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2013年杭州市第二次高考科目教学质量检测理科数学试卷

时间:2013-04-20


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2013 年杭州市第二次高考科目教学质量检测
数学(理科)试题参考答案及评分标准

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的): 题号 答案 1 D 2 A 3 C 4 A 5 B 6 C 7 C 8 B 9 A 10 D

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分): 11.
1 3 ? 15 6

.

12. 60 16. ?
3 2

13. 6 17.
2 3

14.

50(1 ?

3)

15. 22

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18. (本题满分 14 分) (Ⅰ) ∵ a cos B ? b cos A ? ∴ ∴
2a ? 2b ? 7c
2
2 2

7 2

,根据余弦定理得, a ?
2 2

a ?c ?b 2ac

2

2

2

?b?

b ?c ?a 2bc

2

2

2

?

7 2



,又∵
2 2

c ? 2 ,∴ a ? b ? 7 ,

b cos A ?

b ?c ?a 2c

??

3 4

.
3 4

7分 ,得 a cos B ?
2

(Ⅱ) 由 a cos B ? b cos A ? 又∵ ∴

7 2

及 b cos A ? ?
11 16

11 4

. , 14 分

a ? 4 ,∴ cos B ?

,∴ .

sin B ?

1 ? cos B ?

3 15 16

S ?ABC ?

1 2

ac sin B ?

3 4

15

19. (本题满分 14 分) (Ⅰ) P= (Ⅱ)
C3 ? C3 ? C3 ? C3
1 1 1 1

C12
P ( X ? 1) ? C3
4 1

4

?

9 55

.
? 2) ? C3 (C4C4 ? C4 C4 ? C4 C4 )
2 1 3 2 2 3 1

5分
? 68 165

?

1 165

, P( X
? 32 55

C12
1 1

C12

4



P ( X ? 3) ?

3C4C4C4 C12
4

2

.

分布列为: X P 1
1 165

2
68 165

3
32 55

12 分
E( X ) ? 1 165 ? 2 ? 68 165 ? 3 ? 32 55 ? 85 33

.
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14 分

20. (本题满分 15 分) (Ⅰ) 连接 HC,交 ED 于点 N,连结 GN, 由条件得:DHEC 是矩形,∴N 是线段 HC 的中点,又 G 是 PC 的中点, ∴ GN//PH, 2分 又 ∵ GN ? 平面 GED,PH 不在平面 GED 内, 4分 ∴ PH//平面 GED. 5分 (Ⅱ) 方法 1:连结 AE,∵ ?BAD ? 120? , ∴ △ ABE 是等边三角 形,设 BE 的中点为 M,以 AM、AD、AP 分别为 x, y, z 轴建立空间直 角坐标系. 则 B(
3 2

,?
3 2

1 2

,0), C( ,0), F(

3 2 3 4

,

3 2

,0),D(0,2,0),P(0,0,
1 4

3

),
(第 20 题)

则 E(

,

1 2

,?

,

3 2

),G(

3 4

,

3 4

,

3 2

).

设 Q(0,0, t ) , ED ? (? 设 n1
? ( x1 , y1 , z1 ) 是平面

2

3 3 3 5 3 , ,0) , DG ? ( ,? , ). 2 4 4 2

8分

GED 的一个法向量,

? 3 3 ?x ? 3 y x1 ? y1 ? 0 ?n1 ? ED ? ? 1 1 ? ? 2 2 则? ,得 ? 3 3 5 3 y1 ? ? z1 ? n1 ? DG ? x1 ? y1 ? z1 ? 0 3 ? ? 4 4 2 ?
3 3



令 y1 ? 1 ∴ n1 ? ( 设 n2

3 ,1,

).

10 分 的一个法向量,

? ( x2 , y 2 , z 2 ) 是平面 ?

? 3 3 ?x ? 3 y x2 ? y 2 ? 0 ?n2 ? ED ? ? 2 2 ? ? 2 2 则? ,得 ? 1 y2 3 1 3 ? ? z2 ? n2 ? QF ? x2 ? y 2 ? ( ? t ) z2 ? 0 2t ? 3 ? ? 4 4 2 ?

,令 y2

? 1 ,得

n2 ? ( 3 ,1,

1 2t ? 3

),
3 3
3? 11 3 24

12 分
? 3 ?1? ? 1 2t ?
?

当平面 GED⊥平面 ? 时, n1 ? n2 得t ?
11 8 3 ? 11 3 24

?0 3

, 15 分

,则 PQ 的长为

13 3 24

.

方法 2:连接 BH,则 BH//ED,又∵PB//GE,∴平面 PBH//平面 GED, 设 BH 与 AE 交于点 K,PK 的中点为 M, ∵F 是 PB 的中点,∴FM//BK, ∵ABEH 是菱形,∴AE⊥BK, ∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥BK ,∴ BK⊥平面 PAK. ∴ FM⊥平面 PAK, (第 20 题) 过 M 作 MQ⊥PK,交 PA 于 Q,设 MQ 与 FM 所确定的平面为 ? , ∵ED//BH// FM,∴ED//平面 ? ,又平面 ? ⊥平面 PBH,∴平面 ? ⊥平面 EDG . 得平面 ? 满足条件. 9分
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∵ PA ? 由
PQ PK

3

, AK ,

?

1 2

,∴ PK

?

3?

1 4

?

13 2



?

PM PA

13

得 PQ ?

PK ? PM PA

? 3

13 4 ? 13 3 24

?

2

.

15 分

21. (本题满分 15 分) (Ⅰ) 由 ?
? y ? 2x ? 2 ? x ? 2 py
2
2

,整理得 x 2

? 4 px ? 4 p ? 0 ,设M 1 ( x1 , y1 ),M 2 ( x2 , y2 ),
R R R R

?? ? 16 p ? 16 p ? 0 ? 则 ? x1 ? x2 ? 4 p ? x ? x2 ? 4 p ? 1



∵ 直线 y ?
y1 ? x1 p 2 ?

p 2

平分 ?M 1 FM 2 ,∴
p 2 ?0 ,即:

kM

1F

? kM
p 2 ?

2F

?0,
p 2 ? 0,

∴ ∴

y2 ? x2

2 x1 ? 2 ? x1

2 x2 ? 2 ? x2

(第 21 题)

4 ? (2 ?

p 2

)?

x1 ? x2 x1 ? x2

? 0 ,∴

p ? 4 ,满足 ? ? 0 ,∴ p ? 4 .
? x1 ? x2 ? 16 ? x1 x2 ? 16

7分
2

(Ⅱ) 由(1)知抛物线方程为 x 2 设 M 3 ( x3 ,
R R

? 8y

,且 ? ,

, M 1 ( x1 ,

x1

8

) , M 2 ( x2 ,

x2

2

),

8

x3

2

) ,A (t ,2) , B (a,2)
R R

8
2M 3

由A、M 2 、M 3 三点共线得 k M
x2
2

? k AM


2



x2 ? x3 8

?2

?

8 x2 ? t

,即: x2

2

? x2 x3 ? t ( x2 ? x3 ) ? x2 ? 16 ,
2

整理得: x2 x3 ? t ( x2 ? x3 ) ? ?16 , ……① 由B、M 3 、M 1 三点共线,同理可得 x1 x3 ? a( x1 ? x3 ) ? ?16 , ……② ②式两边同乘 x2 得: x1 x2 x3 ? a( x1 x2 ? x2 x3 ) ? ?16 x2 , 即: 16 x3 ? a(16 ? x2 x3 ) ? ?16 x2 , ……③
R R R R

由①得: x2 x3 ∴

? t ( x2 ? x3 ) ? 16

,代入③得: 16 x3 ? 16a ? ta ( x2 ? x3 ) ? 16a ? ?16 x2 , . 15 分

即: 16( x2

? x3 ) ? at ( x2 ? x3 ) ,∴ at ? 16

OA ? OB ? at ? 4 ? 20

.

22. (本题满分 14 分) (Ⅰ) ∵ a ? 0 , a ? b ? 0 ,∴ b ? ?a ,则 ∴
f ?( x) ? 3ax ? a ,设切点
2

f ( x) ? ax ? ax ,
3

T( x0 , y0 ),则
2

f ?( x0 ) ? k PT

, P( ?1,0 ),

即:切线方程为 y ? y0

? (3ax0 ? a )( x ? x0 ) ,又∵切线过点

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? ( ax0 ? ax0 ) ? (3ax0 ? a )(?1 ? x0 ) ,解得: x0 ? ?1 或 x0 ?
3 2

1 2

.

当 x0 当 x0

? ?1 时, f ?( x0 ) ? 2a ,切线方程为 y ? 2ax ? 2a ,

?

1 2

时,

f ?( x0 ) ? ?

1 4

a ,切线方程为 y ? ?

1 4

ax ?

1 4

a.
b ? 1.

7分

(Ⅱ) ① 当 a ? 0 , b ? 0 时,

f ( x ) ? bx

在[0,1]上递增,∴
2

② 当 a ? 0 , b ? 0 时,令
f (x ) 在[0,

f ?( x) ? 3ax ? b ? 0 ,得 x ? ? ?

b 3a



?

b 3a

]上递增,

(i) 若

?

b 3a

? 1 时, f (x ) 在[0,1]上递增,∵ f (0) ? 0 ,

? b ? ?1 ? 3a ? ∴ ?a ? b ? 1 ? a ? 0, b ? 0 ? ?

,即: ?a ? b ? 1

?3a ? b ? 0 ? ? ?a ? 0, b ? 0

,由线性规划知: b ?

3 2

.

( ii ) 若

?

b 3a

? 1 时, f (x )

在[0,

?

b 3a

]上递增,在[

?

b 3a

,1]上递减,又

f (0) ? 0 ,

? b ? ?1 ? 3a ? ? b 由题意得: ? f ( ? ) ? 1 , 3a ? ?a ? b ? 0 ? ?



f( ?
2 3

b 3a

) ? 1 得, a ? ( ?
b 3a
a ? ?b ,

b 3a

)?

?

b 3a

?b?

?

b 3a

? 1,

即:

b?

?

? 1 ,得 4b ? ?27 a
3

.

又 a ? b ? 0 ,∴ ∴
3

4b ? 27b ,得 0 ? b ?
3 2

3 2

3

. ,满足 ?
b 3a ? 1.

当b ?

3 时, a ? ?b ? ?

3 3 2

综上所述: b 的最大值为

3 3 2

.

14 分

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