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第二章 圆锥曲线与方程教案

时间:2014-03-08


第二章 圆锥曲线与方程
2.1 曲线与方程
2.1.1 曲线与方程 2.1.2 求曲线的轨迹方程
一、教学目标 (一)知识教学点 使学生掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法.(二)能力训练点 通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍,培养学生综合运用各方面知识的能力. (三)学科渗透点 通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的介绍, 使

学生掌握常用动点的轨迹, 为学习物理等学 科打下扎实的基础. 二、教材分析 1.重点:求动点的轨迹方程的常用技巧与方法. (解决办法:对每种方法用例题加以说明,使学生掌握这种方法.)2.难点:作相关点法求 动点的轨迹方法. (解决办法:先使学生了解相关点法的思路,再用例题进行讲解.) 教具准备:与教材内容相关的资料。 教学设想:激发学生的学习热情,激发学生的求知欲,培养严谨的学习态度,培养积极进取 的精神. 三、教学过程 学生探究过程: (一)复习引入 大家知道,平面解析几何研究的主要问题是: (1)根据已知条件,求出表示平面曲线的方程; (2)通过方程,研究平面曲线的性质. 我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究,今天在上面已 经研究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分析. (二)几种常见求轨迹方程的方法 1.直接法 由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式,再用坐 标代替这等式,化简得曲线的方程,这种方法叫直接法. 例 1(1)求和定圆 x2+y2=k2 的圆周的距离等于 k 的动点 P 的轨迹方程; (2)过点 A(a,o)作圆 O∶x2+y2=R2(a>R>o)的割线,求割线被圆 O 截得弦的中点的轨迹. 对(1)分析: 动点 P 的轨迹是不知道的,不能考查其几何特征,但是给出了动点 P 的运动规律:|OP|=2R 或|OP|=0. 解:设动点 P(x,y),则有|OP|=2R 或|OP|=0. 即 x2+y2=4R2 或 x2+y2=0. 故所求动点 P 的轨迹方程为 x2+y2=4R2 或 x2+y2=0. 对(2)分析: 题设中没有具体给出动点所满足的几何条件, 但可以通过分析图形的几何性质而得出, 即圆 心与弦的中点连线垂直于弦,它们的斜率互为负倒数.由学生演板完成,解答为: 设弦的中点为 M(x,y),连结 OM,

则 OM⊥AM. ∵kOM?kAM=-1,

其轨迹是以 OA 为直径的圆在圆 O 内的一段弧(不含端点). 2.定义法 利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的 轨迹方程, 这种方法叫做定义法. 这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或 差为定值的条件,或利用平面几何知识分析得出这些条件.

直平分线 l 交半径 OQ 于点 P(见图 2-45),当 Q 点在圆周上运动时,求点 P 的轨迹方程.

分析: ∵点 P 在 AQ 的垂直平分线上, ∴|PQ|=|PA|. 又 P 在半径 OQ 上. ∴|PO|+|PQ|=R,即|PO|+|PA|=R. 故 P 点到两定点距离之和是定值,可用椭圆定义 写出 P 点的轨迹方程. 解:连接 PA ∵l⊥PQ,∴|PA|=|PQ|. 又 P 在半径 OQ 上. ∴|PO|+|PQ|=2.

由椭圆定义可知:P 点轨迹是以 O、A 为焦点的椭圆.

3.相关点法 若动点 P(x,y)随已知曲线上的点 Q(x0,y0)的变动而变动,且 x0、y0 可用 x、y 表示,则将 Q 点坐标表达式代入已知曲线方程,即得点 P 的轨迹方程.这种方法称为相关点法(或代换 法). 例 3 已知抛物线 y2=x+1,定点 A(3,1)、B 为抛物线上任意一点,点 P 在线段 AB 上, 且有 BP∶PA=1∶2,当 B 点在抛物线上变动时,求点 P 的轨迹方程. 分析: P 点运动的原因是 B 点在抛物线上运动,因此 B 可作为相关点,应先找出点 P 与点 B 的联 系. 解:设点 P(x,y),且设点 B(x0,y0)

∵BP∶PA=1∶2,且 P 为线段 AB 的内分点.

4.待定系数法 求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求. 例 4 已知抛物线 y2=4x 和以坐标轴为对称轴、实轴在 y 轴上的双曲

曲线方程. 分析: 因为双曲线以坐标轴为对称轴,实轴在 y 轴上,所以可设双曲线方

ax2-4b2x+a2b2=0 ∵抛物线和双曲线仅有两个公共点,根据它们的对称性,这两个点的横坐标应相等,因此方 程 ax2-4b2x+a2b2=0 应有等根. ∴△=1664-4Q4b2=0,即 a2=2b. (以下由学生完成)

由弦长公式得:

即 a2b2=4b2-a2.

(三)巩固练习 用十多分钟时间作一个小测验,检查一下教学效果.练习题用一小黑板给出. 1.△ABC 一边的两个端点是 B(0,6)和 C(0,-6),另两边斜率的

2.点 P 与一定点 F(2,0)的距离和它到一定直线 x=8 的距离的比是 1∶2,求点 P 的轨迹方 程,并说明轨迹是什么图形? 3.求抛物线 y2=2px(p>0)上各点与焦点连线的中点的轨迹方程. 答案:

义法)

由中点坐标公式得:

(四)、教学反思 求曲线的轨迹方程一般地有直接法、定义法、相关点法、待定系数法,还有参数法、复数法 也是求曲线的轨迹方程的常见方法,这等到讲了参数方程、复数以后再作介绍. 五、布置作业 1.两定点的距离为 6,点 M 到这两个定点的距离的平方和为 26,求点 M 的轨迹方程. 2.动点 P 到点 F1(1,0)的距离比它到 F2(3,0)的距离少 2,求 P 点的轨迹. 3.已知圆 x2+y2=4 上有定点 A(2,0),过定点 A 作弦 AB,并延长到点 P,使 3|AB|=2|AB|, 求动点 P 的轨迹方程.作业答案: 1.以两定点 A、B 所在直线为 x 轴,线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系,得点 M 的轨迹方程 x2+y2=4 2.∵|PF2|-|PF|=2,且|F1F2|∴P 点只能在 x 轴上且 x<1,轨迹是一条射线

六、板书设计

2.2





2.2.1 椭圆及其标准方程
◆ 知识与技能目标 理解椭圆的概念,掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题;理解椭圆标准方程 的推导过程及化简无理方程的常用的方法; 了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方 法. ◆ 过程与方法目标

(1)预习与引入过程 当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时, 观察平面截圆锥的截口曲线 (截面与圆锥侧 面的交线) 是什么图形?又是怎么样变化的?特别是当截面不与圆锥的轴线或圆锥的母线平 行时,截口曲线是椭圆,再观察或操作了课件后,提出两个问题:第一、你能理解为什么把 圆、椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线;第二、你能举出现实生活中圆锥曲线的例子.当 学生把上述两个问题回答清楚后,要引导学生一起探究 P41 页上的问题(同桌的两位同学准 备无弹性的细绳子一条(约 10cm 长,两端各结一个套) ,教师准备无弹性细绳子一条(约 60cm,一端结个套,另一端是活动的) ,图钉两个) .当套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画 出的图形是椭圆.启发性提问:在这一过程中,你能说出移动的笔小(动点)满足的几何条 件是什么?〖板书〗2.1.1 椭圆及其标准方程. (2)新课讲授过程 (i)由上述探究过程容易得到椭圆的定义. 〖板书〗把平面内与两个定点 F1 , F2 的距离之和等于常数(大于 F1 F2 )的点的轨迹 叫做椭圆 (ellipse) . 其中这两个定点叫做椭圆的焦点, 两定点间的距离叫做椭圆的焦距. 即 当动点设为 M 时,椭圆即为点集 P ? M | MF1 ? MF2 ? 2a . (ii)椭圆标准方程的推导过程 提问: 已知图形, 建立直角坐标系的一般性要求是什么?第一、 充分利用图形的对称性; 第二、注意图形的特殊性和一般性关系. 无理方程的化简过程是教学的难点,注意无理方程的两次移项、平方整理. 设参量 b 的意义:第一、便于写出椭圆的标准方程;第二、 a, b, c 的关系有明显的几何 意义. 类比:写出焦点在 y 轴上,中心在原点的椭圆的标准方程 (iii)例题讲解与引申 例 1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是 ? ?2, 0 ? , ? 2, 0 ? ,并且经过点 ? 标准方程. 分析:由椭圆的标准方程的定义及给出的条件,容易求出 a, b, c .引导学生用其他方 法来解.

?

?

y 2 x2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? . a 2 b2
?5 3? , ? ? ,求它的 ?2 2?

x2 y 2 ?5 3? 另解:设椭圆的标准方程为 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,因点 ? , ? ? 在椭圆上, a b ?2 2?
9 ? 25 ?a ? 10 ? 2 ? 2 ?1 ? ?? 则 ? 4a . 4b b ? 6 ? ?a 2 ? b 2 ? 4 ? ?

例 2 如图,在圆 x ? y ? 4 上任取一点 P ,过点 P 作 x 轴的垂线段 PD , D 为垂
2 2

足.当点 P 在圆上运动时,线段 PD 的中点 M 的轨迹是什么? 分析: 点 P 在圆 x ? y ? 4 上运动, 由点 P 移动引起点 M 的运动, 则称点 M 是点 P
2 2

的伴随点,因点 M 为线段 PD 的中点,则点 M 的坐标可由点 P 来表示,从而能求点 M 的 轨迹方程. 引申:设定点 A ? 6, 2 ? , P 是椭圆 程. 解法剖析:①(代入法求伴随轨迹)设 M ? x, y ? , P ? x1 , y1 ? ;②(点与伴随点的关 系)∵ M 为线段 AP 的中点,∴ ?

x2 y 2 ? ? 1 上动点,求线段 AP 中点 M 的轨迹方 25 9

? x1 ? 2 x ? 6 ;③(代入已知轨迹求出伴随轨迹) ,∵ ? y1 ? 2 y ? 2
2 2

? x ? 3? ? y ? 1? 1 x12 y12 ? ? ;④伴随轨迹表示的范围. ? ? 1 ,∴点 M 的轨迹方程为 25 9 4 25 9
例 3 如图,设 A , B 的坐标分别为 ? ?5, 0 ? , ? 5, 0 ? .直线 AM , BM 相交于点 M , 且它们的斜率之积为 ?

4 ,求点 M 的轨迹方程. 9

分析:若设点 M ? x, y ? ,则直线 AM , BM 的斜率就可以用含 x, y 的式 子表示,由于直线 AM , BM 的斜率之积是 ? 的关系式,即得到点 M 的轨迹方程. 解 法 剖 析 : 设 点 M ? ,x

4 ,因此,可以求出 x, y 之间 9 y ? x ? ?5? , x?5

? y,

则 k AM ?

y ? x ? 5? ; x ?5 y y 4 代入点 M 的集合有 ? ? ? ,化简即可得点 M 的轨迹方程. x ?5 x ?5 9 kBM ?

引 申 : 如 图 , 设 △ ABC 的 两 个 顶 点 A ? ?a, 0 ? , B ? a, 0 ? , 顶 点 C 在 移 动 , 且

k AC ? kBC ? k ,且 k ? 0 ,试求动点 C 的轨迹方程.
引申目的有两点: ①让学生明白题目涉及问题的一般情形; ②当 k 值在变化时, 线段 AB 的角色也是从椭圆的长轴→圆的直径→椭圆的短轴. ◆ 情感、态度与价值观目标 通过作图展示与操作,必须让学生认同:圆、椭圆、双曲线和抛物线都是圆锥曲线,是

因它们都是平面与圆锥曲面相截而得其名; 必须让学生认同与体会: 椭圆的定义及特殊情形 当常数等于两定点间距离时,轨迹是线段;必须让学生认同与理解:已知几何图形建立直角 坐标系的两个原则,及引入参量 b ?

a 2 ? c 2 的意义,培养学生用对称的美学思维来体现

数学的和谐美; 让学生认同与领悟: 例 1 使用定义解题是首选的, 但也可以用其他方法来解, 培养学生从定义的角度思考问题的好习惯;例 2 是典型的用代入法求动点的伴随点的轨迹, 培养学生的辩证思维方法,会用分析、联系的观点解决问题;通过例 3 培养学生的对问题引 申、分段讨论的思维品质. ◆能力目标 (1) 想象与归纳能力:能根据课程的内容能想象日常生活中哪些是椭圆、双曲线和 抛物线的实际例子,能用数学符号或自然语言的描述椭圆的定义,能正确且直 观地绘作图形,反过来根据图形能用数学术语和数学符号表示. (2) 思维能力:会把几何问题化归成代数问题来分析,反过来会把代数问题转化为 几何问题来思考,培养学生的数形结合的思想方法;培养学生的会从特殊性问 题引申到一般性来研究,培养学生的辩证思维能力. (3) 实践能力:培养学生实际动手能力,综合利用已有的知识能力. (4) 数学活动能力:培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力. (5) 创新意识能力:培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力,探究解决 问题的一般的思想、方法和途径. 练习:第 45 页 1、2、3、4、 作业:第 53 页 2、3、

2.1.2

椭圆的简单几何性质

◆ 知识与技能目标 了解用方程的方法研究图形的对称性;理解椭圆的范围、对称性及对称轴,对称中心、 离心率、顶点的概念;掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题;通过例题了解 椭圆的第二定义,准线及焦半径的概念,利用信息技术初步了解椭圆的第二定义. ◆ 过程与方法目标 (1)复习与引入过程 引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点,在本节中不仅要注意

通过对椭圆的标准方程的讨论, 研究椭圆的几何性质的理解和应用, 而且还注意对这种研究 方法的培养. ①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围; ②由方程的性质得 到椭圆的对称性;③先定义圆锥曲线顶点的概念,容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴 的概念;④通过 P48 的思考问题,探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率. 〖板书〗§2.1.2 椭圆的简单几何性质. (2)新课讲授过程 (i)通过复习和预习,知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质. 提问:研究曲线的几何特征有什么意义?从哪些方面来研究? 通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论,可以从整体上把握曲线的形状、大小和 位置.要从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质. (ii)椭圆的简单几何性质 ①范围:由椭圆的标准方程可得,

y2 x2 ? 1 ? ? 0 ,进一步得: ?a ? x ? a ,同理 b2 a2

可得: ?b ? y ? b ,即椭圆位于直线 x ? ?a 和 y ? ?b 所围成的矩形框图里; ②对称性:由以 ?x 代 x ,以 ? y 代 y 和 ?x 代 x ,且以 ? y 代 y 这三个方面来研究椭 圆的标准方程发生变化没有,从而得到椭圆是以 x 轴和 y 轴为对称轴,原点为对称中心; ③顶点:先给出圆锥曲线的顶点的统一定义,即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点 叫做圆锥曲线的顶点.因此椭圆有四个顶点,由于椭圆的对称轴有长短之分,较长的对称轴 叫做长轴,较短的叫做短轴; ④ 离 心率 : 椭 圆的 焦 距与 长 轴长 的比 e ?

c 叫 做 椭 圆的 离 心率 ( 0 ? e ? 1 ) , a

, b ?当e ? 1时,c ? a, ? 圆 图 形 越 扁 ?椭

?0

?当e ? 0时,c ? 0,b ? a ;? . 椭圆越接近于圆 ?

(iii)例题讲解与引申、扩展 例 4 求椭圆 16 x ? 25 y ? 400 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.
2 2

分析:由椭圆的方程化为标准方程,容易求出 a, b, c .引导学生用椭圆的长轴、 短轴、离心率、焦点和顶点的定义即可求相关量. 扩展:已知椭圆 mx ? 5 y ? 5m ? m ? 0 ? 的离心率为 e ?
2 2

10 ,求 m 的值. 5

解法剖析:依题意,m ? 0, m ? 5 ,但椭圆的焦点位置没有确定,应分类讨论: ①当焦点在 x 轴上,即 0 ? m ? 5 时,有 a ?

5, b ? m , c ? 5 ? m ,∴

5?m 5

?

2 5



得 m ?3 ;②当焦点在 y 轴上,即 m ?5 时,有 a ?

m, b ? 5 , c ?

m? 5, ∴

m?5 m

?

10 25 ?m? . 5 3

例 5 如图,一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分.过对对称的截口 BAC 是椭圆的一部分,灯丝位于椭圆的一个焦点 F1 上,片门位于另一个焦点 F2 上,由椭圆一个 焦点 F1 发出的光线,经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点 F2 .已知 BC ? F1 F2 ,

F1 B ? 2.8cm , F1 F2 ? 4.5cm .建立适当的坐标系,求截口 BAC 所在椭圆的方程.
解法剖析:建立适当的直角坐标系,设椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,算出 a, b, c 的 a 2 b2

值;此题应注意两点:①注意建立直角坐标系的两个原则;②关于 a, b, c 的近似值,原则上 在没有注意精确度时,看题中其他量给定的有效数字来决定. 引申:如图所示, “神舟”截人飞船发射升空,进入预定 轨道开始巡天飞行,其轨道是以地球的中心 F2 为一个焦点的椭 圆,近地点 A 距地面 200km ,远地点 B 距地面 350km ,已知 地球的半径 R ? 6371km .建立适当的直角坐标系,求出椭圆 的轨迹方程. 例 6 如图,设 M ? x, y ? 与定点 F ? 4, 0 ? 的距离和它到直线 l : x ?

25 的距离的比是常数 4

4 ,求点 M 的轨迹方程. 5
分 析 : 若 设 点 M ? x, y ? , 则 MF ?

?

2 ,到直线 l : x ? x ?4? ? y 2

25 的距离 4

d ? x?

25 ,则容易得点 M 的轨迹方程. 4

引申: (用 《几何画板》 探究) 若点 M ? x, y ? 与定点 F ? c, 0 ? 的距离和它到定直线 l : x?

a2 的距离比是常数 c

e?

a2 c x? 则点 M 的轨迹方程是椭圆. 其中定点 F ? c, 0 ? 是焦点, 定直线 l : ? a ? c ? 0? , c a a2 . c

相应于 F 的准线;由椭圆的对称性,另一焦点 F ? ? ?c, 0 ? ,相应于 F ? 的准线 l ? : x ? ?

◆ 情感、态度与价值观目标 在合作、互动的教学氛围中,通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探 究,教学相长的教学活动情境,结合教学内容,培养学生科学探索精神、审美观和科学世界 观,激励学生创新.必须让学生认同和掌握:椭圆的简单几何性质,能由椭圆的标准方程能 直接得到椭圆的范围、对称性、顶点和离心率;必须让学生认同与理解:已知几何图形建立

直角坐标系的两个原则,①充分利用图形对称性,②注意图形的特殊性和一般性;必须让学 生认同与熟悉:取近似值的两个原则:①实际问题可以近似计算,也可以不近似计算,②要 求近似计算的一定要按要求进行计算, 并按精确度要求进行, 没有作说明的按给定的有关量 的有效数字处理; 让学生参与并掌握利用信息技术探究点的轨迹问题, 培养学生学习数学的 兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能. ◆能力目标 (1) 分析与解决问题的能力:通过学生的积极参与和积极探究,培养学生的分析问 题和解决问题的能力. (2) 思维能力:会把几何问题化归成代数问题来分析,反过来会把代数问题转化为 几何问题来思考;培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究,培养学生 的辩证思维能力. (3) 实践能力:培养学生实际动手能力,综合利用已有的知识能力. (4) 创新意识能力:培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力,探究解决 问题的一般的思想、方法和途径. 练习:第 52 页 1、2、3、4、5、6、7 作业:第 53 页 4、5

补充:
复习回顾

1.课题:双曲线第二定义

学法指导:以问题为诱导,结合图形,引导学生进行必要的联想、类比、化归、转化.

问题推广

引出课题

归纳小结

课堂练习

典型例题

教学目标 知识目标:椭圆第二定义、准线方程; 能力目标:1 使学生了解椭圆第二定义给出的背景; 2 了解离心率的几何意义; 3 使学生理解椭圆第二定义、椭圆的准线定义; 4 使学生掌握椭圆的准线方程以及准线方程的应用; 5 使学生掌握椭圆第二定义的简单应用; 情感与态度目标:通过问题的引入和变式,激发学生学习的兴趣,应用运动变化的观点看待 问题,体现数学的美学价值. 教学重点:椭圆第二定义、焦半径公式、准线方程; 教学难点:椭圆的第二定义的运用; 教具准备:与教材内容相关的资料。 教学设想:激发学生的学习热情,激发学生的求知欲,培养严谨的学习态度,培养积极进取 的精神. 教学过程: 学生探究过程:复习回顾 1.椭圆 9 x ? y ? 81 的长轴长为 18 ,短轴长为 6 ,半焦距为 6 2 ,离心率为
2 2

2 2 , 3

焦点坐标为 (0,?6 2 ) ,顶点坐标为 (0,?9) (?3,0) , (准线方程为 y ? ?

27 2 ). 4

2.短轴长为 8,离心率为

3 的椭圆两焦点分别为 F1 、 F2 ,过点 F1 作直线 l 交椭圆于 A、B 5
.

两点,则 ?ABF2 的周长为 20 引入课题

【习题 4(教材 P50 例 6) 】椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1 ,M1,M2 为椭圆上的点 25 16

① 求点 M1(4,2.4)到焦点 F(3,0)的距离 2.6 . ② 若点 M2 为(4,y0)不求出点 M2 的纵坐标,你能求出这点到焦点 F(3,0)的距离吗? 解: | MF |?
2 (4 ? 3) 2 ? y 0 且

169 13 4 2 y0 2 ? ? ? 1 代入消去 y 0 得 | MF |? 25 5 25 16

2

【推广】你能否将椭圆

x2 y2 ? ? 1 上任一点 M ( x, y) 到焦点 F (c,0)(c ? 0) 的距离表示成 a2 b2

点 M 横坐标 x 的函数吗? 解 :

?| MF |? ( x ? c) 2 ? y 2 ? ?x2 y2 ? 2 ? 2 ?1 b ?a









y2



| MF |? x 2 ? 2cx ? c 2 ? b 2 ?

b2 2 c x ? ( x ? a) 2 2 a a

?|

c c a2 a2 x ? a |? | x ? |? e | x ? | a a c c

问题 1:你能将所得函数关系叙述成命题吗?(用文字语言表述) 椭圆上的点 M 到右焦点 F (c,0) 的距离与它到定直线 x ?

a2 c 的距离的比等于离心率 c a

问题 2:你能写出所得命题的逆命题吗?并判断真假?(逆命题中不能出现焦点与离心率)

a2 c 动点 M 到定点 F (c,0) 的距离与它到定直线 x ? 的距离的比等于常数 (a ? c) 的点的 c a
轨迹是椭圆. 【引出课题】椭圆的第二定义

c 这 (0 ? e ? 1) 时, a 个点的轨迹是椭圆.定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线,常数 e 是椭圆的离心率.
当点 M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 e ?

x2 y2 a2 对于椭圆 2 ? 2 ? 1 ,相应于焦点 F (c,0) 的准线方程是 x ? .根据对称性,相应于焦 c a b
点 F ?(?c,0) 的准线方程是 x ? ?

y2 x2 a2 a2 .对于椭圆 2 ? 2 ? 1 的准线方程是 y ? ? . c c a b

可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比, 这就是离心率的几 何意义. 由 椭 圆 的 第 二 定 义 ?

| MF | ?e 可 得 : 右 焦 半 径 公 式 为 d

| MF右 |? ed ? e | x ?
典型例题 例 1、求椭圆

a2 a2 |? a ? ex ;左焦半径公式为 | MF左 |? ed ? e | x ? (? ) |? a ? ex c c

x2 y2 ? ? 1 的右焦点和右准线;左焦点和左准线; 25 16 a2 a2 ;左焦点 F (?c,0) 和左准线 x ? ? c c

解:由题意可知右焦点 F (c,0) 右准线 x ?
2 2

变式:求椭圆 9 x ? y ? 81 方程的准线方程;

解:椭圆可化为标准方程为:

y2 x2 a2 27 2 ?? ? ? 1 ,故其准线方程为 y ? ? c 4 81 9

小结:求椭圆的准线方程一定要化成标准形式,然后利用准线公式即可求出 例 2、椭圆

x2 y2 ? ? 1 上 的 点 M 到 左 准 线 的 距 离 是 2.5 , 求 M 到 左 焦 点 的 距 离 25 16

为 . 变式:求 M 到右焦点的距离为

.

解:记椭圆的左右焦点分别为 F1 , F2 到左右准线的距离分别为 d1 , d 2 由椭圆的第二定义可 知:

| MF1 | c 3 | MF | 3 ?e? ? ? | MF1 |? 1.5 ?e | MF1 |? ed1 ? ? 2.5 ? 1.5 ? d1 a 5 d 5

又由椭的第一定义可知: | MF1 | ? | MF2 |? 2a ? 10 ? | MF2 |? 8.5

a2 50 5 85 另解: 点 M 到左准线的距离是 2.5, 所以点 M 到右准线的距离为 2 ? 2.5 ? ? ? c 3 2 6
? | MF2 | 3 85 ? e ?| MF2 |? ed 2 ? ? ? 8.5 d2 5 6

小结:椭圆第二定义的应用和第一定义的应用 例1、 点 P 与定点 A(2,0)的距离和它到定直线 x ? 8 的距离的比是 1:2,求点 P 的轨 迹;

( x ? 2) 2 ? y 2 1 x2 y2 ? 由化简得 ? ? 1, 解法一: 设 P( x, y ) 为所求轨迹上的任一点, 则 | x ?8| 2 16 12
故所的轨迹是椭圆。 解法二:因为定点 A(2,0)所以 c ? 2 ,定直线 x ? 8 所以 x ?

a2 ? 8 解得 a ? 4 ,又因 c

为e ?

x2 y2 c 1 ? ?1 ? 故所求的轨迹方程为 16 12 a 2

变式:点 P 与定点 A(2,0)的距离和它到定直线 x ? 5 的距离的比是 1:2,求点 P 的轨 迹; 分析: 这道题目与刚才的哪道题目可以说是同一种类型的题目, 那么能否用上面的两种方法 来解呢? 解 法 一 : 设 P ( x, y ) 为 所 求 轨 迹 上 的 任 一 点 , 则

( x ? 2) 2 ? y 2 1 ? 由化简得 | x?5| 2

3x 2 ? 6 x ? 4 y 2 ? 9 ? 0 配方得

( x ? 1) 2 y 2 ? ? 1 ,故所的轨迹是椭圆,其中心在(1,0) 4 3

a2 ? 5 解得 a 2 ? 10 ,故 解法二:因为定点 A(2,0)所以 c ? 2 ,定直线 x ? 8 所以 x ? c
所求的轨迹方程为

x2 y2 ? ?1 10 6

问题 1:求出椭圆方程 离心率; 问题 2:求出椭圆方程

x2 y2 ( x ? 1) 2 y 2 ? ? 1和 ? ? 1 的长半轴长、短半轴长、半焦距、 4 3 4 3

x2 y2 ( x ? 1) 2 y 2 ? ? 1和 ? ? 1 长轴顶点、焦点、准线方程; 4 3 4 3

解: 因为把椭圆

x2 y2 ( x ? 1) 2 y 2 ? ? 1 向右平移一个单位即可以得到椭圆 ? ? 1 所以问题 4 3 4 3

1 中的所有问题均不变,均为 a ? 3, b ?

3, c ? 1, e ?

c 1 ? a 2

x2 y2 ? ? 1 长轴顶点、焦点、准线方程分别为: (?2,0) , (?1,0) x ? ?4 ; 4 3 ( x ? 1) 2 y 2 ? ? 1 长轴顶点、焦点、准线方程分别为: (?2 ? 1,0) , (?1 ? 1,0) x ? ?4 ? 1 ; 4 3
反思:由于是标准方程,故只要有两上独立的条件就可以确定一个椭圆,而题目中有三个条 件,所以我们必须进行检验,又因为 e ?

c 2 1 另一方面离心率就等于 这是两上矛盾 ? a 2 10

的结果,所以所求方程是错误的。又由解法一可知,所求得的椭圆不是标准方程。 小结:以后有涉及到“动点到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数时”最好的方法是 采用求轨迹方程的思路,但是这种方法计算量比较大; 解法二运算量比较小,但应注意到会不会是标准方程,即如果三个数据可以符合课本例 4 的关系的话,那么其方程就是标准方程,否则非标准方程,则只能用解法一的思维来解。 例 4、设 AB 是过椭圆右焦点的弦,那么以 AB 为直径的圆必与椭圆的右准线( ) A.相切 B.相离 C.相交 D.相交或相切 分析:如何判断直线与圆的位置关系呢? 解:设 AB 的中点为 M,则 M 即为圆心,直径是|AB|;记椭圆的右焦点为 F,右准线为 l ; 过点 A、 B、 M 分别作出准线 l 的垂线, 分别记为 d1 , d 2 , d 由梯形的中位线可知 d ?

d1 ? d 2 2

又由椭圆的第二定义可知

| AF | | BF | ?e ? e 即 | AF | ? | BF |? e(d1 ? d 2 ) d1 d2

又?

d ? d2 | AB | | AB | | AF | ? | BF | 且 0 ? e ? 1? d ? 故直线与圆相离 ? ? e? 1 2 2 2 2
x2 y2 ? ? 1 的上任意一点, F1 、 F2 分别为左右焦点;且 A(1,2) 求 25 16

例 5、已知点 M 为椭圆

5 | MA | ? | MF1 | 的最小值 3 5 分析:应如何把 | MF1 | 表示出来 3
解:左准线 l1 : x ? ?

a2 25 ? ? ,作 MD ? l1 于点 D,记 d ?| MD | c 3
?

由第二定义可知: 故有 | MA | ?

| MF1 | c 3 ?e? ? d a 5

| MF1 |?

3 d ? 5

d?

5 | MF1 | 3

5 | MF1 |?| MA | ? d ?| MA | ? | MD | 3 25 3

所以有当 A、M、D 三点共线时,|MA|+|MD|有最小值: 1 ? 即 | MA | ?

5 28 | MF1 | 的最小值是 3 3

变式 1: 3 | MA | ?5 | MF1 | 的最小值; 解: 3 | MA | ?5 | MF1 |? 3( | MA | ?

5 28 | MF1 | ) ? 3 ? ? 28 3 3

3 | MA | ? | MF1 | 的最小值; 5 3 3 5 3 28 28 解: | MA | ? | MF1 |? (| MA | ? | MF1 |) ? ? ? 5 5 3 5 3 5
变式 2:

M D A F

巩固练习

1

1.已知 是椭圆 的距离为_____________.

上一点,若

到椭圆右准线的距离是

,则

到左焦点

2.若椭圆

的离心率为

,则它的长半轴长是______________.

答案:1.

2.1 或 2

教学反思 1.椭圆第二定义、焦半径公式、准线方程; 2.椭圆定义的简单运用; 3.离心率的求法以及焦半径公式的应用; 课后作业 1.例题 5 的两个变式;

2. 已 知



为椭圆

上的两点,

是椭圆的右焦点.若



的中点到椭圆左准线的距离是

,试确定椭圆的方程.

解:由椭圆方程可知

、两准线间距离为

.设



到右准线距离分别为



,由椭圆定义有 , 中点

,所以 到右准线距离为 ,于是

,则 到左准线距离为

, 思考:

,所求椭圆方程为



2 2 1.方程 2 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ?| x ? y ? 2 | 表示什么曲线?

( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 2 2 ? 解: ? ? 1 ;即方程表示到定点的距离与到定直线的距离的比 2 | x? y?2| 2 2
常数(且该常数小于 1)?方程表示椭圆 例Ⅱ、 (06 四川高考 15)如图把椭圆的长轴 AB 分成 8 等分,过每个等分点作 x 轴的垂线交 椭 圆 的 上 半 部 分 于 P1 , P2 ? P7 七 个 点 , F 是 椭 圆 的 一 个 焦 点 , 则

| P1 F | ? | P2 F | ? ? ? | P7 F | =
解法一: e ?

c 3 5 ? ,设 Pi 的横坐标为 x i ,则 xi ? ?5 ? i 不妨设其焦点为左焦点 a 5 4

| Pi F | a2 3 5 3 c 3 由 ? e ? ? 得 | Pi F |? e( x i ? ) ? a ? exi ? 5 ? ? (?5 ? i) ? 2 ? i c 5 4 4 d a 5

3 | P1 F | ? | P2 F | ? ? ? | P7 F |? 2 ? 7 ? (1 ? 2 ? ? ? 7) ? 35 4
解 法 二 : 由 题 意 可 知 P1 和 P7 关 于 y 轴 对 称 , 又 由 椭 圆 的 对 称 性 及 其 第 一 定 义 可 知

| P1 F | ? | P7 F |? 2a ,同理可知 | P2 F | ? | P6 F |? 2a , | P3 F | ? | P5 F |? 2a , | P4 F |? a
故 | P1 F | ? | P2 F | ? ? ? | P7 F |? 7a ? 35 板书设计:
复习回顾 引入课题 问题: 推广: 椭圆第二定义

典型例题 1. 2. 3. 4. 5.

课堂练习: 课堂小结: 课后作业: 思考:

2. 椭圆中焦点三角形的性质及应用
定义:椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。 性质一 :已知椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0), 两焦点分别为 F1 , F2 , 设焦点三角形 a2 b2

PF1 F2 中 ?F1PF2 ? ? , 则 S ?F1PF2 ? b 2 tan 。 2
? (2c) 2 ? F1 F2
2

?

? PF1 ? PF2 ? 2 PF1 PF2 cos?

2

2

? ( PF1 ? PF2 ) 2 ? 2 PF1 PF2 (1 ? cos? )

? PF1 PF2 ?

( PF1 ? PF2 ) 2 ? 4c 2 2(1 ? cos? )

?

4a 2 ? 4c 2 2b 2 ? 2(1 ? cos? ) 1 ? cos?

? S?F1PF2

1 b2 ? ? PF1 PF2 sin ? ? sin ? ? b2 tan 2 1 ? cos ? 2

性质二:已知椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0), 左右两焦点分别为 F1 , F2 , 设焦点三角形 a2 b2

PF1 F2 ,若 ?F1 PF2 最大,则点 P 为椭圆短轴的端点。
证明:设 P( xo , y o ) ,由焦半径公式可知: PF1 ? a ? exo , PF1 ? a ? exo 在 ?F1 PF2 中, cos? ?

PF1 ? PF1 ? F1 F2 2 PF1 PF2

2

2

2

?

( PF1 ? PF2 ) 2 ? 2 PF1 PF2 ? 4c 2 2 PF1 PF2

?

4 a 2 ? 4c 2 4b 2 2b 2 ?1 ? ? 1= 2 ?1 2 2 PF1 PF2 2(a ? exo )( a ? exo ) a ? e 2 xo
2 ? xo ? a2

? ?a ? x0 ? a

性质三 : 已知椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0), 两焦点分别为 F1 , F2 , 设焦点三角形 a2 b2

PF1 F2 中 ?F1 PF2 ? ? , 则 cos? ? 1 ? 2e 2 .
证明:设 PF1 ? r1 , PF2 ? r2 , 则在 ?F1 PF2 中,由余弦定理得:

r 2 ? r22 ? F1 F2 (r ? r ) 2 ? 2r1 r2 ? 4c 2 2a 2 ? 2c 2 cos? ? 1 ? 1 2 ? ?1 2r1 r2 2r1 r2 2r1 r2

2

?

2a 2 ? 2c 2 2a 2 ? 2c 2 ?1 ? ? 1 ? 1 ? 2e 2 . r1 ? r2 2 2a 2 2( ) 2

命题得证。

(2000 年高考题)已知椭圆
0

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两焦点分别为 F1 , F2 , 若椭圆上存在 a2 b2

一点 P, 使得 ?F1 PF2 ? 120 , 求椭圆的离心率 e 的取值范围。 简解:由椭圆焦点三角形性质可知 cos120 ? 1 ? 2e . 即 ?
0 2

1 ? 1 ? 2e 2 2

,

于是得到 e 的取值范围是 ?

? 3 ? ,1? ?. 2 ? ?

性质四 :已知椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0), 两焦点分别为 F1 , F2 , 设焦点三角形 a2 b2

PF1 F2 , ?PF1 F2 ? ? , ?PF2 F1 ? ? , 则椭圆的离心率 e ?
?PF1 F2 ? ? , ?PF2 F1 ? ? ,
由正弦定理得:

sin(? ? ? ) 。 sin ? ? sin ?

F 1F2 sin(180 o ? ? ? ? )
?

?

PF2 sin ?

?

PF 1 sin ?

由等比定理得:

F 1F2 sin(? ? ? ) ?

PF 1 ? PF2 sin ? ? sin ?




F 1F2 sin(? ? ? )

2c sin(? ? ? )

PF 1 ? PF2 sin ? ? sin ?

?

2a sin ? ? sin ?



e?

c sin(? ? ? ) 。 ? a sin ? ? sin ?

已知椭圆的焦点是 F1(-1,0)、F2(1,0),P 为椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|和| PF2|的等差中项. (1)求椭圆的方程; (2)若点 P 在第三象限,且∠PF1F2=120°,求 tanF1PF2.

解:(1)由题设 2|F1F2|=|PF1|+|PF2| ∴2a=4,又 2c=2,∴b= 3 ∴椭圆的方程为

x2 y2 ? =1. 4 3
sin ? 3 ? sin(60 o ? ? ) 2

(2)设∠F1PF2=θ ,则∠PF2F1=60°-θ

?椭圆的离心率 e ?

1 2



1 sin(180 o ? ? ) ? ? 2 sin 120 o ? sin(60 o ? ? )



整理得:5sinθ = 3 (1+cosθ )

3 2? ? 3 sin ? 3 5 ?5 3. ∴ 故 tan ? ,tanF1PF2=tanθ = ? 3 1 ? cos ? 5 11 2 5 1? 25

2.3 双曲线
2.2.1 双曲线及其标准方程
◆ 知识与技能目标 理解双曲线的概念,掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义解决实际问题;理解双曲线 标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法; 了解借助信息技术探究动点轨迹的 《几 何画板》的制作或操作方法. ◆ 过程与方法目标 (1)预习与引入过程 预习教科书 56 页至 60 页, 当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时, 观察平面截圆锥 的截口曲线 (截面与圆锥侧面的交线) 是什么图形?又是怎么样变化的?特别是当截面与圆 锥的轴线或平行时,截口曲线是双曲线,待观察或操作了课件后,提出两个问题:第一、你 能理解为什么此时的截口曲线是双曲线而不是两条抛物线; 第二、 你能举出现实生活中双曲 线的例子.当学生把上述两个问题回答清楚后,要引导学生一起思考与探究 P56 页上的问题 (同桌的两位同学准备无弹性的细绳子两条(一条约 10cm 长,另一条约 6cm 每条一端结一 个套) 和笔尖带小环的铅笔一枝, 教师准备无弹性细绳子两条 (一条约 20cm, 另一条约 12cm, 一端结个套,另一端是活动的) ,图钉两个) .当把绳子按同一方向穿入笔尖的环中,把绳子 的另一端重合在一起,拉紧绳子,移动笔尖,画出的图形是双曲线.启发性提问:在这一过 程中,你能说出移动的笔小(动点)满足的几何条件是什么?〖板书〗§2.2.1 双曲线及 其标准方程. (2)新课讲授过程 (i)由上述探究过程容易得到双曲线的定义.

〖板书〗把平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于 F1 F2 )的 点的轨迹叫做双曲线(hyperbola) .其中这两个定点叫做双曲线的焦点,两定点间的距离叫 做双曲线的焦距.即当动点设为 M 时,双曲线即为点集 P ? M MF1 ? MF2 ? 2a . (ii)双曲线标准方程的推导过程 提问: 已知椭圆的图形, 是怎么样建立直角坐标系的?类比求椭圆标准方程的方法由学 生来建立直角坐标系. 无理方程的化简过程仍是教学的难点,让学生实际掌握无理方程的两次移项、平方整理 的数学活动过程. 类比椭圆:设参量 b 的意义:第一、便于写出双曲线的标准方程;第二、 a, b, c 的关系 有明显的几何意义. 类比: 写出焦点在 y 轴上, 中心在原点的双曲线的标准方程 (iii)例题讲解、引申与补充 例 1 已知双曲线两个焦点分别为 F1 ? ?5, 0 ? , F2 ? 5, 0 ? ,双曲线上一点 P 到 F1 , F2 距 离差的绝对值等于 6 ,求双曲线的标准方程. 分析:由双曲线的标准方程的定义及给出的条件,容易求出 a, b, c . 补充:求下列动圆的圆心 M 的轨迹方程:① 与⊙ C : ? x ? 2 ? ? y ? 2 内切,且过
2 2

?

?

y 2 x2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? . b2 a 2

点 A ? 2, 0 ? ; ② 与⊙ C1 :x ? ? y ? 1? ? 1 和⊙ C2 :x ? ? y ? 1? ? 4 都外切; ③ 与⊙ C1 :
2 2 2 2

? x ? 3?

2

? y 2 ? 9 外切,且与⊙ C2 : ? x ? 3? ? y 2 ? 1 内切.
2

解题剖析:这表面上看是圆与圆相切的问题,实际上是双曲线的定义问题.具体解:设动圆 M 的半径为 r . ① ∵⊙ C 与⊙ M 内切,点 A 在⊙ C 外,∴ MC ? r ?

2 , MA ? r ,因此有

MA ? MC ? 2 ,∴点 M 的轨迹是以 C 、 A 为焦点的双曲线的左支,即 M 的轨迹方程
是 2 x2 ?

2 y2 ?1 x ? ? 2 ; 7

?

?

② ∵ ⊙ M 与 ⊙ C1 、 ⊙ C2 均 外 切 , ∴ MC1 ? r ? 1 , MC2 ? r ? 2 , 因 此 有

MC2 ? MC1 ? 1 ,∴点 M 的轨迹是以 C2 、C1 为焦点的双曲线的上支,∴ M 的轨迹方程
2 3?; 是 4 y 2 ? 4 x ? 1? ?y? ? 3 4

?

?

③ ∵ ? M 与 ? C1 外切,且 ? M 与 ? C 2 内切,∴ MC1 ? r ? 3 , MC2 ? r ? 1 ,因

此 MC1 ? MC2 ? 4 ,∴点 M 的轨迹是以 C1 、 C2 为焦点的双曲线的右支,∴ M 的轨迹 方程是

x2 y 2 ? ? 1? x ? 2 ? . 4 5

例 2 已知 A , B 两地相距 800m ,在 A 地听到炮弹爆炸声比在 B 地晚 2s ,且声速 为 340m / s ,求炮弹爆炸点的轨迹方程. 分析:首先要判断轨迹的形状,由声学原理:由声速及 A , B 两地听到爆炸声的时间 差,即可知 A , B 两地与爆炸点的距离差为定值.由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨 迹方程. 扩展:某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告:正西、正北两个观察点 同时听到了一声巨响,正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚 4s .已知各观察 点到该中心的距离都是 1020m .试确定该巨响发生的位置(假定当时声音传播的速度为 . 340m / s ;相关点均在同一平面内) 解法剖析:因正西、正北同时听到巨响,则巨响应发生在西北方向或东南方向,以因正东比 正西晚 4s ,则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上. 如图,以接报中心为原点 O ,正东、正北方向分别为 x 轴、 y 轴方向,建立 直角坐标系,设 A 、 B 、 C 分别是西、东、北观察点,则 A ? ?1020, 0 ? ,

B ?1020, 0 ? , C ? 0,1020 ? .
设 P ? x, y ? 为巨响发生点,∵ A 、 C 同时听到巨响,∴ OP 所在直线为 y ? ?x ??①, 又因 B 点比 A 点晚 4s 听到巨响声,∴ PB ? PA ? 4 ? 340 ? 1360 ? m ? .由双曲线定义知,

5 ∴ P 点 在 双 曲 线 方 程 为 a ? 680 , c ? 1020 , ∴ b ? 3 4 0 ,

x2 y2 ? ? 1 ? x ? ?680 ? ? ? ② . 联 立 ① 、 ② 求 出 P 点 坐 标 为 6802 5 ? 3402
P ?6 8 0

?

5, 680 5 680 10m 处. .即巨响在正西北方向

?

探究:如图,设 A , B 的坐标分别为 ? ?5, 0 ? , ? 5, 0 ? .直线 AM , BM 相交于 点 M ,且它们的斜率之积为 现? 探究方法:若设点 M ? x, y ? ,则直线 AM , BM 的斜率就可以用含 x, y 的式子表示, 由于直线 AM , BM 的斜率之积是

4 ,求点 M 的轨迹方程,并与§2.1.例 3 比较,有什么发 9

4 ,因此,可以求出 x, y 之间的关系式,即得到点 M 的 9

轨迹方程. ◆ 情感、态度与价值观目标 通过课件( a )的展示与操作,必须让学生认同:与圆锥的轴平行的平面去截圆锥曲面

所得截口曲线是一条双曲线而不是两条抛物线; 必须让学生认同与体会: 双曲线的定义及特 殊情形当常数等于两定点间距离时,轨迹是两条射线;必须让学生认同与理解:已知几何图 形建立直角坐标系的两个原则,及引入参量 b ?

c 2 ? a 2 的意义,培养学生用对称的美学

思维来体现数学的和谐美;让学生认同与领悟:像例 1 这基础题配备是必要的,但对定义的 理解和使用是远远不够的,必须配备有一定灵活性、有一定的思维空间的补充题;例 2 是典 型双曲线实例的题目,对培养学生的辩证思维方法,会用分析、联系的观点解决问题有一定 的帮助, 但要准确判定爆炸点, 必须对此题进行扩展, 培养学生归纳、 联想拓展的思维能力. ◆能力目标 (1) 想象与归纳能力: 能根据课程的内容能想象日常生活中哪些是双曲线的实际例 子, 能用数学符号或自然语言的描述双曲线的定义, 能正确且直观地绘作图形, 反过来根据图形能用数学术语和数学符号表示. (2) 思维能力:会把几何问题化归成代数问题来分析,反过来会把代数问题转化为 几何问题来思考,培养学生的数形结合的思想方法;培养学生的会从特殊性问 题引申到一般性来研究,培养学生的辩证思维能力. (3) 实践能力:培养学生实际动手能力,综合利用已有的知识能力. (4) 数学活动能力:培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力. (5) 创新意识能力:培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力,探究解决 问题的一般的思想、方法和途径. 练习:第 60 页 1、2、3、 作业:第 66 页 1、2、

2.2.2

双曲线的简单几何性质

◆ 知识与技能目标 了解平面解析几何研究的主要问题: (1)根据条件,求出表示曲线的方程; (2)通过方 程,研究曲线的性质.理解双曲线的范围、对称性及对称轴,对称中心、离心率、顶点、渐 近线的概念;掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题;通过例题和探究了 解双曲线的第二定义,准线及焦半径的概念,利用信息技术进一步见识圆锥曲线的统一定 义. ◆ 过程与方法目标 (1)复习与引入过程 引导学生复习得到椭圆的简单的几何性质的方法,在本节课中不仅要注意通过对双曲 线的标准方程的讨论, 研究双曲线的几何性质的理解和应用, 而且还注意对这种研究方法的 进一步地培养. ①由双曲线的标准方程和非负实数的概念能得到双曲线的范围; ②由方程的 性质得到双曲线的对称性; ③由圆锥曲线顶点的统一定义, 容易得出双曲线的顶点的坐标及 实轴、虚轴的概念;④应用信息技术的《几何画板》探究双曲线的渐近线问题;⑤类比椭圆 通过 P56 的思考问题,探究双曲线的扁平程度量椭圆的离心率. 〖板书〗§2.2.2 双曲线的 简单几何性质. (2)新课讲授过程 (i)通过复习和预习,对双曲线的标准方程的讨论来研究双曲线的几何性质. 提问:研究双曲线的几何特征有什么意义?从哪些方面来研究? 通过对双曲线的范围、对称性及特殊点的讨论,可以从整体上把握曲线的形状、大小

和位置.要从范围、对称性、顶点、渐近线及其他特征性质来研究曲线的几何性质. (ii)双曲线的简单几何性质 ①范围: 由双曲线的标准方程得,

y 2 x2 进一步得:x ? ?a , 或x ? a. 这 ? ?1 ? 0 , b2 a 2

说明双曲线在不等式 x ? ?a ,或 x ? a 所表示的区域; ②对称性:由以 ?x 代 x ,以 ? y 代 y 和 ?x 代 x ,且以 ? y 代 y 这三个方面来研究双 曲线的标准方程发生变化没有, 从而得到双曲线是以 x 轴和 y 轴为对称轴, 原点为对称中心; ③顶点:圆锥曲线的顶点的统一定义,即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆 锥曲线的顶点.因此双曲线有两个顶点,由于双曲线的对称轴有实虚之分,焦点所在的对称 轴叫做实轴,焦点不在的对称轴叫做虚轴; ④渐近线:直线 y ? ?

x2 y 2 b x 叫做双曲线 2 ? 2 ? 1 的渐近线; a a b

⑤离心率: 双曲线的焦距与实轴长的比 e ? (iii)例题讲解与引申、扩展

c 叫做双曲线的离心率( e ? 1) . a

例 3 求双曲线 9 y ? 16 x ? 144 的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐
2 2

近线方程. 分析:由双曲线的方程化为标准方程,容易求出 a, b, c .引导学生用双曲线的实半轴长、 虚半轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子,但要注意焦点在 y 轴上的渐 近线是 y ? ?

a x. b
x2 y 2 ? ? 1 共渐近线,且经过 A 2 3, ?3 点的双曲线的标准方及离 16 9

扩展:求与双曲线 心率.

?

?

x2 y 2 3 ? ? 1 的渐近线方程为 y ? ? x .①焦点在 x 轴上时,设所求 解法剖析:双曲线 16 9 4
的双曲线为

x2 y2 1 3 点在双曲线上,∴ k 2 ? ? ,无解;②焦点在 ? ? 1 ,∵ A 2 3, ? 2 2 4 16k 9k x2 y2 1 2 , 3? 点在双曲线上, ? ? 1, ∵A 2 3 ∴k ? , 2 2 4 16k 9k

?

?

设所求的双曲线为 ? y 轴上时,

?

?

因此,所求双曲线的标准方程为

y 2 x2 5 ? ? 1 ,离心率 e ? .这个要进行分类讨论,但只 9 4 3 4
x2 y 2 ? ? m ? m ? R, m ? 0 ? . 16 9

有一种情形有解,事实上,可直接设所求的双曲线的方程为

例 4 双曲线型冷却塔的外形,是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图(1) , 它的最小半径为 12m ,上口半径为 13m ,下口半径为 25m ,高为 55m .试选择适当的坐标 系,求出双曲线的方程(各长度量精确到 1m ) . 解法剖析:建立适当的直角坐标系,设双曲线的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,算出 a, b, c 的值;此题应注意两点:①注意建立直 a 2 b2
角坐标系的两个原则;②关于 a, b, c 的近似值,原则上在没有注 意精确度时,看题中其他量给定的有效数字来决定. 引申: 如图所示, 在 P 处堆放着刚购买的草皮, 现要把这些草皮沿着道路 PA 或 PB 送到呈矩形的足球场 ABCD 中去铺垫,已知 AP ? 150m , BP ? 100m ,

BC ? 60m ,?APB ? 60? .能否在足球场上画一条“等距离”线,在“等距离”
线的两侧的区域应该选择怎样的线路?说明理由. 解题剖析:设 M 为“等距离”线上任意一点,则 PA ? AM ? PB ? BM , 即 BM ? AM ? AP ? BP ? 50 (定值) ,∴“等距离”线是以 A 、 B 为焦点的双曲线 的 左 支 上 的 一 部 分 , 容 易 “ 等 距 离 ” 线 方 程 为

x2 y2 ? ? 1? ?35 ? x ? ?25, 0 ? y ? 60 ? .理由略. 625 3750
例 5 如图,设 M ? x, y ? 与定点 F ? 5, 0 ? 的距离和它到直线 l : x ?

16 的距离的比是常数 5

5 ,求点 M 的轨迹方程. 4
分析:若设点 M ? x, y ? ,则 MF ?

? x ? 5?

2

? y 2 ,到直线 l : x ?

16 的距离 5

d ? x?

16 ,则容易得点 M 的轨迹方程. 5

引申:用《几何画板》探究点的轨迹:双曲线 若 点 M ? x, y ? 与 定 点 F ? c, 0 ? 的 距 离 和 它 到 定 直 线 l : x ?

a2 的距离比是常数 c

e?

c ? c ? a ? 0 ? ,则点 M 的轨迹方程是双曲线.其中定点 F ? c, 0 ? 是焦点,定直线 l : a

a2 a2 ? ? ? x? 相应于 F 的准线;另一焦点 F ? ?c, 0 ? ,相应于 F 的准线 l : x ? ? . c c
◆ 情感、态度与价值观目标 在合作、互动的教学氛围中,通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探

究,教学相长的教学活动情境,结合教学内容,培养学生科学探索精神、审美观和科学世界 观,激励学生创新.必须让学生认同和掌握:双曲线的简单几何性质,能由双曲线的标准方 程能直接得到双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率;必须让学生认同与理解:已 知几何图形建立直角坐标系的两个原则, ①充分利用图形对称性, ②注意图形的特殊性和一 般性;必须让学生认同与熟悉:取近似值的两个原则:①实际问题可以近似计算,也可以不 近似计算,②要求近似计算的一定要按要求进行计算,并按精确度要求进行,没有作说明的 按给定的有关量的有效数字处理; 让学生参与并掌握利用信息技术探究点的轨迹问题, 培养 学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能. ◆能力目标 (1) 分析与解决问题的能力:通过学生的积极参与和积极探究,培养学生的分析问 题和解决问题的能力. (2) 思维能力:会把几何问题化归成代数问题来分析,反过来会把代数问题转化为 几何问题来思考;培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究,培养学生 的辩证思维能力. (3) 实践能力:培养学生实际动手能力,综合利用已有的知识能力. (4) 创新意识能力:培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力,探究解决 问题的一般的思想、方法和途径.

练习:第 66 页 1、2、3、4、5 作业:第 3、4、6

补充:
教学目标:

3.课题:双曲线第二定义

11111.知识目标:掌握双曲线第二定义与准线的概念,并会简单的应用。 11112.能力目标:培养学生分析问题和解决问题的能力及探索和创新意识。

教学重点:双曲线的第二定义 教学难点:双曲线的第二定义及应用. 教学方法:类比法(类比椭圆的第二定义) 教学过程:111111111111111111111111111111 一、复习引入:
1、 (1) 、 双曲线的定义: 平面上到两定点 F1、F2 距离之差的绝对值等于常数 (小于 | F1 F2 | ) 的点的 轨迹叫做双曲线.定点 F1、F2 叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距。 (2)、双曲线的标准方程:

x2 y2 焦点在 x 轴: 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) a b

y 2 x2 焦点在 y 轴: 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 其中 a b

a 2 ? b2 ? c 2 2、 对于焦点在 x 轴上的双曲线的有关性质:

b c x ;(3)、离心率: e ? >1 a a 3、今节课我们来学习双曲线的另一定义。(板书课题:双曲线第二定义)
(1)、焦点:F1(-c,0),F2(c,0);(2)、渐近线: y ? ?

二、新课教学:
1、引例(课本 P64 例 6):点 M(x,y) 与定点 F(5,0)距离和它到定直线 l : x ? 比是常数

16 的距离之 5
y H H o F2

5 ,求点 M 的轨迹方程. 4

分析:利用求轨迹方程的方法。 解:设 d 是点 M 到直线 l 的距离,根据题意,所求轨迹就是集合 P={M|

| MF | 5 ? }, d 4 F

1

x



( x ? 5) ? y 5 ? 16 4 x? 5
2 2

化简得

x y ? ?1 16 9
x? a2 c

2

2

所以,点 M 的轨迹是实轴、虚轴长分别为 8、6 的双曲线。 由例 6 可知:定点 F(5,0)为该双曲线的焦点,定直线 l : x ? 常数为离心率 e ?

a2 16 为x? , c 5

c >1. a [提出问题]: (从特殊到一般)将上题改为:点 M(x,y)与定点 F(c,0)距离和它到定直线

l:x?

a2 c 的距离之比是常数 e ? ? 1 ,求点 M 的轨迹方程。 c a
根据题意,所求轨迹就是集合 P={M|
2 2 2 2 2 2 2 2

解:设 d 是点 M 到直线 l 的距离,

| MF | 5 ? }, d 4



( x ? c)2 ? y 2 x? a c
2

?

c a

化简得 (c ? a ) x ? a y ? a (c ? a ) 两边同时除以

a 2 (c 2 ? a 2 ) 得

x2 y 2 ? ? 1 (其中a ? 0, b ? 0) a 2 b2

2、小结: 双曲线第二定义:当动点 M(x,y) 到一定点 F(c,0)的距离和它到一定直线 l : x ? 距离之比是常数 e ?

a2 的 c

c ? 1 时,这个动点 M(x,y)的轨迹是双曲线。其中定点 F(c,0)是双曲线 a

的一个焦点,定直线 l : x ?

a2 叫双曲线的一条准线,常数 e 是双曲线的离心率。双曲线上 c

任一点到焦点的线段称为焦半径。例如 PF 是双曲线的焦半径。 (P65 思考)与椭圆的第二定义比较,你有什么发现?(让学生讨论) 答:只是常数 e 的取值范围不同,椭圆的 0 ? e ?

c c ? 1 ,而双曲线的 e ? ? 1 . a a

三、课堂练习
x2 y 2 1. 求 ? ? 1 的准线方程、两准线间的距离。 3 4
解:由

3 x2 y 2 ; ? ? 1 可知,焦点在 x 轴上,且 c ? 3 ? 4 ? 7 所以准线方程为: x ? ? 3 4 7
3 3 6 7 ? (? )? . 7 7 7

故两准线的距离为

2、(2006 年广东高考第 8 题选择题)已知双曲线 3x 2-y 2 = 9,则双曲线右支上的点 P 到右 焦点 的距离与点 P 到右准线的距离之比等于( )。 (A) 2 (B) 2 3 3 (C) 2 (D) 4

解: 3、如果双曲线 __ 解: P 到左准线的距离为 m,由双曲线方程可知 a=5,b=12,c=13, e ? 准线方程为 x ? ?

x2 y 2 ? ? 1 上的一点 P 到左焦点的距离为 9,则 P 到右准线的距离是__ 25 144

c 13 ? a 5

a 2 25 ? c 13

根据双曲线第二定义得,

9 13 45 ?e? ?m? m 5 13

又? 两准线间的距离为

25 25 50 ? (? ) ? 13 13 13 50 45 95 。 ? P到右准线的距离为 ? ? 13 13 13
a2 a2 1 c2 c ? (? ) ? ? 2c 即 2 ? 3, 又 ? e ? 1 所以 e ? ? 3 解:由题意可知, c c 3 a a

4、双曲线两准线把两焦点连线段三等分,求 e.

5. 双 曲 线 的 是

x2 y2 ? ?1 a2 b2
.

?a > 0 , b > 0 ? 渐 近 线 与 一 条 准 线 围 成 的 三 角 形 的 面 积

解 :由题意可知 ,一条准线方程为 : x ?

a2 a2 b ,渐近线方程为 y ? ? x 因为当 x ? 时 c c a

b a2 ab 1 ab ab a 2 a3b 所以所求的三角形面积为: ? y?? ? ?? [ ? (? )]? ? 2 a c c 2 c c c c

四、巩固练习:
1.已知双曲线 面积为
x2 a2 ? y2 b2

= 1(a>0,b>0)的右焦点为 F,右准线与一条渐近线交于 A,△OAF ) C.60° D.90°

a2 (O 为原点) ,则两条渐近线夹角为( 2

A.30°

B.45°

解:由题意可得,△OAF 的底边|OC|=c,高 h= ?

b a 2 ab ? a c c

?S△

1 ab a 2 c ? ? a ? b 因此可知该双曲线为等轴双曲线。所以两条渐近线夹角为 OAF= 2 c 2
90°。

2.已知点( A 3, 1)、F (2, 0)在双曲线 , x2 ?

y2 1 ? 1上求一点P,使得 PA ? PF 的值最小,并求出最小值。 3 2 1 1 分析:本题的关键是利用双曲线的第二定义将 PA ? PF 中的 PF 转化。 2 2 y
解:由题意得e ? 2,设点P到右准线的距离为d,
1 PF 则由双曲线第二定义得: ? 2 ? PF ? d 2 d

H P

P

1 即 PA ? PF ? PA ? d 2

H F1 o

A F2 x

3? 结合图形得 : 最小值为:

a

2

c

?

5 2

, 这时P为:(

2 3 3

, 1 ) 。
a2 c

五、教学反思:
(1) 知识内容:双曲线的第二定义及应用。 (2) 数学方法:类比法, (3) 数学思想: 从特殊到一般
x?

六、作业:

1、双曲线 2mx ? m y ? 2 的一条准线是 y=1,则 m 的值。
2 2

2、求渐近线方程是 4x ? 3 y ? 0 ,准线方程是 5y ? 16 ? 0 的双曲线方程. 3、已知双曲线的离心率为 2,准线方程为 y ? ?2 x ,焦点 F(2,0),求双曲线标准方程. 4、 (请你编题)若双曲线标准方程为__上一点 p 到(左,右)焦点的距离是___则点 p 到(左, 右)准线的距离___. 七、板书设计 课题:双曲线的第二定义及应用 1、 复习引入 (1)、双曲线的定义 (2)、双曲线的标准方程 (3)、关于焦点在 x 轴上的双曲线的有关 性质 2、 新内容 双曲线第二定义: 例题: 课堂练习: 1、 2、 3、 4、 5、 课后练习: 1、 2、 作业: 1、 2、 3、 4、

2.4 抛物线
一 教学设想 1 2. 3 1 抛物线及标准方程 (1) 教具的准备 问题 1:同学们对抛物线已有了哪些认识? 在物理中,抛物线被认为是抛射物体的运行轨道;在数学中,抛物线是二次函数的图 象? 问题 2:在二次函数中研究的抛物线有什么特征? 在二次函数中研究的抛物线,它的对称轴是平行于 y 轴、开口向上或开口向下两种情 形.引导学生进一步思考:如果抛物线的对称轴不平行于 y 轴,那么就不能作为二次函数的 图象来研究了.今天,我们突破函数研究中这个限制,从更一般意义上来研究抛物线. 通过提问来激发学生的探究欲望,首先研究抛物线的定义,教师可以用直观的教具叫 学生参与进行演示,再由学生归纳出抛物线的定义. (2) 抛物线的标准方程

设定点 F 到定直线 l 的距离为 p(p 为已知数且大于 0). 下面, 我们来求抛物线的方程. 怎 样选择直角坐标系,才能使所得的方程取较简单的形式呢? 让学生议论一下,教师巡视,启发辅导,最后简单小结建立直角坐标系的方案 方案 1:(由第一组同学完成,请一优等生演板.)以 l 为 y 轴,过点 F 与直线 l 垂直的 直线为 x 轴建立直角坐标系(图 2-30).设定点 F(p,0),动点 M 的坐标为(x,y),过 M 作

MD⊥y 轴于 D,抛物线的集合为:p={M||MF|=|MD|}.

化简后得:y2=2px-p2(p>0). 方案 2:(由第二组同学完成,请一优等生演板) 以定点 F 为原点,平行 l 的直线为 y 轴建立直角坐标系(图 2-31).设动点 M 的坐标为 (x,y),且设直线 l 的方程为 x=-p,定点 F(0,0),过 M 作 MD⊥l 于 D,抛物线的集合为: p={M||MF|=|MD|}.

化简得:y2=2px+p2(p>0). 方案 3:(由第三、四组同学完成,请一优等生演板.) 取过焦点 F 且垂直于准线 l 的直线为 x 轴,x 轴与 l 交于 K,以线段 KF 的垂直平分线 为 y 轴,建立直角坐标系(图 2-32).

抛物线上的点 M(x,y)到 l 的距离为 d,抛物线是集合 p={M||MF|=d}.

化简后得:y2=2px(p>0). (3) 例题讲解与引申 教材中选取了 2 个例题, 例 1 是让学生会应用公式求抛物线的焦点坐标和准线方程。 例 2 是应用方面的问题,关键是由题意设出抛物线的方程即可。 2 2。 3 2 抛物线的几何性质 (1) 抛物线的几何性质 下面我们类比椭圆、双曲线的几何性质,从抛物线的标准方程 y2=2px(p>0)出发来研 究它的几何性质. (二)几何性质 怎样由抛物线的标准方程确定它的几何性质?以 y2=2px(p>0)为例,用小黑板给出下 表,请学生对比、研究和填写.

(2) 例题的讲解与引申 例 3 有 2 种解法;解法一运用了抛物线的重要性质:抛物线上任一点到焦点的距 离(即此点的焦半径)等于此点到准线的距离.可得焦半径公式设 P(x0,

这个性质在解决许多有关焦点的弦的问题中经常用到,因此必须熟练掌握.

(2)由焦半径不难得出焦点弦长公式: 设 AB 是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦), 若 A(x1, y1)、B(x2,y2)则有|AB|=x1+x2+p.特别地:当 AB⊥x 轴,抛物线的通径|AB|=2p 例 4 涉及直线与圆锥曲线相交时,常把直线与圆锥曲线方程联立,消去一个变量,得 到关于另一变量的一元二次方程, 然后用韦达定理求解, 这是解决这类问题的一种常用方法. 附 教学教案

2.4.1 抛物线及标准方程
知识与技能目标 使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程. 要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法,提高分析、对比、概括、转化等 方面的能力. 过程与方法目标 情感,态度与价值观目标 (1)培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美。 (2)培养学生观察,实验,探究与交流的数学活动能力。 能力目标:(1)重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养; (2)启发学生能够发现问题和提出问题,善于独立思考,学会分析问题和创造 地解决问题;

(3)通过教师指导发现知识结论,培养学生抽象概括能力和逻 辑思维能力
(1) 复习与引入过程 回忆平面内与一个定点 F 的距离和一条定直线 l 的距离的比是常数 e 的轨迹,当 0<e <1 时是椭圆,当 e>1 时是双曲线,那么当 e=1 时,它又是什么曲线? 2.简单实验 如图 2-29,把一根直尺固定在画图板内直线 l 的位置上,一块三角板的一条直角边紧 靠直尺的边缘;把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点 A,截取绳子的长等于 A 到直线 l 的距离 AC,并且把绳子另一端固定在图板上的一点 F;用一支铅笔扣着绳子,紧 靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧, 然后使三角板紧靠着直尺左右滑动, 这样铅笔就描出 一条曲线,这条曲线叫做抛物线.反复演示后,请同学们来归纳抛物线的定义,教师总结. (3) 新课讲授过程 (i)由上面的探究过程得出抛物线的定义 《板书》平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F 不在定直线 l 上).定点 F 叫做抛物线的焦点,定直线 l 叫做抛物线的准线. (ii) 抛物线标准方程的推导过程

引导学生分析出:方案 3 中得出的方程作为抛物线的标准方程.这是因为这个方程不 仅具有较简的形式,而方程中的系数有明确的几何意义:一次项系数是焦点到准线距离的 2 倍. 由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况,抛物线的标准方程有四种情形(列表如 下):

将上表画在小黑板上,讲解时出示小黑板,并讲清为什么会出现四种不同的情形,四 种情形中 P>0;并指出图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆.即:当对称轴为 x 轴时,方程等号右端为±2px,相应地左端为 y2;当对称轴为 y 轴时,方程等号的右端为± 2py,相应地左端为 x2.同时注意:当焦点在正半轴上时,取正号;当焦点在负半轴上时, 取负号. (iii)例题讲解与引申 例1 已知抛物线的标准方程是 y2=6x,求它的焦点坐标和准线方程 已知抛物线的焦点是 F(0,-2),求它的标准方程 解 因为 p=3,所以抛物线的焦点坐标是(3/2,0)准线方程是 x=-3/2 因为抛物线的焦点在轴的负半轴上,且 p/2=2,p=4,所以抛物线的标准方 程是 x2=-8y

例 2 一种卫星接收天线的轴截面如图所示。卫星拨束近似平行状态社如轴截面为抛物线 的接受天线,经反射聚焦到焦点处。已知接收天线的口径为 4.8m 深度为 0.5m,求抛物线的 标准方程和焦点坐标。 解;设抛物线的标准方程是 y2=2px (p>0)。有已知条件可得,点 A 的坐标是(0.5, 2.4)代入方程,得 2.4=2p*0.5 即=5.76 所以,抛物线的标准方程是 y2=11.52x,焦点坐标是(2.88,0) 练习:第 72 页 1、2、3、 作业:第 78 页 1、2、3、4、

2.4.2 抛物线的几何性质
知识与技能目标 使学生理解并掌握抛物线的几何性质,并能从抛物线的标准方程出发,推导这些性质. 从抛物线的标准方程出发,推导抛物线的性质,从而培养学生分析、归纳、推理等能 力 过程与方法目标 复习与引入过程 1.抛物线的定义是什么? 请一同学回答.应为:“平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹 叫做抛物线.” 2.抛物线的标准方程是什么? 再请一同学回答. 应为: 抛物线的标准方程是 y2=2px(p>0), y2=-2px(p>0), x2=2py(p >0)和 x2=-2py(p>0). 下面我们类比椭圆、双曲线的几何性质,从抛物线的标准方程 y2=2px(p>0)出发来研 究它的几何性质.《板书》抛物线的几何性质 (2)新课讲授过程 (i)抛物线的几何性质 通过和椭圆、双曲线的几何性质相比,抛物线的几何性质有什么特点? 学生和教师共同小结: (1)抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它也可以无限延伸,但是没有渐近线. (2)抛物线只有一条对称轴, 这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线重 合,抛物线没有中心. (3)抛物线只有一个顶点,它是焦点和焦点在准线上射影的中点. (4)抛物线的离心率要联系椭圆、双曲线的第二定义,并和抛物线的定义作比较.其结 果是应规定抛物线的离心率为 1.注意:这样不仅引入了抛物线离心率的概念,而且把圆锥 曲线作为点的轨迹统一起来了 (ii)例题讲解与引申 .例题 3 已知抛物线的顶点在原点,对称轴是 x 轴,抛物线上的点 M(-3,m)到焦点的 距离等于 5,求抛物线的方程和 m 的值. 解法一:由焦半径关系,设抛物线方程为 y2=-2px(p>0),则准线方

因为抛物线上的点 M(-3,m)到焦点的距离|MF|与到准线的距离

得 p=4. 因此,所求抛物线方程为 y2=-8x.

又点 M(-3,m)在此抛物线上,故 m2=-8(-3).

解法二:由题设列两个方程,可求得 p 和 m.由学生演板.由题意

在抛物线上且|MF|=5,故

例 4 过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的一条直线与这抛物线相交于 A、B 两点,且 A(x1,y1)、B(x2,y2)(图 2-34).

证明: (1)当 AB 与 x 轴不垂直时,设 AB 方程为:

此方程的两根 y1、y2 分别是 A、B 两点的纵坐标,则有 y1y2=-p2.

或 y1=-p,y2=p,故 y1y2=-p2. 综合上述有 y1y2=-p2 又∵A(x1,y1)、B(x2,y2)是抛物线上的两点,

练习:第 78 页:1、2、3、4、 作业:5、6、7


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