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1.4生活中的优化问题举例


生活中经常遇到求利润最大、用料 最省、效率最高等问题,这些问题称 为优化问题,优化问题有时也称为最 值问题.解决这些问题具有非常重要 的现实意义.
通过前面的学习,我们知道,导数是求函 数最大(小)值的有力工具,本节我们运 用导数,解决一些生活中的优化问题。

类型一:求面积、容积的最大问题
例1:海报版面尺寸的设计
学校或班

级举行活动,通常需要张贴海报 进行宣传,现让你设计一张如图所示的竖向张 贴的海报,要求版心面积为128cm2,上下边各 空2cm,左右各空1cm,如何设计海报的尺寸,才 能使四周空白面积最小?

解:设版心的高为xcm,则宽为
128 cm 此时四周空白面积为 x
128 s( x ) ? ( x ? 4)( ? 2) ? 128 x 512 = 2x + + 8, ? x > 0 ? x

512 求导数,有 S '( x) ? 2 ? 2 , x 512 令s' ( x ) ? 2 ? 2 ? 0, 解得,x=16 x 128 128 于是宽为 ? ?8 x 16

(x=-16舍去)

当x ? (0,16)时, s' ( x ) ? 0;
当x ? (16,??)时, s' ( x ) ? 0;
因此,x=16是函数s(x)的极小值点,也 是最小值点。 所以,当版心高为16cm,宽 为8cm时,能使四周空白面积最小。 答:当版心高为16cm,宽为8cm时,海报 四周空白面积最小。

解法二:由解法(一)得
512 512 S ( x ) ? 2x ? ? 8 ? 2 2x ? ?8 x x

? 2 ? 32 ? 8 ? 72
512 当且仅当2x ? ,即x ? 16( x ? 0)时S取最小值 x
128 此时y = ?8 16

答:应使用版心宽为8dm,长为16dm,四周空白面积最小

解:设版心的宽为x dm ,长为y dm 2 则有 xy=128,(1) 另设四周空白面积为S, y
则 S ? 2( x ? 2) ? 2 ? 2 ? y ? 1
128 由(1)式得: y ? x x 256 ? 8( x ? 0). 代入(2)式中得: S ( x ) ? 4 x ? x
令S ?( x ) ? 0, 即4 ?

? 4x ? 2 y ? 8

(2)

? x ? 8,? 最小面积S ? 4 ? 8 ? 128 此时y ? ? 16(dm ) ? x 8

256 ?0 2 x 256

8

? 8 ? 72 dm 2 ) (

? 8dm

例2、在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去
相等的正方形,再把它的边沿虚线折起,做成 一个无盖的方底箱子,箱底边长为多少时,箱 子容积最大?最大容积是多少?
x
x x
60

x

60

解:设箱底边长为x,则箱高h=(60-x)/2.箱子容积

V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0<x<60).
3 2 令 V?(x)= 60x - x = 0 ,解得x=0(舍去),x=40.且 2 V(40)=16000.

由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱 子的容积很小,因此,16000是最大值.

答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16000cm3.

练习1、 一条长为l的铁丝截成两段,分别弯成两个 正方形,要使两个正方形的面积和最小, 两段铁丝的长度分别是多少?
解:设两段铁丝的长度分别为x,l-x, 其中0<x<l 则两个正方形面积和为
x 2 l -x 2 S = s1 + s2 =( ) +( ) 4 4 1 = (2x2 - 2lx + l 2 ) 16

1 1 S ? ? (4 x ? 2l ) ? (2 x ? l ) 16 8 l 令S? = 0, 得x = 2

由问题的实际意义可知:
l l 当x ? 时,S取最小值.最小值为 . 32 2 方法与技巧:在求面积、容积最大值问题时,
2

要注意充分利用几何图形,建立数学模型,列出 函数关系式,可以利用两种方法求解:一是利用 导数求最值;二是利用基本不等式求最值,无论 使用哪种方法都应该注意自变量的取值范围。

练习 2 在二次函数 f ( x ) ? 4 ? x 2 的图象与 x 轴所围成 的图形中有 一个内接矩形 ABCD ,设点 B 的坐 标为 ( x , 0) ,问 x 取何值时,矩形的面积最大?
【解】设位于抛物线上的矩形的一个顶点为(x,y), 且x >0,y >0, 则另一个在抛物线上的顶点为(-x,y), 在x轴上的两个顶点为(-x,0)、(x,0), 其中0< x <2.设矩形的面积为S, 则S =2 x(4-x2),0< x <2. 2 由S′(x)=8-6 x2=0,得x = 3 3 ,易知 2 3 是S在(0,2)上的极大值点,即最大值点。 x=
3

类型二:用料最省、费用最低问题
例1:圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与 底面半径应怎样选取,才能使所用的材料最省?

解:设圆柱的高为h,底半径为R,则 表面积

V = R 2 ,则 πR V 2V 2 S(R) = 2πR + 2πR = + 2πR 2 2 πR R V 2V 3 R 令 S'(R) = - 2 +4πR = 0 解得, = 2π , R
由V=πR2h,得 h

S=2πRh+2πR2

h

V 当R = 时, 2π
3

V h= = 2 πR

V 4V V 3 3 = =2 π 2π V 2 π( 3 ) 2π



h=2R

因为S(R)只有一个极值,所以它是最小值 答:当罐的高与底直径相等时,所用材料最省

工厂C到铁路的距离CA=20km. 现在要在AB上某一处D,向C修 D 一条公路.已知铁路每吨千米与 B 公路每吨千米的运费之比为3:5.为了使原料 从供应站B运到工厂C的运费最省,D应修在何处?

例2:如图,铁路线上AB段长100km,

C

A

解:设DA=xkm,那么DB=(100-x)km,CD= 202 + x 2 = 400 ? x 2 km.
又设铁路上每吨千米的运费为3t元,则公路上每吨千 米的运费为5t元.这样,每吨原料从供应站B运到工厂 C的总运费为 y ? 5t ? CD ? 3t ? BD ? 5t 400 ? x 2 ? 3t (100 ? x )

(0 ≤ x ≤ 100).

C

B
2

D

A

y ? 5t ? CD ? 3t ? BD ? 5t 400 ? x ? 3t (100 ? x )(0 ≤ x ≤ 100).



y? ? t (

5x 400 ? x
2

? 3) ? 0

0 ≤ x ≤100 的范围内有唯一解x=15.

所以,当x=15(km),即D点选在距A点15千米时, 总运费最省.

类型三:利润最大问题
某商品生产成本C与产量q的函数关系式为 C ? 100 ? 4q 1 , 价格p与产量q的函数关系式为 p ? 25 ? q 8 求产量 q 为何值时,利润 L 最大?
1 解:利润L ? pq ? C ? (25 ? q )q ? (100 ? 4q ) 8 1 2
? ? q ? 21q ? 100 1 8 ? L ' ? ? q ? 21, 令L ' ? 0, 4

求得q ? 84

当L ' ? 0时, ? 84, 当L ' ? 0时, ? 84, q q

?当产量q为84时,利润L最大 1 另解:利润L ? pq ? C ? (25 ? q )q ? (100 ? 4q ) 8 1 2 b 21 ? ? q ? 21q ? 100 当q ? ? ? ? 84时,L的值最大 8 2a 1 4

例2.饮料瓶大小对饮料公司利润的 影响 (1)你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般 比大包装的要贵些? (2)是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?
背景知识:某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料。 0.8? r 2分,其中 r 是瓶 瓶子的制造成本是 子的半径,单位是厘米.已知每出售1 ml 的饮料,制造商可获利 0.2 分,且制造商能 制作的瓶子的最大半径为 6cm. 问题(1)瓶子的半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大? (2)瓶子的半径多大时,每瓶的利润最小?

解:由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利润是



4 3 2 y ? f (r ) ? 0.2 ? ? r ? 0.8? r 3 3 r 2 ? 0.8? ( ? r ), 0 ? r ≤ 6 3 2

f '( r ) ? 0.8( r ? 2r ) ? 0 当 r ? 2时, f '( r ) ? 0

当 r ? (0, 2) 时 , f '(r ) ? 0 当 r ? (2, 6) 时 , f '(r ) ? 0
当半径r>2时,f ’(r)>0它表示 f(r) 单调递增, 即半径越大,利润越高; 当半径r<2时,f ’(r)<0 它表示 f(r) 单调递减, 即半径越大,利润越低.

1.半径为2cm 时,利润最小,这时 f (2) ? 0

表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本, 此时利润是负值
2.半径为6cm时,利润最大

方法小结
利用导数解决优化问题的基本思路:
优化问题
建立数学模型

用函数表示数学问题
解决数学模型
作答

优化问题解决方案

用导数解决数学问题

这是一个典型的数学建模过程

(课本第37页B组第1题)
某宾馆有50个房间供游客居住,当每个房间每天的 定价为180元时,房间会全部住满;房间的单价每 增加10元,就会有一个房间空闲.如果游客居住房 间,宾馆每天每间需花费20元的各种维修费.房间 定价多少时,宾馆的利润最大? 解:设宾馆定价为(180+10x)元时,宾馆的利润W最大

180 (元) ? x ? 17,利W 最大 房价: ? 10 ? 17 ? 350

W ? (180 ? 10 x)(50 ? x) ? (50 ? x) ? 20 2 ? ?10 x ? 340 x ? 8000 令W ' ( x) ? 0, 求得x ? 17 ;当W ' ( x) ? 0时, x ? 17 当W ' ( x) ? 0时, x ? 17


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