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龙泉中学2013届高三周练理科数学试卷(20)

时间:2013-02-15


龙泉中学 2013 届高三周练理科数学试卷(20)
班级: 姓名: 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的)

示.若两正数 a, b 满足 f (2a + b) ? 1 ,则

b+2 的取值范围是( a+2

)

r />y

1 ? 0} ,则 A ? B ? ( 1.设全集为 R,集合 A ? ?x || x |? 2?, B ? {x | ) x ?1 A. [?2 , 2] B. [?2 , 1) C. (1 , 2] D. [?2 , +?) 2 ? 1 + mi ( m ? R , i 表示虚数单位) 2.如果 ,那么 m ? ( ) 1? i
A.1
2 2

1 1 ) 3 2 1 C. ( , 3) 2
A. ( , 10.已知函数 f ( x ) ? ?

B. ( ??, ) ? ( 3, +? )

1 2

O

x

D. (??, ?3)

B. ? 1

C.2

D.0

3. 已知椭圆

x y + 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左焦点为 F , 右顶点为 A , B 在椭圆上, BF ? x 轴, 直线 AB 点 且 2 a b ??? ? ??? ? 交 y 轴于点 P .若 AP ? 2 PB ,则椭圆的离心率是( )

,若数列 {an } 满足 an ? f ( n) (n? N+ ),且对任意的正整数 x ?6 (x ? 7) ?a m, n (m ? n) 都有 (m ? n)(am ? an ) ? 0 成立,那么实数 a 的取值范围是( ) 9 9 A. [ ,3) B. ( ,3) C. ( 2,3) D. (1,3) 4 4

?(3 ? a )x ? 3 (x ? 7)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置. 11.圆 C : x 2 + y 2 ? 4 被直线 l : x ? y + 1 ? 0 所截得的弦长为 . 2 2 2 2 12.已知动圆 E 与圆 A:(x+4) +y =2 外切,与圆 B:( x-4) +y =2 内切,动圆圆心 E 的轨迹方 程 . 13.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 .
2 2 2 1 1

3 A. 2
4.已知双曲线

2 B. 2

1 C. 3

1 D. 2

x2 y2 ? ? 1 的一个焦点与抛物线 y 2 ? 4x 的焦点重合,且双曲线的离心率等于 5 ,则该双 a 2 b2
)

曲线的方程为(
2

4 2 5 2 x2 y2 y2 x2 2 ? ?1 ? ?1 A. 5 x ? y ? 1 B. C. D. 5 x ? y ? 1 5 4 5 4 5 4 5.在等差数列 {an } 中,首项 a1 ? 0, 公差 d ? 0 ,若 ak ? a1 + a2 + a3 + ? + a7 ,则 k ? ( ) A. 22 B. 23 C. 24 D. 25 6.已知直线 l , m ,平面 ? , ? ,且 l ? ? , m ? ? ,给出四个命题: ①若 ? ∥? ,则 l ? m ;②若 l ? m , 则 ? ∥? ;③若 ? ? ? ,则 l∥ ;④若 l∥ ,则 ? ? ? .其中真命题的个数是( ) m m
f(x) = sin(2?x)

x2 y 2 14.若椭圆 2 + 2 ? 1 过抛物线 y 2 ? 8x 的焦点,且与双曲线 a b

正视图 .
2 2 1

左视图

x2 ? y 2 ? 1有相同的焦点,则该椭圆的方程为

A.4 B.3 C.2 D.1 7.已知偶函数 f ( x ) ? A sin(?x + ? ) ( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? ) 的部分图像如图所示.若 ??? ? y 1 △KLM 为等腰直角三角形,且 | KL |? 1 ,则 f ( ) 的值为( )

? x 2 + 1, x ? 0 2 15.已知函数 f ( x) ? ? ,则满足不等式 f (1 ? x ) ? f (2x) ?1, x ? 0 的实数 x 的取值范围是__________________.

俯视图

6

3 1 1 O x K L C. ? D. 4 4 2 M x + y ?1 ? 3 4 ? 8.已知 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,若目标函数 z ? ax + by (a ? 0, b ? 0) 的最大值为 7,则 + a b ?2 x ? y ? 2 ?
A. ? B. ? 的最小值为( ) A.14 B.7 C.18 D.13 9.定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (4) ? 1 . f ?(x) 为 f (x) 的导函数,已知函数 y ? f ?(x) 的图象如右图所

3 4

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答写在答题卡相位置,应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? Asin(? x + ? )( A ? 0,? ? 0,| ? |? (I)求函数 f ( x) 的解析式; (II)求函数 y ? f ( x) + f ( x + 2) 的最大值与最小值.
2 1 -1 0 -1 -2 第 16 题图 1 2 3 4 5 6 7 x

? , x ? R) 的图象的一部分如下图所示. 2
y

17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x + b (其中 k ,b ? R 且 k , b 为常数)的图像经过 A (4, 2) 、B (16, 4) 两点. (1)求 f ( x ) 的解析式;
k

20. (本小题满分 13 分) 已知线段 CD ? 2 3 , CD 的中点为 O ,动点 A 满足 AC + AD ? 2a ( a 为正常数) . (1)求动点 A 所在的曲线方程; (2)若存在点 A ,使 AC ? AD ,试求 a 的取值范围; (3)若 a ? 2 ,动点 B 满足 BC + BD ? 4 ,且 AO ? OB ,试求 ?AOB 面积的最大值和最小值.

(2)如果函数 g ( x) 与 f ( x ) 的图像关于直线 y ? x 对称,解关于 x 的不等式:

g ( x) + g ( x ? 2) ? 2a( x ? 2) + 4 .

18. (本小题满分 12 分) 如图: ? O 方程为 x2 + y 2 ? 4 ,点 P 在圆上,点 D 在 x 轴上,点 M 在 DP 延长线上, ? O 交 y 轴 于点 N, DP / /ON .且 DM ?

??? ?

????

???? ?

? 3 ??? DP. 2

(1)求点 M 的轨迹 C 的方程; (2)设 F1 (0, 5)、F2 (0, ? 5) ,若过 F1 的直线交(1)中 曲线 C 于 A、B 两点,求 F2 A?F2 B 的取值范围.
第 18 题图

???? ???? ? ?

21. (本小题满分 14 分) 已知各项均为正数的数列 {an } 满足 an+1 (1) 求数列 {an } 的通项公式;
2 2 ? 2an + an an+1 ,

且 a2

+ a4 ? 2a3 + 4 ,其中 n ? N * .

19. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧面 AAC1C ? 底面 ABC , AA ? AC ? AC ? 2 , AB ? BC , 1 1 1 且 AB ? BC , O 为 AC 中点. (1)证明: AO ? 平面 ABC ; 1 (2)求直线 AC 与平面 A AB 所成角的正弦值; 1 1 (3)在 BC1 上是否存在一点 E ,使得 OE // 平面 A AB ,若不 1 存在,说明理由;若存在,确定点 E 的位置.

nan ,是否存在正整数 m, n (1 ? m ? n) ,使得 b1 , bm , bn (2n + 1) ? 2 n 成等比数列?若存在,求出所有的 m、n 的值;若不存在,请说明理由. (n + 1)2 + 1 5 1 * cn ? ? Sn ? . (3) 令 ,记数列 {cn } 的前 n 项和为 Sn (n ? N ) ,证明: 16 2 n(n + 1)an+2
(2) 设数列 {bn } 满足 bn ?

龙泉中学 2013 届高三周练理科数学试卷(20)参考答案
命题: 李学功 一、选择题: 序号 答案 审核:陈信金

18.解析: (1)设 p( x 0 , y 0 ), M ( x, y ) ,

1 C

2 A

3 D

4 D

5 A

6 C

7 D

8 B

9 C

10 C

? ? ? y ? 3 y0 ? y0 ? 2 y 3 ??? ? 由于DM ? DP ? ? 3 2 ?? 2 ? x ? x0 ? x0 ? x ? ? ???? ?
代入 x02 + y02 ? 4 得

………………………………………3 分

二、填空题: 11. 14 12.

x2 y 2 + ?1 4 9

……………………………………………………5 分

x y ? ? 1( x ? 2) 2 14


2

2

13.2

14.

x y + ? 1 15. (??,?1 ? 2 ) ? (1,+?) 4 2

2

2

(2)①当直线 AB 的斜率不存在时,显然 F2 A?F2 B ? ?4 ; …………………………………6 分 ②当直线 AB 的斜率存在时,不妨设 AB 的方程为: y ? kx + 5

???? ???? ? ?

三、解答题: 16.解析: (I)由图象,知 A=2,

π π ,得 f ( x) ? 2sin( x + ? ) , …………………2 分 ? 4 4 π π π 当 x ? 1 时,有 ?1 + ? ? , ∴ ? ? . ………………………………………………4 分 4 4 2 π π ∴ f ( x) ? 2sin( x + ) .………………………………………………………………… 6 分 4 4 π π π π (II) y ? 2sin( x + ) + 2sin[ ( x + 2) + ] 4 4 4 4 π π π π ? 2sin( x + ) + 2cos( x + ) ………………………………………………………8 分 4 4 4 4 π π π ? 2 2 sin( x + ) ? 2 2 cos x ……………………………………………………10 分 4 4 2 ∴ ymax ? 2 2 , ymin ? ?2 2 .………………………………………………………………12 分 ? 8 ,∴ ? ?

? y ? kx + 5, ? 由? x 2 y 2 ? (9 + 4k 2 ) x 2 + 8 5kx ? 16 ? 0 ?1 ? + 9 ?4

? ?8 5k ? x1 + x2 ? ? 9 + 4k 2 不妨设 A ( x1,y1 ),B( x2,y2 ),则: ? 1 ? x x ? ?16 ? 1 2 9 + 4k 2 ? ? ? ??? ? ? ??? F2 A F B ( 1, 1 5 ? ( x , + ? 2 ? x y + ) 2 y 5? (1 , k1x 2 5 ) 2x + x ) x + ? ( k ,2 2

2 5)

? x1x2 + (kx1 + 2 5)? kx2 + 2 5) ? (1 + k 2 ) x1x2 + 2 5k ( x1 + x2 ) + 20 ……………8 分 (
?16(1 + k 2 ) ?80k 2 ?96k 2 ? 16 200 + + 20 ? + 20 ? ?4 + …………………10 分 2 2 2 9 + 4k 9 + 4k 9 + 4k 9 + 4k 2 200 200 ? 0 ≤ k 2 ? 9 ≤ 9 + 4k 2 ? 0 ? ≤ 2 9 + 4k 9 ???? ???? 164 ? ? ?4 ? F2 A?F2 B ≤ ……………………………………………………………………………11 分 9 ???? ???? ? ? ? 164 ? 综上所述 F2 A?F2 B 的范围是 ? ?4, …………………………………………………………12 分 9 ? ? ?
19.解法: (1)证明:因为 A1 A ? AC ,且 O 为 AC 的中点, 所以 AO ? AC 又由题意可知, 1 1 平面 AA1C1C ? 平面 ABC ,交线为 AC ,且 AO ? 平面 AA1C1C , 所以 AO ? 平面 ABC ……………3 分 1 1 (2)如图,以 O 为原点, OB, OC, OA1 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系. 1 由题意可知, A1 A ? AC ? AC ? 2, 又 AB ? BC, AB ? BC ?OB ? AC ? 1, 1 2 所以得: O(0,0,0), A(0, ?1,0), A1 (0,0, 3), C(0,1,0), C1 (0,2, 3), B(1,0,0) ???? ? ???? ??? ? 则有: AC ? (0,1, ? 3), AA1 ? (0,1, 3), AB ? (1,1,0). …………………………………………………5 分 1 ? 设平面 AA1 B 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) ,则有

17.解析: (1) ?

1 ? f ( x) ? x 。…………………………………4 分 2 ? 4 ? 16 + b (2)设 M ( x, y ) 是曲线 y ? g ( x) 上任意一点,由于函数 g ( x) 与 f ( x ) 的图像关于直线 y ? x 对称,
k

? 2 ? 4k + b

? b ? 0, k ?

/ 所以 M ( x, y ) 关于直线 y ? x 的对称点 M ( y, x) 必在曲线 y ? f ( x) 上,所以 x ? 2

y ,即 y ? x2 ,

所以 g ( x) ? x ( x ? 0) 。…………………………………………………………………………6 分 于是 g ( x) + g ( x ? 2) ? 2a( x ? 2) + 4 ? ?

x?2? 0 2 ? x + ( x ? 2) ? 2a( x ? 2) + 4 x?2 ? …………………………………8 分 ?? ?( x ? a)( x ? 2) ? 0 ?
2

① 若 a ? 2 ,则不等式的解为 x ? 2 ; ② 若 a ? 2 ,则不等式的解为 x ? a 。…………………………………………………………12 分

? ???? ?n ? AA1 ? 0 ? y + 3z ? 0 3 ? ? ,令 y ? 1 ,得 x ? ?1, z ? ? ?? ? ? ? ??? 3 ? x+ y?0 ? n ? AB ? 0 ? ? ? ???? ? ? ? ???? ? n ? A1C 3 21 ? 所以 n ? ( ?1,1, ? ) cos ? n, A1C ?? ? ???? ? 3 7 | n || A1C |
? ???? ? 因为直线 A1C 与平面 A1 AB 所成角 ? 和向量 n 与 A1C 所成锐角互余,所以 sin ? ?

21.解析:(1) 因为 an+1

2 ? 2an + an an+1 ,即 (an+1 + an )(2an ? an+1 ) ? 0 又 an ? 0 ,所以有 2an ? an+1 ? 0 ,即 2an ? an+1 2

所以数列 ?an ? 是公比为 2 的等比数列. 由 a2 + a4 ? 2a3 + 4 得 2a1

21 ………8 分 7

从而,数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2 (n ? N * ) 。……………………………………………………4 分
n

+ 8a1 ? 8a1 + 4 ,解得 a1 ? 2 。

? x0 ? 1 ? ? ??? ? ???? ? ? (3)设 E ? ( x0 , y0 , z0 ), BE ? ? BC1 , 即 ( x0 ? 1, y0 , z0 ) ? ? (?1,2, 3) ,得 ? y0 ? 2? ? ? z0 ? 3? ??? ? ? ??? ? 所以 E ? (1 ? ?, 2? , 3? ), 得 OE ? (1 ? ?, 2?, 3? ), 令 OE // 平面 A1 AB ,得 OE ? n = 0 , 1 即 ?1 + ? + 2? ? ? ? 0, 得 ? ? , 即存在这样的点 E,E 为 BC1 的中点 …………………………12 分 2
20.解析:解: (1)以 O 为坐标原点, CD 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系 若 AC + AD ? 2a ? 2 3 ,即 0 ? a ? 3 ,动点 A 所在的曲线不存在; 若 AC + AD ? 2a ? 2 3 ,即 a ? 3 ,动点 A 所在的曲线方程为 y ? 0(? 3 ? x ? 3) ;

(2) bn ?

nan m 2 1 n n ) ? ( ), ,若 b1 , bm , bn 成等比数列,则 ( n = (2n + 1) ? 2 2n + 1 2m + 1 3 2n + 1 m2 n m2 n 3 ?2m2 + 4m + 1 即 . 由 2 ,可得 ? , ? ? n m2 4m + 4m + 1 6n + 3 4m 2 + 4m + 1 6n + 3
6 6 。 ? m ? 1+ 2 2 又 m ? N* ,且 m ? 1 ,所以 m ? 2 ,此时 n ? 12 .

所以 ?2m2 + 4m + 1 ? 0 ,解得: 1 ?

故当且仅当 m ? 2 , n ? 12 .使得 b1 , bm , bn 成等比数列。…………………………………………9 分

x2 y2 + 2 ? 1 .……………3 分 a2 a ? 3 (2)由(1)知 a ? 3 ,要存在点 A ,使 AC ? AD , 则以 O 为圆心, OC ? 3 为半径的圆与
若 AC + AD ? 2a ? 2 3 ,即 a ? 3 ,动点 A 所在的曲线方程为 椭圆有公共点,故 3 ? a2 ? 3 ,所以 a 的取值范围是 3 ? a ? 6 .………………………………6 分 x2 x2 + y 2 ? 1 ,由条件知 A, B 两点均在椭圆 + y 2 ? 1 上, (3)当 a ? 2 时,其曲线方程为椭圆 4 4 且 AO ? OB .设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , OA 的斜率为 k (k ? 0) ,则 OA 的方程为 y ? kx , OB 的方程为

? 1 ? n2 + n n+2 (n + 1)2 + 1 1 n2 + 2n + 2 (3) cn ? ? ? ? ? + n+2 n +1 n +1 n +1 ? n(n + 1)2 2 n(n + 1) ? 2 2 ? n(n + 1)2 n(n + 1) ? 2 ? ? 1? 1 1 1 ? ? n+1 + ? n n +1 ? 2 ?2 n ? 2 (n + 1)2 ?
∴ Sn ?

? y ? kx 4k 2 4 4k 4 1 ? 2 2 ,得 x12 ? , y12 ? ,同理可求得 x2 ? 2 , y2 ? 2 , y ? ? x ,解方程组 ? x 2 2 2 2 k +4 1 + 4k 1 + 4k k +4 k ? + y ?1 ?4
??AOB 面积 S ?

1 1 (1 + k 2 )2 1 + k 2 x1 1 + 2 x2 = 2 ,………………………………10 分 2 k (1 + 4k 2 )(k 2 + 4)

? 1 1 1 1? 1 1 1 1 1 1 ( 2 + ? + n+1 ) + ?( ? )+( ? ) +?+ ( ? ) 2 2 3 n n +1 ? 2 2 2 2 ? 1? 2 2 ? 2 2 ? 2 3? 2 n ? 2 (n + 1) ? 2 ? 1 1 (1 ? n ) ? 1? 1 22 1 1 n +1 n + 2 ? 2 + 1 ?1 ? ? ? ? 2 (n + 1) ? 2n+1 ? ? 2 ?1 ? ( 2 ) ? n + 1 ? 1 2 2? ? ? ? 1? 2 1 n +1 n + 2 1 1 1 n+2 1 1+ 2 3 ? ( ) n +1 (1 + ) 递减,∴ ( ) n +1 ? ? ( )1+1 ? ? 易知 ( ) ? 0< 2 n +1 2 n +1 2 n +1 2 1+1 8 5 1 1 n +1 n + 2 1 5 1 ] ? ,即 ? S n ? 。……………………………………………14 分 ∴ ? [1 ? ( ) ? 16 2 2 n +1 2 16 2

t2 1 ?2 , 9 9 4t 2 + 9t ? 9 ? 2 + +4 t t 9 9 1 1 25 25 4 令 g (t ) ? ? 2 + + 4 ? ?9( ? )2 + (t ? 1) ,所以 4 ? g (t ) ? ,即 ? S ? 1 , t t t 2 4 4 5 4 当 OA 与坐标轴重合时 S ? 1 ,于是 ? S ? 1 , 5
令 1 + k 2 ? t (t ? 1) ,则 S ? 2

?AOB 面积的最大值和最小值分别为 1 与

4 .…………………………………………………13 分 5


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