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山东省潍坊市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷(b卷)

时间:2016-07-25


山东省潍坊市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷(B 卷)
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分)空间中,垂直于同一条直线的两条直线() A. 平行 B.相交 C.异面 可能 2. (5 分)已知集合 A={1,2,3},B={3,6,7},则 A∪B 等于() A.{3} B.{3,4} C.{1,2,3,6,7}

3. (5 分)幂函数 y=f(x)的图象过点(4,2) ,那么 f( A. B. C. )的值为() D.

D.以上均有

D.?

4. (5 分)已知直线经过点 A(a,4) ,B(2,﹣a) ,且斜率为 4,则 a 的值为() A.﹣6
2 2

B .﹣
2 2

C.

D.4

5. (5 分)圆 x +y ﹣2x=0 与圆 x +y ﹣4x﹣2y+1=0 的位置关系为() A.相交 B.相离 C.外切 6. (5 分)球 O 的一个截面圆的圆心为 M,圆 M 的半径为 一半,则球 O 的表面积为() A.4π B. π C.12π

D.内切

,OM 的长度为球 O 的半径的 D.16π

7. (5 分)函数 f(x)=log2x+x﹣4 的零点所在的区间是() A. B.(1,2)
2 2

C.(2,3)

D.(3,4)

8. (5 分)若直线 Ax+By+C=0(A +B ≠0)经过第一、二、三象限,则系数 A,B,C 满足的 条件为() A.A,B,C 同号 B.AC>0,BC<0 C.AC<0,BC>0 D.AB>0, AC<0 9. (5 分)设 m,n 是不同的直线,α,β 是不同的平面,已知 m∥α,n⊥β,下列说法正确的 是() A.若 m⊥n,则 α⊥β B.若 m∥n,则 α⊥β C.若 m⊥n,则 α∥β D.若 m∥n, 则 α∥β

10. (5 分)若函数 f(x)= 则 a 的范围是() A.(0, ) B.(0,1)

(a>0,且 a≠1)在(0,+∞)上是增函数,

C.(0, ]

D.[ ,1)

二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分) 11. (5 分)计算 ( ) +log2 +(﹣2) =.
﹣2

0

12. (5 分)若直线 mx+2y﹣1=0 与直线 2x﹣y+1=0 平行,则 m=. 13. (5 分)已知圆 C1:x +y =4 与圆 C2:x +y ﹣4x+4y+4=0 关于直线 l 对称,则直线 l 的方 程为. 14. (5 分)一个正四棱锥的三视图如图所示,则此正四棱锥的侧面 积为.
2 2 2 2

15. (5 分)已知函数 y=f(x) ,x∈R,给出下列结论: ①若对于任意 x1,x2∈R 且 x1≠x2,都有 <0,则 f(x)为 R 上的减函

数; ②若 f(x)为 R 上的偶函数,且在(﹣∞,0]内是减函数,f(﹣2)=0,则 f(x)>0 的解 集为(﹣2,2) ; ③若 f(x)为 R 上的奇函数,则 y=f(x)?f(|x|)也是 R 上的奇函数; ④t 为常数,若对任意的 x 都有 f(x﹣t)=f(x+t) ,则 f(x)的图象关于 x=t 对称. 其中所有正确的结论序号为.

三、解答题(共 6 小题,满分 75 分) 16. (12 分)设集合 A={y|y=log2x,x∈[1,8]},B={x|y= (1)求集合 A; (2)若集合 A?B,求实数 a 的取值范围. }.

17. (12 分)如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 2. (1)证明:AC⊥B1D; (2)求三棱锥 C﹣BDB1 的体积.

18. (12 分)某商品经营部每天的房租、人员工资等固定成本为 300 元,已知该商品进价为 3 元/件,并规定其销售单价不低于商品进价,且不高于 12 元,该商品日均销售量 y(件)与销 售单价 x(元)的关系如图所示. (1)试求 y 关于 x 的函数解析式; (2)当销售单价定为多少元时,该商品每天的利润最大 ?

19. (12 分)如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱 A1A⊥底面 ABC,AC=BC,D、E、F 分 别为棱 AB,BC,A1C1 的中点. (1)证明:EF∥平面 A1CD; (2)证明:平面 A1CD⊥平面 ABB1A1.

20. (13 分)在平面直角坐标系 xOy 中,O 为坐标原点,圆 O 过点 M(1, ) . (1)求圆 O 的方程;[来源:Zxxk.Com] (2)若直线 l1:y=mx﹣8 与圆 O 相切,求 m 的值; (3)过点(0,3)的直线 l2 与圆 O 交于 A、B 两点,点 P 在圆 O 上,若四边形 OAPB 是菱 形,求直线 l2 的方程. 21. (14 分)已知函数 f(x)=1﹣ 在 R 上是奇函数.

(1)求 a; x (2)对 x∈(0,1],不等式 s?f(x)≥2 ﹣1 恒成立,求实数 s 的取值范围;

(3)令 g(x)= 数 m 的取值范围.

,若关于 x 的方程 g(2x)﹣mg(x+1)=0 有唯一实数解,求实

山东省潍坊市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷 (B 卷)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分)空间中,垂直于同一条直线的两条直线() A.平行 B.相交 C.异面 考点: 专题: 分析: 解答: 方体中

D.以上均有可能

空间中直线与直线之间的位置关系. 空间位置关系与距离. 画出长方体,利用长方体中的各棱的位置关系进 行判断. 解:在空间,垂直于同一条直线的两条直线,有可能平行,相交或者异面;如图长

直线 a,b 都与 c 垂直,a,b 相交; 直线 a,d 都与 c 垂直,a,d 异面; 直线 d,b 都与 c 垂直,b,d 平行. 故选 D. 点评: 本题考查了空间在直线的位置关系;本题借助于长方体中棱的关系理解. 2. (5 分)已知集合 A={1,2,3},B={3,6,7},则 A∪B 等于() A.{3} B.{3,4} C.{1,2,3,6,7} D.? 考点: 并集及其运算. 专题: 集合. 分析: 直接利用并集运算得答案.[来源:Zxxk.Com] 解答: 解:∵A={1,2,3},B={3,6,7}, ∴A∪B={1,2,3}∪{3,6,7}={1,2,3,6,7}. 故选:C. 点评: 本题考查了并集及其运算,是基础题.

3. (5 分)幂函数 y=f(x)的图象过点(4,2) ,那么 f( A. B. C.

)的值为() D.

考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据幂函数 f(x)的图象经过点(4,2)求出解析式,再计算 f( 解答: 解:设幂函数 f(x)=x ,其图象经过点(4,2) , α ∴4 =2, 解得 α= ;[来源:学。科。网][来源:学科网 ZXXK] ∴f( x)= ∴f( )= , = .
α

)的值.

故选:B. 点评: 本题考查了求函数的解析式以及利用函数的解析式求函数值的应用问题,是基础题 目. 4. (5 分)已知直线经过点 A(a,4) ,B(2,﹣a) ,且斜率为 4,则 a 的值为() A.﹣6 B. ﹣ C. D.4

考点: 专题: 分析: 解答: 则

直线的斜率. 直线与圆. 直接由两点求斜率列式求得 a 的值. 解:∵A(a,4) ,B(2,﹣a) ,且斜率为 4, ,解得:a=4.

故选:D. 点评: 本题考查了直线的斜率公式,是基础的计算题. 5. (5 分)圆 x +y ﹣2x=0 与圆 x +y ﹣4x﹣2y+1=0 的位置关系为() A.相交 B.相离 C.外切 D.内切 考点: 圆与圆的位置关系及其判定. 专题: 直线与圆. 分析: 求出两圆的圆心和半径,根据圆心距和半径之间的关系即可得到结论. 2 2 2 2 解答: 解:圆 x +y ﹣2x=0 的标准方程为(x﹣1) +y =1, 圆心坐标为 A(1,0) ,半径 R=1,
2 2 2 2

圆 x +y ﹣4x﹣2y+1=0 的标准方程为(x﹣2) +(y﹣1) =4 的圆心坐标为 B(2,1) ,半径 r=2, 则圆心距离 d=|AB|= = ,

2

2

2

2

则 R﹣r<|AB|<R+r, 即两圆相交, 故选:A 点评: 本题主要考查圆与圆的位置关系的判断,求出两圆的圆心和半径,判断圆心距和半 径之间的关系是解决本题的关键. 6. (5 分)球 O 的一个截面圆的圆心为 M,圆 M 的半径为 一半,则球 O 的表面积为() A.4π B. π C.12π ,OM 的长度为球 O 的半径的 D.16π

考点: 球 的体积和表面积. 专题: 计算题; 空间位置关系与距离. 分析: 根据条件求出截面圆的半径,根据直角三角形,求出球的半径,即可求出球 O 的表 面积. 解答: 解:设截面圆的直径为 AB, ∵截面圆的半径为 ,∴BM= , ∵OM 的长度为球 O 的半径的一半,∴OB=2OM, 设球的半径为 R, 在直角三角形 OMB 中,R =(
2 2
)2

+ R .[来源:Zxxk.Com]

2

解得 R =4, ∴该球的表面积为 16π, 故选:D. 点评: 本题主要考查球 O 的表面积的计算,根据条件求出球半径是解决本题的关键. 7. (5 分)函数 f(x)=log2x+x﹣4 的零点所在的区间是() A. B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题.[来源:学科网 ZXXK] 分析: 连续函数 f(x)=log2x+x﹣4 在(0,+∞)上单调递增且 f(2)=﹣1<0,f(3)=log23 ﹣1>0,根据函数的零点的判定定理可求 解答: 解:∵连续函数 f(x)=log2x+x﹣4 在(0,+∞)上单调递增 ∵f(2)=﹣1<0,f(3)=log23﹣1>0 ∴f(x)=log2x+x﹣4 的零点所在的区间为(2,3) 故选 C 点评: 本题主要考查了函数零点 定义及判定 的应用,属于基础试题

8. (5 分)若直线 Ax+By+C=0(A +B ≠0)经过第一、二、三象限,则系数 A,B,C 满足的 条件为() A.A,B,C 同号 B.AC>0,BC<0 C.AC<0,BC>0 D.AB>0,AC<0 考点: 直线的一般式方程. 专题: 直线与圆. 分析: 利用直线斜率、截距的意义即可得出. 解答: 解:∵直线 Ax+By+C=0(A +B ≠0)经过第一、二、三象限, ∴斜率 ,在 y 轴上的截距 >0,
2 2

2

2

∴AC>0,BC<0. 故选:B. 点评: 本题考查了直线斜率、截距的意义,属于基础题. 9. (5 分)设 m,n 是不同的直线,α,β 是不同的平面,已知 m∥α,n⊥β,下列说法正确的 是() A.若 m⊥n,则 α⊥β B.若 m∥n,则 α⊥β C.若 m⊥n,则 α∥β D.若 m∥n,则 α∥β 考点: 空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 空间位置关 系与距离. 分析: 乘法利用空间线面平行和面面平行的判定定理和性质定理对选项分别分析选择. 解答: 解:由已知 m∥α,n⊥β, 对于 A,若 m⊥n,则 α、β 可能平行;如图
[来源:Zxxk.Com]

对于 B,若 m∥n,得到 m⊥β 由面面垂直的判定定理可得 α⊥β;故 B 正确; 对于 C,若 m⊥n,则 α、β 有可能相交;如图

对于 D,若 m∥n,则 m⊥β,由线面垂直的性质以及面面垂直的判定定理可得,α⊥β;故 D 错误. 故选 B 点评: 本题考查了空间线面平行和面面平行面面垂直的判定定理和性质定理的运用;关键 是正确掌握定理的条件,充分发挥空间想象能力.

10. (5 分)若函数 f(x)= 则 a 的范围是() A.(0, ) B.(0,1)

(a>0,且 a≠1)在(0,+∞)上是增函数,

C.(0, ]

D.[ ,1)

考点: 函数单调性的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 利用函数 f(x)= (a>0,且 a≠1)在(0,+∞)上是增函数,

可得

,即可求出 a 的范围.

解答: 解:∵函数 f(x)=

(a>0,且 a≠1)在(0,+∞)上是增函数,





∴0<a≤ ,

故选:C. 点评: 本题考查函数的单调性,考查学生的计算能力,正确运用函数的单调性的定义是关 键. 二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分) 11. (5 分)计算 ( ) +log2 +(﹣2) =3.
﹣2

0

考点: 有理数指数幂的化简求值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 化负指数为正指数,化 0 指数幂为 1,然后由有理指数幂的运算性质化简求值. 解答: 解: ( ) +log2 +(﹣2) = =4﹣2+1 =3. 故答案为:3. 点评: 本题考查了有理指数幂的运算性质,是基础的计算题. 12. (5 分)若直线 mx+2y﹣1=0 与直线 2x﹣y+1=0 平行,则 m=﹣4. 考点: 专题: 分析: 解答: 直线的一般式方程与直线的平行关系. 直线与圆. 利用两条直线平行,它们的斜率相等或斜率都不存在的性质求解. 解:∵直线 mx+2y﹣1=0 与直线 2x﹣y+1=0 平行,
﹣2

0

∴﹣ =2, 解得 m=﹣4. 故答案为:﹣4. 点评: 本题考查实数值的求法,是基础题,解题时要注意直线与直线平行的性质的合理运 用. 13. (5 分)已知圆 C1:x +y =4 与圆 C2:x +y ﹣4x+4y+4=0 关于直线 l 对称,则直线 l 的方 程为 y=x﹣2. 考点: 关于点、直线对称的圆的方程. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 把两个圆的方程相减可得 对称轴 l 的方程. 2 2 2 2 解答: 解:圆 C1:x +y =4 与圆 C2:x +y ﹣4x+4y+4=0 关于直线 l 对称 把两个圆的方程相减可得﹣4x+4y+4=﹣4,故直线 l 的方程为 y=x﹣2, 故答案为:y=x﹣2 点评: 本题考查两圆关于直线对称的性质,当两圆关于某直线对称时,把 把两个圆的方程 相减可得此直线的方程.
2 2 2 2

14. (5 分)一个正四棱锥的三视图如图所示,则此正四棱锥的侧面积为 60.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 根据三视图可得四棱锥为正四棱锥,判断底面边长与高的数据,求出四棱锥的斜高, 代入棱锥的侧面积公式计算. 解答: 解:由三视图知:此四棱锥为正四棱锥,底面边长为 6,高为 4, 则四棱锥的斜高为 ∴四棱锥的侧面积为 S= =5, =60.

故答案为:60. 点评: 本题考查了由三视图求几何体的侧面积,根据三视图的数据求相关几何量的数据是 解答此类问题的关键. 15. (5 分)已知函数 y=f(x) ,x∈R,给出下列结论: ①若对于任意 x1,x2∈R 且 x1≠x2,都有 <0,则 f(x)为 R 上的减函

数; ②若 f(x)为 R 上的偶函数,且在(﹣∞,0]内是减函数,f(﹣2)=0,则 f(x)>0 的解 集为(﹣2,2) ; ③若 f(x)为 R 上的奇函数,则 y=f(x)?f(|x|)也是 R 上的奇函数; ④t 为常数,若对任意的 x 都有 f(x﹣t)=f(x+t) ,则 f(x)的图象关于 x=t 对称. 其中所有正确的结论序号为①③. 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 阅读型;函数的性质及应用;不等式的解法及应用.[来源:学科网] 分析: 由单调性的定义,即可判断①;由偶函数的单调性可得 f(x)在[0,+∞)上递增, f(x)>0 即为 f(|x|)>f(2) ,即有|x|>2,计算即可判断②;由奇偶性的定义,即可判断 ③;由周期函数的定义,可得 f(x)为周期函数,并非对称函数,若 f(x)满足 f(t+x)=f (t﹣x) ,则 f(x)关于直线 x=t 对称,即可判断④. 解答: 解:对于①,若对于任意 x1,x2∈R 且 x1≠x2,都有 即当 x1<x2 时,f(x1)>f(x2) ,则 f(x)为 R 上的减函数,则①对; <0,

对于②,若 f(x)为 R 上的偶函数,且在(﹣∞,0]内是减函数,则 f(x)在[0,+∞)上递 增, f(2)=f(﹣2)=0,则 f(x)>0 即为 f(|x|)>f(2) ,即有|x|>2,解得 x>2 或 x<﹣2, 则②错; 对于③,若 f(x)为 R 上的奇函数,则 f(﹣x)=﹣f(x) ,f(﹣x)?f(|﹣x|)=﹣f(x)?f (|x|) , 即有 y=f(x)?f(|x|)也是 R 上的奇函数,则③对; 对于④,若对任意的 x 都有 f(x﹣t)=f(x+t) ,即有 f(x)=f(x+2t) , 即 f(x)为周期函数,并非对称函数,若 f(x)满足 f(t+x)=f(t﹣x) , 则 f(x)关于直线 x=t 对称,则④错. 故答案为:①③. 点评: 本题考查函数的单调性和奇偶性以及周期性的判断和运用,考查不等式的解法,考 查运算能力,属于基础题和易错题. 三、解答题(共 6 小题,满分 75 分) 16. (12 分)设集合 A={y|y=log2x,x∈[1,8]},B={x|y= (1)求集合 A; (2)若集合 A?B,求实数 a 的取值范围. 考点: 集合的包含关系判断及应用;对数函数的值域与最值. 专题: 计算题;集合. 分析: (1)由题意,y=log2x 在 x∈(0,+∞)上是增函数,可求集合 A; (2)化简 B,利用集合 A?B,求实数 a 的取值范围. 解答: 解: (1)由题意,y=log2x 在 x∈(0,+∞)上是增函数, 因为 x∈[1,8],所以 A=[0,3; (2)2
x﹣a

}.

﹣1≥0,可得 x≥a }=[a,+∞) ,

所以 B={x|y=

因为 A?B,∴a≤0. 点评: 本题考查函数的定义域与值域,考查集合的关系,正确化简集合是关键. 17. (12 分)如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 2. (1)证明:AC⊥B1D; (2)求三棱锥 C﹣BDB1 的体积.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 综合题;空间位置关系与距离.

分析: (1)证明 AC⊥平面 BB1D,即可证明 AC⊥B1D; (2)利用等体积转化求三棱锥 C﹣BDB1 的体积. 解答: 证明: (1)∵ABCD﹣A1B1C1D1 是正方体, ∴BB1⊥平面 ABCD, ∵AC?平面 ABCD, ∴BB1⊥AC, ∵AC⊥BD,BB1∩BD=B, ∴AC⊥平面 BB1D, ∵B1D?平面 BB1D, ∴AC⊥B1D, (2)解:∵BB1⊥平面 ABCD, ∴BB1 是三棱锥 B1﹣BDC 的高, ∴ = = = .

点评: 本题考查线面垂直的证明,考查三棱锥体积的计算,利用等体积转化是关键. 18. (12 分)某商品经营部每天的房租、人员工资等固定成本为 300 元,已知该商品进价为 3 元/件,并规定其销售单价不低于商品进价,且不高于 12 元,该商品日均销售量 y(件)与销 售单价 x(元)的关系如图所示. (1)试求 y 关于 x 的函数解析式; (2)当销售单价定为多少元时,该商品每天的利润最大?

考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 应用题;函数的性质及应用. 分析: (1)设日均销售 y 与销售单价 x(元)的函数关系为:y=kx+b(k≠0) ,把(3,600) , (5,500)代入,得到关于 k,b 的方程组,解方程组即可; (2)设销售单价为 x 元,日均获利 W 元,根据题意得 W=(x﹣3) (﹣50x+750)﹣300,利 用配方法得到二次函数的最值. 解答: 解: (1)设日均销售 y 与销售单价 x(元)的函数关系为:y=kx+b(k≠0) , 把(3,600) , (5,500)代入上式,得 ,

解得 k=﹣50,b=750, ∴日均销售量 y 与销售单价 x(元)的函数关系为 y=﹣50x+750,3≤x≤12 (2)设销售单价为 x 元,日均获利 W 元,根据题意得, 2 W=(x﹣3) (﹣50x+750)﹣300=﹣50(x﹣9) +1500, ∵a=﹣50<0,且 3<9<12, ∴当 x=0 时,W 有最大值,最大值为 1500 元.

点评: 本题考查了利用二次函数的性质解决实际问题中的最值问题:先根据题意列出二次 函数关系式,然后配成顶点式,利用二次函数的性质求出实际问题的最值.也考查了用待定系 数法求一次函数的解析式. 19. (12 分)如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱 A1A⊥底面 ABC,AC=BC,D、E、F 分 别为棱 AB,BC,A1C1 的中点. (1)证明:EF∥平面 A1CD; (2)证明:平面 A1CD⊥平面 ABB1A1.

考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)根据线面平行的判定定理证明 EF∥A1D 即可证明 EF∥平面 A1CD; (2)根据面面垂直的判定定理即可证明平面 A1CD⊥平面 ABB1A1. 解答: 证明: (1)连结 DE, ∵D,E 分别是 AB,BC 的中点 ∴DE∥AC,DE= AC, ∵F 为棱 A1C1 的中点. ∴A1F= A1C1, ∴A1F∥ AC, 即 DE∥A1F,DE=A1F, ∴四边形 A1DEF 为平行四边形, ∴A1D∥EF 又∵EF?平面 A1CD,A1D?平面 A1CD, ∴EF∥平面 A1CD. (2)∵A1A⊥平面 ABC,CD?平面 ABC, ∴AA1⊥CD, ∵AC=BC,D 为 AB 的中点,[来源:学科网] ∴AB⊥CD, ∵A1A∩AB=A ∴CD⊥平面 ABB1A1 ∵CD?平面 A1CD, ∴平面 A1CD⊥平面 ABB1A1.

点评: 本题主要考查空间直线和平面平行以及平面和平面垂直的判定,要求熟练掌握相应 的判定定理. 20. (13 分)在平面直角坐标系 xOy 中,O 为坐标原点,圆 O 过点 M(1, ) . (1)求圆 O 的方程; (2)若直线 l1:y=mx﹣8 与圆 O 相切,求 m 的值; (3)过点(0,3)的直线 l2 与圆 O 交于 A、B 两点,点 P 在圆 O 上,若四边形 OAPB 是菱 形,求直线 l2 的方程. 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: (1)求出半径,即可求圆 O 的方程; (2)根据直线和圆相切求出圆心到直线的距离 d=r,即可求 m 的值; (3)设出直线 l2 的方程,利用四边形 OAPB 是菱形,则对角线垂直的条件即可,求直线 l2 的方程. 解答: 解: (1)圆的半径 r= 则圆 O 的方程为 x +y =4; (2)若直线 l1:y=mx﹣8 与圆 O 相切, 则圆心到直线的距离 d=2, 即 d= ,
2 2



解得 m= ; (3)由题意可设直线 l2 的方程为 y=kx+3, 若四 边形 OAPB 是菱形, ∴OP 与 AB 垂直平分, 故圆心 O 都直线 l2 的距离为 |OP|=1, 即 ,即 k =8,解得 k=
2



∴直线 l2 的方程为 y= x+3.[来源:学§科§网 Z§X§X§K] 点评: 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用,根据圆心到直线的距离和半径之间的关 系是解决本题的关键.

21. (14 分)已知函数 f(x)=1﹣

在 R 上是奇函数.

(1)求 a; x (2)对 x∈(0,1],不等式 s?f(x)≥2 ﹣1 恒成立,求实数 s 的取值范围; (3)令 g(x)= 数 m 的取值范围. 考点: 函数恒成立问题;函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据 f(0)=0 可求得 a 的 值,然后验证 a 的取值满足函数为奇函数; (2)分离参数法,将问题转化为函数的最值问题求解; (3)可先将方程化简,然后问题转化为一元二次方程在指定区间上根的分布问题,然后再进 一步求解. 解答: 解: (1)由题意知 f(0)=0.即 , ,若关于 x 的方程 g(2x)﹣mg(x+1)=0 有唯一实数解,求实

所以 a=2.此时 f(x)=



而 f(﹣x)= 所以 f(x)为奇函数,故 a=2 为所求. (2)由(1)知
x




x

因为 x∈(0,1],所以 2 ﹣1>0,2 +1>0, x x 故 s?f(x)≥2 ﹣1 恒成立等价于 s≥2 +1 恒成立, x 因为 2 +1∈(2,3],所以只需 s≥3 即可使原不等式恒成立. 故 s 的取值范围是[3,+∞) . (3)因为 .

所以 g(2x)﹣mg(x+1)=
2x x



整理得 2 ﹣2m?2 ﹣m+1=0. x 2 令 t=2 >0,则问题化为 t ﹣2mt﹣m+1=0 有一个正根或两个相等正根. 2 2 令 h(t)=t ﹣2mt﹣m+1(t>0) ,则函数 h(t)=t ﹣2mt﹣m+1 在(0,+∞)上有唯一零点.

所以 h(0)≤0 或



由 h(0)≤0 得 m≥1, 2 易知 m=1 时,h(t)=t ﹣2t 符合题意;



解得



所以 m=

. .

综上 m 的取值范围是

点评: 本题考查了奇函数的性质,以及不等式恒成立问题的基本思路, 后者一般转化为函 数的最值问题来解,第三问涉及到了利用函数思想解决方程根的分布问题.


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