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2014高考数学(新人教A版)大一轮复习特训:第2章 函数、导数及其应用第11讲 Word版含解析


第二章

第 11 讲

(时间:45 分钟 分值:100 分) 一、选择题 1. [2013· 鸡西模拟]函数 f(x)=(x-3)ex 的单调递增区间是( A. (-∞,2) C. (1,4) 答案:D 解析:由题意知,f′(x)=ex+(x-3)ex=(x-2)ex.由 f′(x)>0 得 x>2.故选 D. 2 2. [

2012· 陕西高考]设函数 f(x)= +lnx,则( x 1 A. x= 为 f(x)的极大值点 2 1 B. x= 为 f(x)的极小值点 2 C. x=2 为 f(x)的极大值点 D. x=2 为 f(x)的极小值点 答案:D 2 1 x-2 解析:f′(x)=- 2+ = 2 ,∵x>0, x x x ∴当 x>2 时,f′(x)>0,f(x)是增函数;当 0<x<2 时,f′(x)<0,f(x)是减函数, ∴x=2 为 f(x)的极小值点. 1 3. [2013· 金版原创]若 a>1,则函数 f(x)= x3-ax2+1 在(0,2)内零点的个数为( 3 A. 3 C. 1 答案:C 解析:f′(x)=x2-2ax,由 a>1 可知,f′(x)在 x∈(0,2)时恒为负,即 f(x)在(0,2)内单调递 8 减,又 f(0)=1>0,f(2)= -4a+1<0,所以 f(x)在(0,2)内只有一个零点.故选 C. 3 4. [2013· 济南名校模考]设 a∈R,若函数 y=ex+ax 有大于零的极值点,则( A. a<-1 1 C. a<- e 答案:A B. a>-1 1 D. a>- e ) B. 2 D. 0 ) ) B. (0,3) D. (2,+∞) )

解析:由题知 y′=ex+a=0 有大于 0 的实根,即 x=ln(-a)>0?-a>1?a<-1. 5. 已知定义在 R 上的函数 f(x),其导函数 f′(x)的大致 象如图所示,则下列叙述正确的是( A. f(b)>f(c)>f(d) B. f(b)>f(a)>f(e) C. f(c)>f(b)>f(a) D. f(c)>f(e)>f(d) 答案:C 解析:依题意得,当 x∈(-∞,c)时,f′(x)>0;当 x∈(c,e)时,f′(x)<0;当 x∈(e,+ ∞)时,f′(x)>0.因此,函数 f(x)在(-∞,c)上是增函数,在(c,e)上是减函数,在(e,+∞)上 是增函数,又 a<b<c,所以 f(c)>f(b)>f(a),选 C. 1 6. [2013· 石家庄质检]设函数 f(x)= x2-9lnx 在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数 a 的 2 取值范围是( A. 1<a≤2 C. a≤2 答案:A 1 9 9 解析:∵f(x)= x2-9lnx,∴f′(x)=x- (x>0),当 x- ≤0 时,有 0<x≤3,即在(0,3]上 2 x x 函数 f(x)是减函数,∴a-1>0,a+1≤3,解得 1<a≤2. 二、填空题 7. 如图是 y=f(x)导数的图象,对于下列四个判断: ) B. a≥4 D. 0<a≤3 ) 图

①f(x)在[-2,-1]上是增函数; ②x=-1 是 f(x)的极小值点; ③f(x)在[-1,2]上是增函数,在[2,4]上是减函数; ④x=3 是 f(x)的极小值点. 其中正确的判断是________.(填序号) 答案:②③ 解析:由导函数图象可知 f(x)在[-2,-1]上递减,在[-1,2]上递增,在[2,4]上递减,x =-1 为极小值点,x=3 不是极值点,故②③正确. 8. [2013· 天津模拟]函数 f(x)=x3+3ax2+3[(a+2)x+1]有极大值又有极小值, a 的取值范 则

围是________. 答案:a>2 或 a<-1 解析:f′(x)=3x2+6ax+3(a+2), 令 3x2+6ax+3(a+2)=0, 即 x2+2ax+a+2=0. 因为函数 f(x)有极大值又有极小值, 所以方程 x2+2ax+a+2=0 有两个不相等的实根,即 Δ=4a2-4a-8>0,解得 a>2 或 a< -1. 1 9. [2013· 无锡模拟]已知函数 y=- x3+bx2-(2b+3)x+2-b 在 R 上不是单调减函数, b 则 3 的取值范围是________. 答案:b<-1 或 b>3 解析:y′=-x2+2bx-(2b+3),要使原函数在 R 上单调递减,应有 y′≤0 恒成立, ∴Δ=4b2-4(2b+3)=4(b2-2b-3)≤0, ∴-1≤b≤3,故使该函数在 R 上不是单调减函数的 b 的取值范围是 b<-1 或 b>3. 三、解答题 10. [2013· 温州质检]设 f(x)= ex ,其中 a 为正实数. 1+ax2

4 (1)当 a= 时,求 f(x)的极值点; 3 (2)若 f(x)为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围. 解:对 f(x)求导得 f′(x)=ex 1+ax2-2ax .① ?1+ax2?2

4 (1)当 a= 时,若 f′(x)=0,则 4x2-8x+3=0, 3 3 1 解得 x1= ,x2= . 2 2 结合①,可知 x f′(x) f(x) 1 (-∞, ) 2 + ??↗ 1 2 0 极大值 1 3 ( , ) 2 2 - ?↘ 3 2 0 极小值 3 ( ,+∞) 2 + ?↗

3 1 所以 x1= 是极小值点,x2= 是极大值点. 2 2 (2)若 f(x)为 R 上的单调函数, f′(x)在 R 上不变号, 则 结合①与条件 a>0, 1+ax2-2ax≥0 知 在 R 上恒成立,即 Δ=4a2-4a=4a(a-1)≤0,由此并结合 a>0,知 0<a≤1.所以 a 的取值范围 为{a|0<a≤1}.

lnx+a 11. [2013· 宁波模拟]已知函数 f(x)= -1(a∈R). x (1)若 a=1,求函数 f(x)的极值; (2)若函数 f(x)在区间(0,e]上有零点,求实数 a 的取值范围. 解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞), 1-?lnx+1? lnx f′(x)= =- 2 . x2 x 令 f′(x)=0,得 x=1. 当 x∈(0,1)时,f′(x)>0,f(x)单调递增; 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减. ∴f(x)在 x=1 处取得极大值,f(x)极大值=f(1)=0. (2)仿(1)可得 f(x)在 x=e1
- -a

处取得极大值,f(x)极大值=f(e1 a)=ea 1-1.
- -





(ⅰ)当 e1 a<e,即 a>0 时,仿(1)知 f(x)在(0,e1 a)上是增函数,在(e1 a,e]上是减函数, ∴f(x)max=f(e1 a)=ea 1-1. 又当 x=e
-a - -

时,f(x)=-1,∴f(x)的图象在区间(0, e]上有零点,等价于 ea 1-1≥0,



解得 a≥1,又 a>0,∴a≥1. (ⅱ)当 e1 a≥e,即 a≤0 时,f(x)在(0,e]上单调递增, 又当 x=e
-a -

时,f(x)=-1,

1+a-e - ∴①当 e a≤e,即 a≥-1 时,f(x)在(0,e]上的最大值为 f(e)= , e 1+a-e ∴原问题等价于 ≥0,解得 a≥e-1. e 又∵a≤0,∴此时无解. ②当 e a>e,即 a<-1 时,f(x)在(0,e]上的最大值为 f(e)= ∴此时无解. 综合(ⅰ)(ⅱ)得 a≥1. 12. [2013· 琼海模拟]已知函数 f(x)=ex+ax-1(a∈R,且 a 为常数). (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若对所有 x≥0 都有 f(x)≥f(-x),求 a 的取值范围. 解:(1)f′(x)=ex+a, 当 a≥0 时,f′(x)>0,f(x)在(-∞,+∞)上是单调增函数, 当 a<0 时,由 f′(x)>0,得 x>ln(-a),f(x)在(ln(-a),+∞)上是单调增函数; 由 f′(x)<0,得 x<ln(-a),f(x)在(-∞,ln(-a))上是单调减函数. 综上,a≥0 时,f(x)的单调增区间是(-∞,+∞); a<0 时,f(x)的单调增区间是(ln(-a),+∞),单调减区间是(-∞,ln(-a)).


1+a-e - <f(e a)=-1, e

(2)当 x≥0 时,f(x)≥f(-x)恒成立, 即 ex+ax≥e x-ax 恒成立,即 ex-e x+2ax≥0 恒成立, 令 h(x)=ex-e x+2ax,即当 x≥0 时,h(x)≥0 恒成立, 又 h′(x)=ex+e x+2a,且 h′(x)≥2 ex· x+2a=2+2a,x=0 时等号成立. e ①当 a≥-1 时,h′(x)≥0,所以 h(x)在[0,+∞)上是增函数, 故 h(x)≥h(0)=0 恒成立. ②当 a<-1 时,方程 h′(x)=0 的正根为 x1=ln(-a+ a2-1), 当 x∈(0,x1)时,h′(x)<0,故 h(x)在该区间为减函数, 所以,x∈(0,x1)时,h(x)<h(0)=0,∴a<-1 时不符合题意. 综上,a 的取值范围是[-1,+∞).
- - - - -


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