 结果所构成的区域的面积和长度以及要求的事件的区域的面积和长度是解题的关键.

18. (14 分) (2013?广州二模)等边三角形 ABC 的边长为 3,点 D、E 分别是边 AB、AC 上的点,且满足 (如图 1) .将△ ADE 沿 DE 折起到△ A1DE 的位置,使二面角 A1﹣DE﹣B 成直二面角,连结 A1B、A1C (如图 2) .

(1)求证:A1D 丄平面 BCED; 0 (2)在线段 BC 上是否存在点 P,使直线 PA1 与平面 A1BD 所成的角为 60 ?若存在,求出 PB 的长;若 不存在,请说明理由. 考点: 用空间向量求直线与平面的夹角;直线与平面垂直的判定;直线与平面所成的角. 专题: 计算题;空间角;空间向量及应用. 分析: (1)等边△ ABC 中,根据 得到 AD=1 且 AE=2,由余弦定理算出 DE= ,从而得到 AD +DE =AE ,所以 AD⊥DE.结合题意得平面 A1DE⊥平面 BCDE,利用面面垂直的性质定理, 可证出 A1D 丄平面 BCED; (2)作 PH⊥BD 于点 H,连接 A1H、A1P,由 A1D 丄平面 BCED 得 A1D 丄 PH,所以 PH⊥平面 A1BD,可得∠PA1H 是直线 PA1 与平面 A1BD 所成的角,即∠PA1H=60°.设 PB=x(0≤x≤3) ,分别 2 在 Rt△ BA1H、Rt△ PA1H 和 Rt△ DA1H 中利用三角函数定义和勾股定理,建立等量关系得 1 +(2 ﹣ x) =( x) ,解之得 x= ,从而得到在 BC 上存在点 P 且当 PB= 时,直线 PA1 与平面 A1BD 所成的角为 60°. 解答: 解: (1)∵正△ ABC 的边长为 3,且 = =
2 2 2 2 2

∴AD=1,AE=2, △ ADE 中,∠DAE=60°,由余弦定理,得 DE=
2 2 2

=

∵AD +DE =4=AE ,∴AD⊥DE. 折叠后,仍有 A1D⊥DE ∵二面角 A1﹣DE﹣B 成直二面角,∴平面 A1DE⊥平面 BCDE 又∵平面 A1DE∩平面 BCDE=DE,A1D?平面 A1DE,A1D⊥DE ∴A1D 丄平面 BCED; (2)假设在线段 BC 上存在点 P,使直线 PA1 与平面 A1BD 所成的角为 60° 如图,作 PH⊥BD 于点 H,连接 A1H、A1P 由(1)得 A1D 丄平面 BCED,而 PH?平面 BCED 所以 A1D 丄 PH ∵A1D、BD 是平面 A1BD 内的相交直线,

∴PH⊥平面 A1BD 由此可得∠PA1H 是直线 PA1 与平面 A1BD 所成的角,即∠PA1H=60° 设 PB=x(0≤x≤3) ,则 BH=PBcos60°= ,PH=PBsin60°= 在 Rt△ PA1H 中,∠PA1H=60°,所以 A1H= , 在 Rt△ DA1H 中,A1D=1,DH=2﹣ x 由 A1D +DH =A1H ,得 1 +(2﹣ x) =( x) 解之得 x= ,满足 0≤x≤3 符合题意 所以在线段 BC 上存在点 P,使直线 PA1 与平面 A1BD 所成的角为 60°,此时 PB= .
2 2 2 2 2 2

x

点评: 本题给出平面翻折问题,求证直线与平面垂直并探索了直线与平面所成角的问题,着重考查了线面 垂直、面面垂直的判定与性质和直线与平面所成角的求法等知识,属于中档题. 19. (14 分) (2013?广州二模)巳知 a>0,设命题 p:函数 f(x)=x ﹣2ax+1﹣2a 在区间[0,1]上与 x 轴 有两个不同 的交点;命题 q:g(x)=|x﹣a|﹣ax 在区间(0,+∞)上有最小值.若(¬p)∧q 是真命题, 求实数 a 的取值范围. 考点: 复合命题的真假;函数的值域;函数的零点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由抛物线的特点可知 p 成立需 ,解之可得 a 的范围,同理 g(x)
2

=

,要满足题意需 0<a≤1,再由(¬p)∧q 是真命题,可得 p 是假命

题且 q 是真命题,进而可得

,化简可得答案.

解答: 解:函数 f(x)=x2﹣2ax+1﹣2a 在区间[0,1]上与 x 轴有两个不同的交点,

必须

,即

,解得



所以当

时,函数 f(x)=x ﹣2ax+1﹣2a 在区间[0,1]上与 x 轴有两个不同的交点;

2

由题意可得 g(x)=|x﹣a|﹣ax=

,因为 a>0,所以﹣(1+a)<0,

所以函数 y1=﹣(1+a)x+a 是单调递减的,要 g(x)使在区间(0,+∞)上有最小值, 必须使 y2=(1﹣a)x﹣a 在[a,+∞)上单调递增或为常数,即 1﹣a≥0,解得 a≤1, 所以当 0<a≤1 时,函数 g(x)使在区间(0,+∞)上有最小值. 若(¬p)∧q 是真命题,则 p 是假命题且 q 是真命题, 所以 ,解得 ]∪( ,1] ,或 ,

故实数 a 的取值范围为: (0,

点评: 本题考查复合命题的真假,涉及函数的值域和函数的零点,属基础题. 20. (14 分) (2013?广州二模)经过点 F (0,1)且与直线 y=﹣1 相切的动圆的圆心轨迹为 M 点 A、D 在轨迹 M 上,且关于 y 轴对称,过线段 AD (两端点除外)上的任意一点作直线 l,使直线 l 与轨迹 M 在 点 D 处的切线平行,设直线 l 与轨迹 M 交于点 B、C. (1)求轨迹 M 的方程; (2)证明:∠BAD=∠CAD; (3)若点 D 到直线 AB 的距离等于 ,且△ ABC 的面积为 20,求直线 BC 的方程.

考点: 圆锥曲线的轨迹问题;直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1)设出动圆的圆心坐标,利用动圆经过定点 F(0,1) ,且与定直线:y=﹣1 相切,列出方程化 简即可得到所求轨迹方程. (2) (1) y= x , D 0, 由 得 设 (x 设 C(x1, ) ,B(x2,
2

) 由导数的几何意义, , 得直线 l 的斜率, A 又 (﹣x0,

) ,

) .利用斜率公式得到 x1+x2=2x0.从而有 kAB=﹣kBC,即可证得

∠BAD=∠CAD. (3)根据条件:点 D 到直线 AB 的距离等于 ,可知∠BAD=45°,将直线 AB 的方程与 x =
2

﹣4y 联立方程组, 解得 B 点的坐标, 求出|AB|, |AC|, 最后根据△ ABC 的面积列出方程, 解得 x0=±3, 从而得出直线 BC 的方程. 解答: 解: (1)设圆心坐标为(x,y) ,由题意动圆经过定点 F(0,1) ,且与定直线:y=﹣1 相切, 所以
2 2

=|y+1|,
2

即(y﹣1) +x =(y+1) , 2 2 即 x =4y.故轨迹 M 的方程为 x =4y. (2)由(1)得 y= x ,∴y′= x, 设 D(x0, 则 A(﹣x0, ) ,由导数的几何意义 得直线 l 的斜率为 kBC= ) ,设 C(x1, ) ,B(x2, ) . ,
2

则 kBC=

=

= x0,∴x1+x2=2x0.

kAC=

=

,kAB=



∴kBC+AB=

+

=

=0,∴kAB=﹣kBC.

∴∠BAD=∠CAD. (3)点 D 到直线 AB 的距离等于 ,可知∠BAD=45°, =﹣(x+x0) ,与 x =﹣4y 联立方程
2

不妨设 C 在 AD 上方,即 x2<x1,直线 AB 的方程为:y﹣ 组, 解得 B 点的坐标为(x0﹣4, ) ,∴|AB|=

|x0﹣4﹣(﹣x0)|=2

|x0﹣2|

由(2)知,∠CAD=∠BAD=45°,同理可得|AC|=2 ∴△ABC 的面积为 × 解得 x0=±3. |x0+2|×2 |x0﹣2|=20.

|x0+2|.

当 x0=3 时,B( (﹣1, ) BC= ,直线 BC 的方程为 6x﹣4y+7=0; ,K 当 x0=﹣3 时,B( (﹣7, ) BC=﹣ ,直线 BC 的方程为 6x+4y﹣7=0; ,K

点评: 本题是中档题,考查动点的轨迹方程的求法,直线与抛物线的位置关系,考查计算能力. 21. (14 分) (2013?广州二模)设 an 是函数 f(x)=x +n x﹣1(n∈N )的零点. (1)证明:0<an<1; (2)证明: .
3 2 +

考点: 数列与函数的综合;数列与不等式的综合. 分析: (1)先计算 f(0)<0,f(1)>0,且 f(x)在 R 上的图象是一条连续曲线,根据零点存在定理 得 f(x)在(0,1)内有零点,再根据其导数为正,得出 f(x)在(0,1)上是增函数,f(x)在 (0,1)内只有一个零点,而 an 是函数 f(x)=x +n x﹣1(n∈N )的零点,从而证明出 0<an<1; (2)分两部分进行证明.先证明左边的不等式,由(1)知 0<an<1,得 an> 及裂项法可得 a1+a2+…+an>1﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ = ,利用放缩法
3 2 +

;再证明右边的不等式,由于

an= 上可得

, n≥2 时, 当 可得 a1+a2+…+an< + .

+ ﹣ + ﹣ +…+

﹣ =1+ ﹣ < . 综

2 解答: 解: (1)∵f(0)=﹣1<0,f(1)=n >0,且 f(x)在 R 上的图象是一条连续曲线, ∴f(x)在(0,1)内有零点, 2 2 ∵f′(x)=3x +n >0,∴f(x)在(0,1)上是增函数,f(x)在(0,1)内只有一个零点, 3 2 + 而 an 是函数 f(x)=x +n x﹣1(n∈N )的零点, ∴0<an<1; 3 2 (2)先证明左边的不等式,因 an +n an﹣1=0,由(1)知 0<an<1,

∴a

<an,即 1﹣n an=a

2

<an. + , = , >0, +…+ ①

∴an> ∵an>

,∴a1+a2+…+an> ≥ =

∴a1+a2+…+an>1﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ 再证明右边的不等式,由于 f( )= ∴ <a1< , 由(1)知,0<an<1,且 an +n an﹣1=0, ∴an= ,
3 2

+ ﹣1=﹣ <0,f( )=

∵当 n≥2 时,a1+a2+…+an< + ∴当 n∈N 时,a1+a2+…+an< , 综上,
*

+ ﹣ + ﹣ +…+

﹣ =1+ ﹣ < ,



点评: 本小题主要考查零点、函数单调性的应用、数列与函数的综合、不等式的证明等基础知识,考查运 算求解能力,考查化归与转化思想.属于较难题.


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