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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修1-2第三章数系的扩充与复数的引入 习题课


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【学习要求】 巩固复数的概念和几何意义;理解并能进行复数的四则
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运算并认识复数加减法的几何意义.

试一试· 双基题目、基础更牢固

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1.以 1+2i 的虚部为实部,以 3i-2 的实部为虚部的新复 数


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( A ) B.2+i D.2+3i

A.2-2i C.3+i

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2.若 x-2+yi 和 3x-i 互为共轭复数,则实数 x 与 y 的值是 A.x=3,y=3 C.x=-1,y=-1
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( D ) B.x=5,y=1 D.x=-1,y=1

解析 x-2=3x,y=-(-1),即 x=-1,y=1.

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3.设复数 z 满足(1+i)z=2,其中 i 为虚数单位,则 z 等于 A.1+i
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B.1-i

C.2+2i

( B ) D.2-2i

解析

2?1-i? 2 z= = =1-i,故选 B. 1+i ?1+i??1-i?

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a+2i 4.已知 =b+i(a,b∈R),其中 i 为虚数单位,则 a i +b 等于 A.-1
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( B ) B.1 C.2 D.3

解析

a+2i ∵ i =b+i,∴a+2i=bi-1.

∴a=-1,b=2,∴a+b=1.

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5. 复数 z=1+i,z 为 z 的共轭复数, z z -z-1 等于( B ) 则 A.-2i B.-i C.i D.2i

解析
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z=1+i,则 z z -z-1=2-(1+i)-1=-i.

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题型一
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复数的四则运算 -2 3+i ? 2 ?2 012 ?4-8i?2-?-4+8i?2 ? 例 1 (1)计算: +? + ; 1+2 3i ?1+i? 11- 7i ? ? z2-3z+6 (2)已知 z=1+i,求 的模. z+1
i?1+2 3i? ?? 2 ?2?1 006 ? ? 解 (1)原式= +?? + 1+2 3i ??1+i? ? ? ? ??

?4-8i+8i-4??4-8i+4-8i? 11- 7i
=i+(-i)1 006+0=-1+i.

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z2-3z+6 ?1+i?2-3?1+i?+6 3-i (2) = = =1-i, z+1 2+i 2+i

z2-3z+6 ∴ 的模为 2. z+1
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小结 复数的除法运算是复数运算中的难点,如果遇到(a+ bi)÷ (c+di)的形式,首先应该写成分式的形式,然后再分母 实数化.

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( B )

z 跟踪训练 1 (1)已知 =2+i,则复数 z 等于 1+i A.-1+3i C.3+i
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B.1-3i D.3-i
z ∵ =2+i,∴ z =(1+i)(2+i)=2+3i-1 1+i

解析

方法一

=1+3i,∴z=1-3i. 方法二 设 z=a+bi(a,b∈R),∴ z =a-bi,
?a=1 ? a-bi ∴ =2+i,∴? ,z=1-3i. ?b=-3 1+i ?

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?1+i? ? ?2 011 为虚数单位,则? 等于 1-i? ? ?

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(2)i

( A ) D.1

A.-i
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B.-1

C.i

解析

?1+i? 1+i ?1+i?2 ? ?2 011 因为 = =i2 011=i4×502+3= 2 =i,所以? ? 1-i 1-i ?1-i?

i3=-i,故选 A.

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题型二

复数的几何意义

例 2 已知点集 D={z||z+1+ 3i|=1,z∈C},试求|z|的最小 值和最大值.
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解 点集 D 的图象为以点 C(-1,- 3)为 圆心,1 为半径的圆,圆上任一点 P 对应 → 的复数为 z,则|OP|=|z|.
由图知,当 OP 过圆心 C(-1,- 3)时,与圆交于点 A、B, 则|z|的最小值是|OA|=|OC|-1= ?-1?2+?- 3?2 -1=2-1 =1,即 |z|min=1;|z|的最大值是|OB|=|OC|+1=2+1=3, 即|z|max=3.

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小结 复数和复平面内的点, 以原点为起点的向量一一对 应; 复数加减法符合向量运算的平行四边形法则和三角形
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法则:|z1-z2|表示复数 z1,z2 对应的两点 Z1,Z2 之间的距 离.

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跟踪训练 2 已知复数 z1,z2 满足|z1|=3,|z2|=5,|z1-z2| = 10,求|z1+z2|的值.
解 如图所示,设 z1,z2 对应点分别为 A,B, → → → 以OA,OB为邻边作?OACB,则OC对应的复数 → → → 为 z1+z2.这里|OA|=3,|OB|=5,|BA|= 10.
→ → → |OA|2+|OB|2-|BA|2 ∴cos ∠AOB= → → 2|OA||OB|

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32+52-10 4 = =5. 2×3×5

4 → → ∴cos ∠OBC=-5.又|BC|=|OA|=3,

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→ ∴|z1+z2|=|OC|
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→ → → → |OB|2+|BC|2-2|OB||BC|cos ∠OBC

= 58.

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题型三 例3

两个复数相等

设复数 z 和它的共轭复数 z 满足 4z+2 z =3 3+i,

求复数 z.
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解 设 z=a+bi(a,b∈R). 因为 4z+2 z =3 3+i, 所以 2z+(2z+2 z )=3 3+i. 2z+2 z =2(a+bi)+2(a-bi)=4a,整体代入上式, 得 2z+4a=3 3+i.
3 3-4a i 所以 z= +2. 2

根据复数相等的充要条件,得

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? 3 3-4a ?a= , ? 2 ? ? 1 ?b=2. ?
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? 3 ?a= 2 , 解得? ?b=1. ? 2

3 i 所以 z= + . 2 2 小结 两个复数相等是解决复数问题的重要工具. “复数 相等”可以得到两个实数等式, 为应用方程思想提供了条 件,常用于确定系数,解复数方程等问题.

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跟踪训练 3 关于 x 的方程 x2+(3+2i)x+3ai=0 有非零 实根,求实数 a 的值及方程的实数根.
解 设方程的实数根为 b(b≠0),代入方程 x2+(3+2i)x
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+3ai=0,化为 b2+3b+(2b+3a)i=0.
?b2+3b=0, ? 所以? ?2b+3a=0. ?

已知 b≠0,解得 b=-3,a=2. 故实数 a 的值及方程的实数根分别为 2 和-3.

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1.复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算,其中除
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法运算的关键是将分母实数化; 2.复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现; 3.利用两个复数相等可以解决求参数值(或范围)和复数方程 等问题.


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